6.3.3余角和补角导学案2024-2025学年人教版数学七年级上册

第六章几何图形初步 6.3 角 6.3.3 余角和补角导学案 一、学习目标 1. 理解余角和补角的概念，能准确判断两个角是否互为余角或补角，掌握余角和补角的性质。 1. 会运用余角和补角的定义及性质进行角度的计算和相关推理，解决简单的实际问题。 1. 培养逻辑思维能力和数形结合意识，体会数学知识之间的内在联系。 二、学习重难点 重点：余角和补角的概念；余角和补角的性质及应用；根据余角和补角的关系进行角度计算 。 难点：对余角和补角性质的推导与理解；在复杂图形或实际问题中灵活运用余角和补角的知识；区分余角和补角概念的差异，避免混淆 。 三、知识点自主预习填空 1. 余角的定义：如果两个角的和等于________（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。 1. 补角的定义：如果两个角的和等于________（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 1. ，则的余角是________，的补角是________ 。 1. 余角的性质：同角（等角）的余角________。 1. 补角的性质：同角（等角）的补角________ 。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：余角和补角的概念 详细内容： 1. 余角：两个角的度数之和为时，这两个角互为余角。例如，，因为，所以的余角 。 1. 补角：两个角的度数之和为时，这两个角互为补角。比如，，由于，则的补角 。 常考易错点：混淆余角和补角的度数和，误将余角当成和为，补角当成和为；对 “互为” 的理解不到位，误认为单独一个角是余角或补角；在计算一个角的余角或补角时，出现计算错误 。 经典例题 1：已知的余角是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：，选 B。 变式题 1：的度数为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：选 C。 知识点 2：余角和补角的性质 详细内容： 1. 余角的性质：。 1. 补角的性质：。这些性质在角度的等量代换和计算中经常用到 。 常考易错点：不能理解性质中 “同角”“等角” 的含义，在应用性质时出现逻辑错误；在复杂图形中，无法准确找出同角（等角）的余角或补角关系，导致不能正确运用性质解题 。 变式题 2：已知， =________ 。 答案：70^{\circ} 解析：互补，。 知识点 3：余角和补角的实际应用 详细内容：在实际生活中，余角和补角的知识常用于角度测量、建筑设计、机械制造等领域。例如，在建筑施工中，工人需要根据设计要求计算角度，利用余角和补角的关系可以确保建筑物的各个部分角度准确；在机械零件的加工中，通过余角和补角的计算来确定零件的角度规格 。在解决实际问题时，关键是将实际问题抽象成数学模型，找出其中的余角或补角关系，再运用相关知识进行求解 。 常考易错点：无法将实际问题转化为数学问题，不能准确找出实际问题中隐藏的余角或补角关系；在计算过程中，忽略实际问题的条件限制，导致结果不符合实际情况 。 变式题 3：小明在操场上放风筝，风筝线与地面所成的角为，那么风筝线与竖直方向所成的角的余角是多少度？ 答案：30° 解析：。 五、效果检测（判断题） 1. 若两个角的和，则这两个角互余。（ ） 1. 一个角的补角一定大于这个角。（ ） 1. 。（ ） 1. 同角的余角相等，同角的补角也相等。（ ） 1. 两个锐角一定互为余角。（ ） 1. 。（ ） 1. 一个角的余角比它的补角小。（ ） 1. 等角的余角相等，等角的补角也相等。（ ） 1. 。（ ） 1. 钝角没有余角，但一定有补角。（ ） 6、 课后作业 一、单选题 1．一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数是（　　） A． B． C． D． 2．已知与互为余角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中和互为余角的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则与（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．和为周角 6．若一个角的补角是，则这个角的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一副直角三角板的直角顶点重合，按图中位置摆放，可得，下列理由最合理的是（    ） A．等角的余角相等 B．同角的余角相等 C．等角的补角相等 D．同角的补角相等 二、填空题 8．的余角等于 ． 9．一个角等于，则这个角的补角等于 ． 10．一个角的补角为，则这个角的度数为 ． 11．若，则的补角为 度． 12．若，则的补角为 ． 13．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 14．已知，则的余角的度数是 ． 15．如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起，其中和是直角．则可知，理由是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 1. 1. 1. 相等 1. 相等 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：√ 解析：根据余角的定义，若两个角的和是，则这两个角互余，该说法正确。 1. 答案：× 解析：例如，补角小于这个角，所以一个角的补角不一定大于这个角，该说法错误。 1. 答案：× 解析：，余角和补角不相等，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：这是余角和补角的基本性质，同角的余角相等，同角的补角也相等，该说法正确。 1. 答案：× 解析： 1. 答案：× 解析：，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：。 1. 答案：√ 解析：等角的余角相等，等角的补角也相等，这是余角和补角的重要性质，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：根据同角的余角相等，，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：，钝角一定有补角，该说法正确。 （3） 课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A D A B B B 1．A 【分析】本题主要考查了与余角有关的计算，度数之和为90度的两个角互余，设这个角为x，则这个角的余角为，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x， 由题意得，， 解得． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查余角的概念及角度的计算，解题的关键是明确互余的两个角之和为，并掌握角度的度分换算规则。 根据余角的定义，用减去的度数，再进行度分的换算，从而得出的度数。 【详解】解：与互为余角， ， ． 。 ，将写成， ， ， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了余角定义，根据余角定义对各选项分析判断即可得解，熟记概念并准确识图是解题的关键． 【详解】解：A、，和不是互为余角，故选项不符合题意； B、，和不是互为余角，故选项不符合题意； C、和不是互为余角，故选项不符合题意； D、，和互为余角，故选项符合题意； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进位制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互补， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 如果两个角的和是，那么这两个角互为余角；如果两个角的和是，那么这两个角互为补角；由此解答即可． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数是， 这个角的余角的度数是， 故选：B 7．B 【分析】本题考查了同(等)角的余(补)角相等的应用，因为，且，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴（同角的余角相等）， 故选：B 8． 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．/125度 【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了补角的定义，即“若两个角的和为，则称这两个角互为补角”，解题的关键在于明确．本题计算，即可求解． 【详解】解：； 故答案为． 11． 【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查补角的定义，解决本题的关键是熟练掌握单位之间的换算方法．首先将变成，再用补角的定义进行计算． 【详解】解：， ； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强． 根据已知条件可直接确定的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：因为是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， 所以， 所以的补角的度数是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了余角的定义和角度的计算，解题的关键是掌握余角的概念以及度分之间的换算． 根据余角的定义，用减去已知角的度数，再进行度分的运算得出结果． 【详解】因为互为余角的两个角的和为，已知，则的余角为． 由于，那么，所以 ． 故答案为： 15．同角的余角相等 【分析】本题考查了余角的概念，解题关键是掌握同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， （同角的余角相等）， 故答案为：同角的余角相等． $$