2.2基本不等式-学后效果检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式一-学后效果检测 -解析版 1、 单选题 1．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 2．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 3．函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 4．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 二、多选题 6．已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项ABD利用不等式即可判断，而选项C举反例.即可得到答案. 【详解】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 7．下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项. 【详解】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号， 所以时，，故当时，为真命题，即A正确； 对于B，显然时，有，故B错误； 对于C，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故D正确. 故选：ACD 8．已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用已知条件，通过直接使用基本不等式，代换构造定值，平方等方法，判断选项的正误. 【详解】因为a，b都是正实数，且， 对于A， 由基本不等式，当且仅当时等式成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即，时等式成立，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当时等式成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当时等式成立，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分离变量可得恒成立，然后利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以恒成立. 又，当且仅当时，等号成立. 所以. 则的最小值是. 故答案为：. 10．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 四、解答题 11．（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）3；（2）5；（3） 【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值； （2）由基本不等式求积的最大值； （3）利用“1”的变形及基本不等式求最值. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 即的最小值3. （2）由可得， 当或时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 综上的最大值为5. （3）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 即的最小值为. 12．证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式一-学后效果检测 -试题版 【1】检测范围 1.运用基本不等式比较两实数的大小.2. 运用基本不等式进行证明和求最值．3.用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 【2】检测成果（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 批改 需重视题目 【3】检测试题 1、 单选题 1．已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 二、多选题 6．已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．已知，都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是 . 10．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 四、解答题 11．（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 12．证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【4】备用知识 基本不等式 1．基本不等式如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数； (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$