1.1节菱形的性质与判定第三课时同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

菱形的性质与判定第三课时 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（    ） A．1 B．4 C．2 D．6 2．如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．20 3．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 4．菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（   ） A．6 cm B．1.5 cm C．3 cm D．0.75 cm 5．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）． A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD 6．能够判定一个四边形是菱形的条件是（    ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作交于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 8．菱形中，，对角线，则菱形的边长为（    ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题 9．菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的面积为 ． 10．如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若，则菱形ABCD的面积为 ． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，则四边形CODE的周长是 ． 12．如图，在菱形中，，，与交于点O，点N在上且，点M在上且，P为对角线上一点，则的最大值为 ． 13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如(1)(2)(5)⇒四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒四边形ABCD是菱形； ⇒四边形ABCD是菱形． 三、解答题 14．求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 下面是嘉嘉的做法： 已知：平行四边形的对角线互相垂直，垂足为， 求证：______________． (1)请把“求证”补充完整，并根据题意画出图形； (2)写出证明过程． 15．如图，在菱形中，为边的中点，点在边上，，交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，则的长为________． 16．已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 菱形的性质与判定第三课时 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B C A D B 1．C 【解析】略 2．C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形对角线垂直即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相乘除以2，是解题的关键． 【详解】解：，四边形是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 3．C 【分析】根据菱形的性质求得边长为12，根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为48cm， ∴AD=12cm，AC⊥BD， ∵E是AD的中点， ∴OE=AD=6（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形中位线定理，掌握以上知识是解题的关键． 4．B 【详解】试题分析：作AE⊥BC，根据菱形的周长可以计算菱形的边长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到AB=2AE，从而得到结果． 作AE⊥BC， 菱形的周长为12cm，则AB=3cm， 相邻两角之比为5：1，且两角之和为180°， ∴∠B=30°， 在Rt△ABE中，AB=3cm，∠B=30° ∴AE=1.5cm， 故选 B． 考点：本题考查的是菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形各边长相等的性质，直角三角形中30°角所对的直角边是斜边一半. 5．C 【详解】解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是平行四边形； B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是平行四边形； C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形； D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形． 故选C． 【点睛】本题考查菱形的判定． 6．A 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题． 【详解】A．因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，又因为对角线互相垂直，所以四边形是菱形，故符合题意． B．因为对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，故不符合题意． C．对角线相等且垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意． D．对角线互相垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形、矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练的掌握菱形的判定方法． 7．D 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形的性质和平行四边形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选项A不符合题意； ∵为四边形是菱形， ∴平分， 故选项B不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选项C不符合题意； ∵不能得出四边形是菱形， ∴不一定等于，故选项D符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD =60°，可得△ABD为等边三角形，由勾股定理得OD= 2，AB=2OD=4，即可得出答案． 【详解】解：连接BD交AC于点O，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，OD=OB=BD ∵ ∴△ADB为等边三角形， ∴BD=AD， ∴OD=OB =AD， 在Rt△ADO中，，即 ∴， ∴AD=2OD=4， ∴菱形ABCD的边长=4； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9．20 【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和8， ∴菱形的面积：． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的面积，解题的关键是掌握菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半． 10．80 【分析】根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接AP 四边形ABCD是菱形 菱形ABCD的周长为40 菱形ABCD的面积 菱形ABCD的面积 故答案为：80． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．2 【分析】首先由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵CEBD，DEAC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OC＝AC， ∴四边形CODE是菱形， ∵AD＝2，AB＝3， ∴AC＝， ∴四边形CODE的周长为：4OC＝2AC＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键． 12．2 【详解】遇到“求或的最大值”，先利用轴对称将点M和点N转化到点P所在直线的同一侧.本题中作点N关于的对称点，连接，，当P，M，在同一直线上时，的值最大. 【解析】如解图，以为对称轴作N的对称点，连接，，根据轴对称性质可知，，，当P，M，三点共线时，取“=”，∵在菱形中，，，，，∵，，，，，∵，，，，，∵，为等边三角形，，即的最大值为2. 13． (1)(2)(6) (3)(4)(5) 【详解】(1)(2)可以得到四边形ABCD是平行四边形，AC平分∠BAD，可以得到ABCD是菱形；(3)(4) 可以得到四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD,可以得到四边形ABCD是菱形. 14．(1)平行四边形是菱形，图形见解析． (2)见解析． 【分析】（1）根据题目要求即可写出答案并画出图形． （2）利用线段垂直平分线的性质证明平行四边形相邻两边相等即可． 【详解】（1）根据题目要求，可知答案为：平行四边形是菱形． 图形如图所示．    （2）四边形是平行四边形， ． 又， 为线段的垂直平分线． ． 平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的定义和线段垂直平分线的定义及性质，牢记菱形的定义和线段垂直平分线的定义及性质是解题的关键． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据三角形全等的性质得出，求出，得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 16．证明见解析． 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$