暑假作业3：数列-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二暑假作业3：数列 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(2025·山东省·单元测试)若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为    A. B. C. D. 2.(2025·全国·历年真题)记为等差数列的前n项和，若，，则    A. B. C. D. 3.(2025·河南省开封市·模拟题)已知等差数列的首项为，若从第11项起比1大，则其公差d的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.(2025·四川省眉山市·期中考试)已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则    A. B. C. D. 5.(2025·河南省·联考题)将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列若有相同元素，按重复方式计入排列，则数列的前50项和为(    ) A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490 6.(2025·河南省濮阳市·模拟题)我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同如图已知数列的通项公式为，现将该数列的前16项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为(    ) 4 3 8 9 5 1 2 7 6            三阶幻方 A. 60 B. 72 C. 76 D. 80 7.(2025·江苏省无锡市·期中考试)已知等比数列的公比，前n项和为，则对于，下列结论一定正确的是  A. B. C. D. 8.(2025·山西省太原市·模拟题)数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则(    ) A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.(2025·全国·历年真题)记为等比数列的前n项和，q为的公比，且，若，，则      A. B. C. D. 10.(2025·湖南省·期末考试)记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则    A. B. C. 的最大值为 D. 11.(2025·湖北省·期末考试)已知数列的前n项和为，为数列的前n项积，满足，给出下列四个结论，正确的是    A. B. 为等比数列 C. D. 数列的最大项的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2025·历年真题)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为          . 13.(2025·湖南省常德市·期中考试)已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为          . 14.(2025·河北省石家庄市·期末考试)已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的取值范围为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(2025·山东省·单元测试)本小题13分 已知数列的前n项和为，且 求的最小值； 求数列的前20项和． 16. (2025·吉林省长春市·期末考试)本小题15分 已知等差数列的前n项和为，且， 求数列的通项公式; 若，令，求数列的前n项和 17.(2025·辽宁省鞍山市·期中考试)本小题15分 记为数列的前n项和，已知，是等差数列，，， 求，的通项公式; 设，求 18.(2025·云南省临沧市·期中考试)本小题17分 已知等差数列为递增数列，且，都在的图象上. 求数列的通项公式和前n项和 设，求数列的前n项和，且，求取值范围. 19.(2025·北京市·模拟题)本小题17分 无穷整数数列满足，对任意的，记为数列中小于k的项的个数，称数列是数列的“联盟数列”. 若数列有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列的“联盟数列”的前七项; 若数列的“联盟数列”为，数列的“联盟数列”为， ⅰ证明： ⅱ记，，证明： 1.B  2.B  3.C  4.A  5.C  6.C  7.D  8.B  9.AD  10.BD  11.ACD  12.2  13.19  14.  15.解：数列的前n项和为，且， ， 又 当或时，取得最小值，且最小值为； 当时，， 所以， 当时，满足上式， 所以， 由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11项到20项为正， 所以数列的前20项和为： 16.解：设等差数列的首项为，公差为d， 解得 ，， ，① ，② ①-②，得，   17.解：由题，当时，， 当时，， a1也符合上式， 所以， 设等差数列的公差为d， 因为， 所以 ， 解得， 所以有； 由题， 即，① 所以，② ①-②得 ， 所以  18.解：由题意得， 即是方程的两个根， 即是方程的两个根， 又数列为递增数列，解得， 所以等差数列的公差， 所以， 所以， ； 解：由得 ， 当n为奇数时， ， 当n为偶数时， ， 所以 由 ，即， 得， 令， 当n为奇数时，，且， 当n为偶数时，，且， 又，，所以， 故取值范围为 19.解：因为数列有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9， 设数列的“联盟数列”为， 则，，，，，，； ⅰ证明：表示数列中小于i的项的个数，表示数列中小于的项的个数， 显然，因此， 设的联盟数列中的任意一项， 则由“联盟数列”的定义可知，， 这表明在数列中，，， 又因为，则， 所以； ⅱ在数列中，有个0，个1，个2，，个，剩下的项为， 所以 ， 当时，， 令，，则， 那么，则， 所以， 当时，， 此时由可知，的“联盟数列”是，交换和的位置，重复上述讨论即可.  第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$