暑假作业01 等差数列、等比数列的通项公式及前n项和-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等差数列、等比数列的通项公式及前n项和 1. 等差数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 5. 等差中项 若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 6. 等差数列通项公式的性质 （1）若，或 （2）若，为等差数列，则，仍为等差数列 7. 等差数列前n项和 或 8. 等差数列前n项和与函数关系 令，， 等差数列前项和公式是无常数项的二次函数 9. 等差数列前n项和的性质 （1） ，，……仍成等差数列 （2） 为等差数列 推导过程：（一次函数）为等差数列 （3） （4） 10. 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 11. 等比数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示 12. 数学表达式 13. 通项公式 ，，， 14. 等比数列通项公式与函数关系 等比数列为指数型函数 15. 等比中项 若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 16. 等比数列通项公式的性质 （1）若或 （2）若，为等比数列，则，仍为等比数列 17. 等比数列前n项和 18. 等比数列前n项和与函数关系 等比数列前项和公式是指数型函数 19. 等比数列前n项和的性质 （1），，……仍成等比数列 （2） 20. 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 一、单选题 1．在等差数列中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列下标和性质直接求解即可. 【详解】，，. 故选：D. 2．等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】B 【分析】由等差数列的前项和公式和等差中项的性质计算即可. 【详解】由题意可得， 故选：B. 3．在等比数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， ，解得. 故选：B. 4．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可． 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 5．已知等差数列，等比数列，满足，，则（    ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果. 【详解】数列是等差数列，，可得，即， 数列是等比数列，，可得，可得， 则． 故选：B． 二、多选题 6．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 7．记为等差数列的前项和，公差，则下列表述一定正确的有（    ） A．，，成等差数列 B．，，成等比数列 C．若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 D．若，则当或时，取得最小值 【答案】ACD 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质分析A、C、D，由等差数列前项和的性质以及等比数列的定义分析B． 【详解】对于A，为等差数列的前项和， 则，，， 又，即，所以，，成等差数列，故A正确； 对于B，，，， 因为，即，所以，，成等差数列， 因为，所以，即，故，，不成等比数列，故B错误； 对于C，若等差数列的项数为，其中奇数项有项，偶数项有项， 则，， 所以，故C正确； 对于D，若，即，则有，又由，则且单调递增， 所以， 所以当或时，取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 8．已知正项数列是递增的等差数列，是公比为的等比数列，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据等差数列单调性可知A正确；利用可求得，知B正确；由基本不等式，结合等差等比数列的性质可知C正确；当时，可得，知D错误. 【详解】对于A，是递增的等差数列，等差数列的公差为且， ，即，A正确； 对于B，，，， 又，，即，，，B正确； 对于C，，又，，C正确； 对于D，，或； 当时，，，，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ． 【答案】18 【分析】根据等差数列前n项和公式及下标和性质计算可得. 【详解】由，所以， ，即，即， 由等差数列下标和性质可得. 故答案为：18. 10．已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】/0.064 【分析】根据条件求得，，当时，有最小值，计算求得满足此不等关系的项. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则， 解得，则，所以. 易知当时，，当时，， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题 11．已知等差数列满足，数列满足，数列为等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求得，再利用等比数列基本量的运算求得公比，即可求得，从而求得. （2）结合等差数列求和公式及等比数列求和公式，根据分组求和思想求解即可. 【详解】（1）由数列是等差数列且， ∴公差，∴， ∵，∴ ∴数列的公比，∴， ∴； （2）由得. 12．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和列方程求解即可； （2）求出和，结合等差数列的通项公式，即可求出. 【详解】（1）由 因为，解得或（舍去）， 所以，所以数列的通项公式为； （2）因为，，由题意得：， 即，所以． 1．已知等差数列的前项和为,若，，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，依题意可得，求出、，即可求出，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得， 解得，所以，则， 所以， 所以 . 故答案为： 2．（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 【答案】CD 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 3．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 【答案】BCD 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断B、C，又判断A，根据，判断D. 【详解】，， ∴， ， ∴，， ∴，，且，故B、C正确； ∴公差，等差数列是递增数列，故A错误； 因为，，所以时，取得最小值， 所以，故D正确. 故选：BCD. 4．已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果． 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，即， 因为，所以，解得，所以， 所以， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，所以. 故选：C. 5．已知各项均为正数的等比数列的首项． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解； （2）由错位相减法及等比数列前项和公式即可求解． 【详解】（1）设数列的公比为， 由已知得，，即，解得或（舍去）， 则． （2）数列的前项和，， 上面两式相减可得 所以． 1．等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，可得，进而得到，由等比数列通项公式可得，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 即，所以， 所以， 所以， 因为是公比为的等比数列， 所以， 解得，故. 故答案为：. 2．著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则 ， ．    【答案】 7 / 【分析】假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,则有如下操作：先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，由此推出通项公式. 【详解】根据题意假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为, 则有如下操作： 先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为， 再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次， 最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为， 则,, 即, 所以是以2为首项，1为公比的等比数列， 所以,. 故答案为: . 3．在等差数列中，，且等差数列的公差为4. (1)求； (2)若，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式； （2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论． 【详解】（1）设的公差为，则，， 又，所以， 所以，． （2）由（1）得， 所以． 1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 2．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 3．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或， 于是有，即有，解得， 所以，. 故选：B 5．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等差数列、等比数列的通项公式及前n项和 1. 等差数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，用表示 2. 数学表达式 3. 通项公式 ，，， 4. 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 5. 等差中项 若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项 6. 等差数列通项公式的性质 （1）若，或 （2）若，为等差数列，则，仍为等差数列 7. 等差数列前n项和 或 8. 等差数列前n项和与函数关系 令，， 等差数列前项和公式是无常数项的二次函数 9. 等差数列前n项和的性质 （1） ，，……仍成等差数列 （2） 为等差数列 推导过程：（一次函数）为等差数列 （3） （4） 10. 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 11. 等比数列的定义 从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示 12. 数学表达式 13. 通项公式 ，，， 14. 等比数列通项公式与函数关系 等比数列为指数型函数 15. 等比中项 若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项 16. 等比数列通项公式的性质 （1）若或 （2）若，为等比数列，则，仍为等比数列 17. 等比数列前n项和 18. 等比数列前n项和与函数关系 等比数列前项和公式是指数型函数 19. 等比数列前n项和的性质 （1），，……仍成等比数列 （2） 20. 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 一、单选题 1．在等差数列中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 3．在等比数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列，等比数列，满足，，则（    ）． A． B． C．2 D．4 二、多选题 6．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．记为等差数列的前项和，公差，则下列表述一定正确的有（    ） A．，，成等差数列 B．，，成等比数列 C．若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 D．若，则当或时，取得最小值 8．已知正项数列是递增的等差数列，是公比为的等比数列，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ． 10．已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 四、解答题 11．已知等差数列满足，数列满足，数列为等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和. 12．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 1．已知等差数列的前项和为,若，，则 ． 2．（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 3．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 4．已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．已知各项均为正数的等比数列的首项． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 1．等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为 . 2．著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则 ， ．    3．在等差数列中，，且等差数列的公差为4. (1)求； (2)若，数列的前项和为，证明：. 1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 2．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 3．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 5．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$