专题6 特殊的平行四边形（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）-2024-2025学年八年级下学期数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题6 特殊的平行四边形 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.矩形的定义与性质 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形， 矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直 角；（2）矩形的对角线相等；（3）矩形是轴对称图形，有2条对称轴， (1) "矩形的四不角都是直角”这一性质可用来说明两条线段所在直线互相垂直；“矩形的对角线相等”这一性质可用来说明线段相等. （2） 距形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，国此在解决相关同题时，常用到等腰三角形的性质 知 识知 点知 2直角三角形斜边上的中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （1）直角三角形斜边上的中线的性质常用来证明线段的倍分关系。 （2）应用此性质的前提是在直角三角形中，对于一般三角形不适用。 （3）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等膳三角形，这两个等腰三角形的面积等。 （4）直角三角形斜边上中线的性质的逆命题也是真命题，即如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （不可用于解答题） 知 识知 点知 3矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形温矩形 （2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是形 （3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 （1） 利用定义判定一个四边形是矩形，首先要判定四边形是平行四边形，其次要判定有一个角是90°，二者缺一不可. (2) 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线无关，通常考虑用矩形的定义或判定定理2证明；若容易证出有三个直角，则用判定定理2证明；若容易证出一个直角，则可根据矩形的定义证明。 知 识知 点知 4菱形的概念和性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形还具有其独特的性质： （1）菱形的四条边都相等， （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （3》菱形是轴对称图形，其对称轴是对角线所在的直线 （1）菱形的定义既是它的一条性质也是它的一种判定方法，应用较为广泛，菱形必须满足两个条件： ①四边形是平行四达形； ②一组邻边等菱形是一种特殊的平行四边形，因此菱形首先具有平行四边形的所有性质，即两组对边分别平行且相等，对角线互相平分。 （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都可以利用直角三角形的性质得以解决，因此要抓住这一有利条件； （3）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，菱形的面积等于对角线长乘积的一半，由此拓展可以得出，对角线互相会直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。 知 识知 点知 5菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（定理1） 四条边相等的四边形是菱形（定理2） 判定一个四边形是形时，先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直。 知 识知 点知 6正方形的概念和性质 (1) 概念：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 （2）性质： ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ③正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； ④正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。 （1）正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩形，又是菱形的四边形是正方形。 （2）正方形具有菱形和矩形的一切性质， （3）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形 （4）若正方形的边长为α，则对角线的长为面积为 （5）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴 （6）正方形一条对角线上的一点到另一条对角线的两端距离相等， （6）矩形、菱形、正方形都是特珠的平行四边形，它们的包含关系如图所示。 知 识知 点知 7 正方形的判定 判定一个四边形是正方形可以先判定它是矩形，再判定它是菱形；或先判定它是菱形，再判定它是矩形，具体方法：（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直：（2）先证它是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等 （1）正方形的两种判定方法均要用到矩形和菱形的判定定理，矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础；（2）上述两种别定方法是判定四边形是正方形的一般方法，可当作定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体方法也可作相应变化，在应用时要仔细辨别，然后作出判断.（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 第2部分 题型透视镜 【题型1】矩形的性质及判定 【例1】如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1 -1】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1 -2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点点B的坐标是，则线段的长度为（  ）    A． B． C． D． 【变式1 -3】如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1 -4】周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【变式1 -5】如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式1 -6】如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【变式1 -7】如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接    (1)求证：． (2)判断四边形形状，并说明理由． 【变式1 -8】平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，BF＝4，求矩形BFDE的面积． 【题型2】矩形中折叠的问题 【例2】如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2 -1】如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2 -2】如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式2 -3】如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ． 【变式2 -4】如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 【变式2 -5】如图，在矩形中，P是边上一点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为E．再作点B关于直线的对称点F，连接．完成下列探究： （1）当点F与点D重合时， ； （2）若，当点F恰好落在边上时，线段的长为 ． 【变式2 -6】如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ． 【变式2 -7】如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为 ． 【变式2 -8】已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【变式2 -9】如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型3】矩形中的动点问题 【例3】如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ．    【变式3 -1】如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（   ） A． B． C． D．3 【变式3 -2】如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为 ． 【变式3 -3】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【变式3 -4】在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 【变式3 -5】如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 【题型4】直角三角形斜边中线的性质 【例4】如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4 -1】如图，在中，，，点D，E分别是边，中点，点F在线段上，且，则的长为（  ） A．1 B． C．2 D． 【变式4 -2】如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ． 【变式4 -3】如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【变式4 -4】如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 十一、菱形性质的应用 【变式4 -5】如图，在菱形中，，对角线交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4 -6】如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4 -7】如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4 -8】如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【变式4 -9】如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【变式4 -10】如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 ． 【变式4 -11】已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【变式4 -12】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是 ． 【变式4 -13】如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．求证：． 十二、菱形的判定 【变式4 -14】已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 【变式4 -15】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，菱形的面积为，求的长． 【变式4 -16】如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【变式4 -17】如图，在直角中，，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接交于，，求的度数． 十三、利用正方形的性质求角度或者长度 【变式4 -18】如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则下面关于之间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4 -19】如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4 -20】如图，四边形是正方形，是对角线，以为边，在正方形的内部作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【变式4 -21】如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【变式4 -22】如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 【变式4 -23】如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 ． 【变式4 -24】如图，为正方形内一点，，过点作交射线于点，连接．若正方形边长为，，则 ． 十四、正方形的性质与判定的综合应用 【变式4 -25】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式4 -26】如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【变式4 -27】如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 【变式4 -28】如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．如图，在矩形中，，，是的+++++++中点，则长为（   ） A．1 B． C． D． 2．下面结论中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3．已知的两条对角线相交于点O，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 4．如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，点的对应点是点，折痕为．若，，则的长是（    ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 6．如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，P 是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④一定是等腰三角形；⑤的最小值为．其中结论正确的有（   ）      A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 二、填空题 9．如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是 ． 10．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为 ． 11．如图，在中，，，垂足为D， E为的中点．若，则的长是 ． 12．如图，菱形的对角线与交于点O，E为的中点，若，则的长为 ． 13．如图，点E是矩形中边上一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则 ．    14．如图，正方形的对角线相交于点O，M是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是3，则的长为 ． 15．如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是 ． 三、解答题 16．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 17．如图，的对角线相交于点O．E，F是上的两点，且，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由， 18．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 19．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 20．如图，已知在中，，点是内任意一点，点、、、分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 22．如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 提高训练场 一、单选题 1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个平行四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中一组邻边是否相等 2．如图菱形的顶点、的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是(    )    A． B． C． D． 3．如图，在中，于点，，分别为，的中点，，，．则的周长是（   ） A．7 B．9.5 C．11.5 D．14 4．综合实践课上，嘉嘉设计了“利用已知矩形，用尺规作有一个内角为角的平行四边形”．他的作法如下： 如图1，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F，作直线； （2）如图2，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； （3）如图3，以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形，其中． 根据上述作图过程，判定四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（   ）．    A．8 B． C． D． 7．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，若，则（    ） A． B．5 C． D． 8．如图，在菱形中，，点E、F分别是上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．给出如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 9．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 10．四边形是正方形，E，F分别是和的延长线上的点，且，连接，，．若，，则的面积为 ． 11．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，则菱形一边上的高长为 ． 12．已知菱形ABCD，对角线AC的长是12，面积为96，则菱形ABCD的周长为 ． 13．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是 ． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为 ． 15．在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则长为 ． 16．如图，在正方形中，点E，点F分别是 ，上的点，且，，垂足为P，则的最小值为 ． 三、解答题 17．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:.    18．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 19．（1）作图发现 如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是　　． （2）拓展探究 如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由． 20．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证．（提示：取的中点G，连接） 21．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)连接，试判断的度数，并证明你的结论． 22．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． (1)求证：AP⊥BQ； (2)当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题6 特殊的平行四边形 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.矩形的定义与性质 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形， 矩形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直 角；（2）矩形的对角线相等；（3）矩形是轴对称图形，有2条对称轴， (1) "矩形的四不角都是直角”这一性质可用来说明两条线段所在直线互相垂直；“矩形的对角线相等”这一性质可用来说明线段相等. （2） 距形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，国此在解决相关同题时，常用到等腰三角形的性质 知 识知 点知 2直角三角形斜边上的中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （1）直角三角形斜边上的中线的性质常用来证明线段的倍分关系。 （2）应用此性质的前提是在直角三角形中，对于一般三角形不适用。 （3）直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等膳三角形，这两个等腰三角形的面积等。 （4）直角三角形斜边上中线的性质的逆命题也是真命题，即如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （不可用于解答题） 知 识知 点知 3矩形的判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形温矩形 （2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是形 （3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 （1） 利用定义判定一个四边形是矩形，首先要判定四边形是平行四边形，其次要判定有一个角是90°，二者缺一不可. (2) 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线无关，通常考虑用矩形的定义或判定定理2证明；若容易证出有三个直角，则用判定定理2证明；若容易证出一个直角，则可根据矩形的定义证明。 知 识知 点知 4菱形的概念和性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形还具有其独特的性质： （1）菱形的四条边都相等， （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （3》菱形是轴对称图形，其对称轴是对角线所在的直线 （1）菱形的定义既是它的一条性质也是它的一种判定方法，应用较为广泛，菱形必须满足两个条件： ①四边形是平行四达形； ②一组邻边等菱形是一种特殊的平行四边形，因此菱形首先具有平行四边形的所有性质，即两组对边分别平行且相等，对角线互相平分。 （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都可以利用直角三角形的性质得以解决，因此要抓住这一有利条件； （3）菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，菱形的面积等于对角线长乘积的一半，由此拓展可以得出，对角线互相会直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。 知 识知 点知 5菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义法）； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（定理1） 四条边相等的四边形是菱形（定理2） 判定一个四边形是形时，先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直。 知 识知 点知 6正方形的概念和性质 (1) 概念：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 （2）性质： ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； ③正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； ④正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。 （1）正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩形，又是菱形的四边形是正方形。 （2）正方形具有菱形和矩形的一切性质， （3）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形 （4）若正方形的边长为α，则对角线的长为面积为 （5）正方形是轴对称图形，它有四条对称轴 （6）正方形一条对角线上的一点到另一条对角线的两端距离相等， （6）矩形、菱形、正方形都是特珠的平行四边形，它们的包含关系如图所示。 知 识知 点知 7 正方形的判定 判定一个四边形是正方形可以先判定它是矩形，再判定它是菱形；或先判定它是菱形，再判定它是矩形，具体方法：（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直：（2）先证它是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等 （1）正方形的两种判定方法均要用到矩形和菱形的判定定理，矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础；（2）上述两种别定方法是判定四边形是正方形的一般方法，可当作定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体方法也可作相应变化，在应用时要仔细辨别，然后作出判断.（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 第2部分 题型透视镜 【题型1】矩形的性质及判定 【例1】如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， 故选：B 【变式1 -1】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 【变式1 -2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点点B的坐标是，则线段的长度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由两点之间的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图：   ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 故选：C 【变式1 -3】如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 【变式1 -4】周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据． 【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即，， 则可判断四边形是平行四边形； 由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即， 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形是矩形； 故选：A． 【变式1 -5】如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1 -6】如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质． 先由矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【详解】解：四边形是矩形，对角线与交于点， ，，，， ∴． ． ，． ， ． ． 【变式1 -7】如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接    (1)求证：． (2)判断四边形形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由中位线的性质得，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答． （2）先由是的中位线，是的中线，得出，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：四边形为矩形，理由是： ∵是的中位线，是的中线， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 【变式1 -8】平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，BF＝4，求矩形BFDE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）20． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再利用可得结论； （2）先证明 再由勾股定理求解 从而可得矩形的面积． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴DF∥BE， ∵CF＝AE， ∴DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． （2）∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AFD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， 在Rt中，∵AE＝3，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∴矩形的面积为：20． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定与矩形的性质与判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【题型2】矩形中折叠的问题 【例2】如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【变式2 -1】如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，利用矩形和折叠的性质可得，即得，再在中利用勾股定理解答即可求解，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【变式2 -2】如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是矩形与翻折、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．先根据三角形的面积公式求得的长，然后根据勾股定理可求得，由翻折的性质和矩形的性质可知，故此，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，即． 解得：， 在中，． 由翻折的性质可知：，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得：， ∴． 故选：A． 【变式2 -3】如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 当为直角三角形时，有两种情况：情况一，当时，可知点三点共线，先由勾股定理可求出，进而求出，设，则，，再根据勾股定理即可求解；情况二：当时，可知此时为正方形，即可得． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： 情况一：当时，图形如下， ∵是折叠得到， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中有，即， 解得：， ∴； 情况二：当时，图形如下， 此时为正方形， ∴； 综上所述，的长为3或6， 故答案为：3或6． 【变式2 -4】如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理得出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：， ， 由矩形的性质可得， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2 -5】如图，在矩形中，P是边上一点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为E．再作点B关于直线的对称点F，连接．完成下列探究： （1）当点F与点D重合时， ； （2）若，当点F恰好落在边上时，线段的长为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，当点F与点D重合时，可得，即可求出；当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答．熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）如图， 当点F与点D重合时，由翻折可得， ∵F为点B关于直线的对称点， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴； （2）当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即AP的长为． 故答案为：；． 【变式2 -6】如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 ． 【答案】2.5或10 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理，解题的关键在于构造直角三角形利用勾股定理求解． 根据题意分两种情况①点的对应点落在矩形的内部，②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：①点的对应点落在矩形的内部， 过点作于点，延长交于点， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 点刚好落在线段的垂直平分线上， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 解得； ②点的对应点落在矩形的外面， 过点作于点，延长交于点， 由①同理可得，四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上所述的长为2.5或10， 故答案为：2.5或10． 【变式2 -7】如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，根据矩形的性质、折叠的性质可得出，，根据证明，得出，，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 【变式2 -8】已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，．由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由折叠的性质结合平行线的性质可得，由同角的余角相等可得，从而证明出，证明得出，即可得证． 【详解】（1）证明：矩形， ∴，． ∴， ∵沿直线翻折 ． ． ， ∴． ∵， ∴， ∴． ． ． 在中，． 在中，． 又， ， ． ． （2）证明：如图： 沿直线翻折， ． ， ， ， ，， ， ∴． ． 又． ． ， ，． 又， ． ， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式2 -9】如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据矩形的性质可知，所以可证，根据角平分线的性质可证，从而可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据勾股定理可求，设，则，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即为，可知，利用平行四边形的面积公式可求结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的面积公式． 【题型3】矩形中的动点问题 【例3】如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到，则可证明，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3 -1】如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3 -2】如图，在中，为边上一动点（且点不与点、重合），于．则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】此题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质．利用“垂线段最短”找出时，取最小值是解答该题的关键．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， 又于点，于点， ， 四边形是矩形． ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， ， 线段的最小值为； 故答案为：． 【变式3 -3】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】1.2 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ．， 是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，，此时最短， ， 当最短时， 故答案为：． 【变式3 -4】在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于对称，可得当点B、P、F三点共线时，的最小，此时，点P在对角线上，利用勾股定理求得，由折叠的性质得，，再利用求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 【变式3 -5】如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； (2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 【详解】解：（1）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 【题型4】直角三角形斜边中线的性质 【例4】如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．由，是边的中点，得出，则可得，再利用三角形外角的性质即可得． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4 -1】如图，在中，，，点D，E分别是边，中点，点F在线段上，且，则的长为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4 -2】如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取的中点O，连接，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值求得答案即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ， 解得：， 取的中点O，连接， 在中，， 在中，， 当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值， 此时，， 故答案为：． 【变式4 -3】如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质．根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【变式4 -4】如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 十一、菱形性质的应用 【变式4 -5】如图，在菱形中，，对角线交于点，为的中点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．由菱形的性质求得，，根据三角形中位线定理得到，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，O为的中点， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4 -6】如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式4 -7】如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质等知识点，熟知菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角求出，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 故选：． 【变式4 -8】如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解． 【详解】解：设的交点为O， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 【变式4 -9】如图所示，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理．由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．注意菱形的对角线互相垂直平分． 【详解】解：如图． 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：C 【变式4 -10】如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，即可得出，再由菱形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4 -11】已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，当三点共线时，则有最小值，证明是等边三角形，由点为的中点，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，点为对角线上一个动点， ∴垂直平分， ， ， 当三点共线时，则有最小值， ，， 是等边三角形， 又是的中点，菱形的边长为， ，，， ∴， 中，， 的最小值为， 故答案为：． 【变式4 -12】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 由菱形的性质可得、，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，再根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4 -13】如图，在菱形中，点、分别在、边上，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴． 十二、菱形的判定 【变式4 -14】已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由矩形的性质可，进而得出，结合O为对角线的中点得出，即，即可得出四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4 -15】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，菱形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，对顶角相等得到，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵D是的中点， ∴， ∴． 【变式4 -16】如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知菱形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行，平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直平分得到，再利用勾股定理求出，接着证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式4 -17】如图，在直角中，，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接交于，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）证，则，再证四边形是平行四边形，然后证，得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 十三、利用正方形的性质求角度或者长度 【变式4 -18】如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则下面关于之间的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得出，结合直角三角形的性质求出，再根据，求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式4 -19】如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【变式4 -20】如图，四边形是正方形，是对角线，以为边，在正方形的内部作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，正三角形的性质求出、的度数，进而即可求解．本题考查正方形、正三角形的性质，掌握正方形、正三角形的性质是正确解答的关键． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ， 是正三角形， ， ， 故选：B． 【变式4 -21】如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：A． 【变式4 -22】如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质得，由，得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4 -23】如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，掌握正方形的性质是解决此题的关键．根据正方形的性质可得，，，由可得，进而得到，证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，点在对角线上， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4 -24】如图，为正方形内一点，，过点作交射线于点，连接．若正方形边长为，，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接，交于点，证明，，设，证明，可得，记的交点为，证明，再进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵，， ∴平分，即，， ∴，， 设， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 记的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 十四、正方形的性质与判定的综合应用 【变式4 -25】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出平分；进而求得；当时，点与点重合，得到不一定等于，即可作答． 【详解】解：过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，   ∴矩形是正方形，故①符合题意； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故③符合题意；   ∵， ∴，故②不符合题意； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：A 【变式4 -26】如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形．补全图形如图所示，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再由证明，即可证明； （2）设相交于点，根据三角形中位线和证明四边形是菱形，由得到，进而得到，得到，即可证明． 【详解】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式4 -27】如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)9 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键； （1）由正方形的性质得到，由全等三角形的性质可得，再证明，，即可证明四边形是矩形，再由，即可证明矩形是正方形； （2）由全等三角形的性质得到，由正方形的性质可得，则可得到，根据勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点作于点．证明，推出，由三线合一定理得到，则可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． （3）解：，证明如下： 如图所示，过点作于点，则， ∴ 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴ ， ． 【变式4 -28】如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， ， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴， 由（2）可得：， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．如图，在矩形中，，，是的+++++++中点，则长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴ ∵是的中点， ∴ 故选：C． 2．下面结论中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、应该是对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，故选项不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，故选项符合题意； C、应该是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，故选项不符合题意； D、应该是对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，故选项不符合题意； 故选：B． 3．已知的两条对角线相交于点O，，则四边形的周长是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的证明、平行四边形的性质、勾股定理，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据勾股定理，可得即可证明四边形是菱形；即可求出四边形的周长． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形； ∴四边形的周长是， 故选：B． 4．如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，根据菱形的性质，可得，进而即可求得顶点的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【详解】解：∵菱形的顶点坐标为， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选：A． 5．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，点的对应点是点，折痕为．若，，则的长是（    ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，矩形的性质，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∴ 根据折叠可得： ∴，， 设，则，，， 在中：，， 解得：． 故选：D． 6．如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质：斜边上中线等于斜边一半，等边对等角，三角形内角和等知识，掌握直角三角形斜边上中线的性质是关键；由直角三角形斜边上中线的性质得，从而得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 8．如图，正方形的边长为4，P 是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④一定是等腰三角形；⑤的最小值为．其中结论正确的有（   ）      A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题． ①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8；③由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；④根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：①如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③连接，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故③正确； ④∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故④错误； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确； 故选：C． 二、填空题 9．如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是 ． 【答案】27 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】在菱形中，有， ∴， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了菱形的性质和计算菱形的面积，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 10．如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， 是的中线， ， ， ， 在中，，点E是的中点，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 11．如图，在中，，，垂足为D， E为的中点．若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键． 12．如图，菱形的对角线与交于点O，E为的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角线与交于点O，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：． 13．如图，点E是矩形中边上一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由翻折可知：， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，正方形的对角线相交于点O，M是上的一点，连接，过点作，交于点，若四边形的面积是3，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质证明，得到四边形的面积，由此求出，得到的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴， ∴ 故答案为． 15．如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，为中点，． ， 在中，， ． ． 故答案为：． 三、解答题 16．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， ． ∴ ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记相关内容是解题关键． 17．如图，的对角线相交于点O．E，F是上的两点，且，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由， 【答案】四边形是矩形，理由见解析． 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质，得，，结合，得出，证明四边形是平行四边形，再结合对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：四边形是矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，． ， ， ， 四边形是平行四边形． ∵ 是矩形． 18．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 19．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 20．如图，已知在中，，点是内任意一点，点、、、分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的判定和平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定，进行证明． （1）根据三角形中位线的性质，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）由，得，则，证，，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：点、、、分别是，，，的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 四边形是矩形． 21．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，再证，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；正确的识别图形是解题的关键． 22．如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (2)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)经过时，四边形是平行四边形 (2)经过时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的想在，矩形的性质： （1）设经过时，四边形是平行四边形，则，根据即可求解； （2）设经过时，四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则， 由题意得，， ∴ ∵， ∴， 解得，    即经过时，四边形是平行四边形； （2）解：设经过时，四边形是矩形，则， 由题意得，， ∴， ∵， ， 解得， 即经过时，四边形是矩形． 提高训练场 一、单选题 1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个平行四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中一组邻边是否相等 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可得答案． 【详解】解：由对角线相等的平行四边形是矩形可知测量对角线是否相等可判断一个平行四边形门框是否为矩形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 2．如图菱形的顶点、的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标． 【详解】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，，，点在轴上， ，，， 即轴， 在中， 由勾股定理得：， ∴点的坐标， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 3．如图，在中，于点，，分别为，的中点，，，．则的周长是（   ） A．7 B．9.5 C．11.5 D．14 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线，斜边上的中线，根据三角形的中位线定理，斜边上的中线，求出，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵于点，，分别为，的中点， ∴， ∴的周长； 故选：A． 4．综合实践课上，嘉嘉设计了“利用已知矩形，用尺规作有一个内角为角的平行四边形”．他的作法如下： 如图1，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F，作直线； （2）如图2，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； （3）如图3，以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形，其中． 根据上述作图过程，判定四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键，根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 5．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．弄清题目中各线段间的关系是解题的关键． 由轴对称的性质可得：，则，；在中，由勾股定理可得，则；设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵是由沿直线翻折得到， ∴， 则，． ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，， ∴． 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：． 则． 故选：B． 6．如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（   ）．    A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，证明，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，则∴，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 7．如图，在矩形中，点E在边上，沿折叠得到，且点B，F，E三点共线，若，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由四边形是矩形得到，，，由沿折叠得到，得到，证明，得到，，设，则，由勾股定理得，，则，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵沿折叠得到， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得， 即． 故选：D 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、折叠的性质等知识， 数形结合和准确计算是解题的关键． 8．如图，在菱形中，，点E、F分别是上任意的点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．给出如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】先证明是等边三角形，利用“”可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和得到，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 二、填空题 9．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，则就是的最小值，即的长就是． 【详解】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，如图： 此时即为的最小值，与的交点是此时P的位置， 又，M，N分别是的中点， ∴E也是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， 则， 故答案为：10． 【点睛】此题是有关最短路线问题，有关直线同侧的折线段相加的值最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题． 10．四边形是正方形，E，F分别是和的延长线上的点，且，连接，，．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，解决本题的关键是证明，得到，． 【详解】解：四边形是正方形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 11．如图，菱形的对角线、交于点O，且，，则菱形一边上的高长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键． 【详解】解：在菱形中，， ，， ，， 在中，， ， 菱形的面积， 即， 解得． 故答案为：． 12．已知菱形ABCD，对角线AC的长是12，面积为96，则菱形ABCD的周长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长． 【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，， ∴，，，， ， ， 在中，， 所以菱形ABCD的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 13．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质得，再利用勾股定理求出即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为 ． 【答案】48 【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键． 15．在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则长为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据矩形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，∵， ， 是边的中点， ， ，， ， ， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握矩形的性质以及等面积法的应用是解题关键． 16．如图，在正方形中，点E，点F分别是 ，上的点，且，，垂足为P，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等知识，取的中点M，连接，，利用直角三角形斜边中线可得，最后根据求出的最小值． 【详解】解：取的中点M，连接，， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:.    【答案】证明见解析. 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质. 18．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 19．（1）作图发现 如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是　　． （2）拓展探究 如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解． （2）根据正方形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解． 【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB， 在△CAD和△EAB中， ∵， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD． （2）BE＝CD，理由同（1）， ∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB， ∵在△CAD和△EAB中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证．（提示：取的中点G，连接） 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 取中点，连接，得出，，进而得到△BHE为等腰直角三角形即可得出的值，再利用补角的性质得出，然后根据角平分线的性质求出，最后根据性质判定和全等即可得出答案． 【详解】证明：取中点，连接 又为的中点，四边形是正方形 ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， 又∵， ∴， ∴ 又交正方形外角的平分线于点F ∴， 在和中 ∴ ∴． 21．如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)连接，试判断的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据，求出，然后根据四边形的内角和定理求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）．理由如下： 连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴．    22．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． (1)求证：AP⊥BQ； (2)当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 【答案】(1)见解析 (2)DE＝AD，理由见解析 (3)QM＝ 【分析】（1）证明△ABP≌△BCQ即可得出答案； （2）延长BQ、AD交于一点F，证明DF=AD，在Rt△AFE中利用直角三角形斜边中线定理即可得出答案； （3）通过角度的推导证明△QMN和△ABN均为等腰三角形，设QM=MN=x，在△ADM中利用勾股定理即可列方程求解． 【详解】（1）解：∵在正方形ABCD中， ∴AB=BC，∠ABP=∠BCQ=90°， ∵BP=CQ， ∴△ABP≌△BCQ（SAS）， ∴∠PAB=∠QBC， ∵∠QBC+∠ABQ=90°， ∴∠PAB+∠ABQ=90°， ∴∠AEB=90°， ∴AP⊥BQ； （2）解：AD=DE，理由如下： 如图，延长BQ、AD交于一点F， 当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ=DQ， ∵∠FQD=∠BQC，∠FDQ=∠C， ∴△FDQ≌△BCQ（ASA）， ∴FD=BC， ∴FD=AD， 由（1）得：∠FEA=90°， ∴DE=FA=AD； （3）解：由（1）得：AP⊥BQ， ∴∠ANE+∠NAE=90°， ∵AM⊥DE， ∴∠NAE+∠AEH=90°， ∴∠ANE=∠AEH， 设∠ANE=∠AEH=α， ∵DE=DA， ∴∠DAE=∠AEH=α， ∵ADBC， ∴∠APB=∠DAE=α， ∵△PAB≌△QBC， ∴∠CQB=∠APB=α， ∵∠QNM=∠ANE=α， ∴∠CQB=∠QNM， ∴QM=MN， ∵CDAB， ∴∠ABQ=∠CQB=α， ∴∠ABQ=∠ANE， ∴AN=AB=2， 设QM=MN=x，则DM=DQ+QM=1+x，AM=AN+MN=2+x， ∵， ∴， 解得：x=， ∴QM=． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质及正方形中常考的“十字架”模型是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$