2.1等式性质与不等式性质（五题型+过关检测）-2025年《暑假计划》新高一数学新课预习（人教A版2019必修第一册）

2.1等式性质与不等式性质 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1 两个实数大小的比较 2 知识点2 等式的基本性质 2 知识点3 不等式的性质 2 题型训练 3 题型1 用不等式表示不等关系 3 题型2 由已知条件判断不等式 5 题型3 由已知条件证明不等式 6 题型4 作差法比较大小 11 题型5 利用不等式求取值范围 13 过关检测 15 学习目标： 1.学生能够准确理解并熟练掌握等式与不等式的基本性质，能运用这些性质进行等式恒等变形和不等式的合理推导与证明。 2.通过类比等式性质探究不等式性质，培养学生的类比推理能力；在性质的证明与应用过程中，提升逻辑推理和代数运算能力，掌握从特殊到一般的数学研究方法 重难点： 重点：不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异； 难点：类比等式性质研究不等式性质；灵活运用性质解决代数问题。 知识点1 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 知识点3 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 题型1 用不等式表示不等关系 1．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 故选：D 2．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 3．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件，则． 故不等关系表示为． 4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 5．你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某社会团体成员要求，男性成员人数应不多于人，女性成员人数不少于人； (2)某款ChatGPT（聊天机器人）在人机交互中的识别精确度不低于； (3)若小明的身高为，小华的身高为，小明比小华矮； (4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（如图）.    【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) (4)答案见解析 (5) 【详解】（1） （2）设识别精确度为，则 （3） （4）设三角形的三边分别为，则 （5） 题型2 由已知条件判断不等式 6．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 7．设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】对于充分性：当，时，满足， 不满足且，故充分性不成立， 对于必要性，当且时，满足，故必要性成立， 则“”是“且”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 8．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 9．（多选）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 10．设，为正实数，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）． 【答案】① 【详解】对于①，由题意，为正实数，，则，，，故．若，则，则，这与矛盾，故成立．对于②，取特殊值，，，则，②错误．对于③，取，，则，③错误． 题型3 由已知条件证明不等式 11．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 12．（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． 方法四：几何法 如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点， 使得， 过做交于，交于， 过做交于，交于， 直线与交于点， 则长方形的面积， 长方形的面积， 正方形的面积， 由图可知， 所以． 方法五：设． 将看做内的常数，则函数为一次函数， 又， ． 对于，都有， 即． ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 方法三：几何法 做边长为的正方体．分别在棱上取点，使得， 过做平面，过做平面，过做平面，交点见图． 长方体的体积， 长方体的体积． 长方体的体积． 正方体的体积． ． 方法四：设． 将看做内的常数，对于一次函数， 有， ． ∴对于，都有， 即． ． 13．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明： ， ， 又， ； （2）证明：， ， 又， ． 14．已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论. 【答案】3个，证明见解析. 【详解】可以组成3个真命题. （1）若，，则. 证明：因为，，所以，即. （2）若，，则. 证明：因为，，所以，即. （3）若，，则. 证明：因为，，所以. 15．已知，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，且，所以，， 要证明原不等式成立，只需证明，即证， 从而只需证明，即， 因为，， 所以成立，故原不等式成立． 题型4 作差法比较大小 16．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，得出； ，得或，未必. 故选：A. 17．设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 18．如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了. （2）由， 因为，所以， 即. 19．如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 20．已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 题型5 利用不等式求取值范围 21．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 22．若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 23．已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 两个不等式相加可得 解得. （2）设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 24．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 25．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 一、单选题 1．英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真合题的是（    ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【答案】D 【详解】对于选项A： 若，满足，但此时，所以A错误； 对于选项B： 若，此时，所以B错误； 对于选项C： 若，此时，所以C错误； 对于选项D： 因为，所以，所以D正确. 故选：D. 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，，． 由于，故在不等式上同时乘以a得，即， 因此，． 故选：C. 3．如果，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，，则， 则，即，必要性成立； 若，，则， 所以，充分性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 4．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 【答案】D 【详解】设分别从第一、二、三、四象限中取个点，则， 两式相加得，所以，所以选项D正确， 取时，满足，但，所以A和B错误， 取时，满足，但，所以C错误， 故选：D. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 6．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 7．司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（   ） A．甲更低 B．乙更低 C．甲和乙一样高 D．不能判断谁更高 【答案】B 【详解】设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为， 则甲两次加油的均价为：；而乙两次加油的均价为：， 由，因且，故得， 即乙两次加油的均价更低. 故选：B. 8．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 【答案】C 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，， 解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则，而， 于是，即，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为， 而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 则， 若，则；若，则；若，则， 因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误. 故选：C 二、多选题 9．下列四个命题中正确命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】AD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，取，但，不满足， 故B不正确； 对于C，取，满足 ，但是，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：AD. 10．下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，由，但，即，错误； 对于B，因为，，所以，又因为，，所以， 所以，正确； 对于C，由得，所以，又，所以，正确； 对于D，因为，所以， 两个不等式相加，得到，即的取值范围是，正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为实数满足，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 12．已知，则与的大小关系为 . 【答案】 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 13．有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是 ，最轻的是 ． 【答案】 丁 丙 【详解】由，，可得， 再由，代入，可得：， 再由，因为，所以，即， 所以四个小球中最重的是丁，最轻的是丙， 故答案为：丁，丙. 四、解答题 14．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 15．已知，都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】法一：充分性：由及，得，即. 必要性：由，得，即. 因为，所以，所以. 所以的充要条件是. 法二：. 由条件，故由. 所以，即的充要条件是. 16．已知，求的取值范围． 【答案】 【详解】由题意得，，，则， 则. 17．（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1） ； 因为，所以，， 所以， 所以； （2）证明：， 因为且，， 所以； 又因为，所以，则， 又， 所以，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式性质与不等式性质 学习目标及重难点 1 知识梳理 2 知识点1 两个实数大小的比较 2 知识点2 等式的基本性质 2 知识点3 不等式的性质 2 题型训练 3 题型1 用不等式表示不等关系 3 题型2 由已知条件判断不等式 5 题型3 由已知条件证明不等式 6 题型4 作差法比较大小 11 题型5 利用不等式求取值范围 13 过关检测 15 学习目标： 1.学生能够准确理解并熟练掌握等式与不等式的基本性质，能运用这些性质进行等式恒等变形和不等式的合理推导与证明。 2.通过类比等式性质探究不等式性质，培养学生的类比推理能力；在性质的证明与应用过程中，提升逻辑推理和代数运算能力，掌握从特殊到一般的数学研究方法 重难点： 重点：不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异； 难点：类比等式性质研究不等式性质；灵活运用性质解决代数问题。 知识点1 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 知识点3 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 题型1 用不等式表示不等关系 1．在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 2．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 3．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 5．你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某社会团体成员要求，男性成员人数应不多于人，女性成员人数不少于人； (2)某款ChatGPT（聊天机器人）在人机交互中的识别精确度不低于； (3)若小明的身高为，小华的身高为，小明比小华矮； (4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（如图）.    题型2 由已知条件判断不等式 6．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 7．设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 8．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 10．设，为正实数，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中为真命题的有 （写出所有正确命题的序号）． 题型3 由已知条件证明不等式 11．已知，求证：． 12．（1）设，求证：， （2）设，求证：， 13．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 14．已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论. 15．已知，且，求证：． 题型4 作差法比较大小 16．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 19．如果，比较与的大小并证明． 20．已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 题型5 利用不等式求取值范围 21．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 22．若，，则的取值范围为 ． 23．已知， (1)求x的取值范围 (2)求的取值范围 24．若实数x，y满足，则的取值范围是 25．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真合题的是（    ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．如果，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（    ） A．第一象限的点比第二象限的点多 B．第二象限的点比第三象限的点多 C．第三象限的点比第一象限的点多 D．第四象限的点比第二象限的点多 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（   ） A．甲更低 B．乙更低 C．甲和乙一样高 D．不能判断谁更高 8．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（    ） A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好 C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好 D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差 二、多选题 9．下列四个命题中正确命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 10．下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则的取值范围是 三、填空题 11．若实数满足，则的取值范围是 ． 12．已知，则与的大小关系为 . 13．有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是 ，最轻的是 ． 四、解答题 14．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 15．已知，都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 16．已知，求的取值范围． 17．（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$