精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

华东师大二附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 二面角的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的定义直接作答. 【详解】二面角的取值范围是. 故答案为： 2. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 3. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次有种可能的结果， 而出现点数之和等于的情况只能是先后抛出的点数均为6这一种情况， 故所求为. 故答案为：. 4. 已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导即可列方程求得点的横坐标，进一步代入可得点的纵坐标. 【详解】设点的横坐标为，求导得，所以，解得， 所以. 故答案为：. 5. 从3名男生和2名女生中选出3人去比赛,则至少有1名女生的选法共__________种． 【答案】9 【解析】 【分析】分别求出从5名学生中选3名学生的选法总数，及所选出的3名学生中没有女生的选法总数，二者相减，可得到答案. 【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，共有种选法， 若所选出的3名代表中没有女生，则有种选法， 所以所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有种. 故答案为：9 6. 已知点满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率，设，则，利用圆心到直线的距离公式得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为，所以，表示圆心为，半径的圆，因为点在圆上，则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率，设，则，即，所以，解得，即， 故答案为： 7. 从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率. 【详解】解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”. 则. 由条件概率易得，，， 由全概率公式，可得 . 故答案为： 8. 李老师在整理名学生的成绩时不小心遗失了其中一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，，，，，，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第百分位数，则这名学生的成绩的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先得遗失了其中一位学生的成绩为7，再根据平均数、方差的计算公式即可求解. 【详解】设遗失了其中一位学生的成绩为，若，这将导致本组学生成绩的第百分位数是7而不是，矛盾， 故， 所以所求平均数为， 所求为. 故答案为：. 9. 有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式求得，然后求得，最后结合条件概率公式即可得解. 【详解】由题意，， 故所求为. 故答案为：. 10. 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0)，如图，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为_____. 【答案】y2=3x 【解析】 【分析】 联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到x1+x2和 x1x2的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为3，从而得到抛物线方程． 【详解】由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F. 当直线PQ斜率不存在时，易得|PQ|=2p； 当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为y=k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得k2=2px，整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0， 所以x1+x2=p+，x1x2=.所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p. 综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p=3，∴抛物线方程为y2=3x. 故答案为：y2=3x 11. 将一个棋盘中的8个小方格染为黑色,使得每行、每列都恰有2个黑色方格则有______种不同的染法 【答案】90 【解析】 【详解】第一行染2个黑格有种染法 第一行染好后,有如下三种情况: (1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时,其余行只有一种染法; (2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列这时,第三行有种染法,第四行的染法随之确定; (3)第二行染的黑格恰有1个与第一行的黑格同列,这样的染法有四种,而在第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面染的黑格均不同列,这时,第三行的染法有两种,第四行的染法随之确定. 因此共有种 12. 等差数列中已知，则当取到最大值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式结合基本不等式计算，得出取等条件即可. 【详解】设等差数列的公差为. 因为等差数列中， 所以 ， 设，所以， 当且仅当，即时，取到最小值，取最大值， 所以当取到最大值时，，所以. 故答案为：. 二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分） 13. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 14. 第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的众数小 C. 甲成绩的极差比乙成绩的极差小 D. 乙的成绩比甲的成绩稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图上的信息，根据统计的数字特征分析即可. 【详解】由折线图得到甲六次测试成绩依次为，乙六次测试的成绩依次为； 将甲成绩从低到高排列为，则甲成绩的中位数为， 将乙成绩从低到高排列为，则乙成绩的中位数为，故A错误； 甲成绩的众数为，乙成绩的众数为，故B错误； 甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，故C错误； 甲的平均成绩为，甲成绩的方差为， 乙的平均成绩为，乙成绩的方差为，且， 所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D正确. 故选：D. 【点睛】知识点点睛：方差公式. 15. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 16. 已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的相关知识求解即可. 【详解】设，则，， 故； 当时，，故，从而不可能使得． 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用线线平行得出异面直线所成角，再应用正切计算求角； （2）建立空间直角坐标系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解. 【小问1详解】 由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． 【小问2详解】 建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式． 所以到平面的距离． 18. 在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1． （1）试写出三项式的2次和3次系数列； （2）类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）； （3）写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明)． 【答案】（1）答案见解析 （2）规律：每一个数等于它上面一行三个数的和 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）按照三项式n次系数列的定义即可得解； （2）按规律写出三项式系数即可发现规律； （3）通过赋值法即可发现规律. 【小问1详解】 由题意， 三项式的2次系数列为：1 , 2 ,3 ,2,1； 三项式的3次系数列为：1,3,6 ,7,6 ,3,1； 【小问2详解】 规律：每一行收尾均为1，其余数字每一个数等于它上面一行两个数或三个数的和. 【小问3详解】 性质1：在中，令，可得， 性质2：在中，令，可得. 19. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好” ①根据所给数据，完成下面的列联表，并计算第一行第一列数据的预期值． ②根据上一小问的列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次超过400人与该市当天的空气质量有关． 锻炼人次 空气质量 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 【答案】（1）概率见解析；350； （2）①列联表见解析；38.5；②有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，结合平均数计算公式求解即可； （2）①得出列联表，进一步求得预期值．②计算卡方值，对比临界值即可判断. 【小问1详解】 由所给数据，该市一天的空气质量等级为，，，的概率的估计值如下表： 空气质量等级 概率的估计值 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为． 【小问2详解】 根据所给数据，可得列联表： 锻炼人次 空气质量 人次 人次 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 第一行第一列数据的预期值为． 根据列联表得的观测值．由于， 故有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 20. 如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线：的一条渐近线方程为． （1）求椭圆和双曲线的方程． （2）过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点．已知为线段的中点，求点的坐标． （3）由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程． 【答案】（1）；：； （2）； （3）；；； ； ； 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解； （2）首先设点，并表示点的坐标，分别代入椭圆和双曲线方程，联立方程，即可求解； （3）由直线和椭圆，双曲线的交点个数，转化为直线与椭圆，双曲线的位置关系，通过联立方程，分情况求解. 【小问1详解】 由题意得：，解得：， 因此可得：；. 【小问2详解】 设点的坐标．由点是线段的中点，可知点的坐标为 ． 将点、点的坐标分别代入椭圆和双曲线的方程： 由（1）得 （3），将（3）代入（2）得 ， 化简得， ，由，得（4）， 将（4）代入（3）得 ，由，计算得， 因此点的坐标为． 【小问3详解】 设直线的斜率为． ①直线与椭圆有一个交点，与双曲线有两个交点． 此时是椭圆的切线，设，联立椭圆， 得， ，得， 所以椭圆在点的切线方程为． 联立得，，，与双曲线有2个交点，满足条件； ②直线与椭圆有两个交点，与双曲线有一个交点． 将代入双曲线 得， ， 化简得 ， 若 ，若，则等式变为 ，矛盾． 若，则等式为一元一次方程，此时直线与双曲线有一个交点． 直线的方程为，且与椭圆有2个交点，满足条件； 若 ，令得， ， 可知其中的一个解为（舍）；由韦达定理，另一个解为． 此时直线与双曲线相切，直线的方程为，且与椭圆有2个交点，满足条件； ③直线过椭圆与双曲线都相交，但有一个交点重合． 根据椭圆和双曲线的方程，可知椭圆和双曲线交于点和点．分别代入计算，得到直线方程为 或 ． 综上，直线可能的方程为：；； ； ； . 21. 若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 【答案】（1）不是 （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导可的，显然为单调递增函数，不存在两个不相等的实数，使得，所以不是“双切函数”； （2）易知函数为奇函数，为偶函数，所以必存在两个不相等的实数，且，使得，利用对称性可解得即为“双切点”， 为其“双切线”； （3）由是“双切函数”可得存在两个不相等的实数，使得，即函数不单调，再求导利用判别式即可求得充分条件为，同时也可证明必要性成立. 【小问1详解】 根据“双切函数”的定义可知，若是“双切函数”， 则存在两个不相等的实数，使得； 由可知，； 易知为单调递增函数， 所以不存在两个不相等的实数，使得； 即不是“双切函数”. 【小问2详解】 由可得； 显然为偶函数，且在上为单调递增； 所以必存在两个不相等的实数，使得，且； 不妨设两切点分别为， 易知函数为奇函数，又； 所以两切点关于原点对称； 即此时切线斜率， 即，解得或； 即存在两点满足条件，所以函数是“双切函数”， 此时，两点确定的直线方程即为“双切线”， 由直线的两点式方程可得即为函数的“双切线”. 故其“双切线”为. 【小问3详解】 充分性： 若是“双切函数”， 则需存在两个不相等的实数，使得； 令，即存在实数使得函数在定义域内有两个零点； 所以不单调，又， 即，可得，即； 所以充分性成立； 必要性： 因为是“双切函数”，设点，为其一对“双切点”， 函数在处的切线方程为， 所以， 即， 即， 因为，所以， ， 设，， 原式即， 由①可得， 代入②得， 化简得， ， 假设，则，原方程仅有一解， 所以， 所以，为方程的两个相异实根， 但由此一元二次方程的判别式， 即方程要么无实根，要么有两个相等的实数根，与，存在且不等矛盾， 所以假设不成立，即，所以必要性成立. 因此，“”是“双切函数”的充要条件是“” 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“双切函数”的定义，充分利用导函数和原函数之间的对应关系，并利用导函数零点个数解决原函数不单调问题，即可实现问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大二附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 二面角的取值范围是______． 2. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 3. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现点数之和等于的概率是______． 4. 已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是______． 5. 从3名男生和2名女生中选出3人去比赛,则至少有1名女生的选法共__________种． 6. 已知点满足，则的取值范围是__________. 7. 从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________. 8. 李老师在整理名学生的成绩时不小心遗失了其中一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，，，，，，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第百分位数，则这名学生的成绩的方差为______． 9. 有个相同的球，分别标有数字，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数，则______． 10. 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0)，如图，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为_____. 11. 将一个棋盘中的8个小方格染为黑色,使得每行、每列都恰有2个黑色方格则有______种不同的染法 12. 等差数列中已知，则当取到最大值时，______． 二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分） 13. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 14. 第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的众数小 C. 甲成绩的极差比乙成绩的极差小 D. 乙的成绩比甲的成绩稳定 15. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 16. 已知随机变量，，有以下两个命题：①；②存在，使得对任意，． 那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求到平面的距离． 18. 在的展开式中，把的系数记作，称为三项式系数．数列，，……称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1． （1）试写出三项式的2次和3次系数列； （2）类比杨辉三角形中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）； （3）写出两个三项式n次系数列的性质(不需要给出证明)． 19. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好” ①根据所给数据，完成下面的列联表，并计算第一行第一列数据的预期值． ②根据上一小问的列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次超过400人与该市当天的空气质量有关． 锻炼人次 空气质量 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 20. 如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线：的一条渐近线方程为． （1）求椭圆和双曲线的方程． （2）过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点．已知为线段的中点，求点的坐标． （3）由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程． 21. 若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”． （1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”； （3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $