极点极线 讲义-2026届高三数学一轮复习

极点极线 1. 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 2. 极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下： (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 3. 极点极线的几何意义　 (1) 若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 4. 自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 5.中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 【题型一】 证明直线过定点 【例1】已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】由题意可知，直线l的方程为，即， 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，， ，化简得 所以，因为方程只有一解， 所以，故直线MG的方程为，化简得， 同理可得直线MH的方程为， 又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为， 又因为，所以直线GH的方程为，. 令，得所以直线GH恒过定点. 思路总结：直线过定点问题可以先通过找到自级三角形（内接四边形对角线的交点，两组对面的交点），设出要求的定点坐标（极点），并写出极线方程，然后根据题中有关极线方程的条件，求出极点坐标，即为要求的定点。最后就是证明直线过该定点。 变式1设直线与椭圆不相交．过直线上点作椭圆的切线，切点分别 ，连接．当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点． 【例2】如图，已知的左、右顶点为、，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【详解】方法一（极点极线）：如图，点的轨迹方程为， 即，又交点在上，由性质知， 为极点, 为对应的极线，即交点为， 即过定点 方法二（联立求解）：点的坐标为， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得、， 若，且,得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以,所以直线过点， 因此直线必过轴上一定点. 变式2已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点. 基于坐标轴对称，补全极点极线 【例3】已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，设关于轴的对称点为，证明：直线过定点．并求出该定点的坐标. 【详解】由题设可得，，设直线，联立椭圆可得，， 可得直线的方程为， 令，可得， 故直线过轴上的定点，． 变式3已知双曲线C:，设Q（1，0），直线（）与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.并求出该定点的坐标. 【例4】已知椭圆，过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【详解】假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为， 设，， ①当直线不是轴时，可设， 与联立，并整理得， ，即，，， 依题意有，即， ，，代入上式得， ，解得， 即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为； ②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为. 综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0. 变式4 已知椭圆：，，为椭圆的左、右焦点，设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：AB直线过定点，并求出该定点的坐标. 【题型二】面积的最值 【例5】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值． 【答案】 【详解】①设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ②由①知，，，且，即， 又， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”，   所以． 变式5 已知椭圆：，过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．求面积的取值范围． 【例6】已知分别是椭圆：的左、右顶点，为直线上的动点（不在轴上），与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．求四边形面积的最大值． 【答案】16 【详解】①因为不在轴上，所以直线的倾斜角不为零， 设直线，，， 联立，消去整理得， 所以，即， ，，所以． 由题意得直线，令，所以． 直线，令，所以， 故，即，化简得， 故， 化简得，即． 若，代入，，无解， 所以，即，所以直线，即直线恒过定点． ②所以直线，所以， 则，， 所以， ， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 此时取得最大值．所以， 所以四边形的面积， 所以四边形面积的最大值为16． 变式6 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为、，过作不与坐标轴垂直的直线l，l交于A，B两点，点关于轴的对称点记为．求面积的最大值． 【题型三】证明动点在定直线上 【例7】已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，直线与交于点M，求证直线与交点M在一条定直线l上。 【详解】 ，，，设直线PQ的方程是， 代入椭圆方程得：，易知， 设，，，则，， 直线的方程是：   ①，直线的方程是：   ②， 设，既满足①也满足②， 则 ， 故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上. 【例8】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【答案】 【详解】因为点满足，所以，设直线的方程为， 联立，得， 设，易得，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 因为，所以，解得 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为. 思路总结：通常动点所在定直线为横线或者竖线；首先找到自极三角形，然后根据极点坐标写出极线方程，接下来我们再去用常规联立的方法求动点的横坐标（或者是纵坐标）为定值。所以极点极线的结论可以帮助我们指明解题方向。 变式7 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程． 【题型四】 求斜率的比值为定值，坐标的乘积为定值 【例9】已知椭圆，过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【详解】依题意有，，，设直线的方程为， 由得，则，， ，所以为定值. 变式8 椭圆 的两顶点为，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与直线交于点.点异于两点时，求证： 为定值. 变式9 已知椭圆C : ，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，设直线、的斜率分别为、，且过定点，求证：为定值，并求出该定值． 【题型四】双曲线的极点极线 【例10】 已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。 半代换：由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动. 变式10 已知，，，不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点. 变式11 已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）记直线，的斜率分别为，，求的值； （2）设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值. 【题型五】抛物线的极点极线 【例11】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论 （1）直线与抛物线有1个公共点； （2）直线恒过定点； （3）点的轨迹方程是； 【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点， 且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程， 则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。 （2） 设点，则直线方程为：，即， 则；又，且，则直线，， 故三点共线，则直线恒过定点； （3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是； 6.调和点列 P Q A B l 图2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。 极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为． 图3 ①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且; ②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且； ③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线． 极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有B Q A P l 图4 ，反之也成立．即． 证明： 极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭． Q R P l 图5 O 证明：设直线与的另一交点为 若 化简即得；反之也成立． 【题型五】调和点列 【例12】设椭圆，过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上． 【详解】方法一（极点极线）：已知，说明点关于椭圆调和共轭， 则点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得． 故点总在直线． 方法二：设， 由题意可知：均不为0， 由，可得， 设，则，且， 又因为四点共线，则， 且， 则，可得，即， 可得 又因为在椭圆C上，则，即， 可得，即， 所以点Q总在直线上. 变式12 在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上. 课后作业 1.已知椭圆E :线段分别是它的长轴和短轴．是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点． ①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q； ②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q． 2. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上． 3. 曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 4．已知椭圆：，左右焦点分别为，，为上的两个动点，且，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点． 5. 已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值． 6. 已知椭圆C : ，设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，求的最大值. 7．已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。 8．已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 极点极线 1. 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 2. 极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下： (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 3. 极点极线的几何意义　 (1) 若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的轨迹． 4. 自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 5.中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 【题型一】 证明直线过定点 【例1】已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】由题意可知，直线l的方程为，即， 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，. ，化简得 所以，因为方程只有一解， 所以，故直线MG的方程为，化简得， 同理可得直线MH的方程为， 又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为， 又因为，所以直线GH的方程为，. 令，得所以直线GH恒过定点. 思路总结：直线过定点问题可以先通过找到自级三角形（内接四边形对角线的交点，两组对面的交点），设出要求的定点坐标（极点），并写出极线方程，然后根据题中有关极线方程的条件，求出极点坐标，即为要求的定点。最后就是证明直线过该定点。 变式1设直线与椭圆不相交．过直线上点作椭圆的切线，切点分别 ，连接．当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点． 【详解】设点，则点对应的极线为直线，其方程为①．当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为．代入①式消去的．② ②式对一切恒成立，变形可得，对一切恒成立． ， 【例2】在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【详解】方法一（极点极线）：如图，点的轨迹方程为， 即，又交点在上，由性质知， 为极点, 为对应的极线，即交点为， 即过定点 方法二（联立求解）：点的坐标为， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得、， 若，且,得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以,所以直线过点， 因此直线必过轴上一定点. 变式2已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点. 【详解】设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为 当时，直线的方程为：， 整理可得： 整理得：所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点． 基于坐标轴对称，补全极点极线 【例3】已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点． 【详解】由题设可得，，设直线，联立椭圆可得，， 可得直线的方程为， 令，可得， 故直线过轴上的定点，． 变式3已知双曲线C:，设Q（1，0），直线（）与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点. 【详解】显然直线的斜率不为零， 设直线为，， 联立，消整理得， 依题意得且，即且， ， 直线的方程为， 令，得 .所以直线过定点. 【例4】已知椭圆，过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【详解】假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为， 设，， ①当直线不是轴时，可设， 与联立，并整理得， ，即，，， 依题意有，即， ，，代入上式得， ，解得， 即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为； ②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为. 综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0. 变式4 已知椭圆：，，为椭圆的左、右焦点，设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】依题意，直线：，其中，， 联立，消去，得， 则 ，得， 设，则， 又，整理得， 即，化简得， 所以直线的方程为，因此直线 恒过定点，该定点坐标为． 【题型二】面积的最值 【例5】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值． 【答案】 【详解】①设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ②由①知，，，且，即， 又， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”，   所以． 变式5 已知椭圆：，过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．求面积的取值范围． 【答案】 【详解】①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（）， ，，，联立直线和的方程， 得消去并化简，得， 所以， 解得，且． 又点在点的右侧，则，且，， 所以直线的方程为， 所以， 因为 ， 所以，所以直线过定点． ②由①知直线的方程为，设，则， ，将，代入， 可得，由，且，得的取值范围为． 由消去并化简得， 则， ，． ， 原点到直线的距离为， 所以， 令，由的取值范围为，得的取值范围为． 又函数在上单调递增，所以，的值域为． 所以的取值范围是，所以面积的取值范围为． 【例6】已知分别是椭圆：的左、右顶点，为直线上的动点（不在轴上），与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．求四边形面积的最大值． 【答案】16 【详解】①因为不在轴上，所以直线的倾斜角不为零， 设直线，，， 联立，消去整理得， 所以，即， ，，所以． 由题意得直线，令，所以． 直线，令，所以， 故，即，化简得， 故， 化简得，即． 若，代入，，无解， 所以，即，所以直线，即直线恒过定点． ②所以直线，所以， 则，， 所以， ， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 此时取得最大值． 所以， 所以四边形的面积， 所以四边形面积的最大值为16． 变式6 已知椭圆：，椭圆的左、右焦点分别为、，过作不与坐标轴垂直的直线l，l交于A，B两点，点关于轴的对称点记为．求面积的最大值． 【答案】 【详解】椭圆的标准方程为：，则，， 设直线，， 由得，． 设，，则，，， ． ①解法一： ， ， 直线恒过定点； ①解法二： ， 取，得 ． 直线恒过定点； ②由①知直线恒过定点，故设直线的方程为：， 由得， ，， 设，，则，， ， 设，则，， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 【题型三】证明动点在定直线上 【例7】已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，直线与交于点M，求证直线与交点M在一条定直线l上。 【详解】 ，，，设直线PQ的方程是， 代入椭圆方程得：，易知， 设，，，则 ， 直线的方程是：   ①， 直线的方程是：   ②， 设，既满足①也满足②， 则 ， 故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上. 【例8】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【答案】 【详解】因为点满足，所以，设直线的方程为， 联立，得， 设，易得，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 因为，所以，解得 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为. 思路总结：通常动点所在定直线为横线或者竖线；首先找到自极三角形，然后根据极点坐标写出极线方程，接下来我们再去用常规联立的方法求动点的横坐标（或者是纵坐标）为定值。所以极点极线的结论可以帮助我们指明解题方向。 变式7 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程． 【详解】法一：由于直线经过顶点，设直线与相交于点，则直线在点所对应的极线上，点对应的极线方程，即所一点在顶点上． 法二：由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则， ，，，所以在定直线上． 当不在椭圆顶点时，设，，，，，整理得， 所以，， 当时，，得，所以，显然成立，所以在定直线上． 【题型四】 求斜率的比值为定值，坐标的乘积为定值 【例9】已知椭圆，过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【详解】依题意有，，，设直线的方程为， 由得，则，， ，所以为定值. 变式8 椭圆 的两顶点为，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与直线交于点.点异于两点时，求证： 为定值. 【详解】当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，，，，点的坐标为， 由知， ， 且直线的方程为，且直线的方程为， 将两直线联立，消去得， 与异号， ， ， 与异号，与同号， ，解得，， 故点坐标为，，故为定值. 变式9 已知椭圆C : ，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，设直线、的斜率分别为、，且过定点，求证：为定值，并求出该定值． 【答案】 【详解】设点、.若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 由， 所以，， 即为定值. 【题型四】双曲线的极点极线 【例10】 已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。 半代换：由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动. 变式10 已知，，，不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点. 【详解】解法一：设，， 若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾， 故设直线的方程为：， 由，得， ，则，， 由点在直线上，设，则，， 所以，又，则，即， ，， ， ， ，所以（舍去），或，所以的方程为，过定点 解法二：设，， 若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾， 故设直线的方程为：， 由得，， ，则，， 所以，即， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，可得， 又点在直线上，故， 所以， 故，直线的方程为，过定点. 变式11 已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）记直线，的斜率分别为，，求的值； （2）设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值. 【答案】(1)；(2)3. 【详解】由双曲线，可得，， 由可得，，则. 所以 . （2）解：由（1）可知，所以直线与直线的方程分别为和， 联立两直线方程可得交点的横坐标为， 于是 ， 故的最小值为，当且仅当时取等号成立. 【题型五】抛物线的极点极线 【例11】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论 （1）直线与抛物线有1个公共点； （2）直线恒过定点； （3）点的轨迹方程是； 【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点， 且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程， 则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。 （2） 设点，则直线方程为：，即， 则；又，且，则直线，， 故三点共线，则直线恒过定点； （3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是； 6.调和点列 P Q A B l 图2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。 极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为． 图3 ①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且; ②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且； ③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线． 极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有 ，反之也成立．即．B Q A P l 图4 证明： 极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭． Q R P l 图5 O 证明：设直线与的另一交点为 若 化简即得；反之也成立． 【题型六】调和点列 【例12】设椭圆，过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上． 【详解】方法一（极点极线）：已知，说明点关于椭圆调和共轭，则点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得．故点总在直线． 方法二：设，由题意可知：均不为0， 由，可得，设，则，且， 又因为四点共线，则， 且， 则，可得，即， 可得 又因为在椭圆C上，则，即， 可得，即，所以点Q总在直线上. 变式12 在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上. 【答案】总在定直线上. 【详解】设，记. 则，， 联立可得， 又，代入得， 所以总在定直线上. 课后作业 1.已知椭圆E :线段分别是它的长轴和短轴．是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点． ①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q； ②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q． 【详解】选①，则，设， 所以 消去得：， 所以，所以，则，所以， ，消去得：， ， 所以，所以，则，所以， 所以， 所以直线的方程为：， 所以，所以，故直线恒过定点. 选②，则，设， 所以 消去得：， 所以，所以， 所以 同理：，所以，所以 所以直线的方程为： 令，则 故直线恒过定点. 2. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上． 【答案】 【详解】由、、、， 则，由、， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故， 故， 3. 曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 【答案】 【详解】由题意知，直线的斜率不为0，设直线， 与方程联立并化简，得， 设，， 则，， 点在曲线上，， ， 又，， ， ，即， ， ， 得， ，， ， 直线的方程为，直线过定点． 4．已知椭圆：，左右焦点分别为，，为上的两个动点，且，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点． 【答案】 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得． 则， 设，所以 设直线的倾斜角分别为， 因为，且两点的纵坐标的乘积大于0， 所以，则， 则，则 即. 所以 所以，化简可得， 则直线的方程为．故直线过定点 5. 已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值． 【答案】k＝ 【详解】 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立方程组消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. 所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－. 因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.　① 又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上， 所以＝ (4－)，＝ (4－)．　② 将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0. 所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0. 解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝. 6. 已知椭圆C : ，设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，求的最大值. 【答案】. 【详解】①依题意，设， 若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为是椭圆上一点，即， 所以，则，即 因为 ， 所以，此时， 故直线恒过x轴上一定点． ②由①得：， 所以 ， 而，当时的最大值为． 7．已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。 【答案】 【详解】显然直线的斜率不为零， 设直线为，， 联立，消整理得， 依题意得且，即且， ， 直线的方程为， 令， 得.所以直线过定点. 过Q点作QN⊥AD于N，设的中点为R， 若N和M不重合，则△为直角三角形，所以， 若N和M重合，，所以点N在以QM为直径的圆上． 8．已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值. 【答案】 【详解】当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意； 当时，设，则直线的方程为， 设点、，则点， 由对称性可知，直线过轴上的定点， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则的斜率为，直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得， 可得， 此时，直线过定点.综上所述，直线过定点. 因为，则，且， ， 因为函数在上单调递减， 故当时，取最大值，且最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$