圆轨迹及取值范围 讲义-2026届高三数学一轮复习

圆轨迹及取值范围 1． 动点P与两定点A,B所形成的为定值，则点P为圆轨迹，特别是当时点P为以线段AB为直径的圆轨迹，原因是同弦所对的圆周角相等。 2． 动点P到两定点A,B的距离，满足，则点P为圆轨迹，该圆名叫阿波罗尼斯圆。 3． 动点P与两定点A,B所形成的数量积为定值，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 4． 若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 【例1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ． 【答案】11 【详解】设，，则， 即，则的轨迹为以为圆心，半径的圆， 根据题意知两圆有交点，圆心距，故，解得，故的最大值为. 故答案为：. 【例2】点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ，即. 故答案为： 变式1 已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取，则，同理可得，， 所以，，所以满足条件的点一定在的外接圆上， 的外接圆半径为， 所以，的外接圆圆心为，且， 要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有公共点， 则，即，又， 解得． 故选：C． 变式2 已知，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，因此过定点, 因为点在动直线上的射影为，所以点轨迹为以为直径的圆，即，从而,（为坐标原点） 故选B 【例3】（多选题）已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．当最小时，直线的方程为 C．若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．定点到动直线BC距离最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A：当越小时的值越大，所以当的长度无限大时，无限接近， 所以无限接近，故A错误； 对于B： 因为，即， 所以最小时，就是最小， 又因为，所以最小时，最小， 因为当是点到直线的距离时最小，最小值为， 此时，则，所以，由，解得，即， 又，所以以为圆心为半径的圆的方程为， 由与相减即可得到，即直线的方程为，故B正确． 对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设， 因为曲线上总存在点，使得，所以， 因此，又因为在中，， 所以，即，解得， 因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确； 对于D：由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为､， 可知､两点在以为直径的圆上，设，则为直径的圆的方程为， 和相减可得直线的方程，即，即， 由于，故由，得，所以直线恒过定点， 所以定点到动直线BC距离最大值为，故D正确． 故选：BCD 变式3（多选题）点为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当时，且为圆的直径时，的面积最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点为，线段的最小值为 C．为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当时，的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，当为直径时，显然当时， 的面积取得最大值，所以A正确； 对于选项B，设，则，所以越大，越小， 显然当点P在处时，最大，  此时，即，选项B正确； 对于选项C，由上可知当点P在处时，且为切线时，最大， 此时，即， 所以不存在符合的点，故选项C不正确； 对于D选项，设的中点D，则， 所以点D在以M为圆心，为半径的圆上，易知，   设小圆半径为，则，则的最大值为，  故D正确． 故选：ABD 变式4（多选题）已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．四边形的面积取值范围是 D．当的坐标为时，的方程为 【答案】AC 【详解】 对于A选项，连接，，因为，为圆的切线，所以，，，， 所以，所以，故A正确； 对于B选项，，有当最小时，最大，即最大， 当时，此时最小，，所以， 可得，即，故B错误； 对于C，四边形的面积，又， 又，所以,所以，即四边形的面积得取值范围是，故C正确； 对于D，设，，利用圆的切线方程，得到切线，， 将代入可得，，，所以过，两点的直线为，故D错误. 故选：AC. 【例4】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，由，得， 整理得，即，即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2. 因为圆上存在点满足，所以圆C与圆E有公共点， 所以，解得，即的取值范围是. 故答案为： 【例5】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________ 【详解】如图，在轴上取点， ，，，， （当且仅当为与圆交点时取等号）， . 故答案为：. 变式5 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，所以， 化简得，所以曲线的轨迹为圆，圆心，半径， 点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为点，，连接， 如图，由题意得若圆上存在两点使，即只需， 因为都是过点的切线，所以，， 所以，所以， 所以，在中， 化简得，即，故C项正确. 故选：C. 变式6（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于的两点，使得 C．当三点不共线时，射线是的角平分线 D．在轨迹上存在点，使得 【答案】BCD 【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误； 对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得， 设，，则， 整理得，而点的轨迹方程为， 于是，解得或（舍去），B正确； 对于C，如图所示， 当三点不共线时，，即， 于是，显然，因此， 射线是的角平分线，C正确； 对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，， 则，整理得，又， 联立解得或，D正确. 故选：BCD 【例6】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值是 。 【例7】在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，， 则，即， 化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 又，所以三点共线， 显然当直线与此圆相切时，的值最大. 又, 则, 则. 故选：C. 变式7 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 。 【例8】已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______. 【答案】 【详解】如图所示，设是线段的中点，则， 因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得，， 整理得， 故的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 故， 又由圆的弦长公式可得 . 故答案为： 【例9】已知点，，圆 ()上存在唯一的点，使，则实数的值是 . 【答案】或 【详解】设，则， 因为，整理得，即，所以点的轨迹方程为， 又因为圆上存在唯一的点符合题意，所以两圆内相切， 因为圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径， 可得或，解得或，又，所以实数的值为或. 故答案为：或. 变式8已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令其中为的中点，以为相邻两边构造平行四边形，则，， 则，所以， 以为圆心，2为半径作圆，为原点，为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示， 又因为①， ②， ①-②得，所以， 这样点也在圆上，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：C. 变式9 （多选题）已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点坐标为 B．当直线与直线平行时， C．动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为直线，可化为， 由，解得，所以过定点，故A正确； 对于B，当直线与直线平行时，因为直线的斜率为， 所以直线的斜率也为时，则，解得：， 此时，即与直线平行，故B项正确； 对于C，圆心到直线的距离为，则，解得， 设的中点为，，为的中点，， 点在圆上，，， ，即，化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误； 对于D，点到圆心的距离为，在圆内， 的取值范围为， 的取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆轨迹及取值范围 1．动点P与两定点A,B所形成的为定值，则点P为圆轨迹，特别是当时点P为以线段AB为直径的圆轨迹，原因是同弦所对的圆周角相等。 2．动点P到两定点A,B的距离，满足，则点P为圆轨迹，该圆名叫阿波罗尼斯圆。 3．动点P与两定点A,B所形成的数量积为定值，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 4．若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 【例1】已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为 ． 【答案】11 【详解】设，，则， 即，则的轨迹为以为圆心，半径的圆， 根据题意知两圆有交点，圆心距，故，解得，故的最大值为. 【例2】点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ，即. 故答案为： 变式1 已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2 已知，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例3】（多选题）已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．当最小时，直线的方程为 C．若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．定点到动直线BC距离最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A：当越小时的值越大，所以当的长度无限大时，无限接近， 所以无限接近，故A错误； 对于B： 因为，即， 所以最小时，就是最小， 又因为，所以最小时，最小， 因为当是点到直线的距离时最小，最小值为， 此时，则，所以，由，解得，即， 又，所以以为圆心为半径的圆的方程为， 由与相减即可得到，即直线的方程为，故B正确． 对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设， 因为曲线上总存在点，使得，所以， 因此，又因为在中，， 所以，即，解得， 因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确； 对于D：由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为､， 可知､两点在以为直径的圆上，设，则为直径的圆的方程为， 和相减可得直线的方程，即，即， 由于，故由，得，所以直线恒过定点， 所以定点到动直线BC距离最大值为，故D正确． 故选：BCD 变式3（多选题）点为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当时，且为圆的直径时，的面积最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点为，线段的最小值为 C．为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当时，的最大值为 变式4（多选题）已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．四边形的面积取值范围是 D．当的坐标为时，的方程为 【例4】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，由，得， 整理得，即，即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2. 因为圆上存在点满足，所以圆C与圆E有公共点， 所以，解得，即的取值范围是.故答案为： 【例5】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________ 【详解】如图，在轴上取点， ，，，， （当且仅当为与圆交点时取等号）， .故答案为：. 变式5 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于的两点，使得 C．当三点不共线时，射线是的角平分线 D．在轨迹上存在点，使得 【例6】在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，， 则，即， 化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 又，所以三点共线， 显然当直线与此圆相切时，的值最大. 又,则,则.故选：C. 【例7】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值是 。 变式7 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 。 【例8】已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是______. 【答案】 【详解】如图所示，设是线段的中点，则， 因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得，， 整理得， 故的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 故， 又由圆的弦长公式可得 . 故答案为： 【例9】已知点，，圆 ()上存在唯一的点，使，则实数的值是 . 【答案】或 【详解】设，则， 因为，整理得，即，所以点的轨迹方程为， 又因为圆上存在唯一的点符合题意，所以两圆内相切， 因为圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径， 可得或，解得或，又，所以实数的值为或. 故答案为：或. 变式8已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9 （多选题）已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．点坐标为 B．当直线与直线平行时， C．动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 D．的取值范围为 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$