面积的最值问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的面积 知识点一 焦点三角形面积 1. 椭圆 的焦点三角形面积， 2. 双曲线 的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上). 3. 直线过焦点的面积为： ，注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数； ； 知识点二 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例) 1. ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) 直线方程： 2. ，适合边角已知的题型； 3. 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；如图，点在轴上，直线交轴于点， （1）当是在轴异侧时， （2）当是在轴同侧时， 注意: 不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 同理：若点在轴类似可得. 【题型一】求三角形面积 【例1】已知双曲线：，斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 【详解】 【详解】设直线：，，， 联立，则，所以，； 解得或（舍去），所以， ：，令，得， 所以的面积为 变式1 已知椭圆C：，直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程． 【答案】 【详解】①若l斜率不存在，易知； ②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得： ，，， 所以 点O到直线l的距离为， 所以， 解之得，，所以l的方程为或， 【例2】已知抛物线：的焦点，（为原点）和都是半径为1的圆．若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积． 【答案】依题意可设：，即． ∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，∴，解得，． 联立，消去可得．∴． ∴，．∴． ∴． 变式2 已知椭圆E：，过右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程. 【答案】与的方程分别为：， 【详解】 ①若或斜率不存在，易知，不符合题意； ②若斜率存在，设，和的方程联立得： ，，， ， 设，同理可得， 所以 解得，，所以与的方程分别为：，， 【例3】已知椭圆：，过的直线l与椭圆交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程. 【答案】 【详解】依题意，设直线l的斜率为，则直线l的方程为， 设，， 联立，消y得，， 可得：①，②， 由，，， ，整理得③， 由①③得，，代入②，解得， 直线l的方程为或 变式3 已知方程：，点、，过点的直线交轨迹于、（位于第一象限）两点，若，求直线的方程. 【答案】. 【详解】，则，则，设点、，则， 若直线与轴重合，则直线与曲线无公共点， 设直线的方程为，联立，可得， ，由韦达定理可得，可得， ，解得. 因为点在第一象限，即，则，所以，故直线的方程为. 【例4】已知椭圆，､为左右焦点.直线交椭圆于､两点，且. 若，斜率之积为，求证：的面积为定值. 【详解】设，由， 则，由， ， ，，即， ， 整理得： 所以 又O到AB的距离 ， 所以为定值. 变式4 已知椭圆方程C：，过点椭圆上一点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由． 【答案】面积为定值. 【详解】的面积为定值，理由如下：设， ①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则 此时，，由题可得，，故； ②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切 得：① ， ，则直线MO的方程为：， ，，由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即 设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得 ，由，可得，② 则有，， 所以，将①代入得： 由直线与轴交于， 则的面积为.故 综上：面积为定值． 知识点三 范围问题 1、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，可以通过找特殊的位置确定最值． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 2、求取值范围问题的常用方法 构建所求几何量的单一变量的函数表达式，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，通常会用到基本不等式的公式。 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论）； （2），当且仅当时，等号成立； （3），当且仅当时等号成立； （4），当且仅当时，等号成立； (5)， 当且仅当时等号成立； 【题型二】三角形面积最值问题（利用双勾函数/基本不等式求最值） 【例5】已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值． 【详解】由题意，设直线的方程为，联立，整理可得：， 设，，，，则，， 因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以 由，，，，则， 将，代入上式并整理得， 则，化简可得，解得：，或， 因为直线不过点，所以，故所以直线恒过点，． 故 设，则在，上单调递增， 当时，， 所以的面积的最大值为． 【例6】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．    （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ） 【详解】（1）由题意可知：， 则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线C的方程为. （2）①联立方程，消去y可得， 因为直线与曲线C相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且，则，为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径，  因为到直线的距离， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值. 变式5 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点．求面积的最大值及此时直线的方程． 【详解】当直线垂直轴时，直线的方程为，代入椭圆方程可得， 此时，则； 当直线不垂直轴时，设直线方程为，联立，得， ，， ， 令，则，则， 综上：面积的最大值为，此时直线的方程为． 变式6 已知椭圆，设为坐标原点，圆的切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值． 【详解】设直线的方程：，，，，， 由到直线的距离，即， 联立方程组，消去，整理得， 则△，，， 则， 由， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以面积， 所以面积的最大值． 【例7】已知椭圆的左右焦点分别为，直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】 【详解】由题意，,设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得，所以 所以所以， 同理联立消去得，所以， 所以所以，即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为. 变式7 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． （1）证明：直线过定点； （2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）设，，由抛物线的对称性，不妨设，则， 设，由，得，， 故，，，， 所以，同理可得， 若，则直线，MN过点， 若，则直线，MN过点， 综上，直线过定点； （2）设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点． 由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故， 设T为直线GN与AD的交点，同理可得，所以， 由（1）可得，同理可得， 所以， 当且仅当时等号成立，因此的面积的最小值为8． 【题型三】四边形面积最值问题 【例8】已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 【详解】①当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件； ②当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点， 直线轴，，四边形的面积； ③当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，． 则弦长， 设，，，，联立直线与抛物线， 消去可得，则， 由抛物线的定义，弦长， 由于，则四边形的面积， 令，则，即， 可知当时，即直线斜率时，四边形面积有最小值8； 综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8． 变式8 已知椭圆，已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值． 【详解】设直线的方程为，，，，， 则由，联立消可得，，， 因为，所以，所以， 令，所以，所以， 又因为在区间，上单调递增，所以，所以． 所以四边形的面积最大值为． 【例9】已知椭圆：，设点，，若点，是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值. 【答案】3 【详解】设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，，， 由椭圆对称性可知：， 又，所以为平行四边形，又， 所以，，则，且，，三点共线， 所以四边形的面积为， 由题意知直线斜率不为0，设直线：，，， 联立，消去，得， 易知，则，， 所以， 又，所以点到直线的距离即为点到直线的距离， 而点到直线的距离为， 所以， 令，则，， 所以， 又，则， 所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为3. 变式9 椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，．当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围． 【答案】 【详解】如图所示，，根据对称性只需考虑， 所以直线的方程为，代入椭圆，得， 则，所以，同理， 因两点在轴上方时，所以，，即， 则，同理， 于是， 而，所以， 于是，所以， 令，所以， 所以，此时的取值范围为． 【题型四】面积的比值 【例10】已知椭圆，设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【详解】当直线的斜率存在时，设直线，，，，， 由消去，得， 所以△，即， 所以，， 因为点在以为直径的圆上，所以，即， 所以，所以， 化简得，经检验满足△成立，所以线段的中点，， ①当时，，此时， ②当时，射线所在直线方程为， 由，消去，得，， 所以，所以，所以，． 综上，的取值范围为，． 【例11】已知点，双曲线的方程，已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围. 【答案】 【详解】因为，所以，又，所以，  设直线， 联立，可得，所以，解得. 又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线， 可得，同理可得， 而 ， 所以，即，所以. 变式10 设抛物线C:，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点． (1)证明：： (2)记，的面积分别为，，若，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】（1）如图，设l：，， 联立，消去x得，则，且， 又AM：，令得，同理可得， 所以 ， ，故. （2）由（1）可得：， ， 由，得：，解得， 所以直线l的方程为． 变式11 已知点在双曲线C：上，如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围． 【答案】 【详解】由直线垂直于，可得直线的斜率为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 因为直线与双曲线的右支交于两点，则，解得， 可得， 则， 又由点到直线的距离为， 所以， 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，可得 则 ， 所以的面积， 又由，则， 令， 可得函数在上单调递减，且，所以， 所以，即的取值范围为. 课后作业 1. 已知椭圆E：，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为，若，求三角形的面积. 【答案】 【详解】设直线l的方程为，则联立椭圆方程得：，设， 则，则，则，则， 则，解得：或（舍去），所以，当时，此时，直线为，所以，点O到直线l的距离为， 则三角形OPM的面积为，同理，当时，求得三角形OPM的面积为， 综上：三角形OPM的面积为 2. 已知双曲线：，动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 【详解】设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为 由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点, 当动直线的斜率不存在时, ,，, 当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且, 化简得 , 故由 , 同理可求,,所以 又因为原点到直线的距离, 所以,又由，所以, 故的面积是为定值,定值为 3. 已知椭圆，已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【详解】设点，，，，联立，消去，整理得：， 则△，所以，所以， 所以，， 所以， 到直线的距离为， 所以， ， 由， 当且仅当，即时，取等号，所以， 所以面积的最大值． 4. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．求面积的最大值． 【答案】. 【详解】当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为， 由消去，得， 则有，点，而直线：，同理， 当时，直线MN斜率， 直线：，整理得，直线恒过定点， 当，即时，直线：过点， 当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时， 不妨设斜率不存在，斜率为0，，直线：过点， 所以动直线过定点. ， 令，当且仅当取等号，， 函数在上单调递增，， 所以，即时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线中的面积 知识点一 焦点三角形面积 1. 椭圆 的焦点三角形面积， 2. 双曲线 的焦点三角形面积 (其中点在椭圆或双曲线上). 3. 直线过焦点的面积为： ，注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数； ； 知识点二 直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例) 1. ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) 直线方程： 2. ，适合边角已知的题型； 3. 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；如图，点在轴上，直线交轴于点， （1）当是在轴异侧时， （2）当是在轴同侧时， 注意: 不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 同理：若点在轴类似可得. 【题型一】求三角形面积 【例1】已知双曲线：，斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 【详解】 【详解】设直线：，，， 联立，则，所以，； 解得或（舍去），所以， ：，令，得， 所以的面积为 变式1 已知椭圆C：，直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程． 【例2】已知抛物线：的焦点，（为原点）和都是半径为1的圆．若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积． 【答案】依题意可设：，即． ∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，∴，解得，． 联立，消去可得．∴． ∴，．∴． ∴． 变式2 已知椭圆E：，过右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程. 【例3】已知椭圆：，过的直线l与椭圆交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程. 【答案】 【详解】依题意，设直线l的斜率为，则直线l的方程为， 设，， 联立，消y得，， 可得：①，②， 由，，， ，整理得③， 由①③得，，代入②，解得， 直线l的方程为或 变式3 已知方程：，点、，过点的直线交轨迹于、（位于第一象限）两点，若，求直线的方程. 【例4】已知椭圆，､为左右焦点.直线交椭圆于､两点，且. 若，斜率之积为，求证：的面积为定值. 【详解】设，由， 则，由， ， ，，即， ， 整理得： 所以 又O到AB的距离 ， 所以为定值. 变式4 已知椭圆方程C：，过点椭圆上一点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由． 知识点三 范围问题 1、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，可以通过找特殊的位置确定最值． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 2、求取值范围问题的常用方法 构建所求几何量的单一变量的函数表达式，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，通常会用到基本不等式的公式。 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论）； （2），当且仅当时，等号成立； （3），当且仅当时等号成立； （4），当且仅当时，等号成立； (5)， 当且仅当时等号成立； 【题型二】三角形面积最值问题（利用双勾函数/基本不等式求最值） 【例5】已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值． 【详解】由题意，设直线的方程为，联立，整理可得：， 设，，，，则，， 因为以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，所以 由，，，，则， 将，代入上式并整理得， 则，化简可得，解得：，或， 因为直线不过点，所以，故所以直线恒过点，． 故 设，则在，上单调递增， 当时，，所以的面积的最大值为． 【例6】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸． 以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy， 记动点P的轨迹为曲线C．    （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ） 【详解】（1）由题意可知：，则， 可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以曲线C的方程为. （2）①联立方程，消去y可得， 因为直线与曲线C相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且，则，为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径，  因为到直线的距离，可得， 因为，则，可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值. 变式5 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点．求面积的最大值及此时直线的方程． 变式6 已知椭圆，设为坐标原点，圆的切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值． 【例7】已知椭圆的左右焦点分别为，直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】 【详解】由题意，,设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得，所以 所以所以， 同理联立消去得，所以， 所以所以，即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为. 变式7 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． （1）证明：直线过定点； （2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【题型三】四边形面积最值问题 【例8】已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 【详解】①当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件； ②当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点， 直线轴，，四边形的面积； ③当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，． 则弦长， 设，，，，联立直线与抛物线， 消去可得，则， 由抛物线的定义，弦长， 由于，则四边形的面积， 令，则，即， 可知当时，即直线斜率时，四边形面积有最小值8； 综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8． 变式8 已知椭圆，已知过点的直线与椭圆交于，两点，若，求四边形面积的最大值． 【例9】已知椭圆：，设点，，若点，是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值. 【答案】3 【详解】设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，，， 由椭圆对称性可知：， 又，所以为平行四边形，又， 所以，，则，且，，三点共线， 所以四边形的面积为， 由题意知直线斜率不为0，设直线：，，， 联立，消去，得， 易知，则，， 所以， 又，所以点到直线的距离即为点到直线的距离， 而点到直线的距离为， 所以， 令，则，， 所以， 又，则， 所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为3. 变式9 椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，．当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围． 【题型四】面积的比值 【例10】已知椭圆，设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【详解】当直线的斜率存在时，设直线，，，，， 由消去，得， 所以△，即， 所以，， 因为点在以为直径的圆上，所以，即， 所以，所以， 化简得，经检验满足△成立，所以线段的中点，， ①当时，，此时， ②当时，射线所在直线方程为， 由，消去，得，， 所以，所以，所以，． 综上，的取值范围为，． 【例11】已知点，双曲线的方程，已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围. 【答案】 【详解】因为，所以，又，所以，  设直线， 联立，可得，所以，解得. 又因为双曲线斜率为正的渐近线为，直线， 可得，同理可得， 而 ， 所以，即，所以. 变式10 设抛物线C:，直线是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，是不在直线l上的一点，直线，分别与准线交于P，Q两点． （1）证明：： （2）记，的面积分别为，，若，求直线l的方程． 变式11 已知点在双曲线C：上，如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围． 课后作业 1. 已知椭圆E：，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为，若，求三角形的面积. 2. 已知双曲线：，动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 3. 已知椭圆，已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 4. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 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