定值问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

第2讲 定值问题 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 【题型一】斜率有关的定值 【例1】已知椭圆C：的两个焦点，过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【详解】直线过点，设直线的方程为，再设，，，， 由，消得：，， ，， 为定值． 【例2】已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值． 【详解】由题意知，，，设直线的方程为，，，， 联立，得，，， ， 直线的斜率，直线的斜率， ，为定值． 变式1 已知椭圆，点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【详解】设直线的方程为，，，，． 联立，消去，整理得，△，整理得：． 则，，，， 直线，的斜率分别为，，， ， 为定值2． 【题型二】 向量数量积定值 【例3】己知椭圆C：，若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值． 【详解】设，，则，， 由得：， 则，，； 直线方程为：，，； 同理可得：，又，，， ，为定值. 变式2 已知椭圆，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值． 【详解】设直线的方程为，．代入，整理可得． 解得，于是，直线的斜率为． ，直线的方程为．由，解得 （定值）． 变式3 已知椭圆C：，设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【详解】当切线的斜率不存在时，其方程，将代入椭圆的方程：得，设，，，， 又，，所以，同理可得，也有， 当切线的斜率存在时，设方程为：，设，，，， 直线与圆相切，所以，即，联立， 整理可得：，，， ，所以，所以是直角三角形，． 综上所述：． 【题型三】 面积为定值 【例4】已知椭圆C :，过椭圆外一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，，记，的斜率分别为，，且．求证：的面积为定值． （参考公式：过椭圆上一点，的切线方程为 【详解】设，，，，则，． 因为，过点，，，方程为． 由，可得，△， ． ，的面积为定值． 变式4 已知椭圆C:，若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，的斜率且，试探究的面积是否为定值． 【详解】设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得， 设，，，，可得，， ， ，到直线的距离为， 所以的面积为， 由，可得，即为， 可得，化为，所以， 故的面积为定值1． 课后作业 1． 已知椭圆M：，若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 【解析】当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与椭圆没有交点，与条件矛盾， 故可设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程可得，， 化简可得，所以， 由已知方程的判别式， 又直线过点，所以，所以，所以， 设，则，， 因为，所以， 所以 方法二：设直线的方程为， 由椭圆的方程，得. 联立得，即， ，所以. 因为直线过定点，所以，代入， 得. 2. 如图，椭圆E：，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】2 【详解】由题设知，直线的方程为，代入， 得， 由已知△，设，，，，，则，， 从而直线与的斜率之和： ． 3. 已知椭圆C：，设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值． 【解析】证明：由直线与椭圆相交于、两点，设，，，， 联立，消可得， △，则， 则，， 而， 点在椭圆上，代入椭圆方程：， 整理可得：，满足△， 设到直线的距离为，则， ， 平行四边形的面积为定值 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 定值问题 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 【题型一】斜率有关的定值 【例1】已知椭圆C：，过点的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【详解】直线过点，设直线的方程为，再设，，，， 由，消得：，， ，， 为定值． 【例2】已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值． 【详解】由题意知，，，设直线的方程为，，，， 联立，得，，， ， 直线的斜率，直线的斜率， ，为定值． 变式1 已知椭圆，点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【题型二】 向量数量积定值 【例3】己知椭圆C：，若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值． 【详解】设，，则，， 由得：， 则，，； 直线方程为：，，； 同理可得：，又，，， ， 为定值. 变式2 已知椭圆，过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值． 变式3 已知椭圆C：，设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【题型三】 面积为定值 【例4】已知椭圆C :，过椭圆外一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，，记，的斜率分别为，，且．求证：的面积为定值． （参考公式：过椭圆上一点，的切线方程为 【详解】设，，，，则，． 因为，过点，，，方程为． 由，可得，△， ． ，的面积为定值． 变式4 已知椭圆C:，若点，是椭圆上的两个动点，，分别为直线，的斜率且，试探究的面积是否为定值． 课后作业 1． 已知椭圆M：，若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 2. 如图，椭圆E：，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点，问直线与的斜率之和是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 3. 已知椭圆C：，设直线与椭圆相交于、两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求证：平行四边形的面积为定值． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$