定点问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

第1讲 定点问题 【题型一】直线恒过定点问题的四种解法： 1. 找k与b的关系（首选）：先设出所证直线方程的斜截式，即，再通过题中的条件找到 与 的函数关系（即），再带入直线方程中，转化为只含一个未知数 （斜率）的方程，即可找到定点。 2. 根据两点求直线方程法：分别把直线上两个点坐标求出来，用含有单一变量的参数k（斜率）表示出点坐标，然后根据点斜式写出直线方程，方程中由于只含一个参数，那么就可以找到定点。 3. 求定点坐标法（必须有对称轴）：主要是结合图像的对称性，定点都会在圆锥曲线的对称轴上，若发现定点为x轴上的点，则设出定点坐标再根据题中条件求出 的值，即可找到定点， 4. 找特殊点法：根据动直线的特殊情况，求出定点坐标。然后再去再证明，过该定点的所有直线都成立。 方法一：找k与b的关系 【例1】设分别是椭圆:，的左､右焦点，设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标. 【详解】设直线的方程为， 联立可得，所以， 又， ， 化简整理有，得或. 当时，直线经过点，不满足题意；.当时满足方程中， 故直线经过轴上定点. 变式1 如图，已知椭圆上顶点为，右焦点为，直线与圆相切，其中． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点的动直线与椭圆相交于，两点，且，证明：动直线过定点，并且求出该定点坐标． 变式2已知椭圆上，右顶点为，若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 方法二：求直线方程法 【例2】已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点. 【详解】解法一：设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：， 整理得：，解得：或 将代入直线可得：，所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时，直线的方程为：， 整理可得： 整理得：，所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点． 解法二：找(2)设. 若，设直线的方程为，由题意可知. 由于直线的方程为，所以. 直线的方程为，所以，可得. 由于，故，可得， 即.① 将代入得.，所以. 代入①式得.，解得(舍去)，. 故直线的方程为，即直线过定点.，若，则直线的方程为，过点. 综上，直线过定点. 变式3 在平面直角坐标系中，椭圆C的方程为，设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 变式4 已知双曲线C:的右焦点，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．证明：直线必过定点，并求出此定点的坐标． 方法三：求定点坐标（基于图形的对称性） 【例3】已知椭圆的标准方程为，过点．右焦点为，设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点． 【详解】由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点， 设点，则，所以，直线的垂线的斜率为， 故直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以，直线的方程为， 因为点在直线上，所以，，即，① 又因为，所以，，② 将②代入①可得，即， ，则，所以，直线过定点. 变式5 已知椭圆的方程为，设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围，并证明直线与轴相交于定点． 变式6 已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点．设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点． 方法四：找特殊点 【例4】已知椭圆E：，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【详解】，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程：，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，，且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立，综上，可得直线HN过定点 【题型二】圆恒过定点 【例5】已知椭圆C：，已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由． 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为． 由，可得，，则以为直径的圆的方程为． （2）当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为． 由，可得，，则以为直径的圆的方程为． 显然以上两圆都经过点． （3）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为． 联立消去，得， 设，，，，则，． 所以．所以①， 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，② 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点， 综上可知，以为直径的圆过定点． 变式7 抛物线的方程为，过焦点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由． 变式8 已知椭圆C：，如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论． 课后作业 1.已知双曲线的方程为，设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由． 2. 平面直角坐标系中，椭圆，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．设直线不经过，且与相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：过定点． 3. 椭圆C：的左、右焦点分别为、，右顶点为，若直线与椭圆相交于、两点、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 4. 已知椭圆：，若点为椭圆上异于，的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线定点 一、直线恒过定点问题的四种解法： 1. 找k与b的关系（首选）：先设出所证直线方程的斜截式，即，再通过题中的条件找到 与 的函数关系（即），再带入直线方程中，转化为只含一个未知数 （斜率）的方程，即可找到定点。 2. 根据两点求直线方程法：分别把直线上两个点坐标求出来，用含有单一变量的参数k（斜率）表示出点坐标，然后根据点斜式写出直线方程，方程中由于只含一个参数，那么就可以找到定点。 3. 求定点坐标法（必须有对称轴）：主要是结合图像的对称性，定点都会在圆锥曲线的对称轴上，若发现定点为x轴上的点，则设出定点坐标再根据题中条件求出 的值，即可找到定点， 4. 找特殊点法：根据动直线的特殊情况，求出定点坐标。然后再去再证明，过该定点的所有直线都成立。 方法一：找k与b的关系 【例1】设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为. (1)求椭圆的离心率； (2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标. （1）由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直， 的横坐标为.当时，，即. 又直线的斜率为，所以， 即，即 则，解得或（舍去）， 即. （2）解：已知是椭圆的上顶点，则， 由（1）知，解得， 所以，椭圆的方程为， 设直线的方程为， 联立可得， 所以， 又， ， 化简整理有，得或. 当时，直线经过点，不满足题意；. 当时满足方程中， 故直线经过轴上定点. 变式1如图，已知椭圆上顶点为，右焦点为，直线与圆相切，其中． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点的动直线与椭圆相交于，两点，且，证明：动直线过定点，并且求出该定点坐标． 【详解】（Ⅰ）椭圆上顶点为，右焦点为，， 则直线的方程为，圆的圆心为，半径为， 由直线和圆相切的条件可得，解得（负的舍去），则椭圆的方程为； （Ⅱ）证明：，从而直线与坐标轴不垂直， 由，可设直线的方程为，得到直线的方程为， 将代入椭圆的方程中，并整理得，解得或， 可得的坐标为，，即，， 将上式中的换成，同理可得，，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得直线的方程为， 则直线过定点． 变式2已知椭圆上，右顶点为，若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由． 【详解】由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为（），，，． 联立得． ．∴，， ∵直线与直线斜率之积为．∴， ∴． 化简得， ∴， 化简得，解得或． 当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得（）． 当时，直线的方程为，过定点，不符合题意． 综上所述：直线过定点． 方法二：求直线方程法 【例2】已知A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点. 【详解】解法一：设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得：，所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时，直线的方程为：， 整理可得： 整理得：，所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． 解法二：找(2)设. 若，设直线的方程为，由题意可知. 由于直线的方程为，所以. 直线的方程为，所以，可得. 由于，故，可得， 即.① 将代入得.，所以. 代入①式得.，解得(舍去)，. 故直线的方程为，即直线过定点.，若，则直线的方程为，过点. 综上，直线过定点. 变式3 在平面直角坐标系中，椭圆C的方程为，设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 【详解】依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立， 整理得：，所以，且 因为点是椭圆上一点，即，则， 所以，即 因为 ， 所以，此时， 故直线：恒过x轴上一定点． 变式4已知双曲线C:的右焦点，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．证明：直线必过定点，并求出此定点的坐标． 【详解】设设过的弦所在的直线方程为：，，，，， 则有中点，，联立直线与双曲线的方程：整理可得：， 因为弦与双曲线有两个交点，所以，， 所以，所以，； 当时，将的坐标中的换成，同理可得的坐标，， ①当直线不垂直于轴时，直线的斜率， 将代入方程可得直线，化简可得， 所以直线恒过定点； ②当直线垂直于轴时，可得，直线也过定点； 当时，垂直于轴，则的中点与重合，为轴，的中点为与重合，此时为轴，显然过 当的斜率为0时，则的坐标为原点，此时与轴垂直，这时的中点为与重合，此时直线为轴,也过点； 综上所述直线恒过定点． 方法三：求定点坐标（基于图形的对称性） 【例3】已知椭圆的标准方程为，过点．右焦点为，设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点． 【详解】由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点， 设点，则，所以，直线的垂线的斜率为， 故直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 所以，直线的方程为， 因为点在直线上，所以，，即，① 又因为，所以，，② 将②代入①可得，即， ，则，所以，直线过定点. 变式5 已知椭圆的方程为，设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围，并证明直线与轴相交于定点． 【详解】由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为． 代入椭圆方程，可得．① 由△，得， 又不合题意，直线的斜率的取值范围是：，，． 设点，，，，则，． 直线的方程为． 令，得． 将，代入整理，得．② 由①得， 代入②整理，得． 直线与轴相交于定点． 变式6 已知椭圆，过的直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点．设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点． 【详解】（1）由题意可设直线的方程为，联立椭圆方程， 可得， 设，，，，由题设可得，， 可得，，可得直线的方程为， 令，可得， 故直线过轴上的定点，． 方法四：找特殊点 【例4】已知椭圆E：，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【详解】，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程：，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，，且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立，综上，可得直线HN过定点 【题型二】圆恒过定点 【例5】已知椭圆C：，已知圆的切线与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标，如果不是，请说明理由． 【详解】当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为． 由，可得，，则以为直径的圆的方程为． 当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为． 由，可得，，则以为直径的圆的方程为． 显然以上两圆都经过点． 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为． 联立消去，得， 设，，，，则，． 所以．所以①， 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，② 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点， 综上可知，以为直径的圆过定点． 变式7 抛物线的方程为，过焦点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线别交于点，为坐标原点）．试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由． 【解析】设直线的方程为，，，则，． 得，同理得， 得，．， 则， 则，因此，以线段为直径的圆经过点． 变式8 已知椭圆C：，如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问：以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论． 【解析】以为直径的圆过定点． 证明如下：设，，则，，且，即， ，直线方程为：，， 直线方程为：，， 以为直径的圆为， 或通过求得圆心，得到圆的方程． 即， ，， 令，则，解得． 以为直径的圆过定点． 课后作业 1.已知双曲线的方程为，设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线分别交于，两点，异于点，若，试判断直线是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，设，，，， 则由，得，即，解得，不符合题意，故直线的斜率存在． 不妨设直线的方程为，代入， 整理得，△． 设，，，，则， 由，得，即， 整理得， ， 整理得：，即， 或． 当时，直线的方程为，经过定点； 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线过定点． 2. 平面直角坐标系中，椭圆，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．设直线不经过，且与相交于，两点，若直线与的斜率之和为，证明：过定点． 【详解】证明：①当斜率不存在时，设，，， 直线与直线的斜率的和为，， 解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足； ②当斜率存在时，设，，，，，， 联立，整理，得，，① 直线与直线的斜率的和为， ② ①代入②得，，此时△，存在，使得△成立， 直线的方程为，当时，，过定点． 3. 椭圆C：的左、右焦点分别为、，右顶点为，若直线与椭圆相交于、两点、不是左右顶点），且以为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【详解】证明：设，，，，将代入椭圆方程得． （6分） ，，， 为直径的圆过点，， 右顶点为，，，，， ， 或都满足△，（9分） 若直线恒过定点不合题意舍去， 若直线恒过定点．（12分） 4. 已知椭圆：，若点为椭圆上异于，的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【详解】设直线的方程为：，，则过原点的直线且与直线平行的直线为 因为是直线，的交点，所以，， 因为直线与椭圆联立：，整理可得：， 可得，，即，，因为， 直线的方程为：，联立，解得：，， 由题意可得，设，，所以，，，， 由题意可得以线段为直径的圆过点，所以，所以，，， 可得，①， 要使①成立，，解得：，，或，， 所以的坐标或． 学科网（北京）股份有限公司 $$