第六章 反比例函数 回顾与思考 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第六章 反比例函数 回顾与思考 一、反比例函数的定义 1.反比例函数的定义: 函数y= (k是常数,且k≠0)叫做反比例函数. 2.反比例函数解析式的变形式: (1) y=kx-1 (k≠0) (2) xy=k (k≠0) 要点梳理 二、反比例函数的图象与性质 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 图象形状 k>0 k<0 位置 增减性 位置 增减性 y=kx ( k≠0 ) x k ( k是常数,k≠0 ) y = 直线 双曲线 一三象限 y随x的增大而增大 一三象限 在每个象限内 y随x的增大而减小 二四象限 二四象限 y随x的增大而减小 在每个象限内y随x的增大而增大 1.反比例函数的图象是两支曲线， 2.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限. 3.当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大. 4.因为在y= k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交. 5. 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P、Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1、S2，则S1＝S2 反比例函数图象解读 k的几何意义：反比例函数图像上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 ． 三、反比例函数比例系数k的几何意义 四、反比例函数的应用 一般解题步骤 应用类型 与数学问题相结合 学科间的综合（物理公式） 审题、准确判断数量关系 建立反比例函数的模型 根据实际情况确定自变量的取值范围 实际问题求解 练习与提升 一、反比例函数的概念 1.下列函数中，不是 的反比例函数的是( ) C A. B. C. D. 2.若点是反比例函数图象上一点，则常数 的值为( ) A A.3 B. C. D. 3.已知和成正比例，和成反比例，则和 成____比例. 反 7 二、反比例函数的图象与性质 4.在反比例函数的图象上有两点， ，当时， 有，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 5.已知点，， 都在反比例函数的图象上， 则，， 的大小关系为( ) C A. B. C. D. 6.点，在反比例函数的图象上，若，则 的取值范围是_______. 8 三、反比例函数中 的几何意义 7.如图，正比例函数与反比例函数 的图象相交于 ，两点，轴于点，轴于点 ，则四边形 的面积为___. 2 8.如图，已知点，过点作轴于点， 轴 于点，反比例函数的图象交于点，交于点 . 若四边形的面积为12，则 ___. 6 9 四、反比例函数与一次函数的综合 9.如图，，两点在函数 的图象上. 10 （1）求的值及直线 的表达式； 解：由图象可知，函数的图象经过点，可得 . 设直线的表达式为 . ，两点在函数 的图象上， 解得 直线的表达式为 . 11 （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图 中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数. 解：如图，图中阴影部分（不包括边界）所含格点是，， ，共3个. 12 10.如图，一次函数与函数为 的图象交于， 两点. （1）求这两个函数的解析式； 13 解： 反比例函数的图象经过点 ， ， . 反比例函数解析式为 . 把代入，得， . 一次函数的图象经过点， ， 故一次函数解析式为 . 14 （2）根据图象，直接写出满足时 的取值范围； 解：由图象可得，满足时， . （3）点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点 ， 若的面积为3，求点 的坐标. 解：由题意，设且 ， ， ， ， 解得，，或 . 15 五、反比例函数的应用 11. 物理 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长 （单位：）会随着电磁波的频率（单位： ）的变化而变化.已知波长 与频率 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 10 15 50 波长 30 20 6 （1）求波长 关于频率 的函数解析式； 解：设波长 关于频率的函数解析式为 . 把点代入，得 ， 解得， . 16 （2）当时，求此电磁波的波长 . 解：当时， . 答：当时，此电磁波的波长 为 . 17 12.已知在平面直角坐标系中有矩形，满足， . 图1 （1）如图1，若反比例函数的图象经过点，且与 交于点，求点 的坐标； 解： 四边形是矩形，， ， 点 的横坐标为2. 把代入，得 ， 点的坐标为 . 18 （2）如图2，将矩形沿线段翻折，使得点与点重合，此时点， 在同一个 反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边的长度和线段 所在直线的解析式. 图2 19 图2 解：如图2，连接 ，设反比例函数解析式为 . ，，，， ， . 由题意可知， .由勾股定理，得 ， . 20 ， ，整理，得 ， 则，解得 （负值舍去）， ，， . 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为 . 13. 物理 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的 蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 (灯丝的阻值) 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻 ，之间的关系为 ， 通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … 22 （1）___， ____. 2 1.5 （2）【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究 函数 的图象与性质. 23 ①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象； [答案] ②随着自变量的不断增大，函数值 的变化趋势是__________. 不断减小 24 （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时， 的解集为 _____________. 或 25 $$