6.2 反比例函数的图象与性质 第1课时　课件　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 6.2 反比例函数的图象与性质 第六章 反比例函数 第1课时 反比例函数的图象 1.会用描点法画出反比例函数的图象,并掌握反比例函数图象的特征.（重点） 2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点） 学习目标 1．什么是反比例函数？ 2．反比例函数的定义中需要注意什么？ （1）k ≠0. （2）xy = k． 3．还记得一次函数的图像与性质吗？ 一般地，形如 的函数叫做反比例函数． 复习回顾 函数 正比例函数 表达式 图象形状 k>0 k<0 位置 增减性 位置 增减性 y=kx(k是常数，k≠0） 直线（经过原点） 一、三象限 从左到右上升 y随x的增大而增大 二、四象限 从左到右下降 y随x的增大而减小 反比例函数 ？ 你还记得画一次函数图象的步骤吗？ 列表 描点 连线 问题：如何画出反比例函数 的图象？你是怎样画的？与同伴交流. 知识讲解 1.自变量x需要取多少值?为什么? 2.取值时要注意什么? 解：（1）列表 -1 -2 - 4 - 8 8 4 2 1 -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 （2）描点： 一组x和y的对应值就是一个点的横、纵坐标. （3）连线： 用光滑曲线顺次连接各点， 得到函数 的图象. O 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -8 • • • • • • • • • • • 6 (1)列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数且易于计算的值，这样既可简化计算,又便于对称性描点; (2)列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势; (3)连线时，按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性； …… 议一议 1.你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题? 曲线不能有明确的端点，且不与坐标轴相交. 常见错误 错误一：用线段连接图象 错误二：两支图象连在一起 错误三：没有将图象延伸 错误四：与坐标轴相交 （1）图象是两支曲线，分布在第一、三象限. （2）当x<0时,图象在第三象限，当x>0，图象在第一象限. （3）它是轴对称图形，对称轴是直线：y=x和y=-x；它是中心对称图形，对称中心是坐标原点. 2.观察探究：观察 这个函数的图象，它有什么特点? 3.其他的反比例函数 的图象是否有同样的特点呢？ （1）列表 用描点法画 的图象. （2）描点 （3）连线 得到函数 的图象. x … - 8 - 4 -3 -2 -1 … … … 1 2 4 8 x … 1 2 3 4 8 … … … - 8 - 4 - 2 -1 议一议 （1）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点? x y x y 双曲线 O O 相同点：（1）图象都是由两支曲线组成的,它们都不与坐标轴相交. （2）两个函数图象都是轴对称图形,它们都有两条对称轴. （3）都是中心对称图形，对称中心都是坐标原点. 不同点：当k=4时,图象的两支分别位于第一、三象限； k=﹣4时, 图象的两支分别位于第二、四象限. （1）形状 反比例函数 的图象由两支曲线组成，这两支曲线 通常称为双曲线. （2）位置 由k决定： 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内. （3）对称性 中心对称图形，其对称中心是坐标原点； 轴对称图形，两条对称轴：直线 y=x 和直线 y=-x. 归纳总结 反比例函数 的图形特征： 1.画反比例函数图象的一般步骤： ①列表：自变量的取值应以原点O为中心，在O的两边取五对(或五对以上)互为相反数的数，再求出相应的函数值； ②描点：由于反比例函数的图象是两条关于原点对称的曲线，所以画图象时，可先画一个分支，再根据对称性画出另一个分支； ③连线：连线时要按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接各点． 课堂小结 2. 反比例函数图象及位置： 反比例函数 表达式 图象 位置 第一、三象限 第二、四象限 当堂练习 知识点一 反比例函数的图象 1.反比例函数 的图象位于( ) A A.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2.如图是反比例函数的图象，那么与0的大小关系是 ___0. 第2题图 第3题图 3. 开放性设问 反比例函数 的图象分布情况如图 所示，则 的值可以是_________________.（写出一个符合条件 的 值即可） 1（答案不唯一） 16 4.作出反比例函数 的图象，并根据图象解答下列问题： 解：列表： … 2 4 6 … … 6 3 2 … 17 描点，连线如图所示. 18 （1）当时，求 的值； [答案] 当时， . （2）当时，求 的值. [答案] 当时， . 19 知识点二 反比例函数图象上点的坐标 5.反比例函数 的图象一定经过的点是( ) C A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数 的图象上，其中，为常数， 且，则点 一定在( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知反比例函数的图象经过点，则当时， ____. 20 知识点三 反比例函数图象的对称性 8.对于反比例函数 图象的对称性叙述错误的是( ) D A.关于原点中心对称 B.关于直线 对称 C.关于直线对称 D.关于 轴对称 9.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 ，且正 方形的一组对边与 轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴 影部分的面积等于___. 1 10.把反比例函数的图象沿 轴翻折，可以得到反比例函数________的图象. 21 11.已知正比例函数的图象经过点 ，反比例函数的图象位于 第一、第三象限，则一次函数 的图象一定不经过 ( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12. 开放性设问 如图，已知点，，反比 例函数图象的一支与线段 有交点，写出一个符 合条件的 的整数值：_________________. 4（答案不唯一） 22 第13题图 13.如图，的半径为2，双曲线的解析式分别为 和 ，则阴影部分的面积是____. 第14题图 14.如图，矩形的顶点， 在反比例函数 的图象上，若点的坐标为 ， ，轴，则点 的坐标为______. 23 15.小红同学根据学习函数的经验，对新函数 的图象和性质进行了如下探究， 请帮她把探究过程补充完整． 第一步：通过列表、描点、连线作出函数 的图象. … 0 1 2 … … 6 3 2 1.5 … 第二步：在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象. 24 （1）观察发现：函数 与反比例函数 的图象都是双曲线，并且形状也相同， 只是位置发生了改变．小红还发现，这两 个函数图象既是中心对称图形，又是轴对 称图形，则函数 的图象的对称中心 的坐标是________； 25 （2）应用：若点，在函数的图象上，且 ，直接 写出， 的大小关系． 解：由图可知，当时， ； 当，时， ； 当时， . 26 课时微专题 直线与双曲线 的两交点的对称性 直线与双曲线 的两交点关于原点对称. 1.已知直线与反比例函数的图象交于， 两点.若 点的坐标是，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 2.如图，双曲线与直线交于， 两点，且 ，则点 的坐标是________. 27 3. 新定义型阅读理解题 定义：一次函数的特征数为 .若一 次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数 的图象交 于，两点，且点，关于原点对称，则一次函数 的特征数是 _________. 28 $$