第一章 有理数 复习导学案 2025--2026学年人教版七年级数学上册

第一章有理数单元总结导学案 一、学习目标 1. 系统梳理有理数相关概念，包括有理数分类、数轴、相反数、绝对值等，能准确阐述其定义与性质。 1. 熟练掌握有理数的四则运算及混合运算规则，提高运算准确性与速度。 1. 学会运用有理数知识解决实际问题，提升数学应用与逻辑思维能力。 二、学习重难点 重点：有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念与应用；有理数的加、减、乘、除及乘方运算。 难点：绝对值性质的灵活运用；有理数混合运算中的符号处理；有理数在实际问题中的建模与求解。 三、知识点自主预习填空 1. 有理数包括______和______，整数包含______、和，分数包含______和______ 。 1. 规定了______、______和______的直线叫做数轴，数轴上的点与______一一对应。 1. 只有______不同的两个数互为相反数，a 的相反数是______，0 的相反数是______ 。 1. 在数轴上，一个数所对应的点与原点的______叫做该数的绝对值，正数的绝对值是______，负数的绝对值是______，0 的绝对值是______ 。 1. 有理数加法法则：同号两数相加，取______的符号，并把______相加；异号两数相加，取______的符号，并用______减去______；互为相反数的两数相加得______；一个数同 0 相加，仍得______ 。 1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的______ 。 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得______，异号得______，并把______相乘；任何数与 0 相乘，都得______ 。 1. 有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的______ ；两数相除，同号得______，异号得______，并把______相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得______ 。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：有理数的分类 详细内容：有理数可分为整数和分数。整数包括正整数、0 和负整数，例如 5、0、-3；分数包括正分数和负分数，像。也可按数的正负性分为正有理数、0、负有理数，正有理数包含正整数和正分数，负有理数包含负整数和负分数。 常考易错点：容易混淆小数与分数的关系，部分无限不循环小数不属于有理数；对 0 的分类模糊，0 既不是正数也不是负数，但属于整数和有理数。 经典例题 1：下列说法正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称为整数 B. 分数和小数都是有理数 C. 0 是最小的有理数 D. 有理数包括整数和分数 答案：D 解析：整数包括正整数、0 和负整数，A 错误；无限不循环小数不是有理数，B 错误；没有最小的有理数，C 错误；有理数包括整数和分数，D 正确。 变式题 1：在 - 2，，0，3.14，-0.3，1.010010001… 中，有理数有（ ） A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 3 个 答案：B 解析：-2 是负整数，是分数，0 是整数，3.14 是有限小数可化为分数，-0.3 是分数，1.010010001… 是无限不循环小数不是有理数，所以有理数有 5 个，选 B。 知识点 2：数轴 详细内容：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。任何有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数 。通过数轴可以直观地比较有理数的大小，在数轴上右边的数总比左边的数大。 常考易错点：画数轴时易遗漏原点、正方向或单位长度；不能准确在数轴上找到数对应的点，尤其是分数和小数；利用数轴比较大小时，忽略方向导致错误。 经典例题 2：在数轴上表示 -2.5 的点在（ ） A. -2 与 -1 之间 B. -3 与 -2 之间 C. 2 与 3 之间 D. 1 与 2 之间 答案：B 解析：-2.5 大于 -3 且小于 -2，所以在数轴上表示 -2.5 的点在 -3 与 -2 之间，选 B。 变式题 2：数轴上点 A 表示 -1，点 B 表示 2，那么 A、B 两点间的距离是（ ） A. -3 B. 3 C. 1 D. -1 答案：B 知识点 3：相反数 详细内容：只有符号不同的两个数互为相反数。a 的相反数是 -a ，0 的相反数是 0。互为相反数的两个数的和为 0，在数轴上，互为相反数的两个数（0 除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等。 常考易错点：对 “只有符号不同” 理解不透彻，误将数字不同的数当作相反数；化简多重符号时出错，如 -(-a) 的化简。 经典例题 3：-5 的相反数是（ ） A. 5 B. -5 C. D. 答案：A 解析：根据相反数定义，-5 的相反数是 -(-5) = 5，选 A。 变式题 3：若 a 与 3 互为相反数，则 a 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 答案：B 解析：因为 a 与 3 互为相反数，所以 a = -3，选 B。 知识点 4：绝对值 详细内容：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用 “| |” 表示。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 ，即当 a > 0 时，∣a∣=a；当 a = 0 时，∣a∣=0；当 a < 0 时，∣a∣=−a。任何有理数的绝对值都是非负数，即​∣a∣≥0 常考易错点：忽略绝对值的非负性；在绝对值方程或不等式中，对绝对值符号内数的正负性讨论不全面；比较两个负数大小时，忘记 “绝对值大的反而小”。 经典例题 4：​∣−3∣的值是（ ）​ A. 3 B. -3 C. D. 答案：A 解析：根据绝对值定义，∣−3∣表示 -3 到原点的距离，距离为 3，所以​∣−3∣=3，选 A。 变式题 4：若∣x∣=5，则 x 的值为（ ） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 以上都不对 答案：C 解析：绝对值是 5 的数，到原点的距离为 5，这样的数有 5 和 -5，所以 x = ±5，选 C。 知识点 5：有理数的运算 详细内容： 1. 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。 1. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b) 。 1. 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0 。几个不等于 0 的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。 1. 除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数，即 （b≠0）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 。 1. 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 常考易错点：运算中符号错误，如加法中异号两数相加符号判断失误，乘法中负因数个数判断错误导致积的符号错误；忽略运算顺序，随意进行计算；在减法转化为加法时，忘记变号。 经典例题 5：计算：(-3) + 5 - (-2) 答案：4 解析：(-3) + 5 - (-2) = (-3) + 5 + 2 = 2 + 2 = 4。 变式题 5：计算： 答案：12 解析： 五、效果检测（判断题） 1. 正分数和负分数统称为分数。（ ） 1. 数轴上的点都表示有理数。（ ） 1. 一个数的绝对值一定是正数。（ ） 1. 互为相反数的两个数的绝对值相等。（ ） 1. 两数相加，和一定大于任何一个加数。（ ） 1. 减去一个负数，差一定大于被减数。（ ） 1. 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负。（ ） 1. 0 除以任何数都得 0。（ ） 1. 有理数混合运算中，应先算乘除，后算加减。（ ） 6、 课后作业 1．实数的绝对值等于（　　） A． B．-2025 C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入20元记为元，那么支出30元记为（    ） A．元 B．30元 C．元 D．50元 3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入1300元记作，则元表示（    ） A．收入1000元 B．收入100元 C．支出1000元 D．支出100元 4．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上，则记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 5．冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 6．在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（   ） A． B． C． D． 7．在这四个数中，最接近0的数是（   ）． A． B． C． D． 8．下面四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 9．下面哪个数最小（   ） A．0 B． C． D． 10．下列各数中，比小的数是（    ） A.-2025 B． C．0 D．1 11．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 12．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是(    ) A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 13．在数，，，中，比小的数是（   ） A． B． C． D． 14．在有理数，，0，2中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．2 15．下列各数中，比小的数是（   ） A．1 B． C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．实数的绝对值等于（　　） A． B．-2025 C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入20元记为元，那么支出30元记为（    ） A．元 B．30元 C．元 D．50元 3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入1300元记作，则元表示（    ） A．收入1000元 B．收入100元 C．支出1000元 D．支出100元 4．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上，则记作，则表示气温为（    ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 5．冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 6．在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是（   ） A． B． C． D． 7．在这四个数中，最接近0的数是（   ）． A． B． C． D． 8．下面四个数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 9．下面哪个数最小（   ） A．0 B． C． D． 10．下列各数中，比小的数是（    ） A．-2025 B． C．0 D．1 11．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（   ） 北京 太原 郑州 苏州 0℃ 3℃ 4℃ A．北京 B．苏州 C．太原 D．郑州 12．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是(    ) A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 13．在数，，，中，比小的数是（   ） A． B． C． D． 14．在有理数，，0，2中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．2 15．下列各数中，比小的数是（   ） A．1 B． C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 整数；分数；正整数；0；负整数；正分数；负分数 1. 原点；正方向；单位长度；有理数 1. 符号；-a；0 1. 距离；它本身；它的相反数；0 1. 相同；绝对值；绝对值较大；较大的绝对值；较小的绝对值；0；这个数 1. 相反数 1. 正；负；绝对值；0 1. 倒数；正；负；绝对值；0 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：√ 解析：分数包括正分数和负分数，该说法正确。 1. 答案：× 解析：数轴上的点与实数一一对应，不都表示有理数，还有无理数，该说法错误。 1. 答案：× 解析：0 的绝对值是 0，不是正数，任何有理数的绝对值是非负数，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等，该说法正确。 1. 答案：× 解析：例如 -1 + (-2) = -3，和 -3 小于加数 -1 和 -2，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：减去一个负数等于加上一个正数，所以差一定大于被减数，该说法正确。 1. 答案：× 解析：几个不等于 0 的有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，若有一个因数为 0，积为 0，该说法错误。 1. 答案：× 解析：0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0，0 不能作除数，该说法错误。 1. 答案：× 解析：有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，该说法错误。 （3） 课后作业答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D A C B B B A 题号 11 12 13 14 15 答案 C A B B C 1．A 【分析】本题考查了绝对值，掌握是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【详解】解：收入20元记作元，那么支出30元记作元， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据题意，正数表示收入，则负数表示支出，据此即可解答． 【详解】解：若收入1300元记作，则元表示支出1000元， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若气温为零上，则记作，则表示气温为零下． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了正数和负数．理解具有相反意义的量是解决本题的关键． 根据零上和零下是具有相反意义的量，可直接得结论． 【详解】解：∵零上，记作， ∴零下记作：． 故选A． 6．C 【分析】此题主要考查了数轴及有理数的比较大小，解决此类问题的关键是注意负数比较大小绝对值大的反而小的理解．本题是对有理数的大小比较的综合考查，注意负数比较大小绝对值大的反而小． 【详解】解：， 在和之间． 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．由题意依据有理数大小比较的法则进行大小比较，即可判断选项． 【详解】解：依据有理数大小比较的法则可得， ∴最接近0的数是， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是：． 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 即比小的数是-2025． 故选：A． 11．C 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键． 根据，即可得到答案． 【详解】解：， 四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原， 故选：C． 12．A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个城市中北京的气温最低， 故选：A． 13．B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键． 【详解】解：由有理数的大小比较方法可得，， ∴比小的数是， 故选：． 14．B 【分析】根据有理数大小比较的基本原则解答即可． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故最小的数是， 故选：B． 15．C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C. ∵，∴，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． $$