4.第二十四章 圆（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十 圆的有关性质 中考热点1)利用半径相等计算或证明 1.(原创题)如图，MN是半圆0的直径，正方形 ABCD和正方形CEFG彼此相邻（点B,C,E在直 径MN上，点A,D,F在半圆上，点G在CD上)， 若正方形CEFG的面积为1，求圆O的半径. D 中考热点2)圆的周长与面积 2.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大 半圆，另一条路是4个小半圆.有一天，一只猫和 一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半 圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着 4个小半圆行走，假设猫和老鼠行走的速度相 同，那么下列结论正确的是 R A.猫先到达B地 B.老鼠先到达B地 C.猫和老鼠同时到达B地 D.无法确定 阅盟学堂数学九年级全一册RJ版1 四章 圆 中考热点3)垂径定理的应用 3.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量 的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大 深度为0.1米 (1)求此下水管横截面的半径； (2)随着污水量的增加，水位又被 抬升0.7米，此时水面的宽度 增加了多少？ A55B 4.如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M,点E 是弧AD的中点，连接AD,CE,延长AE,CD,交于 点F (1)证明：∠AEC=2∠C; (2)当AM=4,CD=6时，求AF的长. 7 培优滚动练第二十四章 中考热点4)弧、弦、圆心角的关系 5.【圆心角、弧、弦之间的关系相关证明】如图， ∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，AB分别交 OC,OD于点E,F. 求证：AE=CD 6.【用圆心角与弧之间的关系解最值问题】如图， AB是⊙O的直径，点C是半 圆上的一个三等分点，点D是 AC的中点，点P是直径AB上 一点，若⊙0的半径为2，则 PO PC+PD的最小值是 中考热点⑤)巧构直径与直角 7.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的半圆 交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使 EF=AE,连接FB,FC. (1)求证：四边形ABFC是菱形； (2)若AD=7,BE=2,求半圆形和菱形ABFC的 面积 闵盟学温数学九年级全一册RJ版I 8.如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A, B,D作⊙O (1)求证：AB是⊙0的直径； (2)延长CB交⊙O于点E,连接DE,求证： DC=DE; (3)若BC=5,CD=4,求BE长 中考热点(6)直线与圆的位置关系 9.如图，已知⊙P的半径为2，圆心 P在抛物线y=-1上运动， 当⊙P与x轴相切时，圆心P的 坐标为 中考热点⑦)用“连半径，证垂直”证切线 10.如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD 交⊙O于点D,交BE于点F,C是BE延长线上 一点，且FC=AC. (1)求BD的长； (2)求证：AC是⊙0的切线. 8培优滚动练第二十四章 中考热点8)用“连垂直，证半径”证切线 11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中 点，腰AB与⊙0相切于点D,OB与⊙0相交于 点E.求证：AC是⊙O的切线. 中考热点9)切线长定理 12.如图，⊙0与△ABC的AC边相切于点C,与BC 边交于点E,⊙O过AB上一点D,且DE∥AO, CE是⊙O的直径. (1)求证：AB是⊙0的切线： (2)若BD=4,EC=6,求AC的长 D 闵盟学堂数学九年级全一册J版1 13.如图，正方形ABCD的边长为4，⊙0的半径为 1.若⊙0在正方形ABCD内平移（⊙0可以与 该正方形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距 离的最大值为 D B 第13题 第14题 14.【整体思想求周长】如图，PA,PB切⊙0于点A, B,PA=10,CD切⊙0于点E,交PA,PB于C,D 两点，则△PCD的周长是 () A.10 B.18 C.20 D.22 15.【三角形外接圆和内切圆综合】如图，点E是 △ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外 接圆于点D. (1)求证：ED=BD; (2)若∠BAC=90°，△ABC的外接圆⊙0的直 径是6，求BD的长 中考热点10正多边形与圆的相关计算和证明 16.如图，正△ABC外切于⊙0，正方形DEFG内接 于⊙O,若正△ABC的边长为6，则正方形DEFG 的边长为 9 培优滚动练第二十四章 17.如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB= 60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧， 交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的 面积是 A.18-3m B.18-V3π C.32√5-16π D.183-9m 中考热点11)圆锥的侧面积与全面积 18.【利用圆锥公式进行相关计算】如图，在矩形纸 片ABCD中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片 ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面 和侧面，则AB的长为 A.3.5cm D B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm 19.【分类讨论思想一旋转几何体】已知在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,以AB 边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得 几何体的表面积为 20.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，BD平 分∠ABC交⊙O于点D,过点D作DE⊥BC于 点E. (1)求证：DE与⊙0相切； (2)若AB=10,AD=6,求DE的长； (3)在(2)的条件下，直接写出CD的长 为 D 闵盟学堂数学九年级全一册RJ版2 中考热点12圆综合 21.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AC 为直径，BD=AD,DE⊥BC,垂足为E. (1)求证：CD平分∠ACE; (2)判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明 理由； (3)若CE=1,AC=4,求阴影部分的面积 0 培优滚动练第二十四章B :四边形BCEM是矩形， .∴.BC=EM=6. :将矩形ABCD绕点A顺时针 旋转， .AE=AB=10,AG=AD=6, ∠EAG=∠BAD=90°. :AEBN=2AB·BM, ∴BN=EM=6, ∴.AN=√AB-B =√/100-36 =8. 在△AGH和△NBH中， f∠HAG=∠HNB. ∠AHG=∠NHB. LAG=NB=6. .△AGH≌△NBH(AAS), .NH=AH =4,BH=GH, .BH =BN NH =36+16 =2v13, .BG=413 8.(1)证明：如图1，延长EF交CD 于点H,过点H作HN⊥CF于 点N, 0 图1 ,四边形ABCD和四边形AEFG 是菱形， .AE=AG=GF AD=AB=CD=BC AG∥EF,AE∥GF∥CD ∠BAD=60°=∠BCD ·四边形BEHC是平行四边形 四边形DHFG是平行四边形， ∠DHE=∠BCD=60°， .DG=FH,BC =EH. ∴.AB-AE=EH-EF ∴.BE=FH=CH. ∴.∠HFC=∠HCF=30°， 又.HN⊥CF,FH=CH=DG, ∴.HF=2HN=DG,FN=3HN, FN-NC-CF. .3DG=CF; (2)解：结论仍然成立，理由如下： 如图2，把△ADG绕着点D逆时 针旋转120°得到△CDH,连接 GH,延长DG,CF交于点K,作 DN⊥GH于点N, 阅盟学是数学九年 即下水管横截面的半径0.5米； M (2)如图2，过 点0作OH⊥ MN于点H, ∴.NH=MH, ,水位又被抬 B 升0.7米， 图2 图2 .0H=0.1+0.7-0.5=0.3米， .AG=CH,∠AGD=∠CHD, .NH=√ON-Of :四边形AEFG是菱形， =0.25-0.09 .AG=FG,∠AGF=120°， =0.4(米)， .CH=GF, .MN=0.8米，.增加了0.2米， ∠GDH=120°，DG=DH, .水位又被抬升0.7米，水面的宽 DN⊥HG 度增加了0.2米 ∴∠DGH=∠DHG=30°， 4.(1)证明：直径AB⊥弦CD于点 GN=NH, M,..AC=AD. ∴.DG=2DN,GN=3DW, :点E是弧AD的中点， GH=2GN, :HG =3DG, .2DE =AD.:.2DE =AC. ,·.∠CHG=∠CHD-∠DHG= ·∠AEC=2∠C: ∠CHD-30° (2)解：∠AEC=2∠C. ∠HGF=360°-∠AGF-∠AGD- ∠AEC=∠C+∠F, ∠DGH .∠C=∠F =360°-120°-∠AGD-30° ∠DAE=∠C,∴.∠DAE=∠F, =210°-∠AGD. .AD DF. ∴.∠CHG+∠HGF=180o CD=6,直径AB⊥弦CD, .CH∥FG, .DM=7 CD=3. ,四边形CHGF是平行四边形， .CF=HG,CF∥HG .AM =4,..AD AM DM CF =3DG. √42+3=5 9.4510.(-1,-2)或(5,2) ∴，DF=5,.MF=DM+DF=8, 1.①2312.A13.D14.2 .AF=/AM+MF=√4+8 =45. 第二十四章圆 5.证明：如图，连接AC, L.解：根据对称性有B0=C0,设OC =x,则CD=2x,如图，连接 OD.OF. B :∠A0B=90°， C,D是AB的三等分点， .0D2=0C2+CD=5x2, ·AC=CD=BD :正方形CEFG的面积为1， .∴.∠AOC=∠COD=∠BOD= ,∴.CE=EF=I, 30°，AC=CD ∴0F=1+(x+1)2, 又0A=0C, .·OD=OF 1+(x+1)2=5x2, LACE=2×(180°-30) 解得x,=1,=- 2(舍去)， =75 ,∠A0B=90°，0A=OB, 0F=5 ∴.∠OAB=45°，∠AEC=∠AOC+ 2.C ∠0AB=75° 3.解：(1)如图1，作 、∠ACE=∠AEC.∴，AE=AC. 半径OD⊥AB于 ∴.AE=CD. 点C,连接OB,则 6.22 CD=0.1米 7.(1)证明：AB是直径， 由垂径定理，得 ∠AEB=90°， BC=74B=Q3米 ·AE⊥BC, 图1 AB=AC,∴.BE=CE 在Rt△OBC中 .AE=EF OB'=OC+BC ·四边形ABFC是平行四边形， .0B=(0B-0.1)2+0.09, AC=AB. B0=0.5, ·四边形ABFC是菱形： (2)解：如图，连接BD,设CD=x, 级全一册RU版78参考答案 :AB是直径 ∴.∠ADB=∠BDC=90 ,△ABC为等腰三角形，点O是 .AB'AD CB"CD 底边BC的中点， .(7+x)2-72=42-x2 .A0⊥BC,A0平分∠BAC, 解得x=1或x=-8(舍去)， AB与⊙O相切于点D, .AC=8,BD=V8-7=15, .OD⊥AB,而OF⊥AC,.OF =0D, 1 S数影x=8√/下，小S横=2× ∴.AC是⊙O的切线 π×42=8π. 12.(1)证明：如图，连接O0, 8.(1)证明：如图，连接BD. ·.·AB=CB.AD=CD 0D=0E, .BD⊥AC, ∴.∠ADB=90° .∠OED=∠ODE. AB是⊙O的直径； DE∥OA. ..∠ODE=AOD (2)证明：∠E=∠A, ∠DEO=∠AOC ∠C=∠A, ∴.∠E=∠C,∴.DC=DE: .∠AOD=∠AOC, (3)解：∠E=∠A,∠C=∠C, AC是切线 ∴.△EDC∽△ABC ,∴.∠ACB=909 BC=5.CD=4. 在△AOD和△AOC中， OD =OC. CECDCD 4 ∴&-mBC5 ∠AOD=∠AOC. CA=2CD=8, OA=0A. 66=号×8 .△AOD≌△AOC(SAS), 5 ∴，∠AD0=∠ACB=90°， OD是半径， E=CE-BC -5=5 ∴.AB是⊙0的切线： (2)解：：AB是⊙0的切线. 9.(6,2)或(-6,2) .∠BD0=90° 10.(1)解：如图，连接0D, ∴.BD2+0D23=0B .42+32=(3+BE)2 ∴.BE=2,∴BC=BE+EC=8, AD,AC是⊙0的切线， .AD=AC,设AD=AC=x, 在Rt△ABC中， AB'=AC+BC :BE为⊙O的直径， .(4+x)2=x2+82,解得x=6, ∴.∠BAE=90°， ..AC=6. AD平分∠BAE ∠BAD=∠EAD=45 13.32+1 ∴.∠BOD=2∠BAD=90°， 14.C 在Rt△BOD中， 15.(I)证明：：点E是△ABC的内 BD=√2+2=22： 心，.∠BAD=∠CAD, ∠ABE=∠CBE, (2)证明：如图，连接OA, ,∠CBD=∠CAD AC=FC,∴.∠FAC=∠CFA, ∴.∠BAD=∠CBD :∠DFO=∠CFA, .∠BED=∠ABE+∠BAD .∠DFO=∠FAC,OA=OD, :∠EBD=∠CBE+∠CBD ∴.∠OAF=ODF ∴.∠BED=∠EBD,∴.ED=BD: 由(1)知∠B0D=90°， (2)解：如图，连接CD, ∴.∠DFO+∠ODF=∠CAF+ ∠0AF=90° ∴.OA⊥AC于点A,∴.AC是⊙O 的切线. 11.证明：如图，连接AO,OD,作OF ⊥AC于点F, 饲盟学盘数学九年级全一册RJ版79参考答案 ∠BAC=90° ∴.BC是⊙0的直径. .∠BDC=90° :⊙0的直径是6， .BC=6. E为△ABC的内切圆的圆心， ∴.∠BAD=∠CAD,∴.BD=DC, BD=c=号C=32 66c18B19 20.(1)证明：如图，连接0D. E HO OD=OB,∴.∠ODB=∠OBD :BD平分∠ABC. ∴.∠OBD=∠CBD .∠ODB=∠CBD..OD∥BE. BE⊥DE,.OD⊥DE. :0D是⊙0的半径， .DE与⊙O相切： (2)解：如图，过点D作DH⊥AB 于点H. BD平分∠ABC,DE⊥BE. DH⊥AB, .'DH DE. :AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=90 AB=10,AD=6. .BD =AB -AD =/10-6=8. 24B.DM=2AD·0B, m0:号 .DE-DW-: (3)解：：BD平分∠ABC, .AD CD,.'.CD =AD=6. 故答案为6. 21.(1)证明：BD=AD ∠BAD=∠ACD. .:∠DCE=∠BAD ∴.∠ACD=∠DCE, 即CD平分∠ACE: (2)解：直线ED与⊙0相切， 理由如下：如图，连接OD, 0 B .OC =OD ∴.∠OCD=∠ODC, 而∠OCD=∠DCE, .∠DCE=∠ODC, .OD∥BC, DE⊥BC.OD⊥DE. ∴.ED为⊙O的切线： (3)解：如图，作OH⊥BC于 点H, 则四边形ODEH为矩形， .OD EH, .CE=1,AC=4 .0C=0D=2, .CH=HE-CE =2-1=1, 在Rt△OHC中， ∠H0C=30°，∠C0D=60°， ∴阴影部分的面积 =S形0cD-Sa0n _60×πx2- 360 422 3m-3 第二十五章概率初步 1.解：(1)正三角形、平行四边形、 圆、正五边形中只有圆既是中心 对称图形又是轴对称图形， ∴.抽到的卡片既是中心对称图形 又是轴对称图形的概率是子 (2)依题意画出树状图如下： 开始 一共有12中情况，抽出的两张卡 片的图形是中心对称图形的是 B,C共有2种情况 :,P(抽出的两张卡片的图形是中 21 心对称图形)=2=6 2解：0号 (2)画树状图如图所示： 开始 123123123 积123246369 共有9种等可能的结果，其中两 次摸出球上的数字的积为奇数的 结果有4种， ∴两次摸出球上的数字的积为奇 数的概率为号 3.解：(1)抽查的学生人数为(3+ 2)÷10%=50(人)： 中位数为89=485， 得分50分的女生人数为50-5- 6-7-7-16-4=50-45=5人 所以女生的成绩的平均数为 45×2+46×4+47×3+48×4+49×7+50×5 2+4+3+4+7+5 =1200=48. 25 故答案为：50,48.5,48； (2)女生得分50分的有5人，所 以补全图形如图： 阅盟学是数学九年 梢渣的学体芹成兹斯殿统倒 面积为2的概率为号高 3 人本 (3)由分析可知，以A,B,M为顶 点的直角三角形共有12个， .以A,B,M为顶点的三角形是 45分6分4？分5分49分50分芬数 直角三角形的概率为号司 (3)设得分50分的男生分别为男 1、男2、男3、男4，其中男1、男2 7.解：(1)21÷29=0.72： 59÷91=0.65: 是体育特长生，得分50分的女生 分别为女1、女2、女3，女4、女5. 124÷176≈0.70，…当投掷的次 其中女1、女2是体育特长生.列 数很大时，则四的值越来越接近 表如下： 0.7: 女1女2女3 女4 女5 (2)观察表格得：随着投掷次数的 男1，女1男1，女2男1.女3男1，女4男1，女 增大，小石子落在圈内（含圈上） 期2男2，女1男2，女2米男2.女3寒男2，女4？男2，女5 男3男3，女1男3，女2男3.女3月3，女4男3.女5) 的频率值稳定在0.4： 男4男4.女1男4，女2男4，女3痒男4.女4男4.女5 (3)设封闭图形的面积为a, 由表可知，一共有20种等可能情 根据题意得4红=0.4， 况，其中都不是体育特长生的有6 种情况， 解得a=10m. 8.解：(1)画树状图如图所示： 所以P(都不是体育特长生) 6 开始 4.解：设3枚卵分别为甲、乙、丙，它 y231312 们解化后的可能结果如图： 点Q的所有坐标为(1,2)，(1 3).(2.1).(2,3),(3.1),(3.2): (2)由(1)可知，共有6种等可能 的结果，其中点Q(x,y)在函数 y=-x+4图象上的结果有2种， 由图可知，所有可能的结果有8 ∴.点Q(x,y)在函数y=-x+4图 种，这些结果出现的可能性相等， 其中满足3只雏鸟中恰有3只雌 象上的概率为名-了 鸟为（事件A)的结果有I种， 9.解：(1)画树状图如图所示： 所以 开始 P(A)- 5.解：(1)画树状图如下： 42342 由图知共有12种等可能结果： 第一 (m,n)所有可能情况为(1,2)， 第次 (1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2 4).(3,2),(3,3),(3,4),(4,2), 3 (4,3).(4,4). (2)共有6种情况，能组成分式的 (2)方程x2-5x+6=0的解为 有+1王 3,3四种情况， x1=2,x2=3, x’x+1'x+1'x 2.1 P(小明获胜)= 所以P心分式)=号 2=6 21 6.解：(1)如图所示.（共12个，这是 P(小刚获胜)=2=6： 其中。个：。。。 故游戏公平 10.解：(1)画树状图如下： 总共有20种结果，每种结果出 现的可能性相同，正四面体着地 的数字与转盘指针所指区域的 数字之积为4的有3种情况，故 (2)由分析可知：只要M不在AB 正四面体着地的数字与转盘指 上或者AB的延长线上，ABM都可 针所指区域的数字之积为4的 以构成三角形，共有9×7一7= 63-7=56个 概率为： 又由(1)知，以A,B,M为顶点 的三角形的面积为2的三角形共 (2):方程ar+3x+4=0有 有12个， 实数根的条件为：9-ab≥0， 二以A,B,M为顶点的三角形的 ∴.满足ab≤9的结果共有14种： 级全一册RJ版80参考答案