2.第二十二章 二次函数（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十二章 一二次函数的图象 L.二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y= 2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-2h 和二次函数y=-kx2+2x-4(k是常数且k≠0) 的图象可能是 并 二抛物线中a,b和c的几何意义 3.已知抛物线y=ax2+br+c,如图，直线x=-1 是其对称轴，与x轴的一个交点为(-3,0) (1)判断符号：a 0,b 0,c 0,b2 Aac 0,a-b+c 0:a+b+c0. (2)当x满足 时，y<0. 第3题 第4题 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,且过点（分，0小，有下列结论：①ac>0: ②a-2b+4c=0:③3b+2c>0:④a-b≥ m(am-b),其中正确的结论为 () A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 阅盟学堂数学九年级全一册RJ版 二次函数 目二次函数的应用 中考热点1)复杂靠墙问题 5.一段长为30m的墙MW前有一块矩形ABCD空 地，用100m长的篱笆围成如图所示的图形（靠 墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中 四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形 EBGF是边长为I0m的正方形，设CD=xm. (1)若矩形CDHG面积为125m2,求CD长： (2)当CD长为多少米时，矩形ABCD的面积最 大，最大面积是多少？ D (行 培优滚动练第二十二章 中考热点2)销售问题 6.小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多 种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那 么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y (单位：千克)与增种桃树x(单位：棵)之间的函 数关系如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵 时，桃园的总产量可以达到6750千克？ (3)如果增种的桃树x满足：20≤x≤40，请你帮 小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是 多少千克？ 千克 74- 66 012 28 x/棵 阅盟学堂数学九年级全一册R版 中考热点3)抛物线形隧道问题 7.(2023·香洲区校级月考)如图，隧道的截面由抛 物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为 8m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴，线 段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的 距离为6m. (1)求抛物线的解析式. (2)一辆货运卡车的高4.5m,宽2.4m,它能通 过该隧道吗？ (3)如果该隧道内设双行道，在隧道正中间设有 0.4m的隔离带，那么该辆货运卡车还能通 过隧道吗？ 培优滚动练第二十二章 四二次函数的综合 中考热点1)面积问题，求PA+PB最小值 8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+ bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0), 与y轴交于点C. (1)b= (2)若点D在该二次函数的图象上，且S△Am= 2SaAc,求点D的坐标； (3)若点P在抛物线的对称轴上，求PA+PC的 最小值 阅盟学堂数学九年级全一册RJ版 9.如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于 A(1,0),B(-3,0)两点 (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线与y轴交于点C,在该抛物线的对 称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最 小？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请 说明理由： (3)如图2，P是线段BC上的一个动点.过点P 作y轴的平行线交抛物线于点E,求线段PE 长度的最大值 图1 图2 培优滚动练第二十二章 中考热点2)与等腰三角形，特殊四边形综合 10.抛物线W:y=ar2+bx+3(a≠0)与x轴交于 A(1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式： (2)已知点P为x轴上一点，是否存在这样的点 P,使得△BCP是以CP为腰的等腰三角形， 若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请 说明理由. 阅盟学堂数学九年级全一册RJ版 山.如图，抛物线y=-+低+e与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C.直线y=2x+2经过点A,C (1)抛物线的解析式为 ,点B 的坐标为 (2)若点P是第一象限内抛物线上一点，连接 BP并延长交直线AC于点E,当CE=AC 时，求点P的横坐标； (3)若点G是抛物线上一点，点H是x轴上一 点，是否存在这样的点G,H,使以点A,C, G,H为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请求出点G的坐标：若不存在，请说明 理由. ● 培优滚动练第二十二章 中考热点3)二次函数与角度 I2.如图1，抛物线y=ax2+c与x轴交于点A,B,与 y轴交于点C,P为x轴下方抛物线上一点，若 0C=20A=4. (1)求抛物线解析式； (2)如图2，若∠ABP=∠ACO,求点P的坐标. 图1 图2 阅盟学堂数学九年级全一册J版 13.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与 y轴交于点C,点D(3,4)在抛物线上，点P是 抛物线上一动点， (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接OD,若OP平分∠COD,求点P 的坐标； C 图1 培优滚动练第二十二章 (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点 P,使∠CBP+∠AC0=45?若存在，请直 接写出点P的坐标；若不存在，请说明 理由 图2 阅盟学堂数学九年级全一册R版1 中考热点(4)求三角形面积最大值 14.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点 A(-1,0),与y轴交于点C(0,-3). (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平 行线交抛物线于点H,交BC于点V,设 OP=t,△BCH的面积为S,求S关于t的函 数关系式，若S有最大值，请求出S的最大 值：若没有，请说明理由. 0培优滚动练第二十二章 中考热点（⑤）二次函数与直角三角形综合 15.如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,连接 BC. (1)求A,B,C三点的坐标： (2)若点P为线段BC上的一点（不与B,C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M,交x轴于点N, 当线段PM的长度最大时，求点M的坐标； (3)在(2)的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q,使得△CNQ为直角三 角形，直接写出点Q的坐标 阅盟学堂数学九年级全一册版11培优滚动练第二十二章据题意，得 矩形CDHG面积=GC·CD=(8O- (40-x-20)(200+20x)=(40- 3x)x=125. 20)×200. 整理，得x2-10x=0. 解得x=25或号（舍去）， 解得x1=0(不合题意，舍去)， .CD长为25m; x2=10. (2)设矩形ABCD的面积为5，则 答：若日利润保持不变，每千克 s=BC·CD=x(90-3x)= “阳光玫瑰”售价可降低10元； -3x2+90x=-3(x-15)2+675, (2)设该商品需要打y折销售， -3<0,故抛物线开口向下， 根据题意，得 而20≤x<30,当x>15时，3随x 50×六s40-10 的增大而减小， 故当x=20(m)时，s取得最大值为 解得y≤6，∴y的最大值为6. -3×(20-15)2+675=600(m2). 答：该商品至少需打六折销售. 答：当CD长为20m时，矩形 23.解：(1)设x秒后△PBQ的面积 ABCD的面积最大，最大面积是 等于8cm2. 600m 则AP=xcm,QB=2xcm, 6.解：(1)设函数的表达式为 ∴.PB=6-x. y=kx+b, 由7×(6-x2x=8, 该一次函数过点(12,74)，（28， 66), 解得x1=2,x2=4, 答：2s或4s后△PBQ的面积等 得+6=74解得k=-2 128k+b=66, 于8cm2; b=80, (2)设出发xs时△DPQ的面积 ∴该函数的表达式为 等于28cm2 y=- :S知形ABcD 2￥+80： SACDO=S△Dr0y (2)根据题意，得 2x6-2 (-0.5x+80)(80+x)=6750. ×12x-7×2x(6- 解得x1=10,x2=70. 1 投入成本最低，.x2=70不符 x）-2×6×(12-2x)=28, 合题意，舍去 化简整理得x2-6x+8=0, ∴.增种桃树10棵时，桃园的总产量 解得x1=2,2=4, 可以达到6750千克； 答：2s或4s后△PDQ的面积等 (3)根据题意，得 于28cm2; 0=(-0.5x+80)(80+x) (3)设xs后PQ⊥DQ,∠DQP为 =-0.5x2+40x+6400 直角， =-0.5(x-40)2+7200. ∴△BPQ∽△CQD, ·.'a=-0.5<0 BP BQ ∴.抛物线开口向下，函数有最 而 大值 设AP=x,QB=2x, 20≤x≤40 “治装 ∴.当x=20时，和最小值=7000 千克， 2x2-15x+18=0, ∴.桃园的总产量最少是7000 解得=弓或6， 千克。 7.解：(1)设抛物线的解析式为y= ax +bx+c, 经检验x=子是原分式方程的 依题意，得抛物线经过点E(0, 根，x=6不是原分式方程的根， 6),D(4,2),A(-4,2), rc=6, 当x=6时，点P到达点B、点Q 16a+4b+c=2, 到达点C,此时PQ⊥DQ. 16a-4b+c=2, 3 答：2s或6s后PQ1D0 1 第二十二章二次函数 解得 a=-4' b=0. 1.A2.C c=6. 3.(1)<<>> > ∴抛物线的解析式为 (2)x>1或x<-3 4.D +6 5.解：(1)由题意得： (2)能，理由如下： 3x+20+GC=100 由(1)知抛物线的解析式为 解得GC=(80-3x)m. ·BC=BG+GC=10+80-3x= 90-3x, 依题意，得当x=1.2时， 而0<BC≤30， 即0<90-3x≤30， y=-4x1.2y+6=564(m）. 解得20≤x<30, 5.64>4.5,∴.货运卡车能通过 阅盟学墓数学九年级全一册U版74参考答案 隧道. (3)不能，理由如下： 依题意，得当x=0.2+2.4时， y=-4×262+6=431(m. 4.31<4.5,∴.货运卡车不能通 过隧道。 8.解：(1)：点A和点B在二次函数 y=x2+bx+c图象上， 则89+36 舒得化：子 故答案为-2，-3： (2)如图，连接BC,依题意，得 A A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), y=x2-2x-3, =31AB110c=7× :SAABC= 4×3=6, SAABD =2SAABC, 设点D(m,m2-2m-3), 7×4Bx=2x6,即 2×4×m2-2m-3|=2×6, 解得：m=1+√0或1-√10，代入 y=x-2x-3, 可得，y值都为6， .D点坐标为(1+0,6) 或(1-/10,6)： (3)设BC交对称轴于点P, 此时，PA+PC最小，最小值为BC 的长BC=√32+3=32， 故PA+PC的最小值为3√2. 9.解：(1)将点A,B代入抛物线，得 「-1+b+c=0,① 1-9-3b+c=0,② 将①-②，得8+4b=0, .b=-2, 代入①，得c=1-b=3, .y=-x2-2x+3; (2)令x=0,.y=3,.C(0,3), ∴.对称轴x=-1. 如图1，由抛物线性质可知点A关 于x=-1的对称点为B, 图1 ∴.AQ+QC=BQ+QC≥BC(三角 形两边之和大于第三边，Q在BC 上时取等号) .△QAC周长最小时， Q为BC与x=-1的交点 设lac:y=kx+b,代入B,C, 得{6.0,0 ②代人①，得k=1,.y=x+3. 令x=-1,得y=2,∴Q(-1,2); (3)设P(m,m+3)(-3≤m≤ 0), 点P在线段BC上， .E(m,-m2-2m+3). :PE∥y轴，E在抛物线上， ∴.PE=-m2-2m+3-(m+3) =-m2-3m 31299 =-（m+2)+4≤4 故PB最大值为？ 10.解：(1)y=ax2+bx+3(a≠0) 与x轴交于A(1,0),B(4,0), 89-0. a=4 3 解得 6=- ∴.抛物线的解析式为 y=-+3 (2):抛物线的解析式为 y=-+3, ∴.点C(0,3) 设点P(x,0),由点C,B,P的坐 标，得 CP2=x2+3,PB2=(x-4)2, CB=42+32=25, 当PC=PB时，即x2+32=(x-4)2. 解得=8 当PC=CB时，x2+3=25, 解得x=4(舍去)或-4； 点P的坐标为日0或(-4,0) 11.解：(1)对于y=2x+2, 令y=2x+2=0, 解得x=-1; 令x=0,则y=2 故点A,C的坐标分别为(-1， 0),(0,2) 将点A,C的坐标代人抛物线表 达式，得 3x(-12-b+e=0, lc=2, 3 解得6=2， lc=2, 故抛物线的表达式为 y-+2+2 令y-7+2+2=0, 解得x=4或-1， 故点B(4,0) 故答案为y=-宁+子+2， 阅盟学堂数学九年易 (4，0)； (2)由点A，B，C的坐标知 解得 $$\left\{ \begin{array}{l} x _ { 1 } = 2 ， \\ y _ { 1 } = 0 ， \\ \end{array} \right.$$ ( 舍去)或 $$A B = 5 ， A C ^ { 2 } = 5 ， B C ^ { 2 } = 2 0 ，$$ 即 $$A B ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } ，$$ $$x _ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } ，$$ ∴△ABC 为直角三角形， 即 BC⊥AE. 而 CE=AC， $$y _ { 2 } = - \frac { 7 } { 4 } .$$ 故 AB=EB=5. 设点 E(m，2m+2)， ∴ 点P坐标为 $$\left( - \frac { 3 } { 2 } ， - \frac { 7 } { 4 } \right)$$ 则 $$\left( m - 4 \right) ^ { 2 } + \left( 2 m + 2 \right) ^ { 2 } = 2 5 ，$$ 13.解： (1)∵ B(4，0)， 解得 m=-1( (舍去)或 点 D(3，4) 在抛物线 故点E(1，4). $$y = - x ^ { 2 } + b x + c$$ 上， 由B，E的坐标，得直线BE的表 $$y = - x ^ { 2 } + b x + c + c ，$$ 的 达式为 $$y = - \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 1 6 } { 3 } . \textcircled 2$$ ② |-9+3b+c=4， 联立 ①② 并解得 x=4 (舍去) 解得 $$\left\{ \begin{array}{l} b = 3 ， c = 3 ， c = 4 ， \\ c = 4 ， \end{array} \right.$$ $$\frac { 5 } { 3 } ，$$ ∴ .该抛物线的解析式为 $$y = - x ^ { 2 } + 3 x + 4 ；$$ 即点P的横坐标为 $$\frac { 5 } { 3 } ；$$ (2)如图 1， ，分两种情况讨论： yA (3)存在.理由如下：设 点 G(m， $$n \right) ， n = - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 2 .$$ C D 当AC是平行四边形的对角线 时，由中点坐标公式， 得 0+2=n+0， ，解得n n=2， B 即 $$n = - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } m + 2 = 2 ，$$ E x 解得 m=0( (舍去)或3， 即点G(3，2)； 当AH是平行四边形的对角 线时， 同理可得 0+0=n+2， 解得 n=-2， 图1 ①当点P在第一象限时，作 则点 $$C \left( \frac { 3 \pm \sqrt { 4 1 } } { 2 } ， - 2 \right)$$ ∥y轴，交OD于点Q，交x轴 当AG是平行四边形的对角线 于点 E. 时，同理可得，点G(3，2). ∵PE∥ y轴， ∴∠OPQ=∠POC 综上所述，点G 的坐标为 ∵OP 平分 ∠COD， $$\left( \frac { 3 \pm \sqrt { 4 1 } } { 2 } ， - 2 \right)$$ 或(3，2). ∴∠POQ=∠OPQ，∴PQ=OQ ∴∠POC=∠POQ， 2.解： (1)∵OC=4，∴c=-4， 设 的解析式为 y=kx， ∴ 抛物线的解析式为 将D(3，4)代入，得 $$k = \frac { 4 } { 3 } ，$$ y=ax-4， $$y = a x ^ { 2 } - 4 ，$$ ∵OC=2OA=4，∴A(-2，0)， ∴OD 的解析式为 $$y = \frac { 4 } { 3 } x .$$ ∴0=4a-4， ，解得 a=1， ， ∴抛物线的解析式为 $$y = x ^ { 2 } - 4 ；$$ 设点 的横坐标为 t， (2)如图2，过点A作 x 轴的垂线 则 $$P \left( t ， - t ^ { 2 } + 3 t + 4 \right) ，$$ 交 交 BP 的延长线于点( Q. ▲ $$Q \left( t ， \frac { 4 } { 3 } t \right) ， E \left( t ， 0 \right) ，$$ ，其中 0<t<4. B $$\overrightarrow { B x }$$ $$\overrightarrow { B } x$$ $$\therefore P Q = - t ^ { 2 } + 3 t + 4 - \frac { 4 } { 3 } t = - t ^ { 2 } +$$ $$\frac { 5 } { 3 } t + 4 ，$$ 图1 图2 在 △BAQ 和 △COA 中， $$O E = t ， E Q = \frac { 4 } { 3 } t ，$$ $$\angle Q A B = \angle A O C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore O Q = \sqrt { O E ^ { 2 } + E Q ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 3 } t .$$ AB=OC=4， ∠ABQ=∠OCA， ∴△BAQ≅△COA(ASA)， $$\therefore \frac { 5 } { 3 } t = - t ^ { 2 } + \frac { 5 } { 3 } t + 4 ，$$ ∴AQ=OA=2，∴Q(-2，-2) 解得 $$t _ { 1 } = 2 ， t _ { 2 } = - 2$$ (舍去)， ∵B(2，0)，Q(-2，-2)， ∴t=2， ∴直线 BQ 的解析式为 $$\therefore - t ^ { 2 } + 3 t + 4 = - 4 + 6 + 4 = 6 ，$$ $$y = \frac { 1 } { 2 } x - 1 ，$$ ∴ .点P的坐标为(2，6)； )； ②延长PO交抛物线于点 P'， 由 图1可知，点 P' 也符合题意 联立 $$y = \frac { 1 } { 2 } x - 1 ，$$ 由点P(2，6)可得直线OP的解 $$y = x ^ { 2 } - 4 .$$ 析式为 y=3x. 全一册 J版 75 参考答案 联立=，+3x+4, "ly=3x. 得-6=0， 解得6或名 解得二子 “点P(-2,-6). ,抛物线的解析式为 综上所述，点P的坐标是(2,6) y=x2-2x-3, 或(-2，-6)： y=x2-2x-3=(x-1)2-4 (3)如图2，过点B作∠ABP=∠ACO, .顶点的坐标为(1，-4)； (2)如图，设直线BC的解析式 为y=kx+d(k≠0)， P 图2 交y轴正半轴于点F,交抛物线 在抛物线上，当y=0时，即x2- 于点P, 2x-3=0. 则∠CBP+∠ACO 解得：x1=3,x2=-1, =∠CBP+∠ABP ..B(3,0), =∠ABC=45° 将B(3,0),C(0,-3)代人 ·∠OBF=∠OCA,OB=OC, y=kx+d(k≠0)中， ∠B0F=∠C0A=90°， ∴.△OBF≌△OCA, 得+0餐得合 ∴.0F=0A=1, ∴直线BC的解析式为y=x-3, .F(0,1) 0P=t,B(3,0),OB=3, 设直线BF的解析式为y=mx+n, 设点P的坐标为(1,0)，则点N 将B(4,0),F(0,1)代入， 的坐标为(t,-3),点H的坐标 为(t,t2-2t-3), 得”0解 ∴.NH=t-3-(2-21-3)=- n=1, 2+31, .直线BF的解析式为 .S=S△BcH=S△aNm+S△cwm 4x+1, =号M·0s=2×3(-f+ [y=-x2+3x+4, 9 3)=-号2+2t= 3 联立 =- 4+L, 3 x=-4 引 解得 19 或4， y=16 ly=0, 051≤3，- <0, ∴S有最大值， 六当：=弓时S取最大值，最大 如图2，作点F关于直线BC的 对称点F',作射线BF交抛物线 值为贸 于点P,连接CF 15.解：(1)对于y=-x2+2x+3,令 由对称的性质，得∠F'CB= x=0,则y=3,.C(0,3),令y ∠FCB=45° =0, CF'=CF=OC-OF=3. ∠CBF'=∠CBF. 则y=-x2+2x+3=0,解得x1 ·点P也符合题意. =3,为3=-1， :'∠F'CB=∠OBC=45° ∴.A(-1,0),B(3,0): ∴CF∥0B,.F'(3,4). (2)设BC的表达式为y=x+ 由点B(4,0)和点F(3,4)可得直 6,则8+6解得63. 线BF的解析式为y=-4x+16, 联立=-+3x+4, .直线BC的表达式为y=-x+3 设点P的坐标为(t,-t+3),则 1y=-4x+16, 点M的坐标为(t,-2+21+3), 解得化或& ∴.PM=-t2+2t+3+t-3 ∴.点P的坐标是(3,4) =-t2+31 综上所述，点P的坐标是 -1度340 14.解：(1)把点A(-1,0),点C(0, 当1=受时，PW最大，此时点M -3)代入地物线的解析式 的坐标为（受》： 阅盟学堂数学九年级全一册U版76参考答案 (3)y=-x2+2x+3=-(x- 1)2+4. .抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.设Q(1,m),且C(0,3), o cN=√+( 35 2 CQ=√1+(m-3)7 =√m2-6m+10, 0-√-+ 1 =√m2+子 :△CNQ为直角三角形， “分点C为直角顶点、点Q为直 角顶点和点N为直角顶点三种 情况： ①当点C为直角顶点时，则有 c+60=0,即3+ （m2-6m+10)=m2+4, 1 解得m= ，此时点Q的坐标 为： ②当点Q为直角顶点时，则有 CO2 NO2 CN2 (m2 -6m+ 3⑤ 解得m 3+11 2，m2= 3,此时点Q的坐标为 2 ③当点N为直角顶点时，则有 CN2+NO2=CO2, +2+=-6m +10), 解得m=一子，此时点Q的坐标 为1，) 综上所述，点Q坐标为 (,)1,废 （,32,3 第二十三章旋转 1.(1)证明：：将△ADF绕点A顺时 针旋转90°得到△ABG, .△ADF≌△ABG, ..AF=AG, ∠DAF=∠BAG ∠DAB=90°，∠EAF=45°， ∴.∠DAF+∠EAB=45°， ∴.∠BAG+∠EAB=45°， 即∠EAF=∠EAG. 在△EAG和△EAF中，