8.第二十八章 锐角三角函数（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 第1课 三角函数的定义 知识储备影 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° B (1)斜边= (1)斜边= (2)∠A的对边= 3 (2)∠B的对边= (3)∠A的邻边= (3)∠B的邻边=」 (4)∠A的对边。 斜边 (4)∠B的对边。 斜边 新课学习盼 锐角三角函数的定义： 在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A的三角函数如下： LA的正弦：nA=∠A的对边=a 斜边 c ∠A的余弦：0sA=∠A的邻边。 斜边 ∠A的正切：tanA= ∠A的对边= ∠A的邻边 3.@如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则： 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则： sin A= ,sin B= sin A= sin B= cos A= cos B= cos A= cos B= tan A= ,tan B= tan A= tan B= 13 5.@如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6, BC=8,求sinA及∠B的正切值. BC=3,求cosB及∠A的正弦值， B 3 228 RJSX 过天检测 凸基础训练 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,8.(2023·韶关仁化县二模)在Rt△ABC中， AC=3,则sinA的值是 ∠C=90°，若AC=6,BC=4,则tanA= .3 B c.5 D. 9.如图，AB是⊙0的直径，BC= 10.如图，PA是⊙0的切线，A 3,AB=5,则sinB= 为切点，PA=8,OP=10,则 B ∠P的余弦值为 马能力训练 11.【原创题】如图，根据图中 60 12.（2023·东莞一模)在Rt△ABC中，∠C= 数据填空. 30 90°，BC=1,AC=2,下列各式中，正确的是 a sin a cOS a tan a 30 AmA=方 B.cosA=2 1 60° C血4=号 D.tanB- 3拓最训维 13.(2023·中山期中)如图，在平面直角坐标14.(2023·东莞校级三模)如图，网格中小正 系中，点A的坐标为(4,3)，则tana的值是 方形的边长为1，点A,B,C都落在格点上， 则sinA= A. 4 5 B.3 4 D. 3 15.如图，根据图中数据完成填空或证明. 16.如图，根据图中数据填空，再按要求答题： 放大（或缩小倍 A' b从 图1 图2 图3 图4 (1)在Rt△ABC中，∠A+∠B= ,请 (1)sin2A sin2B= ； 直接写出sinA与cosB的数量关系为 sin'Az +sin'B2 sin2A3 sin'B3 (2)将△ABC放大（或缩小）k倍得到与 (2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中， △ABC相似的△A'B'C,则∠A=∠A',猜 ∠C=90°，则sin2A+sin2B= (3)如图4，利用三角函数的定义和勾股定 想sinA sin A',cos A cos A', 理，证明你的猜想 tan A tanA(选填“>”“<”或 “=”).选择其一证明。 RJSX 229核心素养及数学思想 1.(RU九下72改编)[数学建模]比萨斜塔是3.(RJ九下P84改编)如图，要想使人安全地 意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设 攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地 塔顶中心点为点B,塔身中心线AB与垂直中 面所成的角α一般要满足45°≤α≤60°.现 心线AC的夹角为∠A,过点B向垂直中心线 有一架长6m的梯子 AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB, (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高 BD,AD的长度，利用测量所得的数据计算 的墙？ ∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小.下 (2)当梯子底端距离墙面3√3m时，a等于 列关系式正确的是 多少度？此时人是否能够安全使用这架 A.sin A= BD 梯子？ AB B B.cos A= AB AD 垂直中心线 塔身中心线 C.tan A= AD BD D.sin A=AD 2.(RJ九下P85)[与折叠综合]如图，折叠矩形 ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F 处.已知折痕AE=5,5cm,且.tanLEFC=3 (I)△AFB与△FEC有什么关系？ (2)求矩形ABCD的周长， E 4.(BS九下PI1改编)如图，一段长1500m的 水渠，它的横截面为梯形ABCD,其中AB∥ CD,BC=AD,渠深AE=0.8m,底AB=1.2m, 坡角为45. (1)求梯形ABCD的面积； (2)该段水渠最多能蓄水多少立方米？ 45 RJSX 247第3课 特殊角的三角函数值 。新课学习 知识点1推导特殊角的三角函数值 1.根据如图所示三角板的数据填空： 2.根据如图所示三角板的数据填空： sin30°= ,sin60°= sin45°= c0s30°= ,c0s60°= 30 c0s45°= tan30°= ,tan60°= 60B tan45°= 3.默写表格并熟记 ! 知识点2由特殊角度求三角函数值 ∠A的度数 30° 45° 60° 4.填空： (1)sin30°= sin A (2)2cos60°= (3)3tan45°=； cos A (4)2sin45°= tan A (5)sin230°= (6)tan230°= (7)sin60°·tan60°= 5.计算： 6.计算： (1)sin30°+4tan45°-2cos60°； (1)(2023·东莞模拟)3tan30°+tan45°- 2sin60°； (2)sin260°+cos260°. (2)tan245o-sin2450 c0s2450 232 RJSX 知识点3由三角函数值求特殊角度 7.已知∠A是锐角，填空： 8.(2023·广州黄埔区二模)在△ABC中，若 (1)若sinA=2,则∠A= sm4-+经-sA=0,求∠c的度数 (2)若tanA=1,则∠A= (3)若2cosA=1,则∠A= (4)若tan2A=3,则∠A= 过天检测 凸县础训孩 9.(2023·广州天河区模拟)tan45°= 10.已知∠A是锐角，且1-2sinA=0,则∠A= 11.已知∠A为锐角. 12.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且 (1)若tanA=√3，则∠A= tanB-3+(2sinA-√3)2=0，则△ABC (2)若2sinA=1,则∠A= 是 ( ) (3)若tan(∠A+15)=1,则∠A= A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 马能打训缘 13.计算：√3tan30°·tan45°-2cos60°. 14.(2023·广州白云区月考)计算： (）'--2+5am45+2-1.49 3拓展训练 15.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB与弦 16.【原创题】先比较大小，再按要求回答问题 CD相交于点E,连接AC,BD.若AC=2,则 (1)si30 lan30°，cos458 sin45° c0s30° cos D= tan45°； (2)猜想：对任意锐角α， sin a tan a; cos a (3)证明你的猜想。 RJSX 233第5课解直角三角形的应用(1) 新课学习 1.仰角与俯角 2.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图. 如图： 自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间 (1)抬头看时，视线与水平线的夹角叫做仰 的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为 角，图中人眼看点A的仰角= ； (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， (2)低头看时，视线与水平线的夹角叫做俯 tan37°≈0.75) B 角，图中人眼看点B的俯角= A.7.5米 铅垂线 B.8米 视线 C.9米 人限 30仰角 水平线 D.10米 俯角 视线 知识点1解单一直角三角形 3.④如图，小方在放风筝，风筝飞到C处时的4.如图，小明为了测量学校旗杆C的高度，在地 线长为20米，小方正好站在A处，∠CBD= 面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗 60°，牵引线底端B离地面1.5米，求风筝离 杆顶端D的仰角为32°，AC为18米，求旗杆CD 地面的高度 的高度.（参考数据：sin32°≈0.5，tan32°=≈0.6） D B人60 77777777777777777 知识点2解两个“共边”直角三角形 5.④如图，热气球探测器显示，从热气球底部A6.如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼顶点 处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼 C处的仰角为60°，楼底点D处的俯角为 底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水 13°.若两座楼AB与CD相距60m,那么楼 平距离为120m,这栋高楼有多高？ CD的高度约为多少米？（结果精确到1m, 参考数据：tan13°≈0.23，W3≈1.73) 30 60 7777777 B4-601m* D 236 RJSX 过天检测 (之基础训练 7.如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端8.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得 B处的俯角为30°，荷塘另一端D处与C,B A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进 在同一直线上.已知AC=36米，CD=18米， 20米，到达点C,再次测得点A的仰角为 则荷塘宽BD为 米 60°，则物体AB的高度为 米 30 30 60 马能力训缘 辽拓最训练 9.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六10.如图，建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC 号载人飞船发射取得圆满成功，如图中的照 相距20米的D处观测旗杆顶部A的仰角 片展示了中国空间站上机械臂的一种工作 为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗 状态，当两臂AC=BC=10m,两臂夹角 杆AB的高度.（结果保留小数，点后一位.参 ∠ACB=100时，求A,B两点间的距离.（结 考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62， 果精确到0.1m,参考数据：sin50°≈0.766， tan52°≈1.28，w2≈1.41) cos50°≈0.643，tan50°≈1.192) 52 45 000 20m 11.如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观 察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米.求旗杆AC的高度. 30 459 RJSX 237EH∥BC, ∴.△AEH△ABC. 第二十八章锐角三角函数 混物四 EH AK. 120-x 120 第1课三角函数的定义 解得x=60. 答：这个正方形的边长为60cm 1.(523(3)4(4)号 (2)设正方形的边长MN为acm, 2.(1)c (2)b (3)a(4) :AD为△ABC的高， .∠ADB=90° 锐角三角函数的定义：。 MN∥BC. c b ÷.∠APM=∠ADB=90 12125 5 12 :MN∥BC. 5 3.3331332 ∴.△AMN∽△ABC. a-120-40,解得a=24. 4.5 3 3 44 55534 120=120 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90° .6a2=6×242=3456(cm2). AB=AC2+BC=√62+8 答：正方体的表面积为3456cm2. =10. 5.解：(1)设正方形的边长为xcm, :AD是△ABC的高， sin A= C8-4 B=10=5 ∠ADB=90. tan B= :四边形PQMN是正方形， B=8=4 ∴PN∥BC. 6.解：在Rt△ABC中， ∴.∠ADB=∠AEP=90°. PN∥BC, m8胎-名宁 ∴.△APN∽△ABC. sinA= 60 解得x=36 7c8号 ∴加工成的正方形零件的边长是 3 36cm. 2 2 2 (2)存在，理由如下：设PN=acm 矩形PQMW的面积为S,由(1)可 12.A13.D 14⑤ 5 知院-品”。四 15.(1)90°sinA=cosB 60 (2)= 解得P0=60-号aS=PN,0= 以下证明sinA=sinA' simA=g,in'= =0 0-子=-子d2+60= ck c .'sin A sin A'. -号u-45)2+130, 16.(1)111(2)1 (3)证明：在Rt△ABC中 -号<0当0=45时， ∠C=90°，a2+b2=c2. Sx=1350..PN=45cm, +nB=(广+（色 P0=60-号=30(cm: 。+ -=1. ∴，矩形的面积存在最大值.面积达 .'sin'A sin'B=1. 到最大时，矩形零件的两条边长分 第2课利用三角函数值求边长 别为45cm,30cm. (3)设P=acm,由(1)可知 1.a6 c a 0(60-子)m 2解：以m4胎g宁 :所要加工成的零件是一个黄金 ,BC=2. 矩形（餐5 3.解：，c0sA= AC3 AB ,4C=6, PQ-5-1 AB=10 PN 2 4.解：tanA= BC 15 60-35,1 2 AC=8 BC=15, 2 解得a=46.7. 则0=60-号×67-28m 解得AC=8. 由勾股定理，得 ∴.黄金矩形的长约为46.7cm,宽约 AB =AC +BC=8+15 为28.9cm. =17. 阅盟学盘数学九年级全一册RU版45参考答案 5解：s50-侣 .AC=AB·cos50° ≈1000×0.64 =640(米). 6.解：设AB=AD=x,则AE=x-4. cos A=5 3 5 解得x=10. ∴.菱形的周长为40. 7.解：如图，连接OB. ,AB为⊙0的切线， ∴.∠OBA=90° 设0B=OC=x, 则0A=0C+AC=x+16. 'sin A= 5.0B5 304=13 小x+16i6=10. 8c9号 a解B=指-高 AB=13, .AC=5 由勾股定理，得 BC=√AB-AC =√132-5 =12. A能号 11.解：(1)如图，过点B作BC⊥OA 于点C YA 0 在R△BCO中， sin∠AOB=BC-BC、3 = 0B-5=5 .BC=3. ∴.OC=√/OB-BC =/52-32=4. .点B的坐标为(4,3)： (2).A(10.0),∴.0A=10. 又，0C=4,∴.AC=10-4=6. 又：BC=3, .AB=BC+AC=√32+6 =35. 12.解：：∠BAC=90°， ∴.∠B+∠C=90 又：AD⊥BC,∴.∠ADC=90°. ∴.∠DAC+∠C=90 .∠B=∠DAC 六eos LDAC=c0sB=5 4 在R1△ADC中，AD=4, cos∠DAC=AD=4 AC=5 -手AC=5 4 14.解：原式=3-(2-3)+1 13.解：(1)如图所示，AD即为所求 =3-2+3+1 =2+5. 15.3 16.(1)==(2)= (3)证明：如图，在Rt△ABC中， sin a=a b (2)由(1)可得AD⊥BC, a 在RI△ADB中， tan a b· an∠BAD=BD_BD-3 a AD =4=4 sin a ∴.BD=3 =C cos a b =6 又，BC=5 .DC=BC-BD=5-3=2. 第3课特殊角的三角函数值 sin a=tan d. cos a 1 1. 31 3 22 3 2 3 2. ② 2 第4课解直角三角形 1 3. 2 5 1 1.(1)a2+b2=2 2 2 2 2 (2)∠A+∠B=90° 3 15 (3)sin A=a,sin B=b (2)1 (3)3 (4)1 cos A=b -,cos B=a (5)4 6 (号 mA=名，mB=名 5(1)解：原式=分+4x1-2× 2.解直角三角形 3.解：∠C=90°，∠A=30°， 2+4-1=3 .∠B=180°-90°-30°=60° ∠A=30°，BC=3 .AB=2BC=6. (2)解：原式= .AC=/AB-BC=、6-32 = 3 1 =33. +4 =1. 4.解：∠C=90°，∠A=45° 5 ∴.∠B=180°-90°-45°=45° 6.(1)解：原式=3×号+1-2× ∠A=∠B,∴.AC=BC =5+1-3 又AB=4,AC+BC=AB, =1; .AC=BC=22. 5.解：在Rt△ABC中 (2)解：原式=1 2 AC=32,AB=6, 2 ∴c0sA=4C-32=2 AB=6=2 =1-1 .∠A=45 =0. .∠B=180°-90°-45°=45 7.(1)30° (2)45 (3)60° .BC=AC=32. (4)60 6.解：在Rt△ABC中 8.解：依题意，得 BC=√2，AC=6. -c0sB=0, m4能是9 6 31 即血M=之，msB 1 2 ÷∠A=30 .∠B=180°-90°-30°=60° 解得∠A=30°，∠B=45° ∴.∠C=180°-∠A-∠B=105°. ∴AB=2BC=22 9.110.30 7.解：在Rt△ABC中 11.(1)60 (2)30° (3)30 ∠C=90°，∠B=35° 12.B .∠A=180°-90°-35°=550. 13解：原式=×号x1-2× :c0s35°=BC-82 BB082, .∴.AB≈100. =1-1=0. 阌盟学温数学九年级全一册RJ版46参考答案 血35-指-6057， .AC=57. 8.解：如图， tan A=28 0=0.7 28 且tam35°≈0.70， .∠A=350 40 .·.∠B=90°-∠A≈55 9.30°10.C 11.解：在Rt△ABC中， .∠A=30°，∠C=90° m4治-裙-号 .AB=6. 又：BC=AB, Cx6=3 12解：m37°=075…6-2 .∴.AC≈30 13.解：(1)分别以A,C为圆心，大于 4C长为半径画弧，在4C的两 侧分别相交于P,Q两点，画直线 PQ交劣弧AC于点D,交AC于点 E,即作线段AC的垂直平分线， 连接CD; (2):AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90, 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6. AB=√/AC+BC2=I0. OD⊥AC,∴.AE=CE. 又：OA=OB,.OE是△ABC的 中位线.0E=BC=3 即点O到AC的距离为3. ,DE=0D-0E=5-3=2, CE-4G4, .CD=√DE2+EC =22+4 =25, ÷im∠AcD=DE=2=5 CD 25 5 14.解：如图，过点A作AD⊥BC于 点D, 则∠ADB=90°， ∠B=60°，∴.∠BAD=30 D=B=分×2=l 1 “simB=4D-5 AB号，AB=2, ∴AD=3 :∠C=45°，.AD=CD=3. .AC=√2AD=6, BC=BD+CD=1+√3. AC=BC,D为AB的中点， 第5课解直角三角形的应用(1) .AD-BD-AB. 1.(1)30°(2)70°2.D 3解血008 LACD-LNCD-ZACB-50 .CD=105. 在Rt△ACD中，sim∠ACD=A AC' .CE =CD DE CD BA =(103+1.5)(米). 即血0-0 故此时风筝离地面的高度为 .AD=10×sin50 (103+1.5)米. =7.66(m). 4.解：如图，过点B作BE⊥CD于 .AB=2AD=2×7.66=15.32 点E. ≈15.3(m) 答：A,B两点间的距离大约是 15.3m. 10.解：在R△ACD中， 032 E m∠A0c-品即m52-S ∴AC=20·tan52°≈ m32°=能-g-06, 20×1.28=25.6(m). 在Rt△BCD中，∠BDC=45° .DE≈10.8米. .∠CBD=90°-45°=45°. .DC =DE+EC=DE +AB .BC=CD=20 m. =10.8+1.5 ∴.AB=AC-BC=25.6-20 =12.3(米). =5.6(m). 5.解：根据题意，可知AD=120m, 即旗杆AB的高度约为5.6m. 在Rt△ADC中， 11.解：如图，过点C作CE⊥BD,垂 m0-品需 足为E, .CD=1203m 302 在Rt△ABD中， m30°=A0-120-3' BD BD3 .BD=405m. 459 ,BC=BD+DC=403+1203 依题意，得AC=BE,∠DCE= =1603(m). 30°，∠BCE=45°， 故这栋高楼有1603m. 设AC=BE=x米， 6.解：如图，过点A作AE⊥CD于 在Rt△BCE中，CE=BE=x米， 点E. 在Rt△DCE中， DE=CE·an30°= 3(米)， :BD=20米，.BE+DE=20, +9=0, 解得x=30-103, B一60m*TD .AC=BE=(30-103)米. m0-张- = =5 ∴旗杆AC的高度为(30-105)米 第6课解直角三角形的应用(2】 ∴CE=603m. 又m13-0-0-a28, 1.(1)30° 2号 ∴.ED≈13.8m. 2,解：坡度=i=mA-65-5. ∴.CD=CE+ED=603+13.8 6 =118(m) 坡角=60 故楼CD的高度约为118m. 3.解：坡比是3：4，心anA= 3 7.(363-18)8.103 9.解：如图，连接AB,取AB的中点 又：mA-eBC=6m D,连接CD. 六AC= %8 4 阅盟学盘数学九年级全一册J版47参考答案 即坡面的水平长度AC为8m 4.解：斜坡CD的坡度为1：3， nD= 3 ..∠D=30° 如图，过点C作CF⊥AD于点F 6米C 1 9米 tan D=DE=DF-3 CF 9 3 .DF=95米 又：∠A=45°，BE=9米， BC=6米， BE=AE=9米 .AD =AE +BC DF =9+6+93 =(15+95)(米)， 即坝底AD的长为(15+93)米 5.解：(1)60°45 (2)如图，过点C作CF⊥AD于 点F. B3米C 16米 .tan A BE 6 AEAF=3. .AE=23米 6 又nD=F=0所三 .DF=6米 .∴.AD=AE+BC+FD =2,5+3+6 =(9+23)(米) S=(BC+AD)·BE =3+92x6 =(36+63)(平方米). 6.(1)30° (2)60° (3)459 4)号 7.68.B9.(303+28) 10.解：如图，过点B作BD⊥AC于 点D. 7777 则AD=2×30=60(cm), BD=18×3=54(cm). i=1:5,∴.BD:CD=1:5. ∴.CD=270cm. ∴.AC=CD-AD=270-60 =210(cm). 11.解：(1)如图，分别过点E,D作 EC⊥AB,DH⊥AB分别交AB于 点G,H. i-1小J3 :四边形ABCD是梯形，且 AB∥CD, .DH平行且等于EG ,四边形EGHD是矩形. .ED =GH =3 m. 在Rt△ADH中. ∠DAH=45°， .'AH DH =10 m. 在Rt△FGE中， uF瓷方 .FG=103m. ∴.AF=FG+GH-AH =105+3-10 =(105-7)(m). 故加固后坝底增加的宽度AF为 (103-7)m: (2)V=Sh=S郴形Wm×500 =7×(3+105-7)× 10×500 =(250005-10000)(m3). 故完成这项工程需土石 (250003-10000)m3. 第7课解直角三角形的应用(3)】 1.(1)北偏东60 (2)南偏东45°（或东南） (3)南偏西30° 2.解：根据题意，可知∠BAD=30° c0s30°=4D-4D3 AB=20=2 ∴AD=103米. 故飞机飞行103米离树最近. 3.解：根据题意，可知 ∠PAC=65°，AP=100海里. sin_PAC=所-份-0g ∴.P℃=90海里. 又.∠PBC=30° ,.PB=2PC=2×90≈180（海里）. 4.解：如图，过点C作CD⊥AB,交BA 的延长线于点D. 30 60 根据题意，∠CAD=60°， ∠CBA=30 ∴.∠ACB=∠CAD-∠CBA =60°-30°=30° ∴.∠ACB=∠CBA. ∴AC=AB=200(海里). ÷济南舰距C处200海里. 在Rt△ADC中， CD=4C·sin60°=200x =1003(海里) 在Rt△BDC中， BC=CD÷sim30°=1005÷2 =200,√3（海里）. ∴.西安舰距C处2003海里. 5.解：不需要 如图，过点P作PA⊥MN于点A. 阅盟学县数学九年 202海里， 8.解：如图，过点A作AH⊥BC于点 60 H,过点B作BD垂直于过点C的 水平线，垂足为D. 设PA=x千米，则 MA=PA=x千米， AN=(2-x)千米 在Rt△ANP中，∠APN=60, D m乙AN=贷 水平线 依题意，得∠ACD=75°，∠BCD= 3-2-x 30°，AB=3×10=30(m). .·AB∥CD ∴x=3-1=0.73(千米). ∴.∠ABH=∠BCD=30°. .PA≈0.73>0.6， 在Rt△ABH中， ∴.直线MN与⊙P相离. All-A=15(m). ∴.不需要搬迁 6.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足 LBI品 为D. l(u). ,:∠ACH=∠ACD-∠BCD 60 =75°-30°=45°， D ∴.CH=AH=15m. 由题意，得 ∴.BC=BH+CH=(153+15)m. BC=1.5×40=60(m), 在RI△BCD中，∠BCD=30°， ∠ABD=90°-60°=30° ∠ACD=90°-45°=45. 在Rt△ACD中， 3D=号c=5g5 2 an∠ACD=4D =20(m). 1. CD 第8课锐角三角函数单元复习 ∴.AD=CD 1.C2.A 在Rt△ABD中， tan∠ABD=tam30°=4D 3.(1)33-1(2)45° 2 BD .BD= AD 6.A7.19 tan 300 40525 8.解：在Rt△ABC中，AB=8, BC =BD-CD=AD -AD BC=45 3 如4%4-9 =(3-1)AD. AD=BC60 .∴.∠A=60 ∴.∠B=90°-60°=30. 5-13-1 =(303+30)(m). ∴AC=2AB=3x8=4. ∴.此段河面的宽度为(30、3+30)m 9.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB, 7.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于 交AB于点D. 点E. 北◆ 在Rt△ACD中，∠CAB=30°， D=24C=10(千米)， AD=AC·c0s30°=103（千米）. 又.·∠CBD=45°， 依题意，得∠ABC=105° ∴.BD=CD=10千米 ∠CAB=45°， ∴.AB=AD+DB=(105+10)(千米). .∠C=180°-105°-45°=30°： (2)依题意，得 (2)BC=-BD cos450=102(千米). MB=40×分=20（海里）， AC BC-AB =20+10,2-(103+10) 在Rt△ABE中， =(10+102-103)(千米) BE=AB·sin45°=10√2（海里）， 10.解：如图，延长AD交BC的延长 在RI△BCE中，∠CBE=60°， 线于点E,作DF⊥BE于点F, ∴.BC=2BE=20√2（海里）， 答：B处船与小岛C的距离为 级全一册R版48参考答案 时点D到弦OB的距离最大 B ∠BCD=150°，.∠DCF=30 又CD=4米，DF=2米， A(8,0),B(0,6) ∴.A0=8,B0=6. CF=VCD-DF=④-2 .∠BOA=90° =23(米). AB为⊙P的直径 由题意，得∠E=45°， .AB=w82+6=10 ∴.EF=DF=2米 ,⊙P的半径为5. .BE =BC+CF+EF=5+23+2 .PE⊥BO,∴.BE=EO=3. =(7+23)(米). .PE=√5-3=4..ED=9 .AB=BE=7+23≈10.5（米）. 1解：由ma=利脱 a∠0-品-3 4.解：(1)：DE⊥AB 设AB=3x,则BC=4x, ∴∠DEA=90°. BD=200+4x. 又∠DAB=45°..DE=AE 3x 在Rt△DEB中，∠DEB=90°， an26.6°=0=20+4. =0.50 解得x≈100. mB=子 .AB=3×100=300(米). DE3 ∴.小山岗的高约为300米 ·BE4 12.解：如图2.过点0作OD⊥BC,垂 设DE=3x,那么AE=3x,BE=4x. 足为D, AB=7.∴.3x+4x=7, 解得x=1. .DE=3: (2)在R△ADE中，由勾股定理， 得AD=32. 同理得BD=5. 图2 在Rt△ABC中，由tanB= 3 依题意，得0B=0A=6400km, ,可得 BC∥OA, cosB三5，即4 .∠B=∠B0A=23° AB=5 在R△BOD中，csB=BD OB c学 .BD OBeos 23. ∴.CD=BC-BD= 3 .·OD⊥BC ∴.由垂径定理可知BD=DC= .∴.cos∠CDA= CD2 wc. AD=10 ∴.以BC为直径的圆的周长为 即∠01的余弦值为号 2π×BD≈2×3.14×6400×0.92 5.解：(1)：AB是⊙0的直径， ≈36977(km). .∠ACB=90°. “.北纬23纬线的长度为36977km AB=5,BC=3, 微专题13锐角三角函数的综合 1.解：在Rt△ABD中，AD=12, m∠BC=6号： m∠BMD=, (2)0E⊥AC,点0是⊙0的 圆心， ∴.BD=AD·tan∠BAD 点E是AC的中点 2x-9 又：0是AB的中点， .CD=BC-BD=14-9=5. 0B=-2BC= 3 在Rt△ADC中，∠ADC=90°， (3)AC=√AB-BC=4, AD=12,CD=5, ∴.AC=/AD+CD 三tan∠ADC=tan LABC- =√122+5 6.解：(1)如图，过点A作AE⊥x轴 =13. 于点E. 血c光号 2.2 3.解：如图，连接AB,过点P作PE⊥ BO,并延长EP交⊙P于点D,此 阅盟学温数学九年级全一册版49参考答案 设反比例函数的解析式为 AE⊥x轴，.∠AE0=90° 在R△AE0中，A0=5, sin LAOC=5 3 .AE=3,0E=4. .A(-4,3) :点A在反比例函数的图象上， ∴.k=-4×3=-12 2 为=-x (2):点B(m,-4)在反比例函数 为=-12图象上， -4=-2 ∴.m=3. m 由函数图象知：当y≤y?时，x的 取值范围是-4≤x<0或x≥3. 解：如图，过点B作BD⊥AC交AC 的延长线于点D. :∠BCA=135°，则∠BCD=45°， BD=6D=号C 设AC=k,则BD=CD=k, AD=2k. m4-0安 8.解：如图，过点C作CD⊥AB于 点D. 30的 45⊙入 D 在R1△ACD中，AC=8千米， ∠CAD=30°，∠CDA=90°， D=4C=4(千米. AD=AC·coS∠CAD=43 ≈6.9（千米）. 在Rt△BCD中，CD=4千米， ∠BDC=90°，∠CBD=45°， .∠BCD=45°， ∴.BD=CD=4千米， ∴.AB=AD+BD=6.9+4 ≈11（千米）. 答：A,B两点间的距离约为 11千米 9.解：(1)：AB=AD ∴.∠D=∠ABD. ,·∠BAC=∠D+∠ABD=30°， .∠D=15°， ∴.∠DBC=90°-∠D=75°： (2)设BC=x 在Rt△ABC中，∠BAC=30°. .AB =2BC=2x,AC=3BC=3x ∴.AD=AB=2x. ..DC=AD+AC=(2+3)x. 在Rt△BCD中， m15-股2 -=2-5 (3)如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=45° 延长CA至，点D,使AD=AB. 则∠D=22.5°.设BC=a. ,△ABC是等腰直角三角形， ∴.AC=a,AB=√2a..AD=2a. ∴.CD=DA+AC=(2+1)a. 在R△BCD中， un D1a 一=2-1， 即tan22.5°=√2-1. 本章教材母题回归 1.解：由题意，可得 x=√132-122=5 12 则ina=i3,cosa=15 tan a=,sin B13, sB=言mB=号 5 2.解：由图形甲中数据，可得 41 tan a=8=2. 由图形乙中数据，可得 另一直角边为√13-5=12(m), 故aB=i2<tana=2, 故a>B, 则甲自动扶梯比较陡， 3.解：由题，可知在Rt△ACD中， tan30°=GD-CD、3 AD=5=3, CD=5×=2.89(m月 又.AB=1.75m,DE=AB ∴.CE=CD+DE=CD+AB =2.89+1.75≈4.6(m) 故这棵树高度大约有4.6m 4(55-1.6 5.解：依题意，得 ∠B0A=∠DOA=30°，OA⊥BD. 在Rt△OCD中， 0c5 4m. ∴.0A-0C= 553 2 m. 4 阅盟学县数学 6.解：由题意，可知0B=20m, 时，梯子与地面所成的角等于 上B01=360×号 =60° 30°，这时人不能够安全使用这架 梯子 在RL△OCB中 4.解：(1)由题意，可得∠EDA=45°， 0C=OB·cos∠B0C=20×cos60° 则DE=AE=0.8m, =20×3=10(m). 故CD=1.2+0.8+0.8 =2.8(m) AC=20-10=10(m). :摩天轮的底部与地面相距0.3m, 则Sm=子(4B+CD)·AB ∴.2min后小明离地面的高度为 10+0.3=10.3(m) 12+28)x08=16m: 答：2min后，小明离地面10.3米. (2)该水渠最多能蓄水1.6×1500= 核心素养及数学思想 2400(m3). 1.A 新题型特训—实验、 2.解：(1)△AFB∽△FEC. 探究与活动 :四边形ABCD是矩形， 1.解：【步骤三】：测角仪显示的度 ∴.∠B=∠C=∠D=90° 数为50°，∴.a=90°-50°=40°.故 .∠BAF+∠AFB=90°. 答案为40° 由折叠的性质可得 【步骤四】：AB⊥BD,ED⊥BD,CE ∠AFE=∠D=90 ⊥AE, ,∠AFB+∠CFE=90. ,∠ABD=∠EDB=∠AED=90 ∴.∠BAF=∠CFE. ∴.四边形ABDE是矩形. .△AFB∽△FEC: ∴.AE=BD=10m. (2)am∠EFC=2, ED =AB =1.54 m. 在Rt△CAE中，CE=AE·tana≈ 在△EFC中，瓷- 10×0.839=8.39(m). 设EC=3xcm,FC=4xcm. .CD=CE+ED=8.39+1.54= 9.93=9.9(m). ..EF =VEC +FC 答：古树的高度CD约为9.9m. =5x(cm). 2.解：(1)在R△ABC中， 由折叠的性质，可得 DE EF =5x em. m15-C2-5.c=1mm, ∴.AB=CD=DE+CE ∴.AC=BC·tan15°=100×(2- =8x(cm). 3)=200-1003≈27(m). :∠BAF=∠EFC 答：滑道的铅直高度是27m. tan∠BAF=BE=3 ΓAB=4 (2)延长CB到点D,使BD=AB, 连接AD. .'BF =6x em. .AF=√AB+BF=10x(em). .AE =AF+EF=5/5x(cm). D 459 AE=55cm,.x=1. 图3 ∴.AD=BC=AF=10x .BD=AB,∴.∠D=∠DAB =10(cm), :∠ABC=∠D+∠DAB=45°， AB CD=8x=8(cm). .∠D=22.5° .矩形ABCD的周长为 在RI△ABC中，∠C=90° 10+10+8+8=36(cm). ∠ABC=45°，AC=1, 3.解：(1)当∠BAC=60°时，梯子能 .BC =AC=1. 安全使用且它的顶端最高. AB=√AC+BC=、+了=√2 在Rt△ABC中，有sin∠BAC=AB BC ∴.DC=2+L. ∴.BC=AB·sin∠BAC 在R△ADC中，am2.50= DC =6×sin60 =33(m) 2-1 =2-1. :.使用这架梯子最高可以安全攀 2+1(2+1)(2-1) 上33m的墙： .tan22.5°=2-1. (2)在B1△ABC中， 第二十九章投影与视图 有wL4c-6-3g9 第1课投影的定义和分类 .∠BAC=30. 新课学习平行垂直 .*30°<45°. 1.B2.A ∴当梯子底端距离墙面35m}3.解：(1)线段，且A,B,=AB; L年级全一册RU版50参考答案第8课 锐角三角函数单元复习 县础练习 1.(2023·东莞校级月考)如图，A为∠α边上2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍， 的任意一点，过点A作AC⊥BC于点C,过点 则锐角A的余弦值 ( C作CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosa A.不变 B缩小为原来的 的值，错误的是 BD A.BC B. C.扩大为原来的2倍D.不能确定 AB AD C. DC D. D C 3.(1)(2023·韶关曲江区校级一模)计算： 4.一条上山直道的坡度为1：3，沿这条直道上 4s-s-2+52） 山，每前进100米所上升的高度为 米 (2)若tanA=1,则锐角∠A= cos A 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都6.(2023·珠海香洲区校级三模)如图1，一辆 是1，⊙0是△ABC的外接圆，点A,B,O在网格 自行车竖直摆放在水平地面上，如图2是它 线的交点上，则sin∠ACB的值是 的部分示意图，测得∠A=88°，∠B=50° AB=60,则点A到BC的距离为 图1 图2 A.60sin50° B.60cos50° C.- 60 D.60tan50° sin50° 7.如图铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8,CB= 腰的坡度是i=2:3,顶宽是7米，路基高是4 43,解这个直角三角形 米，则路基的下底宽= 米 =2:3 242 RJSX 提升练习 9.如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C10.如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下 地.图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA= 落在水平地面和坡面上的影子分别是BC, 45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间 CD,测得BC=5米，CD=4米，∠BCD= 铺设一条笔直的输电线路 150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 (1)求新铺设的输电线路AB的长度： 45°，求电线杆AB的高度.（参考数据：√2≈ (2)问整改后从A地到B地的输电线路比原 1.41,3≈1.73.结果按四舍五入保留一位 来缩短了多少千米？（结果保留根号） 小数) 45D B 1l.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tana= 312.（2023·东莞一模改编)某数学小组研究如 4’ 下问题：东莞市地处北纬约23°的纬度上， 在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A 求北纬23纬线的长度，小组成员查阅相关 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取 资料，得到如下信息： 整数，已知sin26.6°≈0.45，c0s26.6° 0.89,tan26.6°≈0.50) ②3 图1 图2 26.69 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的 圆圈叫做纬线： 信息二：如图2，赤道半径0A约为6400km, 弦BC∥OA,以BC为直径的圆的周长就是 北纬23纬线的长度.根据以上信息，求北 纬23纬线的长度.（结果精确到1km,参考 数据：T≈3.14，sin23°≈0.39，c0s23°≈ 0.92,tan23°≈0.42) RJSX 243第6课解直角三角形的应用(2) 新课学习 如图，AB是一个斜坡 (1)坡面AB与水平线AC的夹角a叫做坡角； 1.如图，坡AB的铅直高度为√5米，水平宽度为 B 坡面 3米，∠C=90°，则： 60° &坡面 (1)坡角= 3米 3米 (2)坡角的正切值叫坡度，记作. (2)坡度= 即：坡度i=tana= BC 知识点1解单一直角三角形 2.④如图，坡AB的铅直高度为6√3，坡的水平3.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比（即坡 长度为6，求坡度及坡角的大小 度)是3：4，堤高BC=6米，求坡面的水平长 B 度AC的大小 63 知识点2解“共边"或“等一边”直角三角形 4.如图，水库的拦水坝的横截面是一个梯5.如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD,BC=3米， 形，坝顶BC=6米，坝高BE=9米，斜坡AB 坝高BE=6米，坡AB与坡CD的坡度分别为 的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1：√5，求坡 i1=3:1,2=1:1 CD的坡角及坝底AD的长 (1)坡AB的坡角∠A= B6米C e13 坡CD的坡角∠D= 9米 45o (2)求梯形的面积 B3米C 6米 A 238 RJSX 过天检测 凸县础遭练 6.如图，坡AB的坡度为i,坡角为a. 7.河堤横截面如图所示，堤高BC=4米，坡比 (1)若i=1:3,则a= 为2：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平 宽度AC之比)，则AC= 米 (2)若i=3:1,则a= (3)若i=1:1,则= (4)若BC=2,AC=6,则i= 色能力训练 8.如图，小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了9.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽是 100米，则他升高了 ) 8米，坝高为30米，斜坡AD的坡度为i=√3：3， A.50米 斜坡CB的坡度为3：2，则坝底宽AB的长为 B.20√5米 米 C.100米 D.以上都不对 3拓最训线 10.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台11.如图，江边一处长500米，高10米，背水坡的坡 阶高为18厘米，深为30厘米，为方便残障 角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD)急 人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定 A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡 的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并 度i=1:5,求AC的长度. 使上底增宽3米，加固后背水坡EF的坡比i= 1:5.求： (1)加固后坝底增加的宽度AF; 77777777777777 (2)完成这项工程需要土石多少立方米 E D i=1:3 459 RJSX 239微专题13 锐角三角函数的综合 中考热点1求锐角三角函数值 中考热点2解直角三角形 L.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D.若 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC BC=14,MD=2,am∠BMD=子，求s血C的值 上，DE⊥AB,垂足为E,AB=7,∠DAB=45°， 如8=寻 (1)求DE的长； (2)求∠CDA的余弦值， 2.【全国视野】如图，在边长均为1的小正方形 网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶 点上，AB,CD相交于点O,则tan∠AOD= 中考热点3与圆综合 5.如图，已知AB是⊙0的直径，点C,D在⊙O ,且AB=5,BC=3. 3.【创新题】如图，在平面直角坐标系中，⊙P (1)求sin∠BAC的值； 经过三点A(8,0),0(0,0),B(0,6),点D是 (2)如果OE⊥AC,垂足为E,求OE的长； ⊙P上的一个动点，当点D到弦OB的距离 (3)求tan∠ADC的值. 最大时，求tan∠BOD的值. 244 RJSX 中考热点4与函数综合 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y的8.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A,B, 图象与反比例函数y,的图象交于第二、四象 C,测得∠CAB=30,∠ABC=45°，AC=8千米， 限内的A,B两点，与x轴交于点C,与y轴交 求A,B两点间的距离.（参考数据：2≈1.41， 于点D,点B的坐标是(m,-4),连接A0,A0= 3≈1.73，结果取整数) 5 sinA0c=号 (1)求反比例函数y2的解析式： 309 45 (2)根据图象直接写出当y,≤y2时，x的取 值范围。 用构造法求15°，75°，22.5等角的 中考热点6 三角函数值 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC= 30°，延长CA至点D,使得AD=AB. (I)求∠D及∠DBC的度数； (2)求tan15的值； 中考热点5构造直角三角形，解决有关问题 (3)用类似的方法，求tan22.5的值. 7.如图，在△ABC中，BC=√2AC,∠BCA= 135°，求tanA的值. RJSX 245本章教材 1.(RU九下P65改编)如图，分别求a和B的正 弦、余弦和正切 13 2.(BS九下P3)如图，甲、乙两个自动扶梯，哪 一个自动扶梯比较陡？ 13m 4m 5m 8m 甲 乙 3.(BS九下P10)如图，身高1.75m的小丽用 一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量 一棵树的高度（∠A=30),已知她与树之间 的距离为5m,那么这棵树大约有多高？（结 果精确到0.1m) 4.(RJ九下P84)某型号飞 D 451 机的机翼形状如图所示.34m 根据图中数据计算AB的 文30 长为 m. 5m (结果保留根号)》 246 RJSX 母题回归 5.(BS九下P9)如图，一个小孩荡秋千，秋千链 子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时，摆 角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它 摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高 度之差。 6.(SK九下P114)游乐场的大型摩天轮（如图所 示)的半径为20m,旋转1周需要12min.小 明从摩天轮的底部（与地面相距0.3m)出发 开始观光，2min后小明离地面多高？（如图， 用⊙0表示摩天轮，A,B分别表示小明的出 发点和2min后的到达，点，作BC⊥OA,垂足 为C) 0新题型特训一实验、探究与活动 1.(RU九下P81改编)【数学活动一制作测角仪，测量树的高度】(2023·吉林)某校数学活动 小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图1的测量草图，确定需测的几何量 a 图1 【步骤二】准备测量工具 ①准备皮尺；②自制测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心 处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可 以测量仰角或俯角，如图2所示 图2 【步骤三】实地测量并记录数据 如图3，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着 仪器的直径刚好到达古树的最高点.如图4，利用测角仪，测量后计算得出仰角α，测出眼睛 到地面的距离AB.测出所站地方到古树底部的距离BD. 读数为50° 图3 图4 AB=1.54m.BD=10m 【步骤四】计算古树的高度CD.(结果精确到0.1m.参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈ 0.766,tan40°≈0.839) 请结合图1、图4和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】. 248 RJSX 2.(J九下P80改编)【阅读与思考 山坡的高度】(2023·西宁一模)【阅读理解】 D 30 159 45 B 图1 图2 图3 在学习了《锐角三角函数》这一章的内容后，我们知道了30°，60°，45这几个特殊角的三角函 数值，我们还能求出tanl5的值. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1,延长CB到点D,使DB=AB,则有 ∠D=15° 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以AB=BD=2,BC=√3. 在R△ACD中，anD=AC=1 2-3 DC2+5(2+3)(2-3) =2-√3. 所以tan15°=2-√3. 【实际应用】(1)2022年北京冬奥会持续点燃了群众的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经 济”的黄金发展时期，某市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道AB,如 图2所示，滑道的坡角∠B=15°，水平宽度BC=100m.请根据以上材料提供的数据，求出图2 中滑道的铅直高度AC是多少米.（结果取整数，参考数据：W3≈1.732） 【类比探究】(2)如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出tan22.5° 的值吗？类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整 解：如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AC=1. RJSX 249第2课利用三角函数值求边长 塔知识储备 1.如图，填空： sin A= Cos A= ,tan B= B 新课学习路 类型1无须设x,直接求边长 2.④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,3.（2023·东莞模拟)已知在Rt△ABC中， imA=写，求BC的长， ∠C=90,mA=号4C=6,求AB的长 4.(2023·广州天河区三模)如图，在Rt△ABC5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，AB= 中，∠C=90,BC=15,mA=片求AB 1000米，求AC的长（参考数据：sin50°≈ 0.77,cos50°≈0.64，tan50°≈1.19). 的长 B /50 类型2设x,列方程求解 6.如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E,7.【原创题】如图，过⊙0外一点，作⊙0的切 BB=4,c0sA-号，求菱形的周长 线AB,切点为B,连接OA交⊙O于点C, 4C=16,mA-名，求00的半径 230 RJSX 过天输测 丛县础训练 4 9.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线， 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8,sinA= 5 DE交AC于点E,连接BE,若BE=9,BC= 则AB的值为 ( 12,则c0sC= A.8 B.9 C.10 D.12 马能力训线 10.(2023·东莞月考)如图，在△ABC中，∠C= 11.【原创题】如图，在平面直角坐标系中，B0=5, 90°，AB=13,sinB= 求4C的长及LA的 sin LAOB= 4A(100).求： 正切值。 (1)点B的坐标； (2)AB的长. {3拓最训练 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥ 13.如图，已知△ABC是锐角三角形. BC,AD=4,cos B= ，求AC的长 (I)过点A作BC边的垂线AD,交BC于点 D(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求 写作法)： (2)在(1)的条件下，若BC=5,AD=4, tBAD=?,求DC的长 RJSX 231第4课 解直角三角形 新课学习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 2.解直角三角形的概念： (1)三边关系： 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 (2)两锐角关系： 素的过程，叫做 (3)边角关系： 3.④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB= BC=3,解这个直角三角形， 4,解这个直角三角形 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=32,6.(U九下73)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=6,解这个直角三角形， BC=√2，AC=√6，解这个直角三角形， 6 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=82,8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=40,BC=28,求 ∠B=35°，解这个直角三角形.（参考数据： ∠B的度数.（精确到个位，参考数据：sin35° sin35°≈0.57，cos35°≈0.82) 0.57,tan35°≈0.70) 234 RJSX 总结： (1)直角三角形中，除直角外，已知“一边一锐角”或“两边”可解这个直角三角形 (2)如无特别说明，我们规定∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c 过天输测 丛县础训线 9.如图，在Rt△4BC中，∠C=90°，AC=√5，AB=2, 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°， 则∠A= AB=7,则BC的长为 A.sin35° B.7 C0s35° C.7cos 35 D.7tan 35 马能打训综 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°， AC=3√3，求BC和AB的长. BC=40,求AC的长.（参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 位拓最训统 13.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，且 14.(2023·东莞期中)如图，在△ABC中，AB= AC=8,BC=6. 2,∠B=60°，∠C=45°，求BC和AC的长 (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D,连接CD(保留作图痕迹，不 B 写作法)； (2)在(1)所作的图形中，求点0到AC的 距离及sin∠ACD的值. RJSX 235第7课解直角三角形的应用(3) 新课学习 1.方位角 2.如图，飞机往正东方向飞行，在A处发现在 如图： 南偏东60的方向上有一棵树BC.已知AB= (1)点A在0的 方向上； 20米，那么飞机飞行多远离树最近？ (2)点B在0的 方向上； 北 D (3)点C在0的 方向上. 60 北（正北） 西北方向 B 北偏东60 45160 西（正西） 东（正东） 60 45 B C 南（正南） 知识点1不用设未知数，直接解直角三角形 3.如图，轮船从位于灯塔P的北偏东65°方4.某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A 向上距离灯塔100海里的A处，沿正南方向 处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C 航行到B处，此时，B处位于灯塔南偏东30 处有一艘可疑舰艇，济南舰马上通知位于正 方向上，求BP的长.（精确到1海里，参考数 东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得 据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4) C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两 165 舰距C处的距离分别是多少？ 西 30 309 609 240 RJSX 知识点2设未知数解直角三角形 5.@我市准备在相距2千米的M,N两工厂间6.如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸 修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方 平行.为测量其宽度，小明在南岸边B处测 向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径 得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方 为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路 向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行 时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考 40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东 数据：2≈1.41，N5≈1.73) 45方向，试计算此段河面的宽度， 509 45 60° 过天检测 7.如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小8.如图，某活动小组利用无人机航拍校园.已 时40海里的速度向正东方向航行，9时30 ! 知无人机的飞行速度为3m/s,从A处沿水 分到达B处，从A,B两处分别测得小岛C在 平方向飞行至B处需10s,同时在地面C处 北偏东45和北偏东15. 分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为 (1)求∠C的度数； 30°，求这架无人机的飞行高度.（参考数据： (2)求B处船与小岛C的距离（结果保留根号) 3≈1.73，结果保留整数) 北 75 030 水平线 RJSX 241