7.第二十七章 相似（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第9课相似三角形的应用(1) 新课学习 1.@如图，为了估算河的宽度，我们可以在河2.如图，A,B两点间有一湖泊，无法直接测量，已 对岸选定一个目标作为点A,在河的这一边 知CA=60米，CD=20米，DE=15米，DE∥ 选定点B和C,使AB⊥BC,然后，再选点E, AB,求AB长 使EC⊥BC,确定BC和AE的交点D.此时， 如果测得BD=120米，DC=60米，EC= 50米，求两岸间的大致距离AB. B 3.如图，小强用镜面反射的方法来测量学校4.如图，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m 教学楼的高度.他在地面E处放一面镜子， 的点C处，测得她在灯光下的影长CD为 测得镜子与教学楼的距离EA=20米，以及 2.5m,求路灯的高度AB. A 他与镜子的距离CE=2米.已知他的眼睛距 离地面的高度DC=1.6米，计算教学楼的高 度.（提示：反射角等于入射角） B D 42,5r B U口 212 RJSX 5.李老师带领学生去测量教学楼的高度，在6.(J九下P39)如图，在金字塔影子的顶部立 阳光下，测得身高为1.8m的冯同学BC的 根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角 影长BA为1.2m,与此同时，测得教学楼DE ! 形，来测量金字塔的高度.如果木杆EF长 的影长DF为14m,如图所示.请你根据已测 2m,它的影子FD为3m,测得OA为201m, 得的数据，求出教学楼DE的高度. 求金字塔的高度BO. A(F) 过天输测 么县础训线 色能力训练 7.如图，要测量A,B两点间距离，在点O打桩，8.如图，小王在打网球时，要使球恰好能打过 取OA中点C,取OB中点D,测得CD=30 网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球 米，则AB= 米 的高度h应为 ( A.0.9m B.1.8m h G10.9m C.2.7m 5m 10m D.6m 还拓展训依 9.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处 10.(RU九下P40)如图，左右并排的两棵大树的 时，测得影子CD的长为1m,继续往前走 高分别是AB=8m,CD=12m,两树根部的距 2m到达E处时，测得影子EF的长为2m, 离BD=5m,一个人估计自己眼睛距地面 已知王华的身高是1.5m,则路灯A的高度 1.6m,她沿着正对这两棵树的一条水平直 为 m. 路1从左到右前进，当他与左边较低的树的 距离小于m时，就不能看到右边较高 的树的顶点C RJSX 213本章教材母题回归 1.(s九上80)已知号=号-子(6+d0), 4.(BS九上P85)如图，在△ABC中，D,E,F分 别是AB,AC,BC上的点，且DE∥BC,EF∥ 求号+的值 AB,AD:DB=2:3,BC=20cm,求BF的长. 2(S九上%1)如果分=台，那么吉= 士兰，你认为这个结论正确吗？为什么？ 3.(BS九上P84)如图，两条直线被三条平行线 5.(BS九上P88)在菱形ABCD与菱形EFGH 所截。 中，∠A=∠E,这两个菱形相似吗？为什么？ (1)在图1中，AB=5,BC=7,EF=4,求DE 的长； (2)在图2中，DE=6,EF=7,AB=5,求AC 的长 图1 图2 222 RJSX 6.(BS九上P102)如图，在△ABC中，AB=7.(BS九上P105)如图，AB表示一个窗户的 8cm,BC=l6cm,动点P从点A开始沿AB 高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的 边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始 下端到地面的距离BC=1m.已知某一时刻 沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动 BC在地面的影长CN=1.5m,AC在地面的 点同时运动，那么何时△QBP与△ABC 影长CM=4.5m,求窗户的高度， 相似？ 8.(BS九上P105)高4m的旗杆在水平地面上 的影子长6m,此时测得附近一个建筑物的 影子长24m,求该建筑物的高度. RJSX 223第4课相似三角形的判定(1) 知识储备 1.若 则称a,b,c,d成比例.如：1,2,3， 成比例：2,3,6， 成比例. 新课字习路 知识点1平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 2.平行线分线段成比例定理 几何语言：如图，：∥儿4∥1， 3.如图，l1∥12∥1，其中a=2,b=3,c=4,则 4如图.已知4h/能=分 d= 则 AE 知识点2相似三角形的判定1 于三角形一边的直线和其他两边相5.如图，DE∥BC,AD=4,BD=2,BC=6. 交，所构成的三角形与原三角形相似. (1)求证：△ADE∽△ABC: 几何语言：如图， (2)求DE的长. .DE∥BC, D 6.如图，CD与BE交于点A,DE∥BC,AE=2,7.如图，点E,F分别是BC,AC的中点 AD=4,AC=8. (1)求证：△ABC∽△FEC: D (1)求证：△ABC∽△AED: (2)相似比为 (2)求AB的长 200 RJSX 过天检测》 (之基础训练 8.(2023·东莞一模)如图，直线L,∥L2∥儿，分别交9.如图，DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形 直线m,n于点A,B,C,D,E,F.若AB:BC= 一共有 5:3,DE=15,则EF的长为 A.1对 B.2对 A.6 B.9 C.3对 D.4对 C.10 D.25 马能力训孩 10.如图，在口ABCD中，点E是AD的中点，EC交 11.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=6,DB= 对角线BD于点F,则EF:FC= 3,AE=4,则EC的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 还拓展训线 12.如图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点O,13.如图，用三个全等的菱形ABGH,BCFG, 若0-号0=10则40 CDEF拼成平行四边形ADEH,连接AE,AE 与BG,CF分别交于点P,Q,若AB=9,则 BP= ,CQ= H D 14.【原创题】如图，在口ABCD中，EF∥AB,15.【核心素养】如图，在Rt△ABC中，∠C= DF:FB=2:3. 90°，BC=2,AC=4,DE⊥AC,DF⊥BC,设 (1)若AE=6,则BC= DE=x,DF=y. (2)若EF=4a,则CD= (1)求y与x的函数关系式，并求出x的取 值范围； (2)设四边形DECF的面积为S,求S与x 之间的函数关系式，并求出当x为何值 时，S取得最大值？最大值是多少？ RJSX 201第8课相似三角形的周长和面积 新课学习 相似三角形的性质： 1.如图，已知△ABC∽△A'BC',对应边的比为 (1)对应角 ,对应边的比 分则： (2)相似比k=对应边的比= 的 比= 的比= 的 相似比= ,对应高的比= 周长比= ,对应中线的比= 比= 面积比= 对应角平分线的比= (3)面积比= 2.网已知△ABC∽△DEF,周长比为2：3，则下3.已知△ABC△DEF,面积比为9：1，则下列 列说法错误的是 说法正确的是 ( ) A.相似比为2：3 A.相似比为9：1 B.面积比为2：3 B.周长比为9：1 C.对应中线的比为2：3 C.对应中线的比为9：1 D.对应高的比为2：3 D.对应角的比为1：1 4.④已知△ABC∽△DEF,BC=13,EF=26,5.已知△ABC∽△DEF,相似比为3：4，CABc= SAARC=30,求SADEF: 9,求C△DBr 6.@如图，已知DB=2AD,EC=2AE. 7.如图，已知pE/Bc份-2.5oe=8em (1)求证：△ADE∽△ABC; (2)若CARG=27cm,求C△ADe: (1)求证：△ADE∽△ABC; (2)求S△ABC,S网边形BCED: 208 RJSX 过天检测》 凸县础遭练 8.(2023·东莞月考)若△ABC∽△DEF,相似9.已知相似△ABC与△DEF的相似比为1：3， 比为2：1，则△ABC与△DEF的周长的比为 若△ABC的面积为2m2,则△DEF的面积为 ( A.2:1 B.4:1 C.1:2 D.1:4 马能打训线 10.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC11.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD 的中点，则△ADE和△ABC的面积之比为 上，AC,BE交于点O,若AE:ED=1:2,则 SAA0E:S△coB= 拓最训练 12.如图，将一副三角板如图叠放，BC=1,证明13.【易错题】如图，在△ABC中，DE∥BC, 图中一对相似三角形并求它们的面积比. AD:BD=1:2,四边形BCED的面积为8，求 SAABC* 30 14.【原创题】如图，已知点D,F为AB的三等分点，点E,G为AC的三等分点，比较大小：（选填 “>”“=”或“<”) (1)DE+FG BC; D (2)S,+S2 S RJSX 209把B(n,-1)代人y=-2 解得n=2. B(2,-1) :将A,B两点坐标代人一次函数 y=kx+b中， 利4a解得代 “一次函数的表达式为 y=-x+1: (2)如图： (-1,2) 2.-1 根据图象，可知 x的取值范围是x<-1或0< x<2. 7.解：(1)蓄水池的容积是 8×6=48(m3); (2),Q·t=48,Q与t成反比例 关系， .Q增大，t将减小； (3)6与Q之间的关系式为1= 0 48≤5， 解不等式，得Q≥9.6， 排水速度至少为9.6m/h 8.解：点(x1,y),(x2,y2)都在反 比例函数y=的图象上， 1 1 y= 2 当x1>名2>0或0>x>为时，< y2; 当x1>0>x2时，y1>y2 新题型特训一实验、 探究与活动 1.解：(1)根据“杠杆原理”，得 F1=1200×0.5, ∴.F关于1的函数解析式为 F=600 当1=15m时，F=09=40(N。 对于函数F=690,当1=1.5m时， F=400N,此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400N 的力 (2)对于函数F-60,F随1的增 大而减小因此，只要求出F=200N 时对应的！的值，就能确定动力臂 1至少应加长的量， 当F=400×分=20时， 阅盟学堂数学九 由20=0得1- =3(m), 第二十七章相似 3-1.5=1.5(m). 第1课相似图形的认识 对于函数F=60,当1>0时，1越 知识点1相同∽A'B'C 1.D2.C3.C4.D 大，F越小.因此，若想用力不超过 了 5.(1)V(2)×(3)V(4)V 400N的一半，则动力臂至少要加 6.C7.B8.A9.A 长1.5m. 10.(1)V(2)V(3)×(4)V 2.解：(1)电流I是电阻R的反比例 (5)×(6)× 11.212.D13.800m14.B 函数，设1=点（0，R>0)。 15.解：如图所示，四边形A'B'CD'即 为所求作.（答案不唯一） 图象经过点(9,4)，∴.4= 9 解得k=36.1=36(R>0). R (2)蓄电池的电压是 4×9=36(V). 16.C (3)1297.26 第2课相似多边形的性质及判定 7 4.54 知识点1相等相等 3.6 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' (4)1≤10,1= 3610, ∠A=∠A',∠B=∠B,∠C=∠C, R R ∠D=∠D' ∴.R≥3.6.∴.用电器可变电阻应控 AB BC CD AD 制在3.6Ω以上的范围内. A'BB'CCDA'D 对应边 1.解：(1)，四边形ABCD∽四边形 3.解：(1)B.(2)A.(3)C.(4)D. A'B'CD',∠A'=130° 4.解：(1)补全图象如图1所示 .∠A=∠A'=130°， ∠D'=∠D=360°-60°-80°- 130°=90°， 23 4=￥心x=6 2 2.解：(1)四边形ABCD∽四边形 A'B'C'D'. 图】 .a=∠B=125 -=25 (2)①函数的图象关于y轴对称 ②当x<0时，y随x的增大而增 (2)7 大，当x>0时，y随x的增大而减 小（答案不唯一）》 3.解：(1)，△ABC∽△DEF, （3)当y=2时，即高=2。 7 解得x=±1. x=4,y=3 故点A,B的坐标分别为(-1,2)， (2)3 (1,2),则AB=1-(-1)=2. 知识点2相等对应边的比 则Saaw=2ABx2=2 ∠A=∠A1,∠B=∠B,∠C=∠C, ∠D=∠D 故答案为2. AB BC CD AD (4)当x>0时，联立得 ABB,CCID,AD 2 =-x+3,整理，得 四边形ABCD∽四边形A,B,C,D, 4.(1)证明：在矩形ABCD和矩形 x2-3x+2=0,解得x=1或x=2. A'BCD'中， 当x=1时，y=2;当x=2时，y= ∠A=∠B=∠C=∠D=∠A'= 1.如图1，设直线y=-x+3与x ∠B'=∠C'=∠D'=90°， 轴相交于点E, 则点C(1,2),D(2,1),E(3,0), 叉品品。 Saew=Sam-Saom=x3x BC AD 31 BC=AD=9=3, 2-×1x3= 3 ∴.矩形ABCD∽矩形A'B'C'D' 故答案为号 (2 5.A 级全一册RU版38参考答案 6.解：(1)矩形CDEF与矩形AEFB 相似.证明如下： :∠DCF=∠A,∠EDC=∠E, ∠E=∠F,∠F=∠B, CD EF 4 1 AE=FB6+2=2, DE CF 2 1 EF=AB=4=2, CD=EF=DE_CF 1 AE FBEF=AB=2· ∴矩形CDEF∽矩形AEFB. (2)2 7.A8.C9.D10.C11.B 12.B 第3课相似三角形的性质 新课学习相等相等 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C AB BC AC AB-BC-A'CT 1)PEFE(2)号 2.(1)AE AD ED(2)2 3.(1)EF FH EH(2)3 4.35.(1)10(2)9 6解：(1)BC号B (2).△ADE∽△ABC, 0能隐即品品合 .AB=9,AC=6 7.解：(1)60° (2)△ABC∽△DEC, 能能即品专 EC=4.5. 8.39.B10.A11.D OB DB 12.解：AE=3cm,EC=6cm, ∴.AC=AE+EC=9(cm). :△ADE∽△ABC, 器品即品号 ∴.BC=6cm,∠C=∠AED=40. 14.解：△ABDn△CAD, :BD=40、9AD AD=CD六AD9 41 AD2=9×4.AD=±6 AD>0,.AD=6. 15.解：①当△APD∽△PBC时， 品品即0学 解得PD=1或PD=4. ②当△PAD∽△PBC时， 品2号0 1吃=5-Pm 解得DP=2.5. 综上所述，PD的长是1或4 或2.5. 第4课相似三角形的判定(1) 1号=号692能器 3.64.3 知识点2，平行△ADE∽△ABC 阅盟学堂数学九 5.(1)证明：DE∥BC DF=10,EF=2,DE=√2， .△ADE∽△ABC (2)解：AD=4,BD=2, 品-语祭 DF/10 2 =, ,.AB=AD+BD=4+2=6 △ADE∽△ABC, AB_2=2, DE AD 4 “C-8GDE=4 DE 2 6.(1)证明：DE∥BC 品-邵-=2 ∴.△ABC∽△AED. ∴.△ABC∽△DE (2)解：△ABC∽△AED, …根8 知识点3相等 CA =4AB=4 相等治 ∠A=∠A'△ABC∽△A'B'C 7.(1)证明：：点E,F分别是BC,AC 的中点， 5证明船=3上 0E=6=2, ∴.EF∥AB. AC_4-1 ∴.△ABC△FEC; 0示=8=2， (2)2 AB AC 8.B9.C10.1:211.B12.4 13.3614.(1)10(2)10a DEDF 又.∠A=∠D=90°， 15.解：(1)由∠C=∠DFC=∠CED= ∴.△ABC∽△DEF. 90°知四边形DECF是矩形， .FC=DE=x,EC=DF =y. 6证明：~瓷-碧号 ..AE=4-y. DE∥BC,∴△ADE∽△ABC. AC202 EC=30=3, 受 4 BC AC ,y=4-2x(0<x<2); ·DcEC (2)S=xy=x(4-2x) 又，∠ACB=∠ECD, =-2(x-1)2+2. ∴，△ABC∽△EDC. 当x=1时，S大值=2， 7证明：40-，2 1 AB2+4=3 第5课相似三角形的判定(2】 AE 3 1 知识点1DE∥BC△ADE∽△ABC AC=3+6=3, 知识点2相等 AB AC BC A'BA'CB'CT 招能 △ABC∽△A'B'C 又∠A=∠A, 1证明治子分 ∴.△ADE∽△ABC. 8.证明：点D,E,F分别是△ABC AC-3-1BC-4-」 三边的中点， A℃=6=2BC=8=2, ∴DE,DF,EF分别是△ABC的中 AB AC BC 1 位线 ·AB=ArC=B"C=2 .△ABC∽△A'B'C' .DE-BG.DF-TAC. 2证期：拾号2， EFAB. C=3 =2, DE DF EF 1 ·BC=AC-AB=2 AB BC CA ∴.△ABC△FED. ·AB=BC-C=2 9.解：相似.理由如下： .△ABC∽△A'B'C' 3.证明：：AC=12+12=2, AC=A.ABG-把 BC=√/2+32=10，AB=4, 又：∠A=∠A, .'.△ACD∽△ABC DF=22+22=22,ED=8, 10.(1)解：△ADE∽△BEF. EF=√22+6=2/10， 证明如下：E为AB中点， ∴.AE=BE=2 2 AE 2 AD 4 2 BF=i8距=2=1 BC_10-1 AE AD BF2102 “萨配=2 8音7 又.∠A=∠B, ∴.△ADE∽△BEF “07 ACBCAB 1 (2)证明：，△ADE∽△BEF, ∠ADE=∠BEF .△ABC∽△DEF. ·.∠DEF=18O°-∠AED-∠BEF 4.解：(1)2522 =18O°-∠AED-∠ADE =∠A=90 (2)相似.证明如下： ∴.DE⊥EF :AC=2W5,BC=22,AB=2, 级全一册RU版39参考答案 号赔 第6课相似三角形的判定(3)】 判定1：DE∥BC△ADE∽△ABC 判定2：份%-% △ABC∽△A'B'C AB AC 判定3：AB=C ∠A=∠A' △ABC∽△A'B'C 判定4：相似 ∠A=∠A',∠B=∠B △ABC∽△A'B'C' 1.证明：，∠A=70°，∠B=60° ∴.∠C=180°-70°-60°=50°. 又：∠D=70°，∠E=50°， ∴.∠A=LD,∠E=∠C. ∴△ABC∽△DFE. 2.解：△AED∽△ACB.证明如下： ,∠A=∠A,∠B=∠ADE, ∴.△AED∽△ACB 3.证明：∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， ∴.∠A=∠BCD 又：CD是Rt△ABC的高， ∴.∠ADC=∠CDB=90°. ∴.△ACD∽△CBD 4.证明：：CD是Rt△ABC的高， ∴.∠ADC=∠ACB=90°. 又，∠A=∠A, .△ACD∽△ABC 5.解：△EBD∽△DCF 证明如下：，△ABC是等边三 角形， ∴.∠B=∠C. .∠2=60°+∠1-∠B=∠1， ∴.△EBD∽△DCF. 6.解：△ABE∽△ECF.证明如下： ∠B=∠C=90°，∠AEF=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=∠FEC+∠AEB =90°. .∠BAE=∠FEC .△ABE∽△ECF 7.(1)证明：AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB. 又：∠D=∠ACB=90°， ∴.△ABC∽△ACD: (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定 理，得AB=√AC+BC=√5. △M8c△4cD光-品 52 2A0…AD=4 5 8.解：(1)△ACD∽△ABC 证明如下： ∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACD△ABC. (2)(1得6-德。 .AC2=AD·AB=4×9=36. ∴.AC=6或-6（舍去）. 9.(1)证明：，·∠BAC与∠BDC为同 弦BC所对的圆周角， ∴.∠BAC=∠BDC. CD=BC,∴.∠BDC=∠DBC, 即∠BAC=∠DBC. 又.：∠BCM=∠PCB, 阅盟学堂数学九 .△CAB∽△CBP. △ABC∽△POA, (2)解：由(1)得4C=BC OPOA BC PC' AB BC 即4C=43 45 =6解得AC=8, 即只=云解得r=25 ∴.AP=AC-CP=8-6=2. ∴.⊙0的半径是25. 10.(1)证明：四边形ABCD是平行 6.(1)证明：，CD为⊙0的切线， 四边形， ,∴.∠0DC=90° ∴.LA=∠DCF,AB∥CD. BE⊥CD,,∠BEC=90°. :DC是直径，∴.∠DFC=90 又：∠C=∠C, :DE是⊙O的切线， ∴.△COD∽△CBE. .∠EDC=90° 又，AB∥CD, (2)解：由()的结论得隔-C -0C .∠EDC=∠AED=90°， CE=12,BE=9, 即△ADE∽△CDF .BC =CE BE (2)解：由(1)结论得g=-DC, EAD' =122+92 =15. 即子-长解得DC= 9 15 则D0=0C=2. D0-15-D0 ∴.0D=5.625, .⊙0的面积=T×22=4m. 即r=5.625. 第7课相似三角形的判定(4)（综合】 7.解：AB∥CD 1.(1)证明：：AD∥BC, .∠A=∠D,∠B=∠C .∠ADB=∠DBC. ∴.△ABE∽△DCE. 又：∠A=∠BDC=90°， ∴.△ABD∽△DCB. 品8用c84 (2)解：：△ABD∽△DCB, ∴.BC=BE+EC=3+4=7 胎品 8.D 9.证明：PA·PB=PC·PD, 又BD=6,DC=8, pp吧 PAPD .BC=√BD+DC=√6+8 =10. ∠P=∠P AB- ..△PAD∽△PCB. 10.证明：如图，连接BE 2.解：在Rt△ABC中，BC=6,AC=8 ∴AB=AC2+BC=82+6 =10. :DE⊥AB,∴.∠ADE=∠C=90 又：∠A=∠A, .△ADE∽△ACB. ,AE为⊙0的直径， AB BC ∠ABE=90 AE=DE AE=5. :AD⊥BC,.∠ADC=90° ∴.∠ABE=∠ADC=90. 3.证明：∠ADC与∠ABC都是AC 所对的圆周角， AB=AB∠E=LC ∴.∠ADC=∠ABC .△ABE∽△ADC. 又.∠APD=∠BPC, ABAE .ABAC=AD·AE. ∴.△ADP△CBP. :.AD-AC PA PD 11.(1)证明：设正方形的边长为a, PC PB' 则AC=√a+a=√2a. 即PA·PB=PC·PD. 4.证明：：AB是⊙0的直径， 告-四a%%a, a ∴.∠ACB=90 :CD是△ABC的高， …e-8-2 ∴.∠ADC=∠ACB=90° .·∠ACF=∠GCA. 又∠A=∠A, ∴.△ACF∽△GCA. △MaC△4Mc0÷8-% (2)解：△ACF∽△GCA, ..∠1=∠CAF 即证得AC2=AD·AB. :∠CAF+∠2=45°， 5.解：PA为⊙O的切线， .∠1+∠2=45. .∠0AP=90° 12.(1)证明：如图，连接OD,CD, AB为⊙0的直径， .∠ACB=90. :OP∥BC, .∠ABC=∠AOP. ∴.△ABC∽△POA. 设OA=r,则AB=2r 级全一册RU版40参考答案 ∠ACB=90°， .∠ACD+∠DCB=90° OC=OD,∴.∠0CD=∠ODC. :AC是⊙O的直径， .∠ADC=90°， ∴.∠CDB=180°-∠ADC=90 :E是边BC的中点， DE=CE=BC, ∴.∠DCE=∠CDE, ∴.∠0DC+∠CDE=90°， ∴.∠ODE=90°， :OD是⊙0的半径， ∴DE是⊙O的切线； (2)解：AD=4,BD=9, ∴，AB=AD+BD=4+9=13. .∠ACB=∠ADC=90°， ∠CAB=∠DAC, ,△ACB△ADC, 6把 AC2=AD·AB=4×13=52, .AC=213, ∴.⊙0的半径为√13. 第8课相似三角形的周长和面积 新课学习 (1)相等相等(2)对应高周长 对应中线对应角平分线的比 (3)相似比的平方 1 1 2.B3.D 4.解：：△ABC∞△DEF, 照站2 S△Ac= 301 4 .Sasw=120. 5.解：△ABC∽△DEF,相似比为3：4， ∴CAABC:CADB=3:4. ∴.CaDr=12. 6.(1)证明：DB=2AD,EC=2AE, 0荒 品能行 ∠A=∠A, ÷.△ADE∽△ABC (2)解：：△ADE△ABC, C△ABc:CAe=3:L. ∴.CAADE=9cm. 7.(1)证明：DE∥BC, ÷△ADE∽△ABC. (2)解：4 AD 2 0B=2,8=3 8 4 SAADE S AABG 一=9 .SAuc =18 cm2. S网边形8CED=SaBc-SAADE=18-8 =10(cm2). 8.A9.18m210.1:411.1:9 12.解：△AB0∽△CD0. 证明如下：由∠ABC+∠BCD= 90°+90°=180°， 得AB∥CD, 阅盟学堂数学九 ∴.△AB0△CD0. .△ABC∽△AED :∠A=∠ACB=45°， 5.(1)证明：：∠BAC=90 .AB=BC=1. AB=AC,∴.∠B=∠C=45 ∠D=30°，∠BCD=90. ∴.∠BAD+∠3=180°-∠B=135 .BD=2BC=2. ∠2+∠3+∠1=180°， DC=22-1下=5 ∠1=45° .∠2+∠3=135 ∴.△MBO与△CDO的相似比= 5 ∴.∠BAD=∠2. .△ABD∽△DCE: (2)解：：AE=EC=1, .'AB=AC=2. 13.解：DE∥BC, .BC=√22+22=22 ∴.△ADE∽△ABC AD:BD=1:2, :△ABD∽△DCE, AD BD-Ag,即B 2 ·相似比=AD+BD-方 CE DC' 2万-BD SAADE=1 解得BD=2. 9 6.(1)证明：△ABC是等边三 设SAADE=x,则S AABC=9x. 角形， .9x-x=8.x=1. ∴.∠B=∠C=60° SAABC=9x=9×1=9. ,∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+ 14.(1)=(2)< ∠BAP,∠APD=60°， 微专题12相似模型 ∴.∠BAP=∠CPD. ∴.△ABP∽△PCD: 1.解：，四边形ABCD是平行四 边形 (2)解：不可能.假设AD=1, ,AB∥CD,AB=CD. :△ABC是等边三角形， DE:EC=4:5, .AC=BC=AB=2.∴.CD=1. EC:AB=5:9. :△ABP△PCD, .·CE∥AB. ,△ABF△CEF 提8器即，即 ..BF:EF=AB:EC=9:5. 整理得BP2-2BP+2=0. 2.解：：∠ADC=∠ACB, 4=(-2)2-4×2=-4<0. ∠A=∠A, 该方程无实数根。 .△ACD△ABC. ∴.若AB=2,则AD不可能等于1 ACAD AB-AC 7.解：AB∥CD,∠B=90°， ∴.∠C=90 ,AC2=AD·AB ∠BAE+∠AEB=90. =4×(6+4)=40, AE⊥ED, .AC=210. ∴.∠DEC+∠AEB=90 3.解：AB为⊙0的直径，CD为 ,∴.∠BAE=∠DEC △ABC的高， ∴△ABE∽△ECD ·,∠ACB=∠CDB=90 AB BE 34 又，∠ABC=∠CBD, ECCD六EC6 ,△ABC∽△CBD. 胎-肥 .EC=2 在Rt△ECD中， 在Rt△CDB中，BD=2,CD=4, DE=√EC+DC .BC=√BD+CD=√22+4 =√4+16=√20 =√(+6 =25. =7.5. 25-2 第9课相似三角形的应用(1)】 AB 25 .AB=10. 1.解：AB⊥BC,EC⊥BC ∴.⊙0的半径为 ∴.∠ABD=∠ECD=90° 24B=7×10=5 又：∠ADB=∠EDC, ∴.△ABD△ECD. .⊙0的面积为 T2=π×52=25π 瓷器蜡贸 4.证明：∠BAE=∠CAD, .AB=100米 .∠BAE+∠CAE=∠CMD+∠CME, 2.解：DE∥AB, 即∠BAC=∠EAD. ∴△CDE∽△CAB. 49-6=34C-18.3 AE=4=2AD=12=2 岩-脂品-品 AB AC .AB=45米 六AED 3.解：反射角等于入射角， 级全一册RU版41参考答案 即∠BEF=∠DEF, ∴.∠BEA=∠DEC. :∠BAE=∠DCE=90°， ∴.△BAE∽△DCE. 光瓷即8婴 .AB=16. 即教学楼高16米。 4解：依题意相能学 2.5 解得AB=4.8. 路灯的高度AB为4.8m 5解：依题意，得8-侣 解得DE=21. ∴教学楼高21m. 6.解：依题意，得 △BOA∽△EFD 00唧99 2 3 解得B0=134. ∴.金字塔的高度为134m. 7.608.C9.4.510.8 第10课相似三角形的应用(2)】 1.82.43.44.2.5 5.解：CD⊥FB,AB⊥FB, ∴CD∥AB. ∴.△CGE∽△AHE. 治器 即CD-EF FD AH ΓFD+BD 3-1.6 2 AH=2+15 解得AH=11.9. ∴.AB=AH+HB=AH+EF =11.9+1.6=13.5(m) ∴旗杆AB的高度为13.5m. 6.解：如图，过点A作AH⊥ED,交FC 于点G,交ED于点H. 视塔 B D 依题意，得△AFC∽△AEH. 治品明2试， EH 解得EH=9.6. ∴.ED=EH+DH=EH+AB =9.6+1.6=11.2(m) .电视塔的高为11.2m 7.解：依题意，得△DAE∽△CAB. 器即品 3 解得BC=1.8. =0.81π(m2) 8.解：依题意，得△PDC∽△PBA. CD PE ABPF 阅盟学堂数学九 015 设河宽x米，则0 15+x 解得x=22.5. ·.河宽为22.5米 9.解：：正方形MNPQ内接于 △ABC,边BC上的高AD=6, 图1 ∴∠ADC=∠ADB=∠CNP= ②当△A'B'C'在点O的右边时，如 ∠BMQ=90. 图2所示. ∠B=∠B,∠C=∠C, ∴.△BMQ△BDA, △CNP∽△CDA. BM QM NP_CN BD AD'AD CD O- 设正方形的边长为x, 图2 则QM=NP=MN=x, BM=E·BD 7.解：(1)如图，△AB,C,即为所求； AD cw=2 BM+CN=·(BD+CD) AD s老·BC AD 又BM+CN=BC-MW, 012345678 RC-BC-MN, (2)如图，△A2B2C2即为所求 AD 8.点03：19.D 即号=2-，解得红=4 10.解：4 (1)如图. .正方形MWPQ的边长为4. 10.解：(1)依题意，得 △BPN∽△BAC. 2-脱8 40 30 PN=手(30- (2)1:2(3)平行 又：四边形PMCN是矩形， 11.10cm ∴.PN=MC. 12.解：（1)如图，△AB1C1即为 MC=号(30-动： 所求； 2y=N.C=号(0-） =-号(x-15)2+30, 当x=15时，y的值最大， y.r=300cm2. (2)如图，△A2B2C2即为所求 (3)16:1 第11课位似 13.解：(1)如图，过点D作DH⊥x 知识点1相似对应点 轴，垂足为H. 位似中心 1.(1)位似(2)2：12.24 3.(1)0(2)9 4.解：如图，四边形A'BCD'即为 所求. ,△ABC与△DOE位似， 5.解：如图所示，△AB20即为所求。 相似比-胎-名宁 A .OH=2B0=4,DH=2A0=6. .点D的坐标为(4,6)； (2)如图，连接DA并延长DA交x 轴于点M,点M为位似中心 ∴.M0:MH=1:2. 6.解：①当△A'BC在点0的左边 设M0=x,则MH=x+4, .x:(x+4)=1:2. 时，如图1所示； 解得x=4, ∴点M的坐标为(-4,0)； 级全一册RU版42参考答案 (3)△OCF与△OED位似， △OCF与△BCA位似， △ABC与△DOE位似 第12课位似与坐标变换 1.(1)24-2-440-40 (2)2x2y-2x-2y 2.(1)2412-1-220 10-10 Y -2-2 总结：kxy--y 3.3663 4.(2,1)5.D6.D 7.解：（1)如图所示，△0B'C即为 所求； 4 (2)B'(-6,2),C(-4,-2). 8.解：(1)如图所示，△DEF即为 所求； (2)(-2,6) 38册8器-器 S△0pg:Sa0B=4:1 设S△AB0=x, 则S四边形ABD=S△o0E-S△04B=4x- x=3x, .S△AB8o:S圆边形BD=1:3. 故答案为1：3. 9.(2,1)10.B 11,解：如图所示，△A'BC'即为 所求， 0123456789 A'(6,9),B(6,3) :Sx=方×1x2=1,相似比 为3， ℃=32=9. SAABG 六Sa4re=9. 12.C13.C 14.(1,0)或(-5，-2) 第13课相似单元复习 12:3273号4号5D 阅盟学堂数学九 6457.5 8.15 .∠FAD=90°.∴.AF⊥AD ∴.AF是⊙O的切线： 9.解：如图，△A,B,C1为所求 (2)解：BA=BC, .AB=BC=26,∠BAC=∠C ∠C=∠D∴.∠BAC=∠D. ∠ABE=∠DBA, ∴.△ABE∽△DBA AB BE 26 4 DB=AB BD26 10.证明：：△PCD为等边三角形， .BD=6. ∴.∠PCD=∠PDC=∠CPD=6O. 在RI△ABD中， ,∠ACP=∠PDB=120. .∠A+∠APC=60° AD=√AB+BD=√O ∠APB=120°， =2√15， ∴、∠APC+∠BPD=60 .∠A=∠BPD. =240=压 ∴.△ACP∽△PDB. 14.解：(1)y=x2-4x+3 小品需 (2)当y=0时，-x+3=0, .x=3..A(3,0) .PC·PD=AC·BD 当x=0时，y=-0+3=3, .PC=PD =CD, ∴.B(0,3). .CD2=AC·BD. ,△AB0为等腰直角三角形， 11.(1)证明：四边形ABCD为平行 若△AB0∽△APD, 四边形， ∴.AD∥BC,即AD∥BE. 品器 .∴.∠DAF=∠CEF .DP)=AD=4. ∠ADF=∠ECF. P(-1,4) ∴.△ADF∽△ECF 若△AB0∽△ADP2,如图，过点 (2)解：，四边形ABCD为平行四 P2作P2M⊥x轴于点M,AD=4, 边形， ∴.AD=BC,AB=CD=4. CB=号8c, G6=0,即 =3 DO C E AD DF :△AB0为等腰直角三角形， △ADF△ECF,. CE CF ·△ADP2是等腰直角三角形 由三线合一可得 即25=3 DM=AM=2=P,M CD=DF +CF, 即点M与点C重合. DF-CD-3 ∴P2(1,2).综上所述，点P的坐标 为P(-1,4),P2(1,2). 12.(1)证明：：AD是∠BAC的平 本章教材母题回归 分线， ∴.∠BAD=∠EAD. 1解：号=号=号6+d40) c AD2=AE·AB,AE=AD AD AB ∴.设a=2x,b=3x(x≠0)， c=2y,d=3y(y≠0)， .△ABD∽△ADE; (2)解：：△ABD∽△ADE, 多 .∴.∠ADB=∠AED 2.解：正确.理由如下： :∠DAE+∠ADE+∠AED=18O 4=S+1=9 ∠ADB+∠ADE+∠CDE=180°， 6=a…6 +1, .∠CDE=∠DAE 即∠CDE=∠CAD. 又.∠DCE=∠ACD .△DCE∽△ACD. 3解：：4%%…品-器。 A6=0,即4C-3 CD CE' 3 AC=4 即号-D=9 4 (2):41∥%2∥3， 13.(1)证明：：AD是⊙0的直径， 6 ∴，∠ABD=90. 能-器即成-号 ,∠BAD+∠D=90° ∠C=∠D,∠BAF=∠C, .nc .∠BAF=∠D. ∴.∠BAD+∠BAF=90°. .AC-AB +BC=5+ 6 6 级全一册U版43参考答案 4解：D/BC品-瓷-号 EC CF 3 EF∥AB,AE=BF=2 BC=BF+CF=20(cm), CF 3 BF=2, .B BF 2 BCBF+CF=5 BF-号BC=号 2 ×20=8(cm). 5.解：相似.理由如下： 在菱形ABCD与菱形EFGH中， 设∠A=∠E=a, 则∠C=LG=a, ∠B=∠F=180°-a, ∠D=∠H=180°-a, 即菱形ABCD与菱形EFGH的对 应角相等. 又，菱形的四条边都相等， 两菱形的对应边成比例 即菱形ABCD与菱形EFGH的对 应边的比相等 ∴.菱形ABCD与菱形EFGH相似. 6.解：设经过ts时，△QBP与△ABC 相似，则AP=2tcm, BP=(8-2t)cm,BO =4t cm. :∠PBQ=∠ABC, 当然2时。 △BPQ△BAC, 即38g之能解得1=2： 当能器， △BPQ∽△BCA, 即86-告解得4=08： 16 综上所述，经过2s或0.8s时， △QBP与△ABC相似. 7.解：由太阳光线是平行线，可得 AM∥BN. ∴.∠AMC=∠BNC. :∠BCN=∠ACM, ∴.△BCN∽△ACM. %即品号 解得AC=3. .AB=AC-BC=3-1=2(m) 答：窗户的高度为2m 8.解：根据题意，画出图形，设BC为 建筑物的高，EF为旗杆的高.分别 连接AC,DF,由图可得AB为建筑 物的影长，DE为旗杆的影长 由题可得△ABC∽△DEF, 小能 EF=4,DE=6,AB=24, 解得BC=16. ∴建筑物的高度为16m. B D 阅盟学堂数学九 核心素养及数学思想 BD=4E-4-16 1.解：设AB=1,AC=x, BC10=10 =1.6(cm). 则BC=1-x, 8.解：如图，过点C作CM⊥AB于点 由胎-得4C=AB,cB, M,交EF于点N 视线 即x2=1(1-x). 整理，得x2+x-1=0. 解得=5-1 2 与=二5-山（不合题意，舍去） 由题意，可得 EF=0.2m,CN=0.5m, CM=AD=40 m, 故黄金此为5 EF∥AB,.△CEF∽△CBA, 2.解：：两个三角形相似且这两个相 EF_CN.0.2_0.5 似三角形的相似比2：3， 六AB-CMAB=40 ∴.这两个三角形的面积比为4：9. 解得AB=16. 设它们的面积分别为4x,9x 答：铁塔的高度为16m ,两个相似三角形的面积差 新题型特训—实验、 为30， 探究与活动 .9x-4x=30. 1.解：(1)图案的宽变为原来的2倍 .x=6. 高不变；对应点的横坐标变为原来 .它们的面积之和=4x+9x=13x 的2倍，纵坐标不变 =13×6=78(m2). (2)图案的宽不变，高变为原来的 3.解：：△PCD是等边三角形， 2倍；对应点的横坐标不变，纵坐 .∠PCD=60 标变为原来的2倍. ∴.∠ACP=120 2解：所得图形如图所示，它像一条 .·△ACP∽△PDB 小鱼. .∠APC=∠B. 又：∠A=∠A, .△ACP∽△APB. .∠APB=∠ACP=120 4. 2 012456789x 5.解：长方形各边向外平移1个单 位长度后，对应边的比值不一定 相等， “变化前后的两个长方形不一定 (1)如图所示，所得图形与原图形 相似. 相比，大小、形状不变，位置关于y :三角形、正方形边长改变后对应 轴对称 比值仍相等，且对应角相等， (2)如图所示，所得图形与原图形 ∴变化前后的两个三角形、两个正 相比，大小、形状不变，位置向下平 方形分别相似. 移2个单位长度. 6.解：如图，设矩形的长为a,宽为b. (3)如图所示，所得图形与原图形 相比，形状不变，横向被拉长为原 来的2倍：纵向被拉长为原来的 2倍. 3.解：四边形EGHF为正方形， ∴.BC∥EF 矩形ABFE∽矩形ADCB. ·.△AEF∽△ABC BF EF 设正方形零件的边长为xmm,则 AB BC KD =EF=x mm, AK=(80-x)mm. 2 则=0 AD⊥BC, a EF AK x80-x .a:b=2:1. BC=AD120=80, 同理，这张纸再如上述对折下去， 解得x=48. 得到的矩形都相似， 答：这个正方形零件的边长是48mm 7.解：：AD是Rt△ABC的高 4.解：(1)设正方形的边长EH为xcm .∠ADB=∠BAC=90° ,AD是△ABC的高， ∠B=∠B,.△ABD∽△CBA ∴.∠ADB=90 ABBD ÷CB-BAB=BC·BD, :四边形EFGH是正方形， .EH∥BC AB=4 cm,BC=10 cm, ,∴.∠AKE=∠ADB=90° 级全一册RU版44参考答案 ,EH∥BC, ∴.△AEH∽△ABC. 0-“高0 _120-x 解得x=60. 答：这个正方形的边长为60cm. (2)设正方形的边长MN为acm, ,AD为△ABC的高， .∠ADB=90° :MN∥BC, ÷.∠APM=∠ADB=90 :MN∥BC, ÷.△AMN∽△ABC. a-120_40,解得a=24. ·120120, ÷6a2=6×242=3456(cm2). 答：正方体的表面积为3456cm 5.解：(1)设正方形的边长为xcm, AD是△ABC的高， ∴.∠ADB=90 四边形PQMN是正方形， 六PW∥BC. .∠ADB=∠AEP=90. PN∥BC, ∴.△APN∽△ABC. PNAE 60 解得x=36, “加工成的正方形零件的边长是 36cm. (2)存在，理由如下：设PN=acm, 矩形POMN的面积为S,由(1)可 蜘院-品员“。 601 解得PQ=60-号aS=PN,PQ= a0-号）--号。+60 -号(a-45)+1350, -号<0，当a=45时， S最大=1350..PN=45cm, P0=60-子a=30(cm） ·矩形的面积存在最大值.面积达 到最大时，矩形零件的两条边长分 别为45cm,30cm. (3)设PN=acm,由(1)可知 P0=(60-子）m ,所要加工成的零件是一个黄金 60、2 即 5-1 2 解得a≈46.7. 则P0=60-号×67=289m ∴.黄金矩形的长约为46.7cm,宽约 为28.9cm 阅盟学堂数学九 第二十八章 锐角三角函数 5.解：cos50°=4 B' 第1课三角函数的定义 .AC=AB·cos50 ≈1000×0.64 1a5(23(3)4(4号 =640(米). 6.解：设AB=AD=x,则AE=x-4. 2.(1)c(2)b (3)a(4)6 cosA= 3 锐角三角函数的定义： a 5 3.22 55 12 解得x=10. 1313131312 5 ∴菱形的周长为40， 4 3 3 4 3 7.解：如图，连接0B. 5 34 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90 AB=√AC2+BC=√62+82 =10. AB为⊙0的切线， .sin A= ..∠OBA=90 AB=10=5, 设OB=0C=x, tan B= AC_63 则0A=0C+AC=x+16. BC =8=4 .sin A= 5 OB 5 6.解：在Rt△ABC中， 304=13 AB 六x+16=x=10. sin A= BC &c9号 10. 5 10.解：~simB=AC=5 AB13' AB=13. 2 3 2 2 AC=5. 由勾股定理，得 12.A13.D 14⑤ BC=√AB-AC 15.(1)90° sin A=cos B =132-5 (2)= =12. 以下证明sinA=sinA'. mA=名，s加Ar= =a mA-能=号 AC 11.解：(1)如图，过点B作BC⊥OA ∴.sinA=sinA'. 于点C. A 16.(1)111(2)1 (3)证明：在Rt△ABC中， ∠C=90°，a2+b2=c2 a2b2a2+b2 在Rt△BCO中， =1. im∠A0B=BC-BC_3 OB .'sin'A sin'B=1. ∴.BC=3. 第2课利用三角函数值求边长 ..OC =OB2 -BC2 1.ab b =√52-3=4. 点B的坐标为(4,3)； 2.解：sinA=BC-BC=1 AB 6=3 (2)A(10,0),.0A=10. 又：0C=4,∴AC=10-4=6. .BC=2. 又BC=3, 3.解：cosA=4C AB 5,4C=6, .AB =BC +AC=32+6 =35. ∴.AB=10 4.解：anA=BC=15 12.解：：∠BAC=90°， AC=8· .∴.∠B+∠C=90 BC=15, 又：AD⊥BC,∠ADC=90 ∴.∠DAC+∠C=90. 品-g .∠B=∠DAC 4 解得AC=8. 六cos LDAC=cosB=5 由勾股定理，得 在Rt△ADC中，AD=4, AB=√/AC+BC=V82+15 =17. ·cos L DAC=40=4 级全一册RU版45参考答案第10课 相似三角形的应用(2) 知识储备 1.小明的身高是1.6m,他的影长是2m,同一2.如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m,长臂长 时刻学校旗杆的影长是10m,则旗杆的高是 为8m,当短臂端点下降0.6m时，长臂端点 m. 升高】 m(杆的粗细忽略不计) 3.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测4.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面 出了树的高度.已知人的站位点A、镜子O、 上留下4m宽的亮区DE,已知亮区DE到窗 树底B三点在同一水平线上，眼睛距地面的 口下的墙角距离CE=5m,窗口高AB=2m, 高度为1.6m,0A=2.4m,0B=6m,则树的 那么窗口底边离地面的高BC= m. 高度为 m. 新课学习 5.④如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高6.如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端 度，已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的 F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人的 水平距离BD=15m,人的眼睛距地面的高 ! 眼睛距地面1.6m,标杆为3.2m,且BC= 度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离 1m,CD=5m,求电视塔的高ED E DF=2m,求旗杆AB的高度， D D 214 RJSX 7.©如图，这是圆桌正上方的灯泡（点A)发出8.【易错题】如图，一条河的两岸有一段是平行 的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌 的，在河的南岸每隔5m有一棵树，在北岸每 面的直径ED为1.2m,桌面距离地面为 隔50m有一根电线杆，小丽站在离岸边 1m,若灯泡距离地面3m,则地面上阴影部 15m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根 分的面积为多少？ 电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这 两棵树之间还有三棵树，则河宽为多少米？ 。北岸 南岸 B✉C P小丽 9.④(RJ九下P58改编)(2023·广州增城区10.如图，将直角三角形纸片截出一个矩形 一模)如图，正方形MNPQ内接于△ABC,点 PMCN,∠C=90°，AC=40cm,BC=30cm,点 M,N在BC上，点P,Q分别在边AC,AB上， P,M,N分别在AB,AC,BC上，设CN=xcm 且边BC上的高AD=6,BC=12,求正方形 (1)试用含x的代数式表示MC; MWPQ的边长. (2)设矩形PMCN的面积为ycm2,当x为 何值时，y的值最大？最大值是多少？ RJSX 215新题型特训一实验、探究与活动 1.(J九下P52)【综合运用一图象变化与坐标的关系】如图，图中的图案与“A”字图案（虚线 图案)相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？ YA 8 (2,8) 1 6 6 (2,4)(4,40 5 2.4 3 2 2 1 012345678 0123456783 (1) 2) 2如图，将坐标是(1,0)，(4,3)，(3,0)，(4，-1)的点用线段依次连接起来形成一个图案，观察 所得图形.你觉得它像什么？ (1)若各点的纵坐标不变，将横坐标分别乘-1，再将所得各点用线段依次连接起来，所得图形 与原图形相比，大小、形状和位置有什么关系？ (2)若各点的横坐标不变，将纵坐标减去2，所得图形与原图形相比，大小、形状和位置有什么 关系？ (3)将各点的横、纵坐标分别乘2，所得图形与原图形相比，有什么变化？ VA 54321,0123456789 3.(RU九下P58)【拓广探索】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高 AD=80mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ 226 RJSX 4.(2023·台州椒江区期未)一块材料的形状是等腰△ABC,底边BC=120cm,高AD=120cm. (1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC 上（如图1），则这个正方形的边长为多少？ (2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积 为多少？ 图1 图2 5.(2023·梧州期中)有一块三角形余料ABC,它的边BC=90cm,高AD=60cm.要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. O DM D M 图1 图2 图3 (1)如图1，请问加工成的正方形零件的边长是多少厘米？ (2)如图2，如果所要加工成的零件是矩形，其他条件不变，请问矩形的面积是否存在最大值？ 如果存在，请求出满足最大值时矩形零件的两条边长；如果不存在，请说明理由 (3)如图3，如果所要加工成的零件是一个黄金矩形（寰=5， 直接写出这个黄金矩形 的长和宽.（结果精确到0.1，√5≈2.236） RJSX 227第3课相似三角形的性质 新课学习 相似三角形的性质： 1.©如图，△ABC与△HFE相似，则： 对应角 ,对应边的比 (1)AB的对应边为 几何语言：如图， ·△ABC∽△A'B'C', AC的对应边为 BC的对应边为 ； (2)相似比k= 2.如图，△ABC与△AED相似，则： 3.已知△ABC∽△EFH,AB=3,BC=2,EF= (1)AB的对应边为 1,则： AC的对应边为 30 (1)AB的对应边为 D BC的对应边为 60e9 BC的对应边为 E (2)相似比k= AC的对应边为 60 B (2)相似比k= 总结： 找对应边的方法1：最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边， 找对应边的方法2：相等的角所对的边是对应边. 找对应边的方法3：若△ABC∽△EFH,则相同位置上的字母一定是对应字母 4.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的最 5.已知△ABC∽△DEP,相似比为号 长边分别为4和6，△ABC的最短边为2，则 △DEF的最短边为 (1)若AB=6,则DE= (2)若EF=15,则BC= 6.如图，△ADE△ABC,AE=2,AD=3,7.如图，△ABC△DEC,∠D=40°，∠ACB= DE=4,BC=12. 80°，BC=3,AC=4,CD=6. (1)DE的对应边为 (1)∠B= 相似比k= (2)求CE的长 12 ∠ADE=∠ (2)求AB,AC的长 198 RJSX 8.如图，△ADE∽△ACB,AD=2,AB=6,AC=9.如图，已知△ABC∽△BDC,其中AC=4, 4,则AE= CD=2,则BC= A.2 B.2√2 D C.25 D.4 过天检测形 凸县移训练 10.如图，△ADE△ABC,若DE=4,BC=8,则11.如图，AB与CD交于点O,△OAC∽△ODB, △ADE与△ABC的相似比为 ∠C=∠B,则∠A=∠ ,OC的对应 A.1:2 边是 ,AC的对应边是 B.1:3 C.2:1 D.3:1 马能力训线 12.如图，△ADE∽△ABC,AE=3cm,EC=6cm,13.如图，在边长为1的方格纸中，点A,B,C,D DE=2cm,∠AED=40°.求∠C的度数和 都在方格纸的交点处，线段AB与CD相交于 BC的长 点E,△ADE△BCE,则 AE BE 的值 为 多拓最训孩 14.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的高，15.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=5,P为 △ABD△CAD,BD=9,CD=4,求AD CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似 的长 时，求DP的长， RJSX 199第5课相似三角形的判定(2)》 知识储备 知识点1相似三角形的判定1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 几何语言：如图， 新课学习 知识点2相似三角形的判定2 若两个三角形的三组对应边的比 ,则这两个三角形相似 几何语言：如图， 1.如图，根据条件证明：△ABC∽△A'B'C 2.根据下面的条件证明△ABC∽△A'B'C' 2人3 已知：AB=10,BC=8,CA=6,A'B'=5, B'C'=4,CA'=3. 3.如图所示的网格图中，每个方格都是边长4.如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF的 为1的正方形.求证：△ABC∽△DEF 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：AC= BC= (2)△ABC与△DEF是否相似？证明你的 结论 B 202 RJSX 知识点3相似三角形的判定3 若两个三角形的两组对应边的比 ,并5.⑩如图，根据条件证明图中两个三角形 且这两边的夹角 ,则这两个三角形 ! 相似 相似. 几何语言：如图， O 6.如图，AE与BD相交于点C.求证：图中两个7.如图，根据所给条件证明图中两个三角形 三角形相似. A20 B 相似. 40 30 60 过天检测 马昌础训球 8.如图，D,E,F分别是△ABC三边的中点. 9.如图，点D在AB上，如果AC2=AD·AB,那 求证：△ABC∽△FED. 么△ACD与△ABC相似吗？为什么？ 之能力训线 还拓最训练 10.【原创题】如图，正方形ABCD的边长为4,11.【易错题】【分类讨论】如图，在△ABC中， BF=1,E为AB中点. ∠C=90°，BC=8cm,AC=6cm,点Q从B (1)证明图中一对相似三角形； 出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点 (2)求证：DE⊥EF. P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移 动，若点Q,P分别同时从B,C出发，经过 秒后，以点C,P,Q为顶点的三 角形与△CBA相似. RJSX 203微专题12 相似模型 重要模型 模型练习 模型一 平行得相似 1.如图，点E在平行四边形ABCD的边DC上， (1) 如图，已知：DE∥BC 若DE:EC=4:5,求BF:EF的值 结论：①△ADE∽△ABC; ②1AD-4EDE AB AC BC 2 模型二反A字形或反8字形 2.如图，在△ABC中，点D为边AB上一点，若 (1) 条件：∠1=∠2（如图）. ∠ADC=∠ACB,BD=6,AD=4,求AC的长 B 结论：△ABC∽△ADE. 注意：隐含公共角或对 D 顶角相等。 E (2〉 B(E) 模型三双垂直型 3.如图，AB为⊙O的直径，CD为△ABC的高， BD=2,CD=4,求⊙0的面积 2 1 B D O D 如图，已知：△ABC是直角三角形，AD⊥BC. 结论：①∠1=∠B,L2=LC; ②△ABC∽△DBA△DAC; ③AB2=BD·BC, AC2=CD·BC, AD2=BD·CD. 210 RJSX 模型四（手拉手型）旋转型 4.如图，已知∠BAE=∠CAD,AB=6,AC=18, 已知：∠1=∠2， AE=4,AD=12.求证：△ABC△AED, D ∠B=∠D(如图) 结论：△ABC∽△ADE. 模型五K字形（一线三等角型） 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D 1.特征：两个三角形的一条边在一条直线上， 是BC边上的一个动点（不与B,C点重合）， 并且有一个顶点重合（如图） ∠1=45. (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)若AE=EC=1,求BD的长 钝角三角形 锐角三角形 直角三角形 等边三角形 等腰三角形 6.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D 2.结论： 为AC上一点，且∠APD=60°，AB=2. (1)已知：∠B=∠ACE=∠D=90(如图). (1)求证：△ABP∽△PCD; 结论：①△ABC~△CDE; (2)AD可能等于1吗？为什么？ ②当点C为BD中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE. 60 B 2入 B D 线三垂直型 (2)已知：∠B=∠ACE=∠D=a(如图). 结论：①△ABC∽△CDE; 7.如图，AB∥CD,∠B=90°，E为BC上一点， ②当点C为BD中点时， 且AE⊥ED.若AB=3,BE=4,DC=6.求DE △ABC∽△CDE∽△ACE. 的长 B C D 线三等角型 RJSX 211第二十七章 相似 第1课相似图形的认识 新课字习》 知识点1相似图形的概念 全等图形 相似图形 定义 形状和大小都相同的图形 形状 的图形 10 图例 符号表示 △ABC≌△A'B'C △ABC △ 相同点 ①形状相同：②全等是特殊的相似；③对应的字母要写在对应位置上 不同点 把一个图形按m:n放大（或缩小），就可得到它的相似图形，当m:n=1:1时全等 1.©如图，下面四个图形中，与左边的图形相2.【原创题】下面各组图形中，不相似的是( 似的是 3.④下列描述中的图形不是相似图形的是 4.下列说法中，正确的是 ( A.小明8岁时的照片和9岁时的照片相似 A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的 B.直角三角形都是相似的 照片 C.儿子和爸爸的照片相似 B.用放大镜将一个图案放大过程中原有图 D.中国国旗的五角星都是相似的 案和放大的图案 C.某人的侧身照片和正面照片 D.大小不同的两张同版本中国地图 知识点2成比例线段 5.在数学里，如果公=行，那么称a,bc,d成比 6.下列长度的四组线段中，不成比例的是 ( 例，创如=名，则1,23.6成比例下列长 A.3,6,2,4 B.1,2,3,6 度的线段是成比例线段的请打“V”. C.1,2,3,9 D.3,6,4,8 (1)1,2,4,8() (2)1,2,3,4( (3)3,1,6,2() (4)1,2,W2,2() 194 RJSX 《过天检测 化基础训练 7.下列图形中，是相似图形的一组是 ( )8. 将左下图中的箭头缩小到原来的)，得到的 ▣☑ 图形是 B D 之能力训练 9.下列各组图形中不相似的是 10.判断：正确的打“V”,错误的打“×” (1)两个圆一定相似 () (2)两个正方形一定相似. () A B (3)两个矩形一定相似： () (4)两个等边三角形一定相似. () l55 2 子6R 60 (5)两个直角三角形一定相似. () C D (6)两个菱形一定相似， 11.线段a,b,c,d是成比例线段，a=9cm,b= 12.(2023·中山期中)若2a=3b,则%的值为 6cm,c=3cm,则d的长为 cm. A. 3 B.I n 13. 在地理学上，比例尺=婴在比创尺 14.下列对相似与全等的理解错误的是（ A.全等是特殊的相似 为1：10000的地图上，相距8cm的A,B两 B.相似是特殊的全等 地的实际距离为 C.如果相似的2个图形有一组对应边相 等，那么它们全等 D.相似或全等的图形对应角相等 还拓展训炫 15.如图，左边格点图中有一个四边形，请在右 16.（2023·东莞校级期末)某校要举办国庆 边的格点图中画出一个与该四边形相似的 联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄 图形（要求大小不同） 金分割点C处（如图1）最自然得体，即 6-5,在数轴（如图2）上最接近5- AB 的点是 ( B 图1 图2 A.P B.Q C.M D.N RJSX 195第11课位似 新课学习 知识点1位似的概念 如果两个图形不仅 ,而且 的连1.如图，△ABC在灯泡O的照射下，在地上形成相 线都相交于一点，那么这两个图形叫做位似图 似的影子△A'B'C'. 灯泡，0 形，这个点叫做 (1)这种特殊的相似叫做 (2)若AB=3,A'B=6,则△A'B'C 与△ABC的相似比为 2.如图，点0是△ABC与△A'B'C'的位似中3.如图，△ABC与△A'B'C'位似. 心，相似比为1：2，若 (1)位似中心是点 △ABC的面积为6，则 △A'B'C'的面积为 (2)若g-号，△40C的周 长为6，则△A'BC'的周 长= 位似的性质：①位似图形的对应点的连线相交于一点；②位似图形的对应边互相平行或在同一 条直线上；③位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比 知识点2位似作图：可将一个图形放大或缩小 4.如图，以点O为位似中心，将四边形ABCD 5.（2023·东莞一模)如图，在Rt△AOB中， 的边长缩小成原来的一半，画出图形 ∠OAB=90°，且点B的坐标为(4,2).以点O 为位似中心，在第三象限将△AB0缩小为原 来的2，得到△4B,0,请作出△AB,0 6.⑧如图，以点O为位似中心，作出△ABC的7.如图，在第一象限内，以原点O为位似中心. 位似图形△A'B'C',使得△A'B'C与△ABC 的相似比为2：1. (1)将△ABC放大到原来的2倍得到 △AB,C1,画出图形； (2)将△ABC放大到原来的3倍得到 △A2B2C2,画出图形 012345678 216 RJSX 过天检测 (马基础训练 8.如图，AB∥CD,A0=3C0,则△AOB和△COD9.如图，△A,B,C,与△ABC是位似图形，且面 的位似中心为 相似比为 积比为4：9，则下列结论错误的是( B A.点0为位似中心，相似比为2：3 B.AB1∥AB,AB:AB=2:3 C.△A,B,C,与△ABC的 周长比为2：3 D.0A:A,A=2:3 经能力训孩 10.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且位似：11.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得 比是1：2，若AB=2cm,则A'B'=cm. 到的，点O是位似中心，点D,E,F分别是 (1)请在图中画出位似中心O: OA,OB,OC的中点，若△DEF与△ABC所 (2)AC:A'C'= 围成的图形（阴影部分）的面积为30cm2, (3)AB与A'B的位置关系为 则△DEF的面积为 还拓最训缘 12.如图，在平面直角坐标系中， 13.【易错题】如图，△ABC与△DOE是位似图 (1)画出一个以点B为位似中心的图形 形，A(0,3),B(-2,0),C(1,0),E(6,0), △A,B,C,使△A,B,C,与△ABC的位似 △ABC与△DOE的位似中心为点M. 比为2：1： (1)写出点D的坐标： (2)在第三象限内，以原点O为位似中心， (2)在图中画出点M,并求点M的坐标： 画出△A2B,C2,使△A2B2C2与△ABC的 (3)设AC与OD交于点F,写出图中所有的 相似比为1：2； 位似三角形 65 (3)S△AB.G:S△ABG,= 1 4-2-045 RJSX 217第12课 位似与坐标变换 新课字习 知识点1探究位似的坐标变化规律 1.④如图，以原点0为位似中心，相似比为2：1，把2.【原创题】如图，以原点0为位似中心，相似 线段AB放大得到A,B,AB2,填空并总结规律 比为)，把线段AB缩小得到AB,4B,填 (1)A(1,2),A(,),A2( 空并总结规律 B(2,0),B1( ,),B2( (1)A(,),A(,),A(,), (2)若P(x,y)是AB上一点，则其对应点的 B(,),B(,),B2(,): 坐标为P,( (2)若P(x,y)是AB上一点，则其对应点的坐 1' 标为P,( ）,P2( 3 2 -2-1 总结：位似点坐标的变化规律 如果以原点O为位似中心，位似比为k,画一个图形的位似图形，那么原图上的点P(x,y)对应的 位似图形上的点坐标为P( )或P2( 知识点2位似与坐标变化的综合应用 4.(2023·中山月考)如图，在平面直角坐标系 3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(1,2), 中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心 B(2,1),以原点0为位似中心，在第一象限 的位似图形，已知点C的纵坐标为1，点F的 内，将AB放大为原来的3倍得到A'B',则点 纵坐标为3，点E的坐标为(6,3)，则点B的 A'的坐标为(，)， 坐标为 点B的坐标为( (01 5.如图，点B(6,4),矩形OA,B,C,与矩形OABC关6.如图，已知点E(-4,2),F(-1,-1),以点 于点O位似，且矩形OA,B,C,的面积等于矩形 O为位似中心，按相似比2：1把△EF0放 OABC面积的子，则点B,的坐标是 大，则点E的对应点E,的坐标为( A.(-2,1) A.(3,2) B.(2,-1) B.(-2,-3) C.(2,-1)或(-2,1) C.(2,3)或(-2，-3)》 D.(8,-4)或(-8,4) D.(3,2)或(-3，-2)》 218 RJSX 7.如图，B,C两点的坐标分别为B(3,-1),8.(2023·中山期中)如图，△ABC的顶点都在 C(2,1). 网格点上 (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC (1)以点O为位似中心，把△ABC按2：1放 放大至原来的两倍得到△OB'C,画出图形； 大在y轴的左侧，画出放大后的△DEF; (2)分别写出B,C两点的对应点B',C的坐标 (2)点A的对应点D的坐标是 (3)S△ABO:S国边形ABBD= 过天检测》 马目础训线 9.如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,3),10.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2), B(6,0),以原点0为位似中心，相似比为3 D(2,0),以原点0为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0)， 在第一象限内把线段AB 则点A的坐标为( 缩小后得到线段CD,则点 A.(2,5) B.(2.5,5) C的坐标为 C.(3,5) D.(3,6) 马能力训依 11.如图，以点0为位似中心，在第一象限内，将 12.【原创题】如图，以某点为位似中心，将 △ABC放大到原来的3倍，画出图形，写出点 △AOB进行位似变换得到△CDE,则位似 中心的坐标为( 年B A',B的坐标，并求△A'BC的面积 A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D.(3,3) 123456789室 还拓最训缤 13.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似14.【易错题】如图，正方形ABCD和正方形OEFG 图形，点0为位似中心，相似比为1：√2，点 中，点A和点F的坐标分别为A(3,2), A的坐标为(1,0)，则点E的坐标为( F(-1,-1),则两个正方形位似中心的坐 标为 A.(2,0) C.(2,2) D.(2,2) RJSX 219第13课 相似单元复习 县础练习 1.(2023·东莞一模)已知△ABC∽△DEF,若 2(2m3·东花月考)若士-子则- △ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC 与△DEF对应边上中线的比为 3.如图，DE∥BC,AD=2,BD=3,则 4.(2023·广州月考)如图，直线1∥12∥儿3，直线 BC AC分别交l1,b2,l于点A,B,C,直线DF分别 交l1,2,3于点D,E,F,若 AB=3,BC=2,则 DE 5.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC6.如图，小明与大树之间放置了一面平面镜，平面 的是 镜到小明的距离是2米、到大树的距离是6米时， A.∠ABD=∠ACB 小明恰好能从平面镜中看见大树的树尖，若小明 B.∠ADB=∠ABC D 的眼睛距离地面1.5 C.AB2=AD·AC D.AD_AB 米，则大树的高为 大树 ABBC 米 7.如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上8.(2023·广东)如图，边长分别为10,6,4的三 的高，AC=4,BC=3,则AD= 个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直 线上，则图中阴影部分的面积为 10 9.如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(-1,0),10.如图，△PCD是等边三角形，点C,D在线段 B(-3,-1),C(-2,-3),以原点0为位似 AB上.若∠APB=120°，求证：CD=AC·BD 中心，把△ABC放大为原来的2倍，得到 △AB,C1.请在y轴右侧画出△AB,C1 220 RJSX 提升练习 11.(2023·东莞校级一模)如图，在平行四边12.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在 形ABCD中，AB=4,在BC的延长线上取一 边AC上，且AD=AE·AB,连接DE. 点E,使CB=BC,连接AE,AE与CD交于 (1)求证：△ABD△ADE; 点F (2)若CD=3,CB=?,求AC的长 (1)求证：△ADF∽△ECF; (2)求DF的长. 13.如图，AD是⊙0的直径，BA=BC,BD交AC于14.如图，直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴 点E,点F在DB的延长线上，且LBAF=∠C 于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B, (1)求证：AF是⊙0的切线： C(1,0)三点. (2)若BC=26,BE=4,求⊙0半径r (1)抛物线的解析式为 (2)若点D的坐标为(-1,0)，在直线 y=-x+3上有一点P,使△AB0与 △ADP相似，求出点P的坐标 DO C RJSX 221核心素养及数学思想 1.(BS九上P96)[黄金分割]一般地，点C把3.(BS九上PI20)[整体思想]如图，点C,D在线 线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如 ! 段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽ 果胎-二则称线段被点C黄金分制， △PDB,求∠APB的度数 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB 的比叫做黄金比.计算黄金比.（提示：设 AB=1) 4.(RJ九下P43改编)如图，平行于BC的直线 DE把△ABC分成面积相等的两部分，若 AB=1,则AD= B 2.(BS九上P120)[方程思想]公园中的儿童5.(BS九上P121)将三角形各边向外平移1个 游乐场是两个相似三角形地块，相似比为 单位并适当延长，得到如图1所示的图形，变 2:3,面积的差为30m2,它们的面积之和为 化前后的两个三角形相似吗？如果把三角 多少？ 形改为正方形、长方形呢？（如图2、图3） 图1 图2 图3 224 RJSX 6.(U九下28)如图，将一张矩形纸片沿较长8.(SK九下P86)[相似的应用]小明把手臂水 边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原 平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端 来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多 E,F,不断调整站立的位置，使在点D处时恰 少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形 好能看到铁塔的顶部B和底部A(如图).设 都相似吗？ 小明的手臂长l=50cm,小尺长a=20cm,点 D到铁塔底部的距离AD=40m,求铁塔的 高度。 视线 视 视线 7.(RJ九下P43)[等积式]如图，AD是 Rt△ABC斜边上的高，若AB=4cm,BC= 10cm,求BD的长 RJSX 225第2课 相似多边形的性质及判定 新课宇习 知识点1相似多边形的性质 对应角 对应边的比 1.网如图，已知四边形ABCD∽四边形A'B'CD 几何语言：如图， (1)求∠A,∠D'的度数和x的值： (2)相似比k= i30 60°80月 相似图形 的比叫做相似比，记作k. 2.如图，已知四边形ABCD与四边形A'B'CD'3.如图，已知△ABC∽△DEF 相似. (1)求x,y的值： (1)根据图中条件求α及x的值； (2)相似比k= D (2)相似比k= 80° 6 80 5 B 知识点2相似多边形的判定 如果两个多边形的对应角 ,且 4.@两个矩形的边长如图所示. 相等，那么这两个多边形相似， (1)求证：矩形ABCD∽矩形A'B'CD'; 几何语言：如图， (2)相似比k= 且 83 196 RJSX 5.在如图所示的三个矩形中，相似的是( )6.如图，矩形ABFE被分成两个矩形 (1)找出图中一对相似矩形并证明： >cm (2)(1)中小矩形与大矩形的相似比为 cm gcm A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 包天检测影 悲县础训依 7.如图，已知△ABC△A'B'C',则图中角度a8.一个五边形ABCDE各边的边长为2,3,4,5， 和边长x分别为 6,另一个和它相似的五边形AB,C,D,E,最 长边为12，则五边形AB,C,D1E,的最短边 110 18 长为 ( 309 40 B 2a A.8 B.6 C.4 D.2 A.40°，9 B.40°，6 C.30°.9 D.30°，6 马能力训线 9.【原创题】下列图形中，不一定相似的是( 10.志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm A.任意两个等腰直角三角形 的长方形版面要支付广告费180元，他要把 B.任意两个等边三角形 该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平 C.任意两个正方形 方厘米版面广告费相同的情况下，他该支 D.任意两个菱形 付广告费 ( A.540元 B.1080元 C.1620元 D.1800元 (拓展训练 11.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、12.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm, 圆的边框，其中不一定是相似图形的是 宽为8dm,上下边框的宽度都为xdm,左右 边框的宽度都为ydm,则符合下列条件的 x,y的值能使内边框矩形和外边框矩形相 ▣▣△ 似的为 A.x=y B.3x=2y C.x=1,y=2 D.x=3,y=2 RJSX 197第6课相似三角形的判定(3) 塔知识储备 判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边判定2：三边成比例的两个三角形相似 相交，所构成的三角形与原三角形相似， ! 几何语言：如图， 几何语言：如图， D 判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 几何语言：如图， 新课学习影 判定4：有两组角分别相等的两个三角形 几何语言：如图， 知识点1直接运用判定4证明相似三角形 1.如图，根据所给条件证明图中三角形相似 2.【原创题】如图，∠B=∠ADE,指出图中一对 相似三角形并证明. 60° 450 知识点2“双垂直模型”证三角形相似 3.④如图，CD是Rt△ABC的高，∠ACB=90°.4.如图，CD是Rt△ABC的高，∠ACB=90 求证：△ACD∽△CBD. 求证：△ACD∽△ABC. 204 RJSX 知识点3“一线三等角”模型证相似 5.@如图，等边三角形ABC中，D为BC上一6.如图，矩形ABCD中，E为BC上的一点，作 点，∠EDF=60°，证明图中一对相似三角形. ∠AEF=90°，EF交CD于点F,指出图中一 D 对相似三角形并证明. 60 过天检测 心县础训练 7.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，对角线8.如图，已知∠ACD=∠B. AC平分∠DAB,且AC⊥BC. (1)指出图中的相似三角形并证明： (1)求证：△ABC∽△ACD; (2)若AD=4,AB=9,求AC的长. (2)若BC=1,AC=2,求AD的长. 径能力训徐 色拓最训维 9.如图，△ABC内接于⊙O,弦CD=BC,弦AC10.如图，以口ABCD的边CD为直径作⊙O, 与BD相交于点P ⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE (1)求证：△CABM△CBP; 与边AB相交于点E. (2)若BC=45,CP=6,求AP的长. (1)求证：△ADE∽△CDF; （2)若器-号6c=6,求©0的面积 RJSX 205第7课相似三角形的判定(4)（综合）】 新课学习 知识点1先证相似，再计算边长 1.如图，已知AD∥BC,∠A=∠BDC=90° 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB,BC= (1)求证：△ABD∽△DCB; 6,AC=8,DE=3,求AE的长 (2)若BD=6,DC=8,求AB的长. D 知识点2先证相似，再证等积式 3.如图，在⊙0中，弦AB,CD交于点P 4.如图，AB为⊙0的直径，CD为△ABC的高. 求证：PA·PB=PC·PD 求证：AC2=AD·AB. B 知识点3相似综合（方程思想） 5.@如图，AB是⊙0的直径，AP是⊙0的切6.如图，AB为半圆0的直径，C为BA延长线上一 线，切点为A,OP∥BC.若OP=10,BC=4,求 点，CD切半圆O于点D,连接OD,作BE⊥CD ⊙0半径的长. 于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9. (1)求证：△COD∽△CBE; (2)求半圆0的半径r的长 206 RJSX 过天输测》 凸县础遭练 7.如图，AD与BC交于点E,AB∥CD,AB=6,8.如图，下列不能判定△AED与△ABC相似 CD=8,BE=3,求BC的长 的是 ) A.∠1=∠CB.∠2=∠B C.AE_AD D.AEED ACAB AC BC 马能力训缤 9.如图，AD,BC交于点O,P为AB,CD延长线 10.如图，△ABC内接于⊙O,AD是BC边上的 的交点，且PA·PB=PC·PD 高，AE是⊙0的直径 求证：△PAD∽△PCB. 求证：AB·AC=AD·AE. 多拓展训练 11.如图，四边形ABCD,CDEF,EFGH都是相同12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为 的正方形 直径的⊙O交AB于点D,E是边BC的中 (1)求证：△ACF∽△GCA; 点，连接DE (2)求∠1+∠2的度数 (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AD=4,BD=9,求⊙0的半径 RJSX 207