4.第二十四章 圆（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十四章圆 第1课圆的有关概念 新课学习多 定义 图例 表示方法 注意 如右图，线段OA绕固定点 圆0记作 决定圆的位置； 圆 O旋转一周，点A所形成的 固定点O叫做 决定圆的大小 图形叫做圆 OA叫做圆的 (1)直径是圆中 连接 任意两点的 左图的弦有 弦 的弦： 叫做弦 (2)半径 弦 圆上任意两点间的部分叫 左图有 条弧 做弧 每条劣弧，总对应唯一 弧 写出左图中的一个半圆 半圆：直径把圆分成 的一条优弧，并且它们 个半圆； 可组成一个完整的圆 0 劣弧：小于 的弧； 劣弧： 优弧： 半圆的弧 优弧： B 因为⊙0与⊙0'的半径相 等圆 能重合的两个圆 3cm 等，所以⊙0与⊙0'是 (1)半径相等的圆是 (2)等弧只存在于同圆 因为AB与A'B可完全重 或 中； (3)长度相等的弧 等弧 能重合的2条弧 3cm 合，所以AB与AB是 是等弧 知识点1圆的有关概念 1.@如图，在⊙0中： 2.如图，在⊙0中： (1)半径有： B (1)半径有： (2)直径有： (2)直径有： (3)弦有： (3)弦有： (4)劣弧BC对应的优弧是 (4)劣弧AC对应的优弧是 劣弧 对应的优弧是 劣弧 对应的优弧是 (5)半圆弧有： (5)半圆弧有： 102 RJSX 知识点2利用圆的半径相等计算或证明 3.@如图，04，OB是⊙0的两条半径，∠A0B=90°，4.如图，在⊙0中，∠A=60°，AB=3cm,则 A0=4,则∠A= AB= ∠AOB= △AOB的周长= 5.如图，AB,CD为⊙0的两条直径，M,N分6.如图，在⊙0中，直径CD⊥AB. 别为AO,B0的中点.求证：四边形CMDN为 求证：△AOE兰△BOE. 平行四边形 知识点3证明几点共圆 7.网(RU九上P80)矩形ABCD的对角线AC,8.如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且 BD相交于点O.求证：A,B,C,D四个点在以 ∠C=∠D=90°，点0是AB的中点.求证： 点O为圆心的同一个圆上 A,B,C,D四点在同一个圆上，并且圆心为 点0 过天检测 火县础训练 名能力训练 9.【易错题】给出下列说法：①直径是弦；②长 10.如图，⊙0的弦AB与半径OC的延长线交于 度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧；④在 点D,BD=OA,若∠AOD= 同一平面中，到定点的距离等于定长的点的 120°，则∠D= 集合是圆.其中，正确的是 RJSX 103第9课 切线的性质 新课学习 知识点1探索切线的性质 1.如图，直线1与⊙0相切，切点为A,这个图形2.切线的性质： 是 图形，对称轴是 圆的切线 于过切点的半径 几何语言：如图， .0 知识点2利用切线性质进行简单的计算 3.④如图，AB是⊙0的切线，切点为A,半径4.如图，AB为⊙0的切线，切点为A,AC=AB= OA=2,∠AOB=60°，求∠B的度数及OB 1,AC是⊙0的直径，求∠C的度数及BC 的长 的长 0 5.(2023·广州天河区模拟)如 6.如图，AB是⊙0的切线，A 图，AB是⊙O的直径，BC是 为切点，∠B=30°，0B=4, ⊙0的切线，若∠BAC=38°， 则LA=,AB= 则∠ACB= 知识点3切线性质的综合计算与证明 7.如图，在⊙0中，AB是直径，CD是⊙0的8.如图，AB是⊙0的切线，B为切点，半径C0的 切线，切点为D,直线AB和ED交于点C, 延长线交切线于点A,若AB=BC,OA=6cm. ∠ADE=60° (1)求∠A的度数； (1)求∠C的度数； (2)求BC的长 (2)求证：AD=CD. 120 RJSX 总结：切线的性质一切线垂直于经过切点的半径 9.@两个同心圆如图所示，大圆的弦AB与小10.(RJ九上P102)如图，AB为⊙0的直径，C 圆相切于点C,OA交小圆于点D,若OD= 为⊙0上一点，AD和过点C的切线互相垂 DA=2,求AB的长 直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. 过天检测 (凸县础训练 11.(2023·东莞一模)如图，AB与⊙0相切于12.如图，AB是⊙0的切线，A为切点，AC是 点B,A0的延长线交⊙0于点C,若LA= 弦，过点0作OH⊥AC于点H.若OH=3, 40°，则∠C= AB=12,B0=13.则： B (1)0A= (2)AC= 色能力调缤 ! 3拓展训练 13.【易错题】如图，△ABC内接于⊙0，AE与14.【核心素养】如图，已知△ABC中，AB=AC, ⊙O切于点A,求证：∠B=∠EAC.(提示：连 DE⊥AC于点E,DE与半圆O相切于点D. 接AO,并延长AO交⊙O于点B',连接CB) 求证：△ABC是等边三角形 RJSX 121第3课弧长的计算 知识储备 如图： 1.(1)若圆的半径为4，则圆的周长= (1)圆的周长C=2r; (2)若圆的周长为6，则圆的半径= (2)圆的面积S=πr2 新课学习 知识点1推导弧长公式 /90∞ 图形 180° 0 90 弧占整个圆几分之几 360 弧长 90 360 ·2mr 弧长公式 I= (其中，l为弧长，n为圆心角，为半径) 知识点2运用公式计算弧长 2.④已知圆弧的半径为1，圆心角为60°.求3.已知扇形的半径为4，圆心角为90°.求扇形 弧长 的弧长 知识点3运用弧长公式列方程求圆心角或半径 4.⑥一个扇形的半径为6cm,扇形的弧长为5.如图，AB的长为12mcm,圆心角∠AOB= 2πcm.求扇形的圆心角的度数. 120°.求此弧所在圆的半径 12πcm 120 注意：易漏π及单位 128 RJSX 过天检测 马盘础训练 6.(2023·中山模拟)如图，⊙0的半径为1，点7.【原创题】如图，0B=2,△AB0绕点0顺时 A,B,C都在⊙0上，∠B=45°，则AC的长为 针方向旋转90°得到△A,B,O,则点A运动的 路径长为 A. 1 B. D.π 马能力训雀 8.已知扇形圆心角为36°，扇形的弧长为9.(2023·东莞一模)如图，“凸轮”的外围由以 2πcm,求扇形半径的长. 正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为 半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长 为1，则“凸轮”的周长等于 A号 B.Z C. D.2π 还拓最训孩 10.如图，公园内有一个半径为18米的圆形草11.如图，已知△ABC,∠BAC=90°，AB=AC=2, 坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB)和 分别以点B,C为圆心，AB长为半径画弧， 便民路（线段AB).已知A,B是圆上的点， 分别交BC于点D,E,再以DE为直径作半 点0为圆心，∠AOB=120°，小强从点A走 圆，得到如图所示的阴影图形，则该阴影图 到点B,走便民路比走观赏路少走 形的周长是 (结果保留π) RJSX 129第14课扇形的面积 知识储备 如图： 1.(1)若圆的半径为3，则圆的面积为 (1)圆的面积S=」 (2)若圆的面积为16π，则圆的半径为 (2)AB的长= 新课学习 知识点1推导扇形面积公式 90 图形 180 扇形占圆的几分之几 90 360 扇形面积 360·m2 90 扇形的面积公式 S鼎形= (其中，S崩形为扇形面积，n为圆心角，r为半径) 知识点2运用公式计算扇形面积 2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为60°，求扇3.已知扇形的圆心角为90°，半径为4，求扇形的 形的面积 面积 知识点3运用扇形面积公式列方程求圆心角或半径 4.(2023·韶关仁化县二模)一个扇形的面5.一个扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2,则 积为6πcm,半径为4cm,则此扇形的圆心 扇形的半径为 角的度数为 6.(原创题】如图 7.(1)半径为2cm,弧长为4rcm的扇形面积 (1)我们知道三角形的面积公 为 cm2; 式：Saau=AB:: (2)(2023·珠海香洲区三模)若扇形的面积 h 为2π，半径为2，则扇形的弧长是 (2)猜想扇形面积公式：S形0B= 0 证明你的结论 130 RJSX 过关检测 凸基础训练 8.(1)已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则 9.(2023·珠海香洲区三模)如图，在由边长为 它的面积为 1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都 (2)半径为2，弧长为4的扇形面积为 在格点上，点E在AB的延长线上，以点A为 圆心，AE的长为半径画弧，交AD的延长线于 点F,且弧EF经过点C,则 扇形EAF的面积为 马能力训练 类型1S影=S形-S。 类型2S丽影=S大偏形一S小扇形 10.如图，在⊙0中，0A=3,∠C=45°，则图中阴11.如图，两个扇形的圆心都为0,0A=AB=1, 影部分的面积是 (结果保留T) ∠0=120°，则阴影部分的面积为( A.T B.2m C.2 1 D.4 还拓最训线 类型3S丽影=S扇形1+S扇称+…+S南形 类型4S開影=S。-S席老 12.(1)如图1，⊙A,⊙B,⊙C的半径都为1.13.(1)(U九上P113改编)如图，正三角形ABC 图中阴影部分的总面积为 的边长为4，D,E,F分别为BC,CA,AB的中 点，以A,B,C三点为圆心，2为半径作圆，则 图中阴影部分的面积为 图1 (2)如图2，增加一个圆， 则图中阴影部分的总面积为 类型5综合可转化为类型1 (2)(U九上P115改编)正方形的边长为 4,以各边为直径在正方形内画半圆，则 图2 图3 图中阴影部分的面积为 (3)如图3，再增加一个圆，则图中阴影部分 的总面积为 (4)若图中有n个这样的半径为1的圆，则 阴影部分总面积为 RJSX 131微专题8中考热点一 圆的综合 中考热点1垂径定理 中考热点2圆周角定理 1.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且 2.如图，在⊙0中，AB是直径，AC=3,BC=4,C AB⊥CD于点E,连接AC,OC,BC. 为⊙0上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O (1)求证：∠ACO=∠BCD; 于点D (2)若EB=8cm,CD=24cm,求⊙0的 (1)判断△ABD的形状，并说明理由； 半径. (2)求BD的长. 中考热点3圆与特殊四边形综合 3.0如图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上一 4.【变式练习】如图，已知在⊙0中，AB=BC= 点，⊙0经过点A,C,D,交BC于点E,过点D 作DF∥BC,交⊙O于点F.求证： CD,0C与AD相交于点E.求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； (1)AD∥BC; (2)四边形BCDE是菱形. (2)AF =EF. D 134 RJSX 中考热点4切线的证明 类型1有切点，连半径，证垂直 5.如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB为⊙0的6.【变式练习】如图，在Rt△AOB中，∠AB0= 直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点 90°，∠OAB=30°，以点0为圆心，OB为半径 E,延长EC,AB相交于点F,∠ECD=∠BCF 的圆交BO的延长线于点C,过点C作OA的 (1)求证：CE为⊙O的切线： 平行线，交⊙O于点D,连接AD (2)若DE=1,CD=3,求⊙0的半径 (1)求证：AD为⊙0的切线； (2)若0B=2,求CD的长 类型2无切点，作垂直，证半径 7.④如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙0与8.【变式练习】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, BC,AC分别相切于点E,F,BO平分∠ABC, ∠BAD=90°，CB=CD,连接BD,以点B为圆 连接OA,与⊙0相交于点N. 心，BA的长为半径作⊙B,交BD于点E. (1)求证：AB是⊙0的切线； (1)求证：CD与⊙B相切； (2)若BE=AC=3,⊙0的半径是1，求图中 ! (2)若AB=2√5，∠BCD=60°，求图中阴影 阴影部分的面积. 部分的面积 RJSX 135本章教材母题回归 1.(RJ九上P89)如图，在半径为50mm的⊙03.(U九上90)如图，两个圆都以点0为圆心， 中，弦AB长50mm.求： 大圆的弦AB交小圆于C,D两点. (1)∠AOB的度数； 求证：AC=BD, (2)点O到AB的距离. 0 4.(RJ九上PI24)如图，菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,四条边AB,BC,CD,DA 的中点分别为E,F,G,H.这四个点共圆吗？ 若共圆，圆心在哪里？ 2.(RJ九上P83)如图，在⊙0中，AB,AC为互相 垂直且相等的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足 分别为D,E.求证：四边形ADOE是正方形 140 RJSX 5.(九上P90)⊙0的半径为13cm,AB,CD是8.(U九上P98)如图，△ABC为等腰三角形，0 ⊙0的两条弦，AB∥CD,AB=24cm,CD= 是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点 10cm则AB和CD之间的距离为 D.求证：AC是⊙O的切线 D 6.(J九上P89)如图，用直角曲尺检查半圆形 B 工件，哪个是合格的？为什么？ 7.(U九上P90改编)如图，AB,CD是⊙O的 两条平行弦，MW是AB的垂直平分线，求证： (1)MN垂直平分CD; (2)AC=BD D 9.(九上P102)如图，等圆⊙0，和⊙02相交于 A,B两点，⊙01经过⊙02的圆心02则 ∠O1AB的度数为 0 RJSX 141第2课 垂径定理 知识储备务 新课学习 1.下列图形是不是轴对称图形？ 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平 分弦所对的两条 几何语言：如图， 知识点1垂径定理 2.如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB,则下列结 3.如图，在⊙0中，半径OC⊥AB于点E,AE= 论不一定成立的是 2,则下列结论正确的是 A.EA=EB A.0E=2 B.EO=ED B.EC=2 D 0 C.DA=DB C.AB垂直平分OC D.OC垂直平分AB D.CA=CB 4.如图，在⊙0中，直径CD⊥弦AB,AB=8,5.如图，⊙0的半径为5，OC=3,OC⊥AB,求 OE=3,求⊙0的半径及ED的长. AC及AB的长 总结： 6.(J九上P89改编)如图，⊙0的半径为10， (1)垂径定理方法总结：构造由 、半弦、 AB=16,则圆心0到AB的距离为 弦心距组成的直角三角形，用 定理 求解 (2)常作的辅助线：①连接半径；②过圆心作弦 的垂线。 104 RJSX 知识点2垂径定理与方程思想 7.①如图，在⊙0中，直径CD⊥AB,AB=6,8.如图，在⊙0中，半径OC⊥AB,DC=2,AB= ED=1,求⊙0的半径. 8,求⊙0的半径 知识点3垂径定理的相关证明 9.如图，两个圆都以点0为圆心.求证：10.如图，AB是⊙0的弦，点C,D是直线AB上 AC=BD. 的点，且OC=OD.求证：AC=BD B 过天检测3 马县移训线 马能力训练 11.(RU九上P90改编)如图，实线为一条公路，12.(RU九上P83改编)如图，在⊙0中，AB1 公路有一段是圆弧(AB),已知AB=12米， AC,且AB=AC,OD1AB,OE⊥AC.求证：四 CD=2米，半径OC⊥AB,求OA的长 边形ADOE是正方形 色拓层训练 13.【易错题】(RJ九上P90改编)⊙0的半径为5，弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB与CD间的 距离为 A.1 B.7 C.1或7 D.3或4 RJSX 105微专题7圆的有关性质复习 县础练习 知识点1圆中半径相等 知识点2等弧对等圆心角 1.如图，在⊙0中，∠A=45°，0A= 2.如图，AB为⊙0的直径，∠AOE= OB=1,则∠B= 90°，D,C为EB的三等分点，则 AB= ∠BOC= 知识点3垂径定理 知识点4圆弧所对圆周角等于圆心角的一半 3.(2023·广州荔湾区一模)把半径长为2.5的球4.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠A0B=90°，则 放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截 ∠C= 面如图所示，已知CD=4,则 EF= 知识点5直径所对圆周角等于90° 知识点6圆的内接四边形对角互补 5.如图，△ABC内接于⊙0，AB为 6.如图，点A,B,C,D在⊙0上， ⊙0的直径，∠A=60°，AC=2, 分 ∠A=90°，∠ABC=130°，则∠C= 则BC= ∠ADC= ,连 接BD,则BD是⊙O的 中喜热点 中考热点1弧、圆心角、弦的关系，垂径定理 7.如图，已知AB是⊙0的弦，半径OC,OD与AB8.如图，已知AB,MD是⊙0的直径，弦CD⊥ 分别交于点E,F,且AE=BF.求证：AC=BD. AB于点E. (1)若CD=16,OD=10,则BE= (2)若∠M=∠D,求∠D的度数 中考热点2圆周角定理及其推论 9.如图，AB=AC,AB为⊙0的直径，BC,AC分10.如图，点C,D在以AB为直径的半圆上， 别与⊙O交于点D,E,连接DE.求证：DB= ∠BCD=120°，若AB=2,则弦BD的长为 DC=DE. 114 RJSX 提升练习 11.如图，以口ABCD的顶点A为圆心，AB为半12.【易错题】如图，AB是⊙0的弦，CD是⊙0 径作⊙A,⊙A分别交AD,BC于点E,F,延长 的直径，AB⊥CD,垂足为G,点E在劣弧AB BA交⊙A于点G.求证：GE=EF 上，连接CE. (1)求证：EC平分∠AEB; D (2)连接BC,若BC∥AE,且 CG=4,AB=6,求BE的长 13.(U九上P90改编)如图，在⊙0中，点P在14.(U九上P91)如图，铁路MW和公路PQ在 劣弧AB上，A,P,B,C是⊙0上的四个点， 点0处交会，∠Q0N=30°，在点A处有一 ∠APC=∠CPB=60° 栋居民楼，A0=200m.如果火车行驶时，周 (1)判断△ABC的形状，并说明理由； 围200m以内会受到噪声的影响，那么火车 (2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关 在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是 系，并证明你的结论 否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速 度为72km/h,居民楼受噪声影响的时间约 为 秒.（不考虑火车长度，结果保 留小数点后一位，参考数据：3≈1.73) RJSX 115第7课 点与圆的位置关系 新课学习 知识点1点和圆的位置关系 1.如图： 2.如图，在⊙0中，下列判断正确的是（ (1)点A在圆 台0A r; A.点A在圆上 。C (2)点B在圆 台OB r; B.点B在圆上 (3)点C在圆 台0C C.点C在圆上 0 D.点O在圆上 3.@已知⊙0的半径r=5cm 4.已知⊙0的半径为r,点P到圆心的距离d=5. (1)若OP=5cm,则点P在圆 (1)若r=4,则点P在 (2)若OP=4cm,则，点P在 (2)若r= ,则点P在圆上； (3)若点P到圆心0的距离为6cm,则点P (3)若 ,则点P在圆外 在 5.半径为5的⊙0，圆心在直角坐标系的原点0，则6.若⊙0的半径为4，圆心0的坐标为(0,0)， 点P(3,-4)与⊙0的位置关系是 ( 则点P(0,-5)在⊙0 A.在⊙0上 B.在⊙0内 C.在⊙0外 D.不能确定 知识点2三角形的外接圆和外心的概念及性质 7.如图： 8.外心的性质（如图）： (1)过△ABC三个顶点的圆叫 (1)三角形的外心到三角形三个 做△ABC的 .0 顶点的距离 ,且等 (2)三角形的外接圆的圆心叫 于外接圆的 做三角形的 (2)三角形的外心是三角形三边 注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 的交点 知识点3作三角形的外接圆 9.④作下列图中三角形的外接圆⊙O. (1)锐角三角形的外心在三角(1)直角三角形的外心在三角(1)钝角三角形的外心在三 形的 形的 角形的 (2)若∠C=60°，则∠A0B=(2)若BC=6,AC=8,则0A= (2)若∠B=30°，AC=3,则 Soo= 116 RJSX 过天检测 凸县德训练 10.(2023·广州越秀区校级一模)已知⊙0的11.【易错题】三角形的外心是三角形的（ 直径是8，点P到圆心O的距离d为方程 A.三条中线的交点 x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ B.三边的垂直平分线的交点 A.⊙0的内部 C.三个内角角平分线的交点 B.⊙0的外部 D.三条高的交点 C.⊙0上或⊙0的内部 D.⊙0上或⊙0的外部 之能力训练 12.【原创题】下列说法中正确的是 )13.(U九上P100改编)如图，点0为△ABC的外 A.经过两点只可以作1个圆 心，∠A=80°，则∠B0C= B.经过三点可以作1个圆 C.经过三角形的三个顶点可以作1个圆 D.三角形的外心到三角形三边的距离相等 还拓最训雀 14.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，15.【原创题】如图，△OAB的外接圆的圆心的坐 AC=6,以点B为圆心，3为半径作⊙B,则点C 标是 ,外接圆半径= YA 与⊙B的位置关系是 A.点C在⊙B内 B.点C在⊙B上 C.点C在⊙B外 D.无法确定 16.(RU九上PI02改编)如图，已知等边三角形17.【核心素养】如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ABC: 90°，AD平分∠BAC,过A,C,D三点的圆与 (1)求作△ABC的外接圆⊙O: 斜边AB交于点E,连接DE. (2)若AB=6,⊙0的半径为 (1)求证：AC=AE; (2)若AC=6,CB=8,求△ACD外接圆的 周长 0 RJSX 117第8课直线与圆的位置关系 新课学习 探索直线与圆的位置关系：（如图，「为⊙0的半径，d为圆心到直线l的距离） 割线 切线 切点 直线1与⊙0没有公共点 直线1与⊙0有 个公： 直线1与⊙0有 个公 0 共点 共点 直线与圆 0 0 直线与圆 直线与圆 d 0 ① 1.④已知圆的半径为2cm,圆心到直线l的距2.如图，已知⊙O的半径为r,圆心到直线的距 离为dcm. 离为4. (1)若d=1cm,则直线l与圆的位置关系是 (1)若r=3,则直线与圆的位置关系是 直线与圆有 个公 共点： (2)若r= 时，直线与圆相切： (2)若d= cm,则直线I与圆相切， (3)若r=6,则直线与圆有 公共点 直线与圆有 个公共点： (3)若d=4cm,则直线1与圆 ,直线 1与圆有 个公共点. 3.如图，已知Rt△ABC,AB=2,∠B=30°. 4.如图，已知Rt△ABC,AC=6,BC=8. (1)以点A为圆心，作一个半径为1的圆，则⊙A ! (1)以点C为圆心，作半径为8的⊙C,则直 与直线BC的位置关系是 线AB与⊙C (2)以点A为圆心，r为半径作圆，若BC与 (2)以点C为圆心作圆，AB是切线，则⊙C ⊙A相离，则r的取值范围是 ； 的半径为 ； (3)以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与 (3)以点B为圆心作圆，并与AC相切，则 AB相切，则r= ⊙B的半径应为 B 304 118 RJSX 过天检测 华县础训缘 5.⊙0的直径为4，圆心0到直线1的距离为6.【原创题】在平面直角坐标系内，如果⊙P的 3,则直线1与⊙0的位置关系是 圆心P的坐标为(4,0)，半径是3，则： A.相交 B.相切 (1)y轴与⊙P的位置关系是 C.相离 D.无法确定 (2)点A(7,0)与⊙P的位置关系是 径能力训依 7.已知⊙0的半径为2，直线1与⊙0有公共8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,⊙0 点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 是以AB为直径的圆，则： (1)直线DC与⊙0的位置关系是 (2)点D与⊙0的位置关系是 9.【易错题】如图，在平面直角坐标系x0y中，半 10.如图，已知∠AOB=30°，M为0B上一点，若以点 径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将 M为圆心，r=6cm为半径作圆，则： ⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切， (1)当OM满足 时，⊙M与 则平移的距离为 OA所在的直线相切； (2)当0M满足 时， ⊙M与OA所在的直线相交， 还拓最训孩 11.(RJ九上PI01改编)如图，在△0AB中，OA=12.【核心素养】如图，点P是抛物线y=x2-6 0B=10,AB=16,⊙0的半径为6.判断⊙0 上的一个动点，⊙P的半径为3，当⊙P与坐 与直线AB的位置关系，并说明理由. 标轴相切时，点P的坐标为 RJSX 119图4 ∠DAY=90°-∠BAY=∠BAX, ∠DYA=90°=∠BXA,AD=AB, ∴.△DAY≌△BAX(AAS). ∴DY=Bx .AE=AC, 六AB,DY=4C~Bx ·.△ABC的面积与△AED的面积 相等，故选项D正确。 故答案为ABD. ②DE=2AM,且AM⊥DE,证明 如下： 如图3，延长AM到点N,使MN= AM,连接BN,延长MA交DE于 点I, N 图3 M是BC的中点，∴.CM=BM ,∠AMC=∠NMB,AM=MN, ∴.△AMC≌△NMB(SAS). ∴BN=AC,∠N=∠CAM ∴.AC∥BN ∴.∠NBA+∠BAC=180° ∠BAD=∠CAE=90° .∠DAE+∠BAC=180 ∴.∠NBA=∠DAE. AC=AE,.∴.BN=AE AB =AD, ∴.△NBA≌△EAD(SAS). ·AN=DE,∠BAN=∠ADE. .·AN=2AM.∴.DE=2AM .∠BAN+∠DAI=90°， .∠ADE+∠DAI=90°. ∴.∠AID=90°..AM⊥DE 第二十四章圆 第1课 圆的有关概念 新课学习 圆 ⊙0园心 圆心 半径 半 弦 圆上 AB CD (1)最长 线段 EF (2)不是 两 弧 两半圆 CAB AB.AC 大于 MCB,® 等回 等圆 (1)等圆 (2)等圆 等孤 等孤 (3)不一定 1.(1)0A,0B(2)AB (3)AC,BC,AB (4)BAC AC ABC (5)ACB,AEB 阅盟学堂数学九 提示：在直径AB上方圆周上标一 点E. .AE=BE=- B=4 ∴0A=AE2+0E2=42+32 =5, 即⊙0半径长为5. .ED =OD-OE =2 2.(1)0B,0C(2)BC (3)AB,BC 5.解：如图，连接0A (4)ABC AB ACB (5)BAC,BEC 0 提示：直径BC下方圆周上标一 点E. OC⊥AB, ∴.AC=BC=√OA-OC =52-32=4. .AB=2AC=8. 总结：(1)半径勾股 3.45°424.60°9cm 6.6 5.证明：在⊙0中， 7.解：如图，连接OA, 0A =OB=OC=OD. :M,N分别为OA,B0的中点， 0W=20A,0N=20B ∴.OM=ON ·.四边形CMDN为平行四边形. 设半径为x, 6.证明：，CD⊥AB, ∴.∠AE0=∠BE0=90° :直径CD1AB,AE=24B=3. .OA=OB.OE=OE 在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2, .△AOE≌△BOE(HL). 7.证明：：四边形ABCD为矩形， 即x2=32+(x-1)2,解得x=5. .⊙0的半径为5. 0M=0C=24C, 8.解：设⊙0半径为x OB=OD=- 8D.AG-RD. ~0C⊥AB,AD=2AB=4 .OA=OC=OB=OD 在Rt△AOD中，OA2=AD+OD, A,B,C,D四个点在以点O为圆 即x2=42+(x-2)2 心，OA为半径的圆上. 解得x=5. 8.证明：如图，连接OD,OC. ∴.⊙0的半径为5. 9.证明：如图，过点O作OE⊥AB于 点E :△ADB和△ACB为直角三角形， 点O是AB的中点， 则OE垂直平分CD,OE垂直平 OD=AB=A0=BO. 分AB. .CE DE,AE BE. 0C=7AB=A0=B0, ,·AE=AC+CE,EB=ED+BD .AC=AE -CE BE DE=BD. 即OC=OD=OA=OB. 10.证明：如图，过点0作OE⊥AB, 点A,B,C,D在同一个圆上，并 垂足为E. 且圆心为点O. 9.①③④10.20 第2课 垂径定理 1.不是是 OC=OD,OE⊥AB, 垂径定理：平分弧直径CD垂直 ∴EC=ED(三线合一) 弦AB OE⊥AB,∴.EA=EB. AE BE.AC BC.AD BD ∴.EC-EA=ED-EB. 2.B3.D .AC BD. 4.解：如图，连接OA. 11.解：设0A=0C=x,则OD=x-2. 0C⊥AB,AD=27AB=6 在Rt△OAD中，有 x2=62+(x-2)2 解得x=10.∴.0A的长为10米. 12.证明：：AB⊥AC,OD⊥AB, 直径CD⊥弦AB, OE⊥AC, ∴.∠A=∠AE0=∠AD0=90°， 级全一册U版21参考答案 AE-2AC.AD-2AB. ∴.四边形ADOE为矩形 AB=AC,..AE=AD. ·.矩形ADOE为正方形 13.C 第3课垂径定理的推论及其应用 1.解：如图，连接OA, CD⊥AB,AB=8, 之e=4B=4 又⊙0的半径为5， 在Rt△AE0中， 0E=0A2-AE=√5-4=3. ∴.DE=0D-0E=5-3=2. ∴DE的长为2. 2.证明：直径AB LCD, ∴.EC=ED. ∴.∠PEC=∠PED=90. 又.PE=PE ∴.△PEC≌△PED(SAS). ∴.PC=PD. 方法总结：半弦弦心距 3.解：垂直.理由如下： 如图，连接OA,OB. E为AB中点，∴AE=BE. [AO=BO 在△AOE和△BOE中， OE =OE AE =BE, ·.△AOE≌△B0E(SSS). ∴.∠AE0=∠BE0=90. ∴.CD⊥AB. 垂径定理的推论：垂直平分 直径CD平分弦AB(不是直径) CD⊥AB AC=BC AD=BD 4.解：如图，连接OA, ,M是AB的中点， 0MLAB且AM=2AB=4 在Rt△OAM中， 0A=√AM2+OM=√4+3 =5. .⊙0的半径为5. 5.解：如图，连接OA 设0A=0C=x,则0D=x-2. 阅盟学堂数学九 由垂径定理的推论可知OC⊥AB, 在Rt△OAP和Rt△OA'P'中， 且AD=BD=2AB=4 「OA=OA' OP=OP 由勾股定理，得0A2=AD+0D, ∴.Rt△OAP≌Rt△OA'P'(HL). 即x2=42+(x-2)2,解得x=5. .AP =A'P'...AB=A'B'. 故⊙0的半径为5cm. 第4课弧、弦、圆心角 6.8m7.2m 新课学习 8.解：如图，过点0作OC⊥AB,垂足 为点C.延长C0交⊙0于点D,连 AB=A'B'AB=A'B' 接OB. ∠1=∠2AB=A'B 1.30°2.30°120°3.60°4.90° 5.证明：如图，连接0C 在Rt△OBC中，OB=13cm, BC-AB=12(em), AC=BC,.∠AOC=∠BOC. .0C=√132-122=5(cm). .OA=OB,AD=BE, .最大深度CD=OC+0D=5+13 .OA-AD=OB-BE. =18(cm). 即OD=OE. 9.解：连接0C,如图所示，设圆的半 ,0C=0C 径为x ∴.△OCD≌△OCE(SAS) ∴.CD=CE 6.证明：如图，连接0C :M是弦CD的中点，EM过圆 心0， :点D,E是OA,OB的中点， .EM⊥CD 又OA=OB, 0C=0E=x,EM=6, .0M=6-x 0D=20A= 10B =OE. 2 :M是CD的中点，CD=4, 又.·OC=OC,CD=CE .CM=2. ∴.△ODC≌△OEC(SSS). EM⊥CD,.OC2=OM2+CM2. ∴.∠AOC=∠B0C. x2=22+(6-x)2 10 .AC=BC. 解得x=3 7,证明B=AC, 故⊙0的半径是9m ∴.AB=AC. ,∠ABC=60° 10.解：：C为AB的中点， ∴.△ABC是等边三角形. 0CLAB,AC-AB-2 .∴.AB=AC=BC .∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC. .0C=√OA-AC=5. 8.解：∠AOB=∠A0C=∠B0C, 11.26 ∴，AB=AC=BC=1. 12.解：菱形.证明如下： CAABC =AB +AC+BC=3. AC垂直平分OB, 9.B .AC⊥OB,P0=PB. 10.证明：：AC=BC ∴.PA=PC. .∠AOC=∠BOC. ∴.四边形OABC为平行四边形 .180°-∠A0C=180°-∠B0C. AC⊥OB,∴.□OABC为菱形. ∴.∠AOE=∠BOE. 13.证明：(1)：P是弦AB的中点， OA=OB,OE=OE P'是弦A'B的中点， .△OAE≌△OBE(SAS) AP=2AB,A'P'=24'B', ∴.AE=BE OP⊥AB,OP'⊥A'B 11.证明：AD=BC,AD=BC AB=A'B',.'.AP =A'P' .CD=AD+AC=BC+AC=AB 如图，连接OA,OA',OA=OA' 12.C 13.证明：如图，连接0C ∴.Rt△OAP≌RL△OA'P'(HL). ∴.OP=OP (2)由(1)知OP⊥AB, :C是AB的中点，∠A0B=120°， OP'⊥A'B .∴.∠AOC=∠B0C=60°. 级全一册U版22参考答案 又.OA=0C=OB, ∴.△OAC和△OBC都是等边三 角形. ∴.AC=OA=OB=BC. ∴.四边形AOBC是菱形. 第5课圆周角(1) 1.(1)圆心(2)圆上相交 2.A 知识点2 一半∠ACB和∠AOB 都对应AB LACB-2AOB 3.(1)40°(2)45°(3)30° 4.40°5.B 6.解：∠A=∠B 推论1：相等 7.40° 8.证明：依题意，得 ∠ABC=∠2=60° ∠BAC=∠1=60°， ∴∠ACB=180°-60°-60°=60. ∴，△ABC为等边三角形. 9.证明：点D是BC的中点， ∴.BD=CD..∠1=∠2，BD=CD. ∴.∠3=∠4. 又∠1=∠3，∠2=∠4， ∠1=∠2=∠3=∠4. 10.C11.B12.A13.2 14.解：如图，连接0C, :在⊙0中，OA⊥BC, .AC=AB, ∠AOC=∠AOB, LADG-A0G 1 =2∠A0B =25°. 1 15.证明：∠ACB=2∠A0B, LBAG-LBC ∠A0B=2∠BOC, ∴.∠ACB=2∠BAC 第6课圆周角(2) 知识储备一半相等 1.(1)40(2)35 2.(1)80°(2)85°(3)90° 知识点1直角直径BC是直径 ∠BAC=90° ∠BAC=90°BC 是直径 3.解：AB是直径，∠C=90 ,AB=4,∠B=30°， 六AC=2AB=2. 4.(1)证明：∠CAB=∠CBA=45°， ∴∠ACB=18O°-∠CAB-∠CBA =90° ∴.AB是⊙O的直径，即AB过 点0. (2)32 5.解：AB是直径， ∠ACB=∠ADB=90. 阅盟学堂数学九 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, 微专题7圆的有关性质复习 AB=10 cm,AC=6 cm, 1.45°22.30°3.44.45° ∴.BC=√AB-AC=/102-6 =8(cm). 5.256.90°50°直径 又：CD平分∠ACB, 7.证明：如图，连接OA,OB. ∴，∠ACD=∠BCD. .AD DB..'AD=BD. 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB, .AD2+BD2=102 ·AD=BD=N√2 /100 =5√2(cm). OA=OB,∴∠A=∠B. .AE BF. 6.解：(1)，AC是⊙0的直径， ∴.△OAE≌△OBF(SAS). ∴.∠ABC=∠ADC=90. .∠AOE=∠BOF 在Rt△ACD中，AD=CD=2, .AC=BD ∴.AC=√AD+CD=√22+22 8.(1)4 =22, (2)解：.∠M=∠D,∠BOD=2∠M, ∠CAD=∠ACD=45° ∴.∠BOD=2∠D. 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， .∠D+∠B0D=90° .BC=AC-; .∠D+2∠D=90°， 解得∠D=30 (2):∠BAC=30° 9.证明：如图，连接AD, ·.∠ACB=90°-∠BAC=60° :∠CBD与∠CAD都是CD所对的 圆周角， .∠CBD=∠CAD=45° 在△BCE中，∠ECB+∠CBE+ AB为⊙0的直径， ∠BEC=180° .∠ADB=90° ·.∠BEC=18O°-∠ECB-∠CBE 又，：AB=AC =180°-60°-45° ∴.DB=DC,∠BAD=∠CAD =750 .BD=DE..BD DE. 知识点2互补 .DB DC DE. ⊙O是四边形ABCD的外接圆 ∠A+∠C=180° 10.5 ∠B+∠D=180° 11.证明：如图，连接AF 7.解：，四边形ABCD是⊙0的内接 四边形， .∠D+∠B=180 .∠D=3∠B, .3∠B+∠B=180° :四边形ABCD是平行四边形， .∠B=45°. ∴.AD∥BC. 8.(1)70° ∴.∠GAE=∠B 证明：(2)，四边形ABCD为⊙0 ∠EAF=∠AFB. 的内接四边形， .AB=AF, .∠A+∠BCD=180 ·.∠B=∠AFB. 又.∠BCD+∠DCE=180°， ·.∠GAE=∠EAF. ∴.∠DCE=∠A. 9.510.(1)160°(2)130° ·GE=EF 11.证明：如图，连接AD. 12.(1)证明：CD是⊙0的直径， AB⊥CD,.AC=BC .∠AEC=∠BEC. ·EC平分∠AEB. (2)解：：AE∥BC, ∴.∠AEC=∠ECB. .·∠AEC=∠BEC AB为⊙0的直径， ∴.∠ECB=∠BEC. .∴.∠BDA=90°..AD⊥BC ∴.BE=BC .AB=AC,.'.BD CD. ·CD是⊙O的直径，AB⊥CD, 12.(1)5 (2)证明：AB是⊙0的直径， .BG=AG = .∠ACB=90°. =3,∠CGB=90° 又CE⊥AB,∴.∠CEB=90 ∴.∠BCE=90°-∠ACE=∠A. ∴BC=√CG2+BG=√42+32 =5, C是BD的中点，.DC=BC .BE BC=5. ∴.∠CBD=∠A 13.解：(1)△ABC是等边三角形 ∴.∠CBD=∠BCE. 理由如下：在⊙0中， .CF=BF. :∠BAC与∠CPB是BC所对的 级全一册RU版23参考答案 圆周角，∠ABC与∠APC是AC所 对的圆周角， ∴.∠BAC=∠CPB ∠ABC=∠APC. 又：∠APC=∠CPB=60° ∴.∠ABC=∠BAC=60 ∴.△ABC为等边三角形. (2)CP=BP+AP.证明如下： 如图，在PC上截取PD=AP,连 接AD. 又：∠APC=60° ·△APD是等边三角形 .AD=AP =PD. ∠ADP=60°， 即∠ADC=120 又，LAPB=∠APC+∠BPC=120°， ,.∠ADC=∠APB. 在△APB和△ADC中， T∠APB=∠ADC. ∠ABP=∠ACD, LAP=AD .△APB≌△ADC(AAS). ∴.BP=CD. 又.PD=AP ∴.CP=BP+AP 14.17.3 第7课点与圆的位置关系 1.(1)内<(2)上 (3)外 > 2.B 3.(1)上(2)圆内(3)圆外 4.(1)圆外(2)5(3)0<r<5 5.A6.外 7.(1)外接圆(2)外心 8.(1)相等半径(2)垂真平分线 9 (1)内部(2)120 (1)斜边中点处(2)5 (1)外部(2)9π 10.B1i.B12.ci3.16014.C 阅盟学堂数学九 15.(1.5,2)2.5 3.解：AB为⊙0的切线， 16.解：(1)如图. ..OA⊥AB...∠OAB=90° 又.·∠A0B=60° ∴.∠B=180°-∠OAB-∠AOB =30° 又，0A=2,∴.0B=20A=4 4.解：AB为⊙0的切线，AC是⊙0 的直径， (2)25 ,∴.AC⊥AB..∴.∠CAB=90° 17.(1)证明：：∠ACB=90° 又.AC=AB,∴.∠C=∠B=45 在Rt△CAB中，AC=AB=1, ∴.AD为△ACD外接圆的直径 ∴.∠AED=90. .BC=AC +AB=2. :AD平分∠BAC, 5.52°6.90°25 ∴.∠CMD=∠EAD 7.(1)解：如图，连接0D AD=AD .△ADC≌△ADE(AAS). ,∴.AC=AE. (2)解：设CD=x,则BD=8-x .·△ADC≌△ADE, ∴.DE=CD=x,AE=AC=6. ,CD是⊙0的切线，OD是半径， .OD⊥EC..∠ED0=90o AB=6+82=10 ∠ADE=60°，∠AD0=30° .'EB=AB-AE=4. OA=OD 在Rt△BDE中 .∠A=∠AD0=30° DE2 EB'DB2, ∠C0D=2∠A=60° 即x2+42=(8-x)2.解得x=3. ..∠C=90°-60°=30° ∴CD=3. (2)证明：由(1)得 .AD=W6+3=35. ∠A=∠C=30°， 'AD=CD. 圆的周长=3√5π 8.解：(1)如图，连接0B. 第8课 直线与圆的位置关系 新课学习 相离> 相切 =两相交 1.(1)相交 2(2)2 1 (3)相离 0 ,AB是⊙0的切线， 2.(1)相离 (2)4(3)2 ..∠AB0=90 .∠A+∠A0B=90 3.(1)相切 (2)0<r<1 (e9 AB=BC,.∠A=∠ACB. OB=OC,.∠OBC=∠ACB 4.(1)相交 (2)4.8(3)8 .∠A=∠OBC=∠ACB 5.C 在△BOC中， 6.(1)相离 (2)点A在圆上 ∠AOB=∠OBC+∠ACB. 7.0≤d≤2 .∠AOB=2∠A 8.(1)相切 (2)点D在⊙0外 .∠A+2∠A=90° 9.1或5 ∴.3∠A=90°.∴.∠A=30°； 10.(1)0M=12cm (2)由(1)知，∠A=30°. (2)0≤OM<12cm AB是⊙0的切线， 11.解：直线AB与⊙0相切. .∠AB0=90° 理由如下： .△AOB是直角三角形. 如图，过点0作OC⊥AB. 在Rt△AOB中，OA=6cm. ∠A=30° B0=240=3(cm: .AB=√AO-BO =6-3 .OA=OB, =35(cm). .AC=BC-7AB-8. AB=BC,∴BC=33cm .0C=√OB2-BC=√10-8 9.解：如图，连接OC =6. 由圆的切线的定义知直线AB是 ⊙0的切线。 12.(3,3)或(-3,3)或(5，-3)或 :AB与小圆相切，∴.OC⊥AB (-5,-3) 又，AB是大圆的弦 第9课切线的性质 由垂径定理，AC=BC. 1.轴对称直线OA 在直角三角形AOC中， 0C=0D=2, 2.垂直AB为⊙0的切线 A0=AD+0D=4, OA⊥AB 级全一册RU版24参考答案 .AC=√A0-0C =√42-2=25. .AB=2AC=45. 10.证明：如图，连接0C :DC是⊙O的切线， ∴.OC⊥DC :AD⊥CD,∴.AD∥OC ·∠DAC=∠OCA. .OA=OC,∴.∠OCA=∠OAC. .∠DAC=∠OAC. 即AC平分∠DAB. 11.25 12.(1)5(2)8 13.证明：AE与⊙0相切， .B'A⊥AE. ∴.∠EAC+∠BAC=90 AB为直径，∴∠ACB=90 .∠B'AC+∠B'=90 ∴.∠EAC=∠B'. 又，∠B'=∠B ..∠B=∠EAC. 14.证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 如图，连接OD. :DE是⊙O的切线， .∠ODE=90°. :DE⊥AC,.OD∥EC ∴∠BD0=∠A :OB=OD,∴∠B=∠BDO. ∴.∠A=∠B=∠C. .△ABC是等边三角形. 第10课 切线的判定 新课学习 AB是⊙0的 切线 AB⊥OA OA⊥AB A为切点 AB是⊙0OA是⊙0的半径 AB⊥OA 的切线 AB是⊙O的切线 1.证明：：AB=BC,∠A=45°， .∴.∠ABC=90 又，AB为⊙0的直径， ∴.BC为⊙O的切线. 2.证明：·042+AB=12+(3)2 =4, 0B2=22=4, .0A2+AB2=0B2..∠A=90 ∴AB为⊙0的切线. 3.证明：如图，连接B0, .∠A=∠C=30° ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=120°. 又A0=B0, ∴.∠AB0=∠A=30°. ∴.∠OBC=∠ABC-∠ABO=90°， 即OB⊥BC. 阅盟学堂数学九 .BC是⊙O的切线 10.(1)证明：如图，连接0E,0D, 4.证明：如图，连接0C. OA=OB 在△AOD和△EOD中， 在△OAC和△OBC中， CA=CB. 0A=OE. OC=OC. DA =DE. ∴.△OAC≌△OBC(SSS). OD=OD ∴.∠OCA=∠0CB=90° .△AOD≌△EOD(SSS), .OC⊥AB. ∴.∠OED=∠BAC=90°， ,AB是⊙O的切线. ∴.DE是⊙O的切线： 5.证明：如图，过点0作OE⊥AD,垂 (2)解：△AOD≌△EOD, 足为E,连接OB ∴.∠AOD=∠EOD, OB=OE. .∠B=∠OEB. .'∠AOE=∠B+∠OEB, ∴.∠BEO=∠EOD, ∴.OD∥BC,又AO=OB, AC与⊙O相切于点B, 0D=2BC=5, ∴.OB⊥AC. 由勾股定理得， :AO是∠CAD的平分线， .OE=0B,其中0B为⊙0的半径 A0=√OD2-AD=3, 则⊙0的半径为3. ∴.AD为⊙O的切线 6.证明：如图，过点0作OE⊥AB,交 第11课切线长定理 AB于点E,连接OA,OD 知识点1 (1)两 两相等 PA,PB是⊙O的切线 (2)辅对称 PA=PB 直线OP 平分 ∠OPA=∠OPB 1.42.2 ,AB=AC,O为BC的中点， 3.解：(1)：PA,PB是⊙O的切线， .A0平分∠BAC. ,∴.AP=BP. :AC与⊙0相切， ∠P=60°，.∴.∠PAB=60° ∴.OD⊥AC. AC是⊙0的直径， .OE=OD,∴AB是⊙O的切线. .∠PAC=90°， 7.证明：如图，连接OD. .∠BAC=90°-60°=30°： (2)如图，连接OP,则在Rt△AOP中， ,OD=OA,.∠OAD=∠ODA. :AD平分∠BAE .∠OAD=∠EAD 0A=2,∠AP0=30° .∠ODA=∠EAD.OD∥AE. .0P=4, .'AE⊥BD,.OD⊥BD 由勾股定理，得 .BD为⊙O的切线 AP=√OP2-0A=2√5 8.证明：如图，连接OD 'AP=BP,∠APB=60° ·△APB是等边三角形， .AB=AP=2√3. 4.(1)解：PA,PB是⊙0的切线， 且AC是⊙0的直径， D为BC中点，O为AB中点， ∴.OB,0C为⊙0的半径， ∴.OD为△ABC的中位线 ∴.∠OBC=∠C=50° .OD∥AC. .·.∠AOB=∠OBC+∠C=100° .·DE⊥AC,.OD⊥DE .LAPB=360°-∠PAO-∠AOB- ∴.DE为⊙O的切线。 ∠PB0=360°-90°-100°-90°=80°； 9.证明：BC为⊙0的直径， (2)证明：由切线长定理，得 PA=PB,∠APO=∠BPO ∴.∠BDC=90° ∴.∠A+∠ABD=90° 在△PAO和△PBO中， PA=PB, .:∠A=∠DBC ∠APO=∠BPO. .∠DBC+∠ABD=90° 1P0=P0 .AB⊥BC. :BC为⊙0的直径 ∴.△PAO≌△PBO(SAS). AB是⊙O的切线 级全一册RU版25参考答案 AA0p:∠B0P=7A0B=r 由(1)得∠0BC=50. ∴∠BOP=∠OBC=50° .OP∥BC 5.解：(1)分别作∠B,∠C的角平分 线相交于点P; (2)过点P作线段BC的垂线交 BC于点E; (3)以点P为圆心，线段PE长为 半径画圆。如图所示，圆P即为 所求. 知识点2：相切角平分线 三边距离 6.解：如图. (1)130°(2)90°+ 2 7.(1)115°(2)100° 8.解：设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得 (9-x)+(13-x)=14. 解得x=4. AF=4,BD=5,CE=9. 9.(1)证明：⊙0是△ABC的内 切圆， .OD⊥BC,OE⊥AC, 又：∠C=90°， ∴.四边形ODCE是矩形. OD=OE .四边形ODCE是正方形 (2)2 10.211.①②④⑤ 12.证明：Sae=SaA0+SAc+S△c, Sac=2ABr+2AC·r+ G(GG) .I=AB+AC+BC, 5m= 1a(1m(2)号 第12课正多边形和圆 1.(1)圆心(2)半径(3)圆心 (4)中心距离 60 1202516535 120°260 51265 3.解：(1)如图所示，正方形ABCD即 为所求 (2)42(3)90°22 阅盟学堂数学九 4.解：(1)如图所示 60 正六边形ABCDEF即为所求， 2.解：S形 360 ×πx32 2m(cm2). 扇形的面积为 2 Tem2 90 (2)24 3.解：5影=360×m×4=4m (3)如图所示，正三角形ABC即为 .扇形的面积为4π 所求. 4.1355.6cm 62b 证明：1=30·2m S=n 60 ·2, 5.B6.257.B8.20 n 9.18510.27m 360-2m'360 11.(1)120°(2)90°72° (3)LM0N=360 L=S 六2r 第13课弧长的计算 2nr 1.(1)8π(2)3 7.(1)4π(2)2π 知识点1 8.(1)15π 180 (2)49.5m 360 36 30 10.9m-9 2 42 11.A 360·2mm 30·2m 12.()受 (2)m 珊 n (4)n-2)m 2 2.解：l=60×πx1- 180 3m 13.(1)45-2m(2)8m-16 孤长为 第15课圆锥的侧面积和全面积 1.6m 3.解：l-90×m×4=2m 2.扇(1)a2(2)2mr(3)mra 180 (4)Tra+r2 .扇形的弧长为2π. 3.解：Sw=l=60r(cm2). 4解：2m=n:m×6 S全=SM+Sg=60π+36π 180 =96r(cm). .n=60. ∴.扇形的圆心角的度数为60 4.解：底面半径为√3-4=3(cm), 5.解：12m=120×m Sw=πl=π×3×5=15π(cm2), 180 S全=Tr(r+)=π×3×(3+5) 解得r=18. =24r(cm). .此弧所在圆的半径为18cm. 5.2cm6.180 6.C7.5π 7.解：蒙古包的表面积=圆锥侧面积 8.解：2m=36×π·r +圆柱侧面积+底圆面积 180 l=√+7=42+32=5(m). 解得r=10cm ∴.圆锥侧面积=π·r·l ∴.扇形半径的长为10cm =m×3×5 9.C10.(12m-183)米 =15m(m2). 11.(3-2)π 圆柱侧面积=2πr·h1 =2π×3×6 第14课 扇形的面积 =36π(m2) 知识储备 底圆面积=π2=9π(m2) (1)m2 2)180mr ∴，蒙古包的表面积为 15m+36m+9r=60π(m). 1.(1)9r(2)4 8.解：(1)如图，过点0作OE⊥AB 知识点1 180 1 于点E,则4E=24B=25 360 360 360 180 360 360 360 360·mr 在Rt△AE0中，∠A=30°， 级全一册U版26参考答案 0g=20a o4:E=4 又.OA=OB,.OB=4. (2)设圆锥的底面圆的半径为r, 则周长为2 ∠A=30°，.∠B0C=60° AC⊥BD,BC=CD .∠C0D=∠B0C=60° .∠B0D=120°. :.2mr= 120 807X4 4 解得r=3 9.3m10.411.10m12.B 13.(1)120°(2)65 14.解：(1)设此圆锥的高为h,底面 半径为r,母线长AC=l. 2mr=l..:r=2:1; (2):A010B,=2, ∴.圆锥高与母线的夹角为30 则∠BAC=60°； (3)由图知=2+2，h=33cm, .(2r)2=(35)2+2, 即4r2=27+2.解得r=3. ∴.l=2r=6(cm). 之圆维的微面积为号=18m（cam, 微专题8中考热点一圆的综合 1.(1)证明：AB⊥CD,.BC=BD. .∠A=∠BCD. OA=0C,.∠A=∠AC0 ∴.∠ACO=∠BCD: (2)解：设⊙0的半径为rcm,则 OC=r,OE=0B-BE=r-8. AB⊥CD, .CE=DE=CD-x24=12. 在Rt△OCE中， 122+(r-8)2=2,解得r=13. .⊙0的半径为13cm. 2.解：(1)△ABD是等腰直角三角 形，理由如下： AB为直径， .∴.∠ADB=∠ACB=90° AB=V32+4=5. :CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠BCD. .AD=BD..AD BD. ·,△ADB是等腰直角三角形： (2)设AD=BD=x,则x2+x2=25. 解得x=52 ·BD=52 21 3.证明：(1).AC=BC, ∴.∠BAC=∠B. ,DF∥BC,∴.∠ADF=∠B. ∠BAC=∠CFD, .∠ADF=∠CFD..BD∥CF. DF∥BC, .四边形DBCF是平行四边形 (2)如图，连接AE. 阅盟学堂数学九 ∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF, .∠AEF=∠B. ∠0AB=30°，∠B=90°， :四边形AECF是⊙O的内接四 .∠A0B=609 边形， 又：CD∥AO, ∴∠ECF+∠EAF=180 ∴.∠C=∠AOB=60 BD∥CF, 又0C=OD. ..∠ECF+∠B=180 ∴.△COD是等边三角形. .∠EAF=∠B. .∴.∠C0D=60°. ∠AEF=∠EAF .∠A0D=180°-60°-60°=60° .AF =EF. 又.OB=OD,A0=A0 4.证明：(1)如图，连接BD, ∴.△AOB≌△AOD(SAS) AB BC=CD. .∴.∠AD0=∠AB0=90° .∠ADB=∠CBD.∴.AD∥BC. 又，点D在⊙0上 ∴.AD是⊙O的切线 (2)解：由题意，得⊙0的半径 0B=2=0C,∠C0D=60° 根据弧长公式，可得 1-n-60mx2_2知 180180 3 (2)如图，连接CD.设OC与BD相 交于点F, :m的长为号 .AD∥BC,.∠EDF=∠CBF 7.(1)证明：如图，连接0E,作OD1 BC CD,..BC=CD. AB,垂足为D. ∴.BF=DF 又.·∠DFE=∠BFC .△DEF≌△BCF(ASA). .DE BC. .四边形BCDE是平行四边形. 又BC=CD, ∴.四边形BCDE是菱形 ⊙0与BC相切，∴.OE⊥BC. 5.(1)证明：如图，连接0C :B0平分∠ABC,OD⊥AB, ∴.OD=OE..AB是⊙0切线。 (2)解：如图，连接OF,设OB与 ⊙O交于点M ⊙0与AC相切，OF⊥AC .∠ACB=90 :OB=OC,.∠OCB=∠OBC. .∠OEC=∠OFC=∠ACB=90. :四边形ABCD内接于⊙O, ∴.四边形OFCE是矩形 ∴.∠CDE=∠OBC ·OE=0F ,CE⊥AD ∴.矩形OFCE是正方形 ∴.∠E=∠CDE+∠ECD=90. ∴.OE=OF=CE=CF=1 .·∠ECD=∠BCF ∴.AF=AC-CF=3-1=2, ∴.∠OCB+∠BCF=90 BC=BE+CE=3+1=4. ∴.∠0CE=90 1 0C是⊙0的半径， :'=2 ×3×4=6, .CE为⊙O的切线； 3 (2)解：如图，过点0作OG⊥AE Sa0s=2×3x1=2, 于点G,连接OD,则∠0GE=90°. .'∠E=∠OCE=90°， Sa40r=2×1×2=L, ∴.四边形OGEC是矩形 .OC=EG.OG=EC. SE形0E0r三1×1=L ·OD⊥AB,0F⊥AC,OD=OF=1, 设⊙0的半径为x .AO平分∠BAC. 在Rt△CDE中，CD=3,DE=1. .EC=32-1=22 ∠BA0=2LBMC .0G=22,GD=x-1,0D=x. 由勾股定理，得 :∠AB0=2∠ABC, 0D2=0G2+DG ∴.∠BA0+∠AB0= .x2=(22)2+(x-1)2 (LBAC+ 2. 解得x=4.5. ∠ABC)=45 .⊙0的半径是4.5. ÷.∠B0A=180°-45°=135° 6.(1)证明：如图，连接OD .S亲形Oww 135×m×1- 360 8. .S影=S△ABc-S△OE-S△0r- 级全一册RU版27参考答案 S正方形OFCE一S扇形OMN=6一 3-1 53 8.(1)证明：如图，过点B作BF⊥ CD,垂足为F AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD. CB=CD,∴.∠CBD=∠CDB. ..∠ADB=∠CDB. 在△ABD和△FBD中， I∠ADB=∠FDB, ∠BAD=∠BFD, BD=BD. ∴.△ABD≌△FBD(AAS). BF=BA.则点F在⊙B上 .CD与⊙B相切 (2)解：：∠BCD=60°，CB=CD, ·,△BCD是等边三角形 ∴.∠CBD=60 .BF⊥CD, ∴.∠ABD=∠DBF=∠CBF=30 .∴.BD=2AD. 在Rt△ABD中 AB+AD =BD 即(25)2+AD=(2AD)2, 解得AD=2. ,阴影部分的面积为 SAABD-S第形ABE =×26x20x2 360 =25-m. 第16课圆单元复习 1.75°2.83.90°4.120° 5.点A在⊙0内6.相离7.3 8.69.D10.6 11.120°125 12.24m13.6m14.(3,-1) 15.解：(1)如图，连接0C. ,CD是⊙O的切线，∴.OC⊥CD. ,AE⊥CD,∴.OC∥AE. ∴.∠CAD=∠OCA. OA=OC,.∠OCA=∠OAC. ∴.∠CAD=∠0AC=35 .AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90. .∠OAC+∠B=90 ∴.∠B=90°-∠OAC =90°-35° =55°. (2)如图，连接OE. :⊙0的直径AB=2, .OA=1, ∠C0E=2∠CAE=2×35°=70° C的长为007得 16.证明：(1)在△A0E和△CDE中， 阅盟学堂数学九 AE=CE, ∠AD0=∠PEO ∠AEO=∠CED, ∠AOD=∠POE, OE=DE 0A=OP, .△AOE≌△CDE(SAS). ∴，△POE≌△AOD(AAS). (2).·△AOE≌△CDE, ∴.OD=OE .OA=CD,∠AOE=∠D. (2)设⊙0的半径为r. ∴.OB∥CD. OD⊥AB,∠ABC=90°， ··OA=OB,.OB=CD ∴，OD∥BF ∴.四边形OBCD为平行四边形 ·0B=0D. 00=c, ∴.四边形OBCD是菱形 ∠ODE=∠CFE. 17.(1)证明：如图，连接OA,0D, 又·OD=OE ∴.∠ODE=∠OED=LCEF=∠CFE ∴.FC=EC=r-OE=r-OD =r- ∴BF=BC+FC=r+2BC :D为BE的下半圆弧的中点， 1 ∴.OD⊥BE PD=r+0D=r+2BC, ∴.∠D+∠DF0=90 .AC=FC, .PD=BF. ·.∠CAF=∠CFA. 又：PD∥BF,且∠DBF=90°， :∠CFA=∠DFO, :四边形DBFP是矩形 .∠CAF=∠DFO. ..∠0OPF=90°，OP⊥PF ·.·OA=0D ∴，PF是⊙O的切线 .∠OAD=∠D. 20.(1)证明：AE=CE ∠OAD+∠CAF=90°， .∠CBD=∠ABD.CD∥AB, 即∠OAC=90°. .∠ABD=∠CDB. .OA⊥AC..AC是⊙0的切线. ∴.∠CBD=∠CDB. (2)解：圆的半径R=4,EF=3, ∴.CB=CD. .0F=1. ,BE是⊙O的直径， 在Rt△ODF中，OD=4,OF=1, .BAE AE BCE-CE. .DF=42+12=17. 18.(1)证明：如图，连接0C交BD于 ..AB =BC..AB=BC=CD. .CD∥AB 点E. .四边形ABCD是菱形 (2)解：∠A0F=3∠F0E 设∠FOE=x,则LAOF=3x. ∴.∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x. .·OA=OF, .AC∥BD ∴.∠OAF=∠OFA .∠A=∠DB0=30° ∠COB=2∠CDB=60 180-34. 则∠0CA=90°. .OA=OB 即AC是⊙O的切线 ∴.∠OAB=∠OBA. (2)解：AC∥BD, ∠AOD=∠OAB+∠OBA .∠OEB=∠0CA=90°， =2∠OAB=2∠OBA 即OC⊥BD. =4x, BEDE-8D-3 ∴.∠OAB=∠OBA=2x .·四边形ABCD是菱形 ∠CDE=∠OBE=30°， ∠ABC=2LAB0=4x, ∠CED=∠OEB,BE=DE BC∥AD. .△CDE≌△OBE(ASA). ,∴.∠ABC+∠BAD=180 在Rt△0BE中，∠OBE=30°， .0B=20E 之+2x+(10-3=10 由勾股定理，得BE2+OE=OB, 解得x=20°. 解得OB=6. ∴∠ABC=4x=80° 则S阴影=S△pCE+S阴影EcB 本章教材母题回归 =S形0en=60πx6 1.解：(1)如图，过点0作OE⊥AB 360 交AB于点E. =6r(cm2). 19.证明：(1)PE⊥AC, OD⊥AB, ∴.∠PEA=90° ∠AD0=90°. 在△ADO和△PEO中， :'A0=B0=50mm,AB=50mm, .∴.AO=BO=AB ∴.△AOB为等边三角形. 级全一册RU版28参考答案 ∴.∠A0B=60° (2)△AOB为等边三角形， OE⊥AB. ∴.AE=BE 又.AB=50mm, ∴.AE=25mm. 又：A0=50mm,0E⊥AB, .0E=√/A02-AE=√50-25 =255(mm). 即点0到AB的距离为25√5mm. 2.证明：AB⊥AC,OD⊥AB, OE⊥AC. ∴.∠EAD=∠ODA=∠OEA=90. ∴.四边形ADOE是矩形. OD⊥AB,OE⊥AC, ∴AD=2AB,AB=2AC AB =AC...AD =AE. ∴矩形ADOE是正方形 3.证明：如图，过点0作OE⊥AB于 点E, 布B 两个圆是同心圆且圆心为0，大圆 的弦AB交小圆于C,D两点. 故AE=BE,CE=DE. .AE-CE=BE-DE,即AC=BD 4.解：如图，连接0H,OE,0G,0F H G ,四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,AB=BC=CD=AD. :四条边的中点分别为E,F,G,H, ∴0H=2AD,0G=2CD, OE-2AB,OF-RC. ∴0E=0F=0G=0H. ∴E,F,G,H四个点共圆，圆心为 点0. 5.7cm或17cm 6.解：第二个，因为90°的圆周角所 对的弦是直径 7.证明：(1)：MW是AB的垂直平 分线， ∴MN过圆心O. AB∥CD,.MN⊥CD. ∴.MN垂直平分CD. (2)由(1)知，MW是直径. 直径MN垂直平分AB, .'AM BM :直径MW垂直平分CD, ∴.CM=DM .AM CM BM DM 即AC=BD 8.证明：如图，过点0作OE⊥AC于 点E,连接OD,OA. 阅盟学堂数学九 a2+b2=e2 .a2+b2-c2+2ab=2ab. .(a+b+c)(a+b-c)=2ab. a+b-c= ab 2 +b+c AB与⊙O相切于点D, 故r=a+b-S=ab .AB⊥OD. 2 a+b+c :△ABC为等腰三角形， 6.18π-36 O是底边BC的中点， 7.解：(1)连接0B,0C,如图所示. ,AO是∠BAC的平分线， ∴.OE=OD 即0E是⊙0的半径. :AC经过⊙0的半径OE的外端 点且垂直于OE, ,AC是⊙O的切线。 9.30° 根据题意，可知OB=OC=4m, ,六边形ABCDEF是正六边形， 核心素养及数学思想 1.解：设⊙0的半径为r ÷∠B0C-360°=60. 6 :M是弦CD的中点，∴.OM⊥CD. 0B=0C,∠B0C=60° CD =4 cm,.'.CM=DM=2 cm. ∴，△OBC是等边三角形 EM =6 cm,.'.OM =(6-r)cm. OB=4m,∴.BC=4m. 六2-(6-)2=2.解得r=3 10 二地基的周长为6×4=24(m). (2)如图，过点O作OP⊥BC,垂足 ⊙0的半径为号m 为P. B0=4m,∠OBP=60°， 2.10cm 3.解：L=L2.理由如下： =23(m), 设n个小半圆半径依次为，1,2， 0p=4× 即边心距为23m ,n 则大圆半径为(1+2+…+r) .S60tc=2 ×4×25=45(m2). .L1=π(r1+2+…+rn）, L2=T1+T72+…+Ttn ,，∴S正大边形BCDEF=6×S△OBC =T(r1+2+…+Tn), =6×43 .L1=L2 =245(m2). 4.cm .此正六边形的面积为245m2 8.42-4 5.证明：如图，连接OE,OF,设AB与 9.解：：1个圆锥的侧面积为 ⊙O切点为D. r80 2 ×50=2000π(cm2) 2000m×100÷10000=20m(m2). ∴.制作100个这样的烟肉帽至少 需要20rm2的铁皮. 新题型特训一实验、 :D,E,F分别为⊙0与Rt△ABC 三边的切点， 探究与活动 .AD =AF,BD BE,CE CF, L.解：如图1，过点D作DF⊥BC于 OF⊥AC,OE⊥BC. 点F, .∠OFC=∠OEC=∠C=90° M ∴.四边形OECF是矩形. 又.·OE=OF, ∴.四边形OECF是正方形 ∴.CE=OF,OE=CF. AD=AF=x,BD BE=y,CE CF=z, 图1 .AB=c,BC=a,AC=b, ,AD,BC分别是⊙0的切线， x=btc-a ∴.∠OAD=∠OBF=90° 2 又：DF⊥BC x+y=c, ∴.四边形ABFD为矩形 y+x=a,解得 a+c-b Y= ,∴.DF=AB=12cm,BF=AD x+名=b. 2 2=a+6-e .AD,BC,DC分别为⊙O的切线 2 ∴.DE=DA=x,CE=CB=y, ..CE=z=a+b-c CF=y-x..'.DC=x+y. 2 由勾股定理，得DC=DF2+CF2 .OF=CE=a+b-c 即(x+y)2=122+(y-x)2, 2 整理，得y=36,y=36 一△MBC的内切圆半径r为+b-S y关于x的函数解析式为y=36 级全一册RU版29参考答案 (x>0),函数图象如图2所示. 0 图2 2.10 3.解：(1)：AB,BC,CD分别与⊙0 相切于E,F,G三点， ∴.BO平分∠EBF, C0平分LCCF. ∠ABC, ÷L0BC=2 ∠0cB=7LDCR 又：AB∥CD ∴∠GCF+∠EBF=180°. ∠OBC+∠OCB=90°. .·.∠B0C=90 (2)如图2，连接0F D N G 图2 :BC与⊙0相切于点F, ÷.OF⊥BC,由(1)知△BOC是直 角三角形， .BC=√OB+0C=10. 1BC· Sax=20B·0C= 0F,即6×8=100F,解得OF= 兰00的半径为号 ,∠B0C=90 .∠B0M=180°-∠B0C=90 MN∥OB,∴.∠NMC=∠BOM= 90°..·OM为⊙0的半径， .MN与⊙0相切. 又.NC,BC分别与⊙0相切， ∴.MN=NG,CG=CF. 在RL△COF中， c=voc-0F-√8-( 5 CG=32 1 设MN=NG=x, ..NC=NG+CG=x+ 32 在R△NMC中，MC=OM+OC= MN MG-NG. 即+(=(+， 解得x袋MN的长为号 4.解：应传球给乙. 理由：如图，设AQ与圆相交于点 C,连接PC, 阅盟学堂数学九 第二十五章概率初步 第1课随机事件 1.D 结论：必然事件 2.D 结论：不可能事件 3.C ∠PBQ=∠PCQ>∠PAQ,即乙 结论：随机事件 射门的角度更大 4.D 结论：确定事件 5.A6.D7.A8.B9.A10.A ∴仅从射门角度考虑，应将球传给 乙，由乙射门好 11.红12.小13.C14.D 5.解：(1)< 15.C16.C17.B18.D19.B < 20.A (2)∠APB>∠AQB,理由如下：如 图3，设AQ与⊙0相交于点G,连 第2课概率的含义及求简单概率 接BG, 1.A2.A 新课学习 概率 P(A) 事件A包含的基本事件个数 总的基本事件个数 3.(1)随机 图3 (2)必然100%（或1）》 AB=AB,.∠APB=∠AGB (3)不可 0 :∠AGB是△BGQ的外角， .∠AGB>∠AQB. 4)哈 2若 (3号 (4)2 .∠APB>∠AOB. (3)如图4，由(2)，可得当经过点 (50(6 A,B的⊙0与PQ相切时，M为切 总结：(1)0(2)1(3)0101 点，此时∠AMB最大，过点O作 5.解：设白球个数为x个.依题意，得 OH⊥AB交AB于点H,延长HO交 PQ于点E,过点E作EF⊥DC交 4=子解得x=8 DC于点F,连接B0,OM, 经检验，x=8是原分式方程的解。 答：白球的个数约为8个. 6.解：设白球个数为x个.依题意，得 x+61-子解得x=3 2 经检验，x=3是原分式方程的解。 答：白球的个数约为3个. 图4 7A8910号 ∴.BH= 2B=4(m). 11.A12.B13.B14. 10 .DH BH BD=20(m). .·OH⊥AB,EF⊥DF,AD⊥DF: 15.解：(1)依题意，得x=2 x+y5 .四边形HDFE是矩形 2x+2y=5x, .'EF DH=20 m. 2y=3x, ∠QPC=45°， 3 ∴.PF=EF=20m y=2: .HE=DF =DP+FP=28(m). ∠QPC=45°，.∠EPF=45. (2号 HE∥DF, 16.解：(1)不公平 .∠HIEP=∠EPF=45. S阴=S大腰-S小m=9π-4m=5m OM⊥PQ, ∴.△OME是等腰直角三角形. 则P(小红胜)-是-号 ∴.设⊙0的半径OB=OM=xm .0E=√2xm. P小明胜)是-号 .0H=HE-0E=(28-√2x)(m). 多>号所以不公平 在Rt△OHB中，OH+HB=OB (2)答案不唯一，例如以下设计， .(28-√2x)2+42=x2, 如图2（两条互相垂直的直径把 解得x=282-165或282+165 同心圆分成相等的四部分)： (舍去). .EM=0M=(282-16√3)m ...PM =PE-EM=(163-82)(m). 答：PM的长度为(165-82)m 图2 级全一册RU版30参考答案第10课 切线的判定 新课学习 切线的性质（圆的切线 切线的判定1（经过半径的 切线的判定2（若圆心到直 垂直于过切，点的半径) 外端并且垂直于这条半径 线的距离等于半径，则这 的直线是圆的切线) 条直线是圆的切线) 因为 因为 因为 所以 所以 所以 有切线，连接半径，有 证切线，有切点，连半径， 证切线，无切点，作垂直， 方法口决 垂直 证垂直 证半径 类型1 直线与圆有公共点，连半径，证垂直 1.侧(RU九上P98)如图，AB为⊙0的直径，2.【原创题】（结合勾股定理的逆定理证切线）】 AB=BC,∠A=45°.求证：BC是⊙0的切线， 如图，0A为⊙0的半径，0A=1,OB=2, AB=√3.求证：AB是⊙O的切线 B 3.④如图，在△ABC中，∠A=∠C=30°，AB是4.（结合全等证切线）如图，直线AB过⊙0上 ⊙0的弦，AC过圆心O.求证：BC是⊙0的 的点C,OA=OB,CA=CB.求证：AB是⊙O 切线。 的切线。 类型2直线与圆无明确的公共点，作垂直，证半径 5.④如图，A0是∠CAD的平分线，AC与⊙0相6.(RJ九上98改编)如图，等腰△ABC的腰 切于点B.求证：AD与⊙O相切. AC与⊙O相切于点D,AB=AC,圆心O是 BC的中点.求证：AB是⊙O的切线. 122 RJSX 过关检测 凸县德训练 马能力训练 7.（结合平行证切线)如图，AC是⊙0的直径，8.（结合中位线证切线）如图，AB是⊙0的直 点D在⊙O上，过点D的直线BD与AC的 径，⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证：DE 延长线交于点B,AE⊥BD,垂足为E,AD平 是⊙0的切线 分∠BAE.求证：BD是⊙O的切线 0 多拓展训线 9.如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O,10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为 交AC于点D,若LA=∠DBC,求证：AB是 直径的⊙O与BC相交于点E,在AC上取 ⊙0的切线， 一点D,使得DE=AD. (1)求证：DE是⊙0的切线； (2)当BC=10,AD=4时，求⊙0的半径 0 RJSX 123第11课切线长定理 新课学习 知识点1切线长定理 图形 探究 切线长定理 几何语言 (1)过圆外一点P可作⊙0的 从圆外一点P可以引圆的 条 条切线； 切线，它们的切线长 (2)左图是 图形，对 点P与圆心的连线 两 称轴是 条切线的夹角 1.如图，已知PA,PB分别切⊙0于点A,B,2.如图，PA,PB是⊙0的两条切线，A,B是切 ∠P=60°，PA=4,那么弦AB的长是 点，若∠APB=60°，P0=4,则⊙0的半径等 于 3.(RJ九上P101改编)如图，PA,PB是⊙0的4.如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC 切线，A,B为切点，AC是⊙0的直径，∠P=60° 是⊙0的直径，∠C=50°. (1)求∠BAC的度数； (1)求∠APB的度数； (2)连接OP,求证：OP∥BC (2)当OA=2时，求AB的长 O 知识点2三角形的内切圆 5.如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截三角形的内切圆：是指与三角形各边都 下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三的圆 角形的三条边都相切？ 三角形的内心：是指内切圆的圆心，是三角形 三条 的交点，它到三角形的 相等. 124 RJSX 6.如图，求作△ABC的内心0. 7.(RU九上P100改编)如图，∠A=50° (1)若∠ABC=60°，∠C=40°，则∠B0C= (1)若点0为△ABC的内心，则 ∠BOC的度数为 (2)若∠A=a°，则∠B0C= (2)若点0为△ABC的外心，则 (结果用 ∠BOC的度数为 C 含a的表达式表示). 8.④(RU九上P100)如图，△ABC的内切圆9.如图，△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的 ⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且 内切圆，D,E,F是切点. AB =9,BC 14,CA=13,AF,BD,CE (1)求证：四边形ODCE是正方形； 的长. (2)若AC=6,BC=8,则⊙0的半径为 过天脸测 凸县础训孩 马能力通练 10.如图，AB为⊙0的切线，AC,BD分别与⊙011.如图，PA,PB分别为⊙0的切线，OP交⊙0 切于C,D两点，若AB=5,AC=3,则BD的 ! 于点C,则下列结论： 长是 ①PA=PB;②∠1=∠2； ③OC=CP;④AB⊥OP; ⑤∠AOB与∠APB互补. 正确的有 (填序号) 多拓最训线 12.【原创题】如图，△ABC的内切圆半径为r,13.(1)如图1，△ABC的周长为10cm,面积为 △ABC的周长为l.求证：SAARC= (提 5cm2,则△ABC的内切圆半径为 示：设△ABC的内心为O,连接OA,OB,OC) 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6, 则△ABC的内切圆半径为 RJSX 125第15课 圆锥的侧面积和全面积 新课字习 1.如图，扇形的半径r=4,弧长1=3π，则扇形2.如图，圆锥的侧面展示图是 形 的面积为 (1)h2+2= ； (2)1=底圆周长= 1, (3)Sw=2a= 好线 (4)S全= 知识点1计算圆锥的侧面积与全面积 3.如图，一个圆锥的底面半径为6cm,母线4.如图，圆锥的高为4cm,母线为5cm,求圆锥 长为10cm.求这个圆锥的侧面积和全面积 的侧面积和全面积. 10 知识点2计算圆锥的底面半径与侧面展开图的圆心角 5.如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇6.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为8cm则 形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则圆锥的 它的侧面展开图的圆心角度数为 底面半径为 知识点3圆锥的应用 7.(U九上PI14改编)如图，一个蒙古包可8.如图，在⊙0中，AB=45,AC是⊙0的直 以近似地看作一个圆锥和一个圆柱的组合体， 径，AC⊥BD于点F,∠A=30° 已知圆柱的高h,=6m,圆锥的高h2=4m, (1)求BO的长度； r=3m,求此蒙古包（含底圆）的表面积 (2)若用扇形OBD(阴影部分) 围成一个圆锥侧面，请求 出这个圆锥底面圆的 半径. 132 RJSX 过天检测》 (基础训练 9.(2023·东莞一模)若圆锥的底面直径为 10.（2023·广州越秀区校级二模)若圆锥的侧 2cm,母线长是3cm,则它的侧面展开图的 面积为12πcm2,底面半径为3cm,则此圆 面积为 cm. 锥的母线长为 cm. 之能力训线 11.(2023·珠海香洲区一模)已知某几何体的 12.如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一 三视图如图所示，其中主视图和左视图都 个圆心角为90°的扇形.将剪下来的扇形围 是腰长为5、底边长为4的等腰三角形，则 成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半 该几何体的侧面展开图的面积是 径是 (结果保留π) A B.② c 0 D.1 还拓展训练 13.如图，圆锥的底面半径是2，母线长是6. 14.如图，一个圆锥的高为3√3cm,侧面展开图 (1)圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数为 是半圆，求： (1)圆锥的母线长与底面半径之比； (2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一 (2)∠BAC的度数： 根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，这 (3)圆锥的侧面积（结果保留π）： 根绳子的最短长度= RJSX 133第3课 垂径定理的推论及其应用 知识点1复习垂径定理 L.如图，直径CD⊥AB,AB=8,⊙0的半径为5,2.如图，直径AB⊥CD,垂足为E,P为AB上任 求DE的长. 一点.求证：PC=PD. 方法总结：构造由半径、 组成的直角三角形，用勾股定理求解， 常作辅助线：①连接半径；②过圆心作弦的垂线 知识点2垂径定理的推论 3.如图，CD为⊙O的直径，E为弦AB(不是直 平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 径)的中点.请问CD与AB垂直吗？ 弦所对的弧， 几何语言：如图， B 4.©(2023·中山期中)如图，⊙0的弦AB=8,5.如图，AB是⊙0的弦，C是AB的中点，0C交 M是AB的中点，且OM=3,求⊙0的半径. AB于点D.若AB=8cm,CD=2cm,求⊙O的 半径 B 6.如图，AB为⊙0的直径，E为OB与CD的中7.如图，∠A=45°，C为⊙0的弦AB的中点， 点，CD=4√3，则⊙0的周长为 AB=2,则⊙0的面积为 45 106 RJSX 知识点3垂径定理及其逆定理的应用 8.如图，水管横截面⊙0半径为13cm,水面宽9.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 AB=24cm,求水的最大深度， O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦 CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E, 0 并且CD=4m,EM=6m,求⊙0的半径. 水 过天靛测 巧县础训孩 色能力训练 10.如图，⊙0半径OA=3,C为AB的中点，AB= 11.《九章算术》记载：“今有圆材埋于壁中，不 4,求0C的长 知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问 径几何？”如图，其大意是，今有一圆柱形木 材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯 这根木材，锯口深CD为 1寸，锯道AB长1尺，则圆 形木材的直径为 (1尺=10寸) 还拓展训线 12.【易错题】如图，AC垂直平分⊙0的半径13.【原创题】如图，在⊙0中，P是弦AB的中 OB,垂足为P,四边形OABC是什么特殊的 点，P是弦A'B的中点 四边形？证明你的结论 (1)若AB=A'B',求证：OP=OP'; (2)若OP=OP',求证：AB=A'B RJSX 107第4课 弧、弦、圆心角 新课字习 如图，在同圆或等圆中，有如下关系： 等弧→等弦、 等圆心角三等 等弦一等圆心 等圆心角 弧、等弦 角、等弧 等城<>等孩 因为AB=AB, 因为∠1=∠2， 因为AB=A'B, 所以AB=A'B', 所以 所以 等侧心角 ∠1=∠2 知识点1利用“弧、弦、圆心角的关系”求角度 1.0如图，在⊙0中，AB=CD 2.如图，在⊙0中，点A是BC的 B ∠AOB=30°，则∠C0D= 中点，若∠B=30°，则∠C= 0 ,∠A= 3.如图，AB是⊙0的直径，BC= 4.【原创题】如图，AB是⊙O CD=DE,∠B0C=40°，则 的直径，C是AB的中点，连 40 0 ∠AOE的度数为 接OC,则∠AOC的度数为 知识点2利用“弧、弦、圆心角的关系”证明 5.如图，在⊙0中，AC=BC,AD=BE.求证： 6.如图，点D,E分别是半径OA,OB的中点，CD= CD=CE. CE.求证：AC=BC 7.网如图，在⊙0中，AB=AC,∠ABC=60°，求 8.如图，在⊙0中，∠AOB=∠A0C=∠B0C, 证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. AB=1,求△ABC的周长. 108 RJSX 过天检测 化基移训练 9.下列图中，∠ACB是圆心角的是 )1 0.【易错题】如图，CD为⊙0的直径，AC= ④④ BC,E为OD上任一点（不与点0重合）. 求证：AE=BE. 马能力训缤 11.(九上P89改编)如图，在⊙0中，AD=12.(2023·中山期中)如图，AB是⊙0的直 BC.求证：AB=CD. 径，四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD= DA=4,则⊙0的周长为 A.4π 0 B.6m C.8T D.9T 还拓最训线 13.【易错题】如图，A,B是⊙0上的两点，∠A0B=120°，C是AB的中点.求证：四边形A0BC是 菱形. RJSX 109第5课 圆周角(1) 新课字习 知识点1圆周角的定义 1.如图：(1)顶点在 的角叫做圆心角： 2.下列各圆中，∠A是圆周角的是 (2)顶点在 并且两边都与圆 的角叫做圆周角。 B D 知识点2圆周角定理 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对3.如图，根据条件求∠A. 的圆心角的 几何语言：如图， 0 80 90 (1) (2) (3) ∠A= ∠A= ∠A= 4.如图，点A,B,C在⊙0上，∠A= 5.(2023·东莞一模)如图，在⊙0中，∠A0B= 50°，则∠OBC的度数为 90°，C是优弧AB上的一点，则∠ACB的度 数为 A.35° B.45 C.50° D.60° B 6.如图，点A,B,C,D都在⊙0上，则∠A和∠B 7.如图，点A,B,C,D,E都在⊙0上，AB=BC, 有什么关系？ ∠D=40°，则∠E= 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 知识点3圆周角定理的有关证明 8.@(RU九上P90改编)如图，△ABC是⊙O9.【原创题】如图，点A,B,C在⊙0上，点D是 的内接三角形，P为AB上一点，连接PC,∠1= BC的中点.求证：∠1=∠2=∠3=∠4. ∠2=60°.求证：△ABC为等边三角形 110 RJSX 过天检测》 巧基秘训线 10.(2023·东莞一模)如图，A,B,C是⊙0上1 1.如图，在⊙0中，点C是ADB的中点，若∠D= 的三个点，∠A0C=60°，则∠ABC的度数是 50°，则∠ABC的度数是 ( A.75° A.10° B.65 B.20° 0 C.50° C.30° D.40° D.40° 色能力训线 12.(2023·广州增城区一模)如图，在⊙0中，13.(2023·广州越秀区期中)如图，在⊙0中， 直径CD垂直于弦AB,若∠C=24°，则 弦AB=2√2，C是圆上一点且∠ACB=45°， ∠BOD的度数是 则⊙0的半径长为 A.48° B.30° 0 C.60° B D.24° D {还拓展训孩 14.(RJ九上P89)如图，⊙0中，OA⊥BC,15.(R九上88)如图，OA,0B,0C都是⊙0的半 ∠AOB=50°.求∠ADC的度数. 径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC. RJSX 111第6课 圆周角(2) 塔知识储备 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 1.(1)如图1，若∠A0B=80°，则∠C= 2.如图，根据条件求∠A. (2)如图2，AB=BC,∠D=35°，则∠E= 0 1609 1700 (1)∠A= (2)∠A= 图1 图2 180° (3)A= 新课学习 知识点1圆周角定理的推论 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ;反之，90°的圆周角所对的弦是 几何语言：如图， 反之， 3.如图，⊙0的直径AB=4,∠B=30°，求4.如图，在⊙0中，∠CAB=∠CBA=45°，点A, ∠C的度数及AC的长， B,C在⊙0上. (1)求证：AB过点O; B (2)若AC=3,则AB= 5.(U九上P87)如图，⊙0的直径AB为6.如图，⊙0的直径AC与弦BD交于点E,AD= 10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙0 CD=2,∠BAC=30°. 于点D,求BC,BD的长. (1)求BC的长； (2)求∠BEC的度数. 112 RJSX 知识点2圆的内接四边形的概念及其性质 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个 多边形的外接圆. 推论3：圆内接四边形的对角 几何语言：如图， 7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，8.（2023·东莞一模改编)如图，四边形ABCD 若∠D=3∠B,求LB的度数. 为⊙0的内接四边形 (1)若∠A=70°，则∠DCE的度数为 (2)求证：∠DCE=∠A. 过天检测 凸县础训孩 马能力调练 9.如图，在⊙0中，AB是直径，弦AC的长为 10.【原创题】如图，点A,B,C在⊙0上 5cm,点D在圆上，且∠ADC=30°，则⊙0的 (1)若∠B=100°，则∠A0C= 半径为 cm. (2)若∠A0C=100°，则 ∠B= 6 3拓最训练 11.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的 12.【核心素养】如图，AB是⊙0的直径，C是 ⊙O交BC于点D.求证：BD=CD BD的中点，CE⊥AB于点E,BD交CE于 点F (1)若CD=6,AC=8,则⊙0的半径为 D (2)求证：CF=BF. RJSX 113第12课 正多边形和圆 塔知识储备 1.正多边形的有关概念 如图： (1)正多边形的中心：是指正多边形的外接圆的 (2)正多边形的半径：是指正多边形的外接圆的 仲心角入半径R 0 (3)正多边形的中心角：是指正多边形每一边所对的 角； 边心距 (4)正多边形的边心距：是指正多边形的 到它的一边的 (5)正多边形有唯一的外接圆及内切圆，它们是同心圆。 新课学习器 知识点1正多边形与圆的有关计算 (方法：转化为几个等腰三角形作高在直角三角形中用勾股定理求解) 2.④完成下表. 正多边形 内角度数∠ABC 半径OA 中心角∠AOB 边长AB 边心距OP 周长 面积 2 2 知识点2作圆的内接正三角形、正方形、正六边形 3.如图，⊙0的半径为4 4.如图，⊙0的半径为4 (1)尺规作图作⊙O的内接正方形ABCD: (1)尺规作图作它的内接正六边形ABCDEF; (2)正方形ABCD的边长为 ； (2)则正六边形ABCDEF的周长为 (3)正方形ABCD的中心角= ,边心 (3)作⊙0的内接正三角形 距= 126 RJSX 过天检测 凸目德训练 5.正五边形的中心角为 ( ）6.如图，等边三角形ABC的外接圆的半径为2，则 A.60° B.72° C.80° D.90° AB= 色能力训依 7.(2023·广州二模)如图，正六边形ABCDEF内8.如图，在拧开一个边长为a的正六边形六角螺 接于⊙O,G是劣弧EF上的一点，则∠BGA的 帽时，扳手张开的开口b=20√3mm,则边长a= 度数为 mm. A.25° B.30° C.35° D.40° 9.如图，⊙0内切于等边△ABC,⊙0的半径为3,10.如图，已知正六边形的边长为6，则它的内切圆 则△ABC的周长= 的面积为 还拓最训 11.如图①，②，③，·，@，M,N分别是⊙0的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,·, 正n边形ABCDE的边AB,BC上的点，且BM=CN,连接OM,ON ① (1)图①中∠MON= (2)图②中∠MON的度数是 ,图③中∠MON的度数是 (3)∠MON的度数与正n边形边数n的关系为 RJSX 127第16课圆单元复习 县础练习 1.如图，AE为⊙0的直径，AB= 2.如图，半径OC⊥弦AB于点D, 0A=5,CD=2,则AB= BC=CD,∠A0B=35°，则 ∠DOE= 3.如图，四边形ABCD内接于 4.如图，点A,B,C在⊙0上， ⊙0，∠BAC=30°，∠ACB= ∠C=60°，则∠AOB 60°，则∠D= 5.已知⊙0半径为4，A0=3,则点A与⊙0的6.若⊙0的直径为4cm,圆心到直线1的距离为 位置关系为 4cm,则直线与⊙0的位置关系为 7.如图，AB与⊙0相切于点 8.如图，BA,BC分别与⊙O B,其中0A=6,∠A=30°， 相切于点A,C,BA=6,则 0 则⊙0的半径为 BC= 9.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点10.如图，已知扇形的半径r=4,弧长l=3,则 A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影 扇形的面积为 部分的面积为 A.4π D B.6π C.8T D.12π 11.如图，正三角形ABC内接于半径为2的⊙0：12.(2023·广州黄埔区一模)已知圆锥的底面 中，则△ABC的中心角为 半径为3，高为4，则该圆锥的全面积为 ,边心距为 (结果保留π) AB= 13.(2023·中山模拟)如图为一张扇形纸片14.【原创题】如图，过原点B,A(2,2),C(4,2)三 0AB,∠A0B=120°，半径0A=6,点C为弧 点的圆的圆心坐标为 AB的中点，连接AB,AC,则图中阴影部分的 面积为 (结果保留π)： 136 RJSX 提升练习 15.如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，16.如图，AB为⊙0的直径，点C,D在⊙0上， 弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直， AC与OD交于点E,AE=EC,OE=ED,连接 垂足为D,∠CAD=35°，连接BC BC,CD.求证： (1)求∠B的度数； (1)△AOE≌△CDE; (2)若AB=2,求EC的长 (2)四边形OBCD是菱形. RJSX 137 17.如图，以△ABC的BC边上一点0为圆心的18.如图，点B,C,D都在⊙0上，过点C作 圆，经过A,B两点，且与BC边交于点E,D AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,且 为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC ∠CDB=∠OBD=30°，DB=6√3cm 于点F,AC=FC (1)求证：AC是⊙0的切线： (1)求证：AC是⊙0的切线； (2)求由弦CD,BD与BC所围成的阴影部分 (2)已知⊙0的半径R=4,EF=3,求DF 的面积 的长 D 138 RJSX 19.如图，⊙0是△ABC的外接圆，AC是直径，20.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点0在 过点O作OD⊥AB于点D,延长D0交⊙O BD上，以点O为圆心的圆恰好经过A,B,C 于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线 三点，⊙O交BD于点E,交AD于点F,且 DE交BC的延长线于点F,连接PF.求证： AE=CE,连接OA,OF (1)0D=0E; (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)PF是⊙O的切线 (2)若∠AOF=3∠FOE,求∠ABC的度数 RJSX 139核心素养及数学思想 1.(R九上P89)[方程思想]如图是一个隧道4.(RU九上P123)[集零为整]如图，⊙A,⊙B, 的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的 ⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm.则图中三 一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM 个扇形（即阴影部分）的面积之和为 经过圆心0交⊙0于点E,并且CD=4m, EM=6m.求⊙0的半径. M D 5.(RJ九上PI03改编)[一题多解]如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别 为c,a,b.求证：△ABC的内切圆半径r= a+b-c ab 2 a+b+c 2.(U九上PI02)[整体思想]如图，AB,BC,CD分 别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB∥CD,BO= B 6cm,C0=8cm.则BC的长为 D G 3.(RU九上P123)[整体思想]如图，大半圆中有n 个小半圆，大半圆的弧长为L,n个小半圆的弧 长和为L2,探索L,和L的关系并证明你的 结论 142 RJSX 6.(U九上P115改编)[转化思想]正方形的8.(U九上P109)[方程思想与勾股定理]如 边长为6，以各边为直径在正方形内画半圆。 图，正方形的边长为4cm,剪去四个角后成 则图中阴影部分的面积为 为一个正八边形，则这个正八边形的边长为 cm. 0 7.(RU九上P106改编)[转化思想]如图，有一 个亭子的地基是半径为4m的正六边形，求： 9.(九上PI14)[实际应用]如图，圆锥形烟 (1)地基的周长： 囱帽的底面圆的直径是80cm,母线长是 (2)此正六边形的边心距及面积 50cm,制作100个这样的烟囱帽至少需要多 少平方米的铁皮？ RJSX 143新题型特训—实验、探究与活动 1.(RJ九上P125)【拓广探索一三切图】如图，⊙0的直径AB=12cm,AM和BN是它的两条 切线，DE与⊙O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点.设AD=x,BC=y,求y关于x 的函数解析式，并试着画出它的图象。 A DM 0 2.(2023·北京平谷区期末)如图，AB,BC,CD分别与⊙0相切于E,F,G三点， A 且AB∥CD,BO=6,CO=8,则BE+GC的长为 3.已知AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB∥CD,连接OB,OC (1)如图1，求∠B0C的度数； (2)如图2，延长C0交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于点N,若OB=6,OC=8,求 ⊙O的半径及MW的长. 图2 4.(J九上P124)【综合运用一射门角度探究】如图，在足球比赛中，甲 带球奔向对方球门PQ,当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B,此 时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大 小考虑) 144 RJSX 5.(J九上P91改编)(2023·深圳光明区校级三模)【问题发现】 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图1，点A,B表示灯塔， 暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界 点，∠ACB就是“危险角”，当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角” ∠ACB有怎样的大小关系？ 【解决问题】 (1)数学小组用已学知识判断Lα与“危险角”∠ACB的大小关系，步骤如下： 如图2，AP与⊙O相交于点D,连接BD,由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知∠ACB= ∠ADB,因为∠ADB是△BDP的外角，所以∠APB ∠ADB(填“>”，“=”或“<”) 所以L& ∠ACB(填“>”，“=”或“<”) 【问题探究】 (2)如图3，已知线段AB与直线1，在直线1上取一点P,过A,B两点，作⊙0使其与直线1相 切，切点为P,不妨在直线上另外任取一点Q,连接AQ,BQ,请你判断∠APB与∠AQB的大 小关系，并说明理由 【问题拓展】 (3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿PQ方 向带球跑动，球门AB=8m,DP=8m,BD=16m,∠ADC=90°，∠QPC=45°.该球员在射 门角度（∠AMB)最大时射门，球员在PQ上的何处射门？（求出此时PM的长度.） 图1 图2 图3 图4 RJSX 145