3.第二十三章 旋转（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

核心素养及数学思想 1.(BS八下P90)[直角坐标系中的等边三角形3.[从特殊到一般] 旋转]如图，点0为平面直角坐标系的原点， ! (1)(九上P63)以原点为中心，把点A(4,5)》 点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三 逆时针旋转90°，得到点B.求点B的 角形 坐标 (1)写出△OAB各顶点的坐标： (2)以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针 方向旋转60°，得到△OA'B',写出点A', B的坐标 B (2)(J九上P74)把点P(x,y)绕原点分别 2.(RJ九上P68改编)[逆向思维]如图，在平 顺时针旋转90°，180°，270°和360°，点P 面直角坐标系中，若将△ABC以某点为旋 的对应点的坐标分别是什么？将结果填 转中心，旋转得到△A'BC',则旋转中心的 人下表 坐标是 旋转的角度 90° 180° 270° 360° 对应点的坐标 98 RJSX 4.[网格中的图案设计]在6×6的正方形网格5.(U入下P63、BS九上P25改编)[转化思想] 中，每个小正方形的边长均为1，如图1、图2 如图，已知正方形OMNP与正方形ABCD全 所示的阴影部分分别是两个轴对称图形，其 等，且边长为2，AC与BD交于点O,正方形 面积分别为S1,S2 OMNP绕点O旋转，OM交AB于点E,OP交 (1)填空：S:S2的值是 BC于点F (2)请在图3的网格中画出一个面积为8的 ! (1)求证：△OBF≌△OAE; 中心对称图形 (2)求证：BE+BF=2; (3)求四边形OEBF的周长最小值， M 图1 图2 图3 RJSX 99第5课 中心对称图形 新课学习 知识点1中心对称图形的概念 1.如图，矩形绕点0旋转 °与自身2.下列图形中，是中心对称图形的请打 ,则称矩形是 图形，点O “V√”，并画出对称中心0 为 3.下列图形中，是中心对称图形的请打“V”,4.下列图形中，是中心对称图形的请打“V”, 并画出对称中心O 并画出对称中心O. 正方形正五边形 正六边形正三角形 圆 直角三角形 菱形 直角五角星 、 () 9A 总结： 中心对称 中心对称图形 概念 一个图绕某点旋转 与 重合 一个图绕某点旋转 与自身重合 同 旋转180°，重合 异 2个图 1个图 ·0 举例 矩形是中心对称图形 △AOB与△A'OB关于点O中心对称 小结：对于正n边形，当n为 时，是中心对称图形；当n为 时，不是中心对称图形 知识点2中心对称与中心对称图形的异同点 5.(原创题】判断，正确的打“√”，错误的打 6.【原创题】判断，正确的请打“V”,错误的打 “x” “×” 如图，在口ABCD中， 如图，在菱形ABCD中， (1)口ABCD是中心对称图形 (1)菱形ABCD是中心对称图形 (2)△AOB是中心对称图形 ( (2)连接AC,BD交于点O. (3)△4OB与△C0D关于点0中心对称.( ) ①△AB0与△CD0关于点O中心对称； (4)阴影部分图形是中心对称图形 ②△ABO是中心对称图形. ( 88 RJSX 过天检测 (凸县础训练 7.下列数学符号中，不是中心对称图形的是 8.下列图形中，是中心对称图形的是( ( A. B.= C.∥ D.> B D 9.(2023·广州越秀区一模)下列图形中，既是10.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对 中心对称图形又是轴对称图形的是 ( 称图形的是 ( A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.圆 马能力训练 11.如图是一个中心对称图形，点A为对称中 12.如图，在平行四边形ABCD中，EF过中 心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1,则BB1 心0. 的长为 (1)若四边形AEFB的面积为8，则口ABCD 的面积是 A.4 3 (2)△AOE与 C23 D.43 于点 中心对称 3 3 13.下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图14.【易错题】三张扑克牌如图(1)所示放在桌面 形的是 ( 上，把其中一张旋转180°后如图(2)所示，则所 5 旋转的牌从左数起是 ( ◆ 中 A A.第一张 A B C D B.第二张 ◆ C.第三张 6 (1) D.都不是 2 多拓展训练 15.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+516.如图，一块木板的所有拐角都是直角，一木 与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中 工想要将它锯成面积相等的两块，请你帮 心对称的抛物线的表达式为 他设计出一种简单的方法，画出一条线，使 A.y=-x2-4x+5 这条线将木板分成面积相等的两部分（画 B.y=x2+4x+5 出必要的辅助线) C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5 RJSX 89第7课 课题学习 图案设计 知识储备 1.如图，写出每组图对应的图形变换 2.图案设计一般是利用图形的 444A 来完成的. (1) (2 (3) 新课学习 3.如图可以看作是由一片“叶子”旋转若干次4.如图，正五边形图案旋转一定角度后能与自 形成，则每次旋转的角度为 身重合，则旋转的角度可能是 A.30 B.60° C.72 D.90° 5.甲图案变为乙图案，需要用到 6.对如图所示的变化顺序描述正确的是 A.旋转、对称 B.平移、对称 → C.旋转、平移 A.翻折旋转平移 B.翻折、平移旋转 D.旋转 C.平移、翻折旋转 D.旋转翻折、平移 7.④下列各图中，能由“基本图案”通过旋转变8.下列图形中，能用其中一部分平移得到的是 换得到的图形是 B D 9.请仿照如图所示的图案，在下列网格中分别：10.观察图1的两个图中阴影部分构成的图案， 设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相 解答下列问题： 同：②黑、白方块的个数要相同)， 图1 图2 (1)这两个图案都既是中心对称图形又是 图形： (1 (2) 3)】 (2)请在图2中设计出你心中最美丽的图 (1)是轴对称图形，又是中心对称图形： 案，使它也具备上述两个特征 (2)是轴对称图形，但不是中心对称图形： (3)是中心对称图形，但不是轴对称图形 92 RJSX 过天检测 (基础训练 11.(2023·珠海香洲区一模)美丽的冬奥雪花12.下列图形均可由“基本图案”通过变换得到： 呈现出浪漫空灵的气质，如图，雪花图案是 一个中心对称图形，也可以看成是由自身 的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度 文签 得到的，这个角的度数可以是 ② A.30° (1)由平移变换得到的是 B.45 (2)由旋转变换得到的是 C.60° (3)由轴对称变换得到的是 D.90° 马能力训缘 13.(2023·中山期中)在如图所示的方格纸14.(2023·东莞月考)下列四个图形中，不能 中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑， 通过其中一个四边形平移得到的是( 使其与图中的阴影部分组成中心对称图 形，则该小正方形的序号是 ◇◇◇◇ 米 B D ① 色拓最训缘 15.如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到16.如图，网格中每个小正方形的边长为1，请 △DEF,正确的变换是 你认真观察图①②③中的三个网格中阴影 A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再 部分构成的图案，解答下列问题： 向下平移2格 B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再 向下平移5格 ① ② ③ ④ C.把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时 (1)这三个图案都具有以下共同特征：都是 针方向旋转180 对称图形，都不是 对 D.把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时 称图形： 针方向旋转180° (2)请在图④中设计出一个面积为4，且具 备上述特征的图案，要求所画图案不能 与所给出的图案相同. RJSX 93第8课 旋转单元复习 础练习 知识点1旋转的概念 知识点2求旋转角 1.如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则2.将如图所示的图案绕着它的中心旋转，旋转 旋转方式是 角至少为( )时，旋转后的图案能与自身 A.顺时针旋转90° 重合 B.逆时针旋转90° A.30° B.45o C.顺时针旋转45° C.60° D.72° D.逆时针旋转45° 知识点3旋转的性质 3.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到4.(2023·中山模拟)如图，在平面直角坐标系 △ADE,若∠E=70°，且AD⊥BC于点F,则 中，点A,B的坐标分别为(3,0)，(0,2)，连接 ∠BAC的度数为 AB,将线段AB绕点A顺时针旋转90得到线 A.65 B.70° 段AC,连接OC,则线段OC的长度为( C.75 D.80° A.4 B.35 B C.6 D.34 知识点4中心对称与中心对称图形 5.(2023·东莞一模)下列图形中，既是中心对6.如图，△ABC与△AB,C1关于点0成中心对 称图形又是轴对称图形的是 称，下列说法：①LBAC=∠B,A,C1;②AC= A1C1;③0A=OA1;④△ABC与△A1B,C,的面 积相等.其中正确的有 知识点5旋转作图 知识点6旋转的坐标变化 7.如图，已知△ABC. 8.(1)(2023·东莞校级一模)在平面直角坐标 (1)画出△ABC关于原点中心对称的△A'B'C, 系中，点A(2,3)关于原点对称的点的坐 并写出点A与点A'的坐标； 标为 ( ) (2)画出△ABC绕点0顺时针方向旋转90° A.(2,-3) B.(-2,3) 得到的△A"B"C". C.(-2,-3) D.(-3,-2) (2)点A(4,3)绕原点逆时针旋转90°得到的 点的坐标为 (3)如果一个正多边形绕它的中心至少旋转 60°后，能和原来的图形重合，那么这个 多边形是 94 RJSX 提升练习 9.如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC= 10.如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90 120)绕点B按顺时针方向旋转得到 ! 得到△EFC,∠ACE的平分线CD交EF于 △A,BC,使得点C落在AB的延长线上的点 ! 点D,连接AD,AF C1处，连接AA1 (1)求∠CFA的度数； (1)旋转角的度数为 (2)求证：AD∥BC (2)求证：∠A1AC=∠C. 11.(2023·珠海香洲区二模)如图，将矩形12.(2023·广州越秀区月考)在Rt△ABC中， ABCD绕点B旋转得到矩形HBEF,点E在 ∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A AD上，连接CE,CH. 顺时针旋转一定的角度α得到△AED,点 (1)求证：EC平分∠BED; B,C的对应点分别是E,D. (2)若BC=4,∠EBC=30°，求CH的长度. (1)如图1，当点E恰好在AC上时，连接 CD,求∠CDE的度数； D (2)如图2，当a=60时，F是边AC的中点， 连接DF,EB,BF,延长BF交AE于点G, 求证：四边形BFDE是平行四边形 图 图2 RJSX 95第二十三章旋转 第1课旋转的概念及性质 知识点1旋转中心旋转角 (1)旋转中心旋转角旋转方向 (2)顺时针方向逆时针方向 1.(1)点0(2)逆时针方向 (3)B0A70 2.(1)0(2)A0B90 3.(1)点A逆时针方向 45 (2)∠AED(3)≌ 4.(1)点0顺时针方向 (2)A0A COC'BOB'65 (3)等腰 旋转的性质： (1)全等相等相等 (2)相等(3)旋转角 5.(1)解：在Rt△ABC中， AB=10,AC=8, .BC=√AB-AC=6, ~△ABC绕着点C旋转得到△DCE, ∴.CE=CA=8, ∴.BE=BC+CE=6+8=14; (2)证明：如图，延长ED交AB于 点F, :△DCE是△ABC绕点C顺时针 旋转得到的， ,∴.∠FAD=∠DEC 又：∠FDA=∠CDE且∠ACB=90, ∴.∠AFD=∠DCE=180°-∠ACB =90° ∴.∠AFD=90° 即AB⊥DE 6.(1)解：由题意，得AE=AD, :等边三角形ABC的边长为2，点 D是BC的中点，∴.AD⊥BC. 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2 AD=√AC2-DC=√22-1 =√3. ∴.AE=AD=3: (2)证明：：△ADC绕点A顺时针 旋转后到达△AEB的位置， ∴.旋转角为∠CAB=60. ∴.∠EAD=∠CAB=60°且AE=AD. ∴△ADE是等边三角形. 7.①② 8.(1)点A顺时针方向90° (2)AB'BC(3)∠ABC 9.B10.C 11.解：(1)点A90° (2)依题意，得AE=AF=5, AD=AB=9. .DE=AD-AE=9-5=4 (3)BE,DF的关系为 BE=DF,BE⊥DF.理由如下： 依题意，得△ABE≌△ADF, .BE=DF,∠ABE=∠ADF :∠ADF+∠F=180°-90°=90°， .∠ABE+∠F=90. ∴.BE⊥DF 阅盟学堂数学九 BE,DF的关系为BE=DF, ∴.∠ABC=70 BE⊥DF 依题意，得∠EBF=∠ABC=70°， 12.解：(1)由旋转的性质，得 AB =BF CD=CO,∠ACD=∠BCO ∴∠BAF=∠BFA .·∠ACB=∠AC0+∠OCB=60° ·.∠DCO=∠AC0+∠ACD= 2×(180°-70) = ∠AC0+∠OCB=60°. =55° ∴.△OCD为等边三角形. (2)在Rt△ABC中，∠C=90°， ..∠0DC=60°： AC=12.BC=5 (2)由旋转的性质，得 ..AB=AC +BC=13, AD=0B=4, ∠ADC=∠B0C=150°. 又：BE=BC=5,EF=AC=I2, :△OCD为等边三角形 .AE=AB-BE=13-5=8. .∴.0D=0C=5. .AF=WAE+EF=4√13. ∠ADC=150°，∠0DC=60°， .∠AD0=90° 6.(1)120(2)90(3)72(4)360 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 7.10 A0=√AD+0D2=√4+5 8.解：旋转角是60°， =√41. ∴.∠EAD=∠BAC=6O ∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD 第2课旋转的性质应用 =60°-30°=30° 知识储备 ∠CAD=30°，AC=2, 旋转中心 旋转角 旋转方向 (1)全等 (2)相等 D=24c=7x2=1 (3)相等 1.(1)12(2)30 ∴.AD=AC-CD=5. 120 AE=AD,∠EAD=60° 2.解：(1)135 ∴，△EAD为等边三角形. (2).·△ABC为等腰直角三角形 ∴.∠ACB=45°， .ED=AD=3. AB=BC=1,AC=2. 92-23 由旋转的性质，得∠ECD=∠ACB 3 =45°，CE=AC=2, 10.(1)证明：，△4BC是等腰三角 ∴.∠BCE=18O°-∠ACB-∠ECD 形，∴.AB=BC,∠A=∠C. =180°-45°-45° 由旋转得A1B=AB=BC,∠A1= =90° ∠A=∠C,∠ABD=∠CBC1 在Rt△BCE中， 在△BCF和△BA,D中， ∠C=∠A, BE =BC2 CE CB=A B, =√12+(2)2=5. ∠CBF=∠A,BD BE的长为5 ∴.△BCF≌△BA,D(SAS). 3.解：(1)120 (2)解：∠ADE=∠ADB, (2)由△ABC为等边三角形和旋 ∴∠AED=∠ABD=a 转的性质，得 ∴.∠DEC=180°-a. AC=DC,∠DCE=60° ,∠C=a,∴.∠A1=a ∴.∠CAD=∠ADC=30° ∠A1BC=360°-∠A1-∠C- ∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE ∠DEC=180°-a. =30°+60°=90°. ∴∠ABC=∠AEC,∠A1=∠C. 在Rt△ADE中，AE=2AC=4, 四边形A,BCE是平行四边形 DE=2. .A,B=BC ∴.AD=AE-DE ∴.四边形A,BCE是菱形 =4-2 微专题6旋转综合 1. 解：(1)BG=DE.理由如下： =25. ,四边形ABCD和四边形CEFG .AD的长为23. 是正方形 4.解：(1)等腰直角 ∴.BC=DC,CG=CE, (2)△EEC是直角三角形.证明 ∠BCD=∠ECG=90 如下： ..∠BCG=∠DCE. 由旋转知，BE'=BE=2, 在△BCG和△DCE中， ∠EBE=90°，CE'=AE=1. BC=DC. ∴.EE'=√BE+BE ∠BCG=∠DCE, =V2+2 CG=CE. ∴.△BCG≌△DCE(SAS). =22. .BG=DE; .EE2+CE2=(22)2+12=9. (2)BG=DE,且BG⊥DE.理由 而CE2=32=9, 如下： ∴.EE2+CE2=CE 设BG交CD于点H,BG交DE于 .△EEC是直角三角形 点P,如图2. 5.解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠BAC=20°， 级全一册RU版16参考答案 图2 ·四边形ABCD和四边形CEFG 是正方形， .BC=DC.CG=CE. ∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=LECG+∠DCG, 即∠BCG=∠DCE. 在△BCG和△DCE中， BC =DC. ∠BCG=∠DCE, CG CE. ∴.△BCG≌△DCE(SAS). .BG=DE,∠CBG=∠CDE 又.·∠CBG+∠BHC=90° ∴.∠CDE+∠DHG=90°. ∴.∠DPH=90°..BG⊥DE. 2.解：(1)将△BCD绕点C顺时针 旋转得到△ACE, .△BCD≌△ACE.∴.AC=BC. 又.∠ABC=45° .LABC=∠BAC=45°. .∠ACB=90. 故旋转角的度数为90°； (2)AE⊥BD.理由如下：如图，设 BD分别交AC,AE于点M,N 在Rt△BCM中，∠BCM=90°， ∴.∠MBC+∠BMC=90°. .·△BCD≌△ACE ∴.∠DBC=∠EAC, 即∠MBC=∠NAM. 又：∠BMC=∠AMN, ∴.∠AMN+∠CAE=90. .∠AND=90.,AE⊥BD: (3)如图，连接DE. 由旋转图形的性质可知， CD=CE,BD=AE, 旋转角∠DCE=90°. ∴.∠EDC=∠CED=45° CD=3,∴.CE=3. 在Rt△DCE中，∠DCE=90°， ∴DE=√CD+CE2=32+3 =32 ,:∠ADC=45° .∠ADE=∠ADC+∠EDC=90°. 在Rt△ADE中，∠ADE=90°， ..EA =AD +DE =√22+(32) =√/22 .BD=EA=√/22 3.(1)证明：如图1，在MB的延长线 上，截取BE=DN,连接AE. 阅盟学堂数学九 图1 4.解：如图. 在△ABE和△ADN中， rAB =AD. ∠ABE=∠D BE =DN. '.△ABE≌△ADN(SAS). ∴.AE=AN,∠EAB=∠NAD. ∠BAD=90°，∠MAN=45°， 5.解：如图 .∴，∠BAM+∠DAN=45° ∴.∠EAB+∠BAM=45° ∴.∠EAM=∠NAM. 在△AEM和△ANM中， [AE =AN, ∠EAM=∠NAM AM=AM '.△AEM≌△ANM(SAS). 6.解：如图， ∴.ME=MN. 又，ME=BE+BM,BE=DN, ·.BM+DN=MN. (2)解：DN-BM=MN.证明如下： 如图2，在DC上截取DF=BM,连 接AF, 7.解：如图， 图2 在△ABM和△ADF中， 点C1的坐标为(-1,3) rAB =AD. 8.解：如图。 ∠ABM=∠D, BM=DF, ·,△ABM≌△ADF(SAS). .AM=AF,∠BAM=∠DAF ∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+ ∠DAF=90° 即∠MAF=∠BAD=90. .∠MAN=45° .∠MAN=∠FAN=45. 点B1的坐标为(2,3) 在△MAN和△FAN中， 9.解：如图. AM=AF, ∠MAN=∠FAN, AN=AN, ·.△MAN≌△FAN(SAS). .MN NF. ∴.MN=DN-DF=DN-BM. .DN BM MN. 4.①②③④5.6 10.解：如图所示，△AB,C,即为 第3课 图形的旋转作图 所求. 1.解：如图 2.解：如图. 11.B12.（-2,-4)13.点B 14.B 15.证明：(1)：正方形的对角线交 3.解：如图 于点0， ∴.A0=B0,∠BA0=∠0BF=45. ∴.∠A0B=90 级全一册U版17参考答案 .四边形OMNP是正方形， ∴.∠MOP=90. ∴.∠BOF=∠AOE. 在△OBF和△OAE中， t∠OBF=∠OAE, B0=A0. ∠BOF=∠AOE ∴.△OBF≌△OAE(ASA): (2)由(1)知△OBF≌△OAE. .S网边形oEBr=S△Bo+SA0BB=S6BO 又：SAA80= 1 六S西边形0E即=S64a0=4×2X2 =1, 即两正方形重叠部分的面积始终 为1. 第4课中心对称 1. B 2.(1)≌(2)0A'0B'0C (3)0 (4)AA'BB'CC' 3.(1)D(2)①点0点D ②BC与AD③≌ 中心对称的性质： (1)全等(2)对称中心 (3)中点 4.解：(1)如图，连接A4',BB,AM'与 BB的交点就是对称中心O; (2)平行 5.解：如图. B B 6.解：如图. 7.C 8.解：(1)如图： A (2)A'B (3)平行且相等 9.解：如图. 阅盟学堂数学九 第6课关于原点对称的点的坐标 1.解：如图，A'(-2,-1) 10.解：(1)如图，连接AD,CF,AD与 2.解：如图，A'(3,-2) CF的交点就是对称中心O. 1▲ 4.3.2D (2)12 11.D12.平行四边形 13.解：(1)如图1，线段AC即为所作 (答案不唯一)： }3.相反数相反数(x,-》 4.(1)(-3,-1)(2)(3,-1) (3)30 5.解：如图，A(-2,-3),A1(2,3) 图1 (2)如图2，线段EF即为所作（答 案不唯一)； 6.解：如图，A(-2,-1),A'(2,1). 图2 (3)如图3，四边形ABHG即为所 345 作（答案不唯一）. 7.解：(1)，四边形ABCD为菱形， .OA =OC,OB=OD, 图3 AC⊥BD. 第5课 中心对称图形 又：点0为坐标原点， ∴.点A和点C关于原点对称， 1.180重合 中心对称 对称中心 点B和点D关于原点对称， 2. 0 点A的坐标为(-23,2)， (V) (V) 点B坐标为(-1，-3)， 3.正方形 正六边形 点C坐标为(23，-2)， 点D坐标为(1,3)； (2)B(-1,-5),C(25,-2), (V) (√) A(-25,2),D(1,3), 圆 菱形 AC=√(23+25)}2+(-2-22 =8, BD=√(-1-1)2+(-5-5)2 (V) (V) =4. 另一个图 总结：180 180 偶数 S发形BGD= 2AC·BD 奇数 5.(1)V (2)×(3)V(4)V 1 6.(1)V (2)①V②× =2×8×4=16, 7.D8.B9.B10.A11.D 8.(1,-2)9.(-2,-1)(2,1) 12.(1)16(2)△C0F0 10.B11.C 13.D14.A15.A 12.解：(1)如图，矩形0AB,C,即为 16.解：如图. 所求； 级全一册RU版18参考答案 (2)如图，矩形OA2B2C2即为 所求. 13.解：(1)如图，A(3,4),B1(0,2): (2)以A,B,A1,B为顶点的四边 形为平行四边形，理由如下： :△OAB绕点0旋转180°得到 △OA1B1, 点A与点A关于原点对称，点 B与点B,关于原点对称， .'OA=OA,OB=OB,, ∴四边形ABA,B,为平行四边形 14.解：(1)如图所示，△AB1C1即为 所求； (2)如图所示，△AB2C2即为所求 15.解：(1)如图. 2 43-2-1 -1 -2 3 (2)设直线A'B的解析式为 y=kx+b. 由(1)得A'(2,0),B'(0,3) 代入直线A'B'的解析式得 2k+b=0,解得 1b=3. k=-2 3 b=3. ·,直线A'B的解析式为 y-3 +3 (3)k,·k2=-1. 第7课课题学习图案设计 1.(1)平移 (2)轴对称（或翻折） (3)旋转 2.平移轴对称（或翻折）旋转 3.904.C5.C6.B7.A8.B 9.解：如图（答案不唯一 (1) (2) (3) 10.解：(1)轴对称 (2)如图2（答案不唯一）. 阅盟学堂数学九 图2 11.C12.(1)③(2)①(3)② 又.∠EBC=30°，BC=4, 13.②14.D15.B ∴.CC=2,BG=25. 16.解：(1)中心轴 .·EC平分∠BED,CG⊥BE (2)如图④（答案不唯一）. CD⊥ED.∴.CG=CD. 又.∠HBM=∠CGM=90°， ∠HMB=∠CMG CD =AB=HB. ∴.CG=HB. ④ .△HBM≌△CGM(AAS). 第8课旋转单元复习 之Mc=BM=6G=E, 1.B2.D3.C4.D5.C CM HM. 6.①2③④ ∴.在Rt△MGC中， 7.解：(1)如图，A(-3,2),A(3,-2): MC=√CG+MG=√4+3 (2)如图. =万 CH=2MC=2万 12.（1)解：∠ABC=90°，∠BAC =30°， .∠ACB=60° :△ABC绕点A顺时针旋转得到 △AED,点E恰好在AC上， 8.(1)C(2)(-3,4) ∴.CA=AD (3)正六边形 9.(1)60° ∠EAD=∠BAC=30° (2)证明：由题意可知 ∴.∠ACD=∠ADC 1 △ABC≌△ABC1, =2×(180°-30) ∴.A,B=AB,∠C=∠C =75° 由(1)知，∠ABA1=60 ∴.△A,AB是等边三角形 .·∠EDA=∠ACB=60° ∠BAA1=60 ∴.∠CDE=∠ADC-∠EDA=15 .∠BAA,=∠CBC, (2)证明：F是边AC的中点， .AA1∥BC..∠AAC=∠C. ∠ABC=90°， 1 .∠AAC=∠C 10.(1)解：△ABC是等边三角形， .AF-TAC,BF-TAC. ∠ACB=60°，BC=AC. ∴AF=BF :等边△ABC绕点C顺时针旋转 ∴.∠ABF=∠BAC=30°. 90得到△EFC, ∠BAC=30°， ∴.CF=BC,∠BCF=90° ∠ABC=90°， AC=CE..∴.CF=AC .BC-AC. ·.·∠BCF=90°，∠ACB=60° ∴.∠ACF=∠BCF-∠ACB=30° ,△ABC绕点A顺时针旋转60 CFA =(10-LACF) 得到△AED, ∴.∠BAE=∠CAD=60° =75. CB=DE,∠DEA=∠ABC=90° (2)证明："△ABC和△EFC是 .'DE BF. 等边三角形， ,∠BGE=∠GBA+∠BAG=90°， ∴.∠ACB=60°，∠E=60° ,∴.∠BGE=∠DEA :CD平分∠ACE, ∴.BF∥ED. .∠ACD=∠ECD ∴四边形BFDE为平行四边形. :∠ACD=∠ECD,CD=CD, 本章教材母题回归 CA=CE, 1.解：如图，△DEF即为所求 ∴.△ECD≌△ACD(SAS) ∴.∠DAC=∠E=60 ,∠DAC=∠ACB.∴.AD∥BC. 11.(1)证明：由旋转性质可得， BE=BC,∴.∠BEC=∠BCE :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC.∴.∠DEC=∠BCE. ∠BEC=∠DEC. 2.解：四边形ABCD为菱形， .EC平分∠BED. .OA=OC,OB=OD.AC⊥BD (2)解：如图，过点C作CG⊥BE 又点0为坐标原点， 于点G,设BE与HC交于点M, ∴.点A和点C关于原点对称， 点B和点D关于原点对称. 点A的坐标为(-23,2)， 级全一册RU版19参考答案 ∴.点C坐标为(25，-2) 点B坐标为(-1，-√5)， .点D坐标为(1,5). 3.解：五角星绕着它的中心0至少 旋转360°=72°能与自身重合，等 5 边三角形绕着它的中心至少旋转 3=120°能与自身重合 360° 4.解：△EBC可以看作是由△DAC 绕点C逆时针旋转60°后得到的. ∠AFB=60°. 5.y=-(x+1)2 6.解：如图所示： 90 NO即为所求. 理由如下：连接BF,AE相交于 点0， 连接EC,BD相交于点N, 此时过点O的直线平分矩形 FABE的面积， 过点N的直线平分菱形EBCD的 面积， 故ON平分这张纸片的面积 7.解：(1)如图，△A'BC即为所求； (2)在△ABC中，∠C=90°， BC=3,AC=4, .AB=√BC2+AC =32+4=5 :△ABC绕点B逆时针旋转90 得到△A'BC, ∴.BA'=BA=5,∠A'BA=90 ∴.△A'BA为等腰直角三角形. .A'A=√2BA=5√2. 核心素养及数学思想 1.解：(1)如图，过点B作BC⊥OA于 点C o :△AOB是等边三角形， 且0A=2, ∴0c=20A=1 由勾股定理得 BC=√/2-1'=3. ∴.A(-2,0),B(-1,3),0(0,0), (2)如图1， ()BJ4 图1 :∠AOB=60°，0A=0B 阅盟学堂数学九 “点A'与点B重合 新题型特训—实验、 A'(-1,3). 由旋转得∠BOB=60°，OB=OB' 探究与活动 .·∠A0D=90° 1.解：(1)是E AC BD ∴.∠B0D=30°..∠D0B=30° (2)新的旋转对称图形，如图1,2 .BB'⊥OD,DB=DB' 所示（答案不唯一》 B(1,5) 2.(1,1) 3.(1)解：如图，分别过点A,B作 x轴的垂线，垂足分别为C,D. 图 图2 (3)如图3，图中阴影部分加上虚 线部分是由正方形ABCD分割，再 运用图形变换的旋转对称图形， A(4,5),,0C=4,AC=5. :把点A(4,5)逆时针旋转90°得 到点B, .OA=OB,且∠A0B=90° ·.∠B0D+∠AOC=∠AOC+ 图3 ·.图中13个小正方形面积的和=1. ∠CA0=90°. .∠BOD=∠CAO. 每个小正方形的面积=合 在△AOC和△OBD中， r∠ACO=∠ODB, ·图中阴影部分的面积=3 ∠OAC=∠BOD LOA=BO. 故答案为号 ∴.△AOC≌△OBD(AAS). 2.解：(1)BE=CD.理由如下： ∴.OD=AC=5,BD=OC=4 :△ABD,△AEC都是等边三角形， .B(-5,4). .AD=AB,AC=AE, (2)(y,-x)(-x,-y) ∠DAB=∠CAE=60° (-y,x)(x,y) 4.解：(1)由图1可得 将△BAE绕点A顺时针旋转60°后， 点E与点C重合，点B与点D重合， S,=6+6+6=18, ·△BAE与△DAC重合 S2=6+1×2+1×2=10. .BE =CD. 故S,:S2=18:10=9:5. (2)①如图2，设DC与BE相交于 故答案为9：5. 点T,AC与BE相交于点W, (2)如图3所示，答案不唯一 图3 5.(1)证明：：正方形的对角线交于 点0， 图2 .A0=B0,∠BAO=∠OBF=45°. ,△ADC绕点A逆时针旋转90 .A0=B0 得到△ABE,∴.∠DAB=∠CAE= .∠OAB=∠AB0=45° 90°，AD=AB,AC=AE ∴.∠A0B=90° ∴.△AEC,△ABD的形状都是等腰 .∠BOF=∠EOA. 直角三角形，故选项A正确。 在△OBF和△OAE中， 由旋转的性质可知△ADC≌△ABE, r∠OBF=∠OAE, .CD=BE,∠ACD=∠AEB. B0=A0, ,∠TWC=∠AWE, L∠BOF=∠AOE .∠CTW=∠EAW=90 .△OBF≌△OAE(ASA). ∴CD⊥BE,故选项B正确， (2)证明：由(1)知△AE0≌△BF0. .S边形m=SA+SA6 .AE=BF. .'BE +BF=BE +AE =AB=2. =2BE,CT+2BE·Dm (3)解：由(1)知△AE0≌△BFO .AE =BF,OE =OF. =寸班G0 ∴.四边形OEBF的周长为 OE BE BF+OF=20E +AB= 20E+2. 故选项C错误 :当OE⊥AB时，其值最小，为1， 如图4，过点D作DY⊥EA的延长 ∴.四边形OEBF周长的最小值为 线于点Y,过点B作BX⊥AC于 2×1+2=4. 点X, 级全一册RU版20参考答案 图4 ∠DAY=90°-∠BAY=∠BAX, ∠DYA=90°=∠BXA,AD=AB, ∴.△DAY≌△BAX(AAS). ∴DY=Bx .AE=AC, 六AB,DY=4C~Bx ·.△ABC的面积与△AED的面积 相等，故选项D正确。 故答案为ABD. ②DE=2AM,且AM⊥DE,证明 如下： 如图3，延长AM到点N,使MN= AM,连接BN,延长MA交DE于 点I, N 图3 M是BC的中点，∴.CM=BM ,∠AMC=∠NMB,AM=MN, ∴.△AMC≌△NMB(SAS). ∴BN=AC,∠N=∠CAM ∴.AC∥BN ∴.∠NBA+∠BAC=180° ∠BAD=∠CAE=90° .∠DAE+∠BAC=180 ∴.∠NBA=∠DAE. AC=AE,.∴.BN=AE AB =AD, ∴.△NBA≌△EAD(SAS). ·AN=DE,∠BAN=∠ADE. .·AN=2AM.∴.DE=2AM .∠BAN+∠DAI=90°， .∠ADE+∠DAI=90°. ∴.∠AID=90°..AM⊥DE 第二十四章圆 第1课 圆的有关概念 新课学习 圆 ⊙0园心 圆心 半径 半 弦 圆上 AB CD (1)最长 线段 EF (2)不是 两 弧 两半圆 CAB AB.AC 大于 MCB,® 等回 等圆 (1)等圆 (2)等圆 等孤 等孤 (3)不一定 1.(1)0A,0B(2)AB (3)AC,BC,AB (4)BAC AC ABC (5)ACB,AEB 阅盟学堂数学九 提示：在直径AB上方圆周上标一 点E. .AE=BE=- B=4 ∴0A=AE2+0E2=42+32 =5, 即⊙0半径长为5. .ED =OD-OE =2 2.(1)0B,0C(2)BC (3)AB,BC 5.解：如图，连接0A (4)ABC AB ACB (5)BAC,BEC 0 提示：直径BC下方圆周上标一 点E. OC⊥AB, ∴.AC=BC=√OA-OC =52-32=4. .AB=2AC=8. 总结：(1)半径勾股 3.45°424.60°9cm 6.6 5.证明：在⊙0中， 7.解：如图，连接OA, 0A =OB=OC=OD. :M,N分别为OA,B0的中点， 0W=20A,0N=20B ∴.OM=ON ·.四边形CMDN为平行四边形. 设半径为x, 6.证明：，CD⊥AB, ∴.∠AE0=∠BE0=90° :直径CD1AB,AE=24B=3. .OA=OB.OE=OE 在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2, .△AOE≌△BOE(HL). 7.证明：：四边形ABCD为矩形， 即x2=32+(x-1)2,解得x=5. .⊙0的半径为5. 0M=0C=24C, 8.解：设⊙0半径为x OB=OD=- 8D.AG-RD. ~0C⊥AB,AD=2AB=4 .OA=OC=OB=OD 在Rt△AOD中，OA2=AD+OD, A,B,C,D四个点在以点O为圆 即x2=42+(x-2)2 心，OA为半径的圆上. 解得x=5. 8.证明：如图，连接OD,OC. ∴.⊙0的半径为5. 9.证明：如图，过点O作OE⊥AB于 点E :△ADB和△ACB为直角三角形， 点O是AB的中点， 则OE垂直平分CD,OE垂直平 OD=AB=A0=BO. 分AB. .CE DE,AE BE. 0C=7AB=A0=B0, ,·AE=AC+CE,EB=ED+BD .AC=AE -CE BE DE=BD. 即OC=OD=OA=OB. 10.证明：如图，过点0作OE⊥AB, 点A,B,C,D在同一个圆上，并 垂足为E. 且圆心为点O. 9.①③④10.20 第2课 垂径定理 1.不是是 OC=OD,OE⊥AB, 垂径定理：平分弧直径CD垂直 ∴EC=ED(三线合一) 弦AB OE⊥AB,∴.EA=EB. AE BE.AC BC.AD BD ∴.EC-EA=ED-EB. 2.B3.D .AC BD. 4.解：如图，连接OA. 11.解：设0A=0C=x,则OD=x-2. 0C⊥AB,AD=27AB=6 在Rt△OAD中，有 x2=62+(x-2)2 解得x=10.∴.0A的长为10米. 12.证明：：AB⊥AC,OD⊥AB, 直径CD⊥弦AB, OE⊥AC, ∴.∠A=∠AE0=∠AD0=90°， 级全一册U版21参考答案第二十三章1 旋转 第1课旋转的概念及性质 新课学习器 知识点1旋转的概念及性质 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.点O叫做 转动的角叫做 (1)旋转的三要素分别是 (2)旋转方向有 和 点旋转 线旋转 1.如图，点B绕点0旋转70到 2.如图，时针旋转的方向是顺时针方向. 点A,这个旋转过程中： (1)在时针旋转过程中，旋 (1)旋转中心是 转中心是点 B (2)旋转方向是 (2)经过3小时，时针OA旋转到了OB,旋转 (3)旋转角是∠ 角是∠ 为 图形旋转 3.④如图，等腰直角三角形ABC旋转得到4.如图，△4BC绕点0旋转⑤得到△4'B'C,则： D △ADE,则： (1)旋转中心是 ,旋转 (1)旋转中心是 ,旋转 方向是 方向是 ,旋转 (2)旋转角=∠ 角= ; =∠ (2)∠C的对应角是 (3)△ABC △ADE. (3)连接AA',则△OAA'是 三角形 旋转的性质： (1)旋转前后的图形 (即有对应边 ,对应角 ):(2)对应点到旋转中心 的距离 :(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 知识点2利用旋转的性质简单计算或证明 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△DCE6.如图，等边三角形ABC的边长为2，D是BC的中点 是△ABC绕点C顺时针旋转得到的，此时点 △ADC绕点A顺时针旋转后到达△AEB的位置 B,C,E在同一直线上 (1)求AE的长： (1)若AB=10,AC=8,求BE的长； (2)连接DE,求证：△ADE是等边三角形 (2)求证：AB⊥DE 78 RJSX 过天检测》 (基础训练 7.(2023·珠海金湾区校级月考)有下列现象：8.如图，四边形ABCD绕点A旋转到四边形 ①时针的转动：②摩天轮的转动：③地下水 AB'CD'的位置 位逐年下降；④传送带上的机器人，其中属 (1)旋转中心是 旋转 于旋转的是 方向是 ,旋 转角度为 (2)线段AB的对应线段是 ,线段 的对应线段是B'C'; (3 的对应角是∠AB'C'. 之能力训缤 9.（2023·广州越秀区校级月考)如图，在 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=a,将 口ABCD中，∠A=70°，将口ABCD绕顶点B △ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C, 顺时针旋转到口A,BC,D,当C,D,首次经过 点B的对应点B'在边AC上（不与点A,C 顶点C时，旋转角为 重合)，则∠AA'B'的度数为 A.30° B.40° A.a B.a-45 C.45 D.50° C.45°-α D.90°-a B 还拓展训套 11.(2023·珠海金湾区校级月考)如图，四边12.如图，点0是等边三角形ABC内的一点， 形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋 ∠B0C=150°，将△BOC绕点C按顺时针 转一定角度后得到△ABE,点E落在边AD 旋转得到△ADC,连接OD,OA 上，若AF=5,AB=9: (1)求LODC的度数； (1)旋转中心为 :旋转角度为 (2)若0B=4,0C=5,求A0的长. ； (2)求DE的长度； (3)指出BE与DF的关系如何？并说明 理由。 B RJSX 79新题型特训一实验、探究与活动 1.(RU九上73)阅读与思考 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转60°的整数倍后所得的正n边形与原正n边形重合.我们 说，正m边形关于其中心有0的旋转对称一般地，如果一个图形绕着某点0旋转角a后所 得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称，如图是具有旋转对称性 质的一些图形 909 (1)【初步感知】中心对称图形 旋转对称图形（填“是”或“不是”）；下列图形中不是旋 转对称图形的有 ,既是旋转对称图形又是中心对称图形的有 ,旋转72°能够 完全重合的图形有 ★ A C E (2)【知识应用】请你把图1和图2中的正方形ABCD进行适当分割，再运用图形变换画两个 新的旋转对称图形； 要求：①新旋转对称图形用阴影部分表示（保留画图痕迹）； ②新的旋转对称图形与正方形ABCD的面积相等； ③图1是旋转对称图形，但不是轴对称图形；图2既是旋转对称图形，又是轴对称图形， (3)【知识拓展】如图3，正方形ABCD的面积为1，E,F,G,H分别是四条边的中点，M,N,P,Q, J,K,R,S为四条边的三等分点，则图中阴影部分的面积为 D AM N 图1 图2 图3 100 RJSX 2.(J九上P63改编)(2023·襄阳南漳县期中)【课本再现】 (1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与CD有什么关系？你能用旋转的性质说明 上述关系成立的理由吗？ 图 图2 图3 【探究应用】 (2)如图2，△ADC绕点A逆时针旋转90°得到△ABE,连接CE,BD,BC,DE. ①下列说法正确的是 A.△AEC,△ABD的形状都是等腰直角三角形 B.CD=BE,CD⊥BE C.S阳边形BCED=BE2 D.△ABC的面积与△AED的面积相等 ②如图3，M是BC的中点，判断AM与DE之间的关系，并证明. RJSX 101第2课旋转的性质应用 知识储备 旋转的三要素： 和1.如图，△ABC绕点C旋转得到△DEC,∠A= 30°，∠B=90°，BC=1,AC=2,点B,C,D在 旋转的性质： 同一直线上 (1)旋转前后的图形 (1)CE= (2)对应点到旋转中心的距离 CD= (3)同一个旋转，旋转角都 (2)∠D= 旋转角三 新课学习 2.如图，一块等腰直角三角板ABC绕点C旋3.如图，等边△ABC的边长为2，将△ABC绕点 转到△EDC的位置，点A,C,D共线，AB=1. C顺时针旋转得到△DEC,点A,C,E三点 (1)旋转角= 共线， (2)连接BE,求BE的长. (1)旋转角= (2)连接AD,求AD的长 4.@如图，在正方形ABCD中，△ABE绕点B5.(2023·广州期中)如图，在Rt△ABC中， 顺时针旋转90到△CBE的位置，若AE=1, ∠C=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到 BE=2,CE=3,连接EE 0 △FBE,点C,A的对应点分别为E,F,点E (1)△BEE是 三角形； 落在BA上，连接AF (2)判断△EE'C的形状并证明. (1)若∠BAC=20°，求∠BAF的度数； (2)若AC=12,BC=5,求AF的长 80 RJSX 过天输测 (凸县础训练 6.(1)等边三角形绕中心至少旋转 才7.(2023·广州荔湾区校级期中)如图，将矩形 能与自身重合； ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到矩形 (2)正方形绕中心至少旋转 才能与 ! AB'C'D',如果CD=2DA=2,那么CC'= 自身重合； (3)五角星绕中心至少旋转 才能与 自身重合； (4)正n边形绕中心至少旋转 才 能与自身重合 马能力训练 8.如图，将一块含30°角的三角板ADC绕点A顺9.如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺 时针旋转60得到△AEB,已知AC=2,连接ED, 时针旋转30°到AB,C,D1的位置，则阴影部 BD,求∠BAD的度数及ED的长 分的面积是 30 还拓展训线 10.如图，将等腰三角形ABC绕点B旋转到△A,BC,的位置，旋转角为a,AB与A1C1交于点D, AC与AC1,BC1分别交于点E,F. (1)求证：△BCF≌△BA,D; (2)若∠C=a,请说明四边形A,BCE的形状， RJSX 81第6课关于原点对称的点的坐标 新课学习 1.如图，点A与A'关于原点对称，请画出点A',2.如图，点A与A'关于原点对称，请画出点A', 写出点A的坐标 写出点A'的坐标 VA A-3.2) 2,1D 3.如图，若A(x1y)与 4.(1)点A(3,1)关于原点对称的点的坐标为 A'(x2,2)关于原点对称， A(xY) 则x1与x2互为 ,y1 (2)点A(-3,1)关于原点对称的点的坐标 与y2互为 A'xy） 为 结论：点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为 (3)点(-3,0)与点( )关于原 点对称 5.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如6.如图，画出△ABC关于原点中心对称的图形 图所示.作出△ABC关于点O成中心对称的 △A'B'C',并写出点A与A'的坐标 A △AB,C,并写出点A与点A,的坐标 6 7.(RU九上P69)如图，已知点A的坐标为(-2√3,2)，点B的坐标为(-1，-√3)，菱形ABCD的 对角线相交于坐标原点O. VA (1)求C,D两点的坐标； (2)求菱形ABCD的面积. 90 RJSX 过关检测 凸县础遭练 8.(2023·广州白云区校级月考)点P(-1,2)关9.点(-2,1)关于x轴对称的点的坐标是 于原点对称的点P'的坐标是 ,点(-2,1)关于y轴对称的 点的坐标是 10.(2023·珠海香洲区一模)已知点P(x,-2) 11.(2023·东莞校级模拟)小明作点A关于y 与点Q(4,y)关于原点对称，则x+y的值是 轴的对称点A1,再作点A1关于x轴的对称 ( 点A2,则点A与点A2的位置关系是( A.2 B.-2 C.-4 D.4 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不正确 马能力训金 12.如图： 13.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-4), (1)画出矩形OABC关于原点O中心对称 B(0,-2) 的图形； (1)△OAB绕点0旋转180得到△OAB1,请 (2)画出矩形OABC绕原点O顺时针旋转 90°后的图形 画出△OA1B1,并写出点A1,B,的坐标； (2)判断以A,B,A1,B1为顶点的四边形的 形状，并说明理由。 (3拓最训练 14.(2023·广州荔湾区期中)如图，利用图中 的网格线（最小的正方形的边长为1）画图. 15.【原创题1如图，直线6的解析式为y子-2 (1)作出△ABC关于原点对称的△AB,C:; (1)画出AB绕点0逆时针旋转90°后的直 线A'B'; (2)作出将△ABC绕点A顺时针旋转90°得 (2)求A'B'的解析式； 到的△A2B2C2 (3)若直线y1=kx+b1与y2=2x+b2垂 直，k1≠0，k2≠0，请直接写出k1与后2的 数量关系： 杂 2 1- -4-3-2-1 ↓23 -1 -2A -3 RJSX 91本章教材母题回归 1.(RU九上P76)如图，把Rt△ABC以点S为中3.(RJ九上P63)把图中的五角星图案，绕着它 心顺时针旋转30°，画出旋转后的图形. 的中心0旋转，旋转角至少为多少度时，旋 转后的五角星能与自身重合？对等边三角 形进行类似的讨论 2.(U九上P69)如图，已知点A的坐标为 (-235,2),点B的坐标为(-1，-5)，菱形 ABCD的对角线交于坐标原点O.求C,D两点 的坐标 4.(RJ九上P76改编)如图，△ABC和△ECD 都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC 经过平移、轴对称或旋转得到的.说明得到 △EBC的过程，并求∠AFB的度数. 96 RJSX 5.(RU九上P69改编)抛物线y=(x-1)2关于原7.(RU九上P63)如图，在△ABC中，∠C=90°. 点中心对称的抛物线解析式为 (1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋 6.(U九上77)如图，有一张纸片，若连接 转后的三角形； EB,则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD, (2)若BC=3,AC=4,点A旋转后的对应点 请你画一条直线把这张纸片分成面积相等 为A',求A'A的长 的两部分，并说明理由 D RJSX 97微专题6旋转综合 中考热点1“手拉手”模型 类型 条件 图形 结论 ①△ABF≌△AEC: 两等边三角形 如图，△ABE与△ACF都是等 ②BF=CE,∠FOC=60°； 共顶点旋转 边三角形 ③连接OA,OA平分∠EOF ①△ABE≌△ADC: 两等腰直角三角形 如图，△ADB与△ACE都是等 ②BE=CD,BE⊥CD: 共顶点旋转 腰直角三角形 ③连接OA.OA平分∠BOC D ①△ABD≌△AFC; 两正多边形 如图，四边形ABEF与四边形 H ②BD=FC,BD⊥FC: 共顶点旋转 ACHD都是正方形 ③连接OA,OA平分∠BOC L.©如图1所示，点B,C,E是同一直线上的2.【变式练习】如图，在四边形ABCD中，∠ABC= 三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是 ∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转 正方形，连接BG,DE. 一定角度后，点B的对应点恰好与点A重 (1)探究BG与DE之间的数量关系，并证明 合，得到△ACE. 你的结论： (1)请求出旋转角的度数； (2)当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针旋 (2)请判断AE与BD的位置关系，并说明 转到如图2所示的位置时，线段BG和ED 理由； 有何关系？写出结论并证明 (3)若AD=2,CD=3,试求出四边形ABCD 的对角线BD的长 图1 图2 82 RJSX 中考热点2“半角”模型 类型 条件 图形 结论 如图，在正方形ABCD中，∠EAF= 正方形 ①△AEF≌△AEG: 45°，绕点A顺时针旋转△ABF到 含半角 ②EF=EG=BF+DE △ADG,使AB和AD重合 G D 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 等腰直角三角形 ①△AEF≌△AED: ∠DAE=45°，绕点A逆时针旋转 含半角 ②EF=DE,CF=BD △ABD到△ACF,使AB和AC重合 如图，△ABC是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以点 等边三角形 ①△DEF≌△DGF; D为顶点作一个60°角，分别交AB, 含半角 ②EF=FG=BE+CF AC于点E,F,绕点D顺时针旋转 △DBE到△DCG,使DB和DC重合 3.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，4.【变式练习】如图，在Rt△ABC中，AB=AC, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 D,E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将 CB,DC(或它们的延长线)于点M,N △ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到 (1)当∠MAN绕点A旋转到如图1所示的 △AFB,连接EF.下列结论： 位置时，求证：BM+DN=MN; ①∠EAF=45°：②BF=CD: (2)当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的 ③EA平分∠CEF:④BE+DC2=DE2 位置时，线段BM,DN和MWN之间又有 其中正确的是 怎样的数量关系呢？请直接写出你的 猜想.（不需要证明） B E 5.【变式练习】如图，△ABC是边长为3的等边 三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC= 图1 120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边 分别交AB于点M,交AC于点N,连接MW, 则△AMW的周长为 B M 图2 RJSX 83第3课 图形的旋转作图 新课学习 1.@如图，△ABC是等腰直角三角形，画出以点A2.如图，画出以点C为旋转中心，将Rt△ABC 为旋转中心，顺时针旋转90°后的图形△AB'C”. 逆时针旋转90°的图形 3.如图，画出以点C为旋转中心，把Rt△ABC4.如图，(1)画出点A绕着点0顺时针旋转90° 旋转180的图形. 后得到的点A1;(2)画出点B绕着点0逆时 针旋转90°后得到的点B1 知识点1旋转中心是三角形的顶点 5.如图，把△ABC绕点B顺时针旋转90°得6.如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 到△A,BC1,画出图形 △ABC1,画出图形. 知识点2旋转中心在三角形外部 ! 知识点3旋转中心在三角形内部 7.如图，把△ABC绕点0逆时针旋转90得到：8.如图，把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到 △ABC1,画出图形，若点C坐标为(3,1)，写 △ABC,画出图形，若点B坐标为(-3,2)， 出点C,的坐标 写出点B,的坐标 84 RJSX 过关检测 凸县础遭练 9.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出10.如图，在边长为1的正方形组成的网格中建 图形 立直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上， 点A,B,C的坐标分别是点A(1,4),B(3,1), C(4,2).将△ABC绕点0逆时针旋转90°后 得到△A,B,C1,请在图中作出△AB,C 43210 马能打训线 11.(2023·中山三模)如图，在平面直角坐标12.在平面直角坐标系中，点P(2,4)绕点0旋 系中，点A的坐标是(-2,3)，将线段0A绕 转180°后与点P'重合，则点P'的坐标为 点0顺时针旋转90°得到线段OB,则点B 的坐标为 A.(2,3) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3) 21o 2 13.【易错题】如图，在4×4的正方形网格中，14.如图，在平面直角坐标系x0y中，△A'BC △MWP绕某点旋转一定的角度，得到 由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐 △M,N,P,则其旋转中心 标为 一定是 （提示： A.(0,1) 旋转中心在对应点的连 B.(1,-1) 线段的垂直平分线上) C.(0,-1) D.(1,0) 多拓展训线 15.(RU八下P63改编)如图，已知正方形OMNP与正方形ABCD全等，且边长为2，AC与BD交 于点O,正方形OMNP绕点O旋转，OM交AB于点E,OP交BC于点F. (1)求证：△OBF≌△OAE; (2)求证：两正方形重叠部分的面积始终为1. RJSX 85第4课中心对称 知识储备 1.如图，△ABC绕点0旋转180°得到△A'B'C',画出图形 新课学习》 如果一个图形绕着某一点旋转180°后与另一个图形重合， 那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对 称中心（如图）： 知识点1中心对称的概念及性质 2.@如图，△ABC与△A'B'C关于点0中心对3.(1)下列图形中，△A'BC与△ABC成中心 称，则： 对称的是 (1)△ABC △A'B'C'; (2)0A= OB ,0C= 酒封网 (3)AM',BB,CC都经过对称中心点 (2)如图，△AOB与△DOC是成中心对称的两 (4)0是 的 个图形. ①对称中心是 中点. 点A的对称点是 ②0是 的中点； ③△AB0 △DCO. 中心对称的性质： 4.【原创题】如图，线段AB与A'B'成中心对称 (1)中心对称的两个图形 (1)请作图找出对称中心0： (2)对称点的连线都经过 (2)连接AB,BA',则四边形 (3)对称中心是对应点连线的 ABA'B'是 四边形 知识点2画一个图形的中心对称图形 5.④如图，画出△ABC关于点C中心对称的6.如图，画出△ABC关于原点中心对称的图 图形. 形△A'B'C. 86 RJSX 过天检测 凸县础遭练 7.【原创题】如图，点A与点B关于点0中心对8如图，已知线段AB与A'B'关于点0中心对称 称，则下列说法错误的是 (1)作出线段A'B'; A.0为AB中点 (2)AB= ； B.点A,B,0共线 (3)AB与A'B的关系是 C.点A绕0旋转90°与点B重合 (填位置关系 A B D.点A绕0旋转180°与点B重合 与数量关系) 之能力训徐 9.如图： 10.【原创题】如图，△ABC与△DEF关于点O成 (1)画出△ABC关于原点中心对称的图 中心对称 形△ABC1; (1)找出对称中心0； (2)画出△ABC绕点N顺时针旋转90°所得 (2)若BC=3,AC=4,AB=5,则△DEF的周 到的△A2B2C2 长= 还拓展训孩 11.如图，△ABC与△A'B'C是成中心对称的两个12.如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位 图形，则下列说法错误的是 线DE剪开后，在平面上将△BDE绕CB的 A.AB ILA'B 中点D逆时针旋转180°，点E到了点E的 B.△ABC≌△A'B'C 位置，则四边形ACE'E的形 C.∠BAC=∠B'A'C 状是 D.OA =OA'=OB C(B) 13.在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求作图 (1)在图1中，画出一条线段AC,使AC=AB,点C在格点上； (2)在图2中，画出一条线段EF,使EF,AB互相平分，点E,F均在格点上； (3)在图3中，以A,B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上 图1 图2 图3 RJSX 87