2.第二十二章 二次函数（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

微专题3抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系 (一)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c的关系 代数式 作用 代数式符号 图象特征 a>0 开口向上 决定开口方向 a<0 开口向下 c>0 交点在y轴正半轴 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 交点在原点 c<0 交点在y轴负半轴 -6<0a·b>0(a,b同号) -2a 对称轴在y轴左侧 2a 决定对称轴的位置(“左同右异”) b=0 对称轴是y轴 ->0ab<0(a,b异号) 2a 对称轴在y轴右侧 1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴2.【变式练习】如图，抛物线y=ax2+bx+c的对 为直线x=1,与x轴交于(3,0)，下列结论正 称轴为直线x=-1,与x轴交于(-3,0)，(1， 确的有 0),则下列结论错误的是 ①a>0;②c>0;③b>0; ①a<0; ④62-4ac>0:⑤b+2a=0. ②c<0; A ③b<0; ④b2-4ac<0; ⑤b=2a. (二)几种常考的关系式的解题方法 关系式 方法指引 对应点坐标 ①a+b+c 当x=1时，y=a+b+c (1,a+b+c) ②a-b+c 当x=-1时，y= (-1,a-b+c) ③4a+2b+c 当x=2时，y= (2,4a+2b+c) ④4a-2b+c 当x=-2时，y= （-2,4a-2b+c) ⑤abc 根据开口方向、对称轴及与y轴的交点进行判断 ⑥2a-b或2a+b 根据对称轴位置进行判断 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）》 4=b2-4ac b2-4ac>0 与x轴有两个交点 (决定抛物线与x轴的交点个数)》 b2-4ac<0 与x轴没有交点 60 RJSX 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于4.【变式练习】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 （-1,0),（3,0),确定下列各式的符号： 为直线x=-1,且过点(1,0)，顶点位于第二 (1)a 0; 象限，其部分图象如图所示，给出以下判断： (2)c0; ①ac>0,b>0; (3)b 0; ②与x轴的另一个交点为 (4)62-4ac 0； （-3,0): (5)-会 ③62-4ac>0; 0; ④2a-b=0; (6)2a+b 0; ⑤4a-2b+c>0; (7)a+b+c 0；（提示：当x=1, ⑥9a-3b+c=0; y=a+b+c) ⑦9a+3b+c<0; (8)a-b+c 0 ⑧a+b+2c>0; (9)4a+2b+c 0; ⑨c=3a-3b; (10)4a-2b+c 0; 08a+c>0. (11)函数y的最小值= 其中正确的有 (只填 序号) 。中专实战 5.【变式练习】如图，抛物线y=ax2+bx+c的6.【变式练习】二次函数y=ax2+bx+c的图象 对称轴是直线x=1.有如下结论： 如图所示，有如下结论： ①abc>0; ①abc>0;②2a+b=0;③3b-2c<0; ②62-4ac>0; ④am2+bm≥a+b(m为实数). ③8a+c<0; 其中正确的结论有 ( ④5a+b+2c>0. 其中正确的结论有 A.4个 B.3个 012代4 C.2个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D.1个 RJSX 61第13课二次函数的应用(2)一抛物线型问题 新课学习 知识点1求抛物线的最大高度及铅球成绩 1.如图，一个高尔夫球在地面0点被击出，2.如图，铅球在A点被推出，铅球飞行轨迹是 球的飞行路线是抛物线y=+,其 抛物线y=一子+x+3,其中y(m)是飞行 中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞出的水平 高度，x(m)是铅球飞出的水平距离. 距离。 (1)求铅球飞行过程中的最大高度； (1)求球飞行过程中的最大高度； (2)求此次推铅球的成绩. (2)求球飞行过程中的最大水平距离， y/mA x/m /m 知识点2足球、喷泉问题 3.如图，某足球运动员在球门正前方9米处4.(U九上36改编)要建造一个圆形的喷水 将球射向空门，当球飞行的水平距离为6米 池，在水池中央安装一个柱子OP,P处装上 时，球到达最高点A,此时球距地面3米 喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向 (1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式； 上)沿形状相同的抛物线路径落下.如图，已 (2)若球门高2.5米，问能否射中球门？ 知OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平 y/mA 面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米. (1)求这条抛物线的函数关系式； 球m (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出 的水流不落在池外？ OB水平面 64 RJSX 知识点3抛物线形拱桥、隧道问题 5.如图是抛物线形的拱桥，水面AB=4米，6.如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为 拱顶C离水面2米 6米，0M为12米 (1)求抛物线的解析式 (1)求这条抛物线的解析式； (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ (2)若在隧道C,D处装两个路灯，且路灯的 yA 高度为4米，求C,D之间的距离 总结： (1)找抛物线上的点坐标，用待定系数法求解析式； (2)常考：①与x轴、y轴的交点坐标；②求顶点坐标；③已知x求y,已知y求x 过天检测 7.一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最8.【易错题】某篮球运动员在某次投篮中，球的 大高度为4m,跨度为10m.把它截面的图形 运动路线是抛物线y=一+3.5的一部分 放在如图所示的平面直角坐标系中. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式， (如图所示)，若命中篮圈中心，求该运动员 (2)在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度 与篮底的距离， 是多少？ 2.5m0 10m RJSX 65微专题5 二次函数的综合(2) 知识点1二次函数与最短路径问题 1.©如图，抛物线y=x2-4x+3过点B(1,0),2.如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于 C(3,0) A,B两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的对称轴： (1)求点A,B,C的坐标： (2)点P是对称轴上一点，当PA+PC达到 (2)点P是抛物线对称轴！上的一个动点，当 最小值时，求点P的坐标 PA+PC的值最小时，求点P的坐标 yA: 知识点2二次函数与等腰三角形 3.如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交 于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点 4如图，二次函数)=-之-x+4的图象与大 C.设抛物线的对称轴与x轴交于点M,请问 轴交于A,B两点（点A在点B的右侧），与y 在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰 轴交于点C,点A的坐标为(2,0)，点C的坐 三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 标为(0,4).若点M在对称轴上，且△MBC P的坐标；若不存在，请说明理由。 为直角三角形，请求出符合条件的所有点M 的坐标. 68 RJSX 知识点3二次函数与平行四边形 5.④(2023·中山期中)如图，直线CD:y=kx+6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 与抛物线y=子+：-3相交于点 x2-2x-3过A,B,C三点. (1)求点A,B,C的坐标： A(-2,0)与点D,直线CD与y轴相交于 (2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否 点C 存在一点V,使以A,C,M,N四点构成的 (1)求k,b的值及点D的坐标 四边形为平行四边形？若存在，求出点 (2)过点D作DE⊥y轴于点E,P是抛物线上 N的坐标；若不存在，请说明理由； 点A,D间的一个动点，过点P作PM∥CE (3)抛物线上是否存在点P使得∠PCA= 交线段AD于点M,是否存在点P使得四 15?若存在，请直接写出点P的横坐 边形PMEC为平行四边形？若存在，求 标；若不存在，请说明理由， 出点P的坐标；若不存在，说明理由 备用图 方法总结： 解决平行四边形ABCD的问题时可借助公式：x4+xc=xa+xn,yA+yc=ya+yn,则A,B,C,D四 个顶点的横坐标知三而得一，纵坐标也是如此 RJSX 69第2课 二次函数y=ax2的图象与性质 知识储备务 1.用描点法画一次函数y=x+1的图象. 解：(1)列表： (2)描点，连线 /J=x+1 0 -1 (-1,0) 0,1) y=x+1 1 0 新课学习 知识点1画二次函数y=ax2的图象 2@用描点法画二次函数)=2和y=的3.在同一坐标系中画出二次函数y=-和 图象 y=- 的图象 x -2-10 -2-10 1 2 y=d y=-x2 4+4 +… 2 YA 总结： 二次函数y=ax2的图象叫做抛物线， 函数 y=ax2(a>0)(以y=x2为例) y=ax2(a<0)(以y=-x2为例) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最大（小）值 当x= 时，y敬小值= 当x= 时，y鼓大维= 当x>0时，y随x的增大而 当x>0时，y随x的增大而 增减性 当x<0时，y随x的增大而 当x<0时，y随x的增大而 40 RJSX 知识点2二次函数y=a的图象与性质 4.二次函数y=ax2的图象如图所示，则： 5已知抛物线y=-了式，则： (1)a 0; YA (1)开口向 (2)开口向 (3)对称轴是 0 (2)对称轴是 (3)顶点坐标是 (4)顶点坐标是 (5)当x= 时，y的最小值= (4)当x= 时，y的最 值= (6)当x>0时，y随x的增大而 (5)当x 时，y随x的增大而增大 包天检测： 马日础训线 6,抛物线)=22，y=-2,y=共有的性7.已知二次函数y=(a-1),当x>0时，y随x 增大而增大，则实数a的取值范围是（)》 质是 A.a>0B.a>1 C.a≠1 D.a<1 A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最低点 D.y随x的增大而减小 8.当x>0时，y随x增大而减小的函数是( )9.下列各点在抛物线y=2x2上的是 ( A.y=x B.y=2x-2 A.(2,1)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2) C.y=-x2 D.y=x2 马能力训缘 10.已知点(x1,y)与(x2,y2)在抛物线y=-2x 11.【易错题】抛物线y=2x2,当-1≤x≤2时，y 上，若x1<x2<0,则y y2. 的取值范围是 ( A.-2≤y≤8 B.0≤y≤8 C.2≤y≤8 D.0≤y≤2 (还拓最训黛 12.【原创题】如图，抛物线y=ax2的图象经过点A(2,-2), (1)这个函数的解析式为 (2)抛物线上与点A关于y轴对称的点B坐标是 ,△AOB的面积是 (3)抛物线上一点C满足SAc=5。m,求点C的坐标 RJSX 41第4课二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 复习：上下平移 1.抛物线y=x2向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为 新课学习 知识点1画二次函数y=a(x-h)2的图象 2.圆画出二次函数y=x2,y=(x+1)2与y=(x-1)2的图象. … 0 5 y=x2 … 432 y=(x+1)2 4 0 4 y=(x-1)2 4-32-10 3.根据上一题填空： (1)抛物线y=x向 平移 个单位 长度，可得到抛物线y=(x+1)2; 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 (2)抛物线y=x向 平移 个单位 y=(x+1)2 长度，可得到抛物线y=(x-1)2. y=(x-1)2 总结： 抛物线y=ax2 左右平 →抛物线y=a(x-h)2. a决定开口方向 h决定平移的方向 对称轴 顶点坐标 a>0开口向 左+ a<0开口向 右- 知识点2抛物线y=ax2与y=a(x-h)2的关系 4@(1)地物线y=宁向左平移1个单位长度 ,5.(1)抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度， 得到的抛物线解析式为 得到的抛物线解析式为 (2)抛物线y=2x2向右平移3个单位长度， (2)抛物线y=-x2向右平移1个单位长度， 得到的抛物线解析式为 得到的抛物线解析式为 44 RJSX 知识点3二次函数y=a(x-h)2的图象性质 6.已知抛物线y=(x-3)2,则： 7.已知抛物线y=-3(x+4)2,则： (1)开口向 (1)开口向 (2)顶点坐标是 (2)顶点坐标是 (3)对称轴是 (3)对称轴是 (4)当x= 时，y的最小值是 (4)当x= 时，y的最大值是 (5)当x 时，y随x的增大而增大 (5)当x 时，y随x的增大而增大 。过天检测影 凸县础训孩 8.(2023·中山月考)将抛物线y=3x2向右平移9.y=-2(x-1)2的图象大致是 1个单位长度所得的抛物线解析式为( A.y=3(x-1)2 B.y=3(x+1)2 C.y=3x2-1 D.y=3x2+1 色能力训依 10.已知抛物线y=-3(x+1)2,则： 11.对于二次函数y=3(x+2)2,下列说法正确 (1)它的开口向 ； 的是 (2)它的对称轴是 A图象的开口向下 (3)它的顶点坐标为 B.图象的对称轴是直线x=2 (4)当x 时，y随x的增大而增大； C.当x>-2时，y随x的增大而减小 (5)当x= 时，y有最 值，其 D.函数有最小值0 值是 3拓展训练 12.【易错题】抛物线y=5(x-1)2向右平移213.(2023·珠海香洲区月考)若点A(-1,y), 个单位长度，得到的抛物线解析式为 B(2,y2)在抛物线y=-(x+2)2上，则y1, y2的大小关系是 () A.y1>y2B.y1≥y2C.y1<y2D.y1≤y2 14.在平面直角坐标系中，直线y=-x+1与抛1 5.【原创题】抛物线y=ax2+1先向下平移1 物线=-多(x-1)的图象大致是( 个单位长度，再向右平移1个单位长度，所 得抛物线的解析式为 RJSX 45第7课用公式法求y=ax2+bxr+c的顶点坐标及对称轴 知识储备 1.用配方法求抛物线y=2x2+12x-2的顶点坐标. 新课学习 2.求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点 总结： 坐标 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 解：y=ax2+bx+c (1)化为顶点式y=ax+2a 24ac-62 a (2)顶点坐标-2a4a b 4ac-b2 =alx+x+ a (3)对称轴：直线x= b124ac-b2 所以y=ax+2 (4)当x= 时，y的最值为 _4a 所以顶，点坐标为( 知识点1利用对称轴公式求抛物线的对称轴 3.@求抛物线y=-2x2+4x-1的对称轴及顶4.(2023·珠海校级期中)用公式法求抛物线 点坐标 y=3x2-6x+1的顶点坐标. 5.求抛物线y=- +x+1的对称轴及顶点6求抛物线)=宁-2x+3的顶点坐标 坐标 50 RJSX 知识点2已知抛物线的对称轴求参数的值 7.抛物线y=2x2+4mx+m-5的对称轴为8.抛物线y=x2+mx+n的顶点坐标为(1,1)， 直线x=2,求m的值及顶点坐标 则m= ,n= 过天检测》 女县础训练 9.抛物线y=x2-2x的顶点坐标为 10.若函数y=x2-4x+c的最小值是-6，则c= () A.-4 B.6 C.2 D.-2 色能打训缘 11.抛物线y=mx2+4x-2的对称轴为直线x=1,12.二次函数y=-x2+2x+1,当-1≤x≤2 求m的值及顶点坐标. 时，下列说法正确的是 A.有最大值1，有最小值-2 B.有最大值2，有最小值-2 C.有最大值1，有最小值-1 D.有最大值2，有最小值1 3拓展训练 13.【核心素养】如图，二次函数y=(x-1)(x-a)(a为常数)的图象对称轴为直线x=2. (1)求a的值； (2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后的图象所对应的二次函数的表 达式 RJSX 51OA-AC3(cm). OB=√AB-AO (3)能，理由如下： 依题意，得前n行的点数和为 0B=80=2(m). =√10-82=6(m), 2+4+6+…+(2n-4)+(2n- 在△C0OD中，∠COD=90° .AB=√32+2=/13(cm). CD=10m,C0=8-1=7(m), 2)+2n-2[1+2+3+…+ 由勾股定理得 (n-2)+(n-1)+n]=2× “这个菱形的周长为 00=√102-7=5I(m). n(n+1)=n(n+1): 4×￥13=4√13(cm) 2 8.解：设甲种药品成本的年平均下降 .BD=0D-0B=(√5I-6)(m), 令n(n+1)=600 率为x,依题意得 ∴.梯子的底端滑动(5红-6)m 解得n1=24,n2=-25(舍去). 5000(1-x)2=3000. 4.解：设这个凸多边形的边数为x, n=24. 解得x1≈1.775（不合题意，舍 依题意列方程，得，3】=20. 第二十二章二次函数 去)，x2=0.225=22.5%. 2 所以甲种药品成本的年平均下降 整理，得x2-3x-40=0. 第1课二次函数的相关概念 率约为22.5%. 解得x,=8,x=-5(不合题意，舍 L.(1)2.D3.(1)2(2)m≠3 设乙种药品成本的年平均下降率 去 4.-2 为y, 所以这个凸多边形为八边形. 依题意，得6000(1-y)2=3600. 设有18条对角线的多边形的边数 5.解：1)y=2(16-x(0<x<16): 解得y=1.775(不合题意，舍去)， 为n, (2)当x=2时， 3=0.225=22.5%. 则有2(n,3》=18 所以乙种药品成本的年平均下降 2 y=2×2×(16-2)=14. 率约为22.5%. 整理，得n2-3n-36=0. 6.解：(1)y=x(8-x)(0<x<8): 答：甲、乙两种药品成本的年平均 解得n=3±53 (2)当x=2时， 下降率一样大. 2 y=2×(8-2)=12. 9.2.25%(1-x)2=1.98% 因为所得n值不是大于或等于3 7.(1)x≥3(2)x≠±1 核心素养及数学思想 的整数，所以不存在有18条对角 8.(1)x>3(2)x可取任意实数 1.解：设经过x秒后△PCQ的面积是 线的多边形， 9.B10.x>-111.≠-112.2 Rt△ACB面积的一半，则 5.(30-4x)(20-6x)=20×30×4 13.y=20(1+x)2 ⑧-6--× 14.y=(80-x)(60-x) 2 -×6×8. 6.解：(1)由探索可知 15.(1)≠1(2)=1 解得x,=12(不合题意，舍去)， 2×[1+2+3+…+(n-2)+ x2=2. (n-1)+n=n(n+1), 16y= 答：经过2秒△PCQ的面积是 假设能，设三角点阵中前n行的点 17.解：(1)y=(20-2x+1)x Rt△ACB面积的一半. 数的和为300，则有 =-2x2+21x, 2.解：令y=0,得 -2x+3=0 2n(n+1)=300. 由20-2x>0且20-2x+1≤11， 解得x= 3 得5≤x<10: 整理得n2+n-600=0. (2)当y=55时， 4点坐标为子，小 解得m1=24,n2=-25. 55=-2x2+21x, 根据问题中未知数的意义确定 解得x1=5,x1=5.5. 设点P的横坐标为a, n=24. 故答案为5或5.5. :点P在线段AB上（不与点A,B 即三角点阵中前24行的点数的和 第2课二次函数y=ar 重合)， 是300. 点P的纵坐标为 (2)假设能，设三角点阵中前n行 的图象与性质 的点数的和为600，则有 2.解： 2a+30<a< 41014 2n(n+1)=600. 1 1 :矩形面积为1， 2 2 ∴.a(-2a+3)=1 整理，得n2+n-1200=0. 2 整理得2a2-3a+1=0. 因式分解，得(a-1)(2a-1)=0. 解得n,=-1-4801 函数图象如图所示 2 解得a,=1,4=2 m2=-1+4801 2 点P坐标为1,1)或(2,2 ,n1,1均不为整数， ∴假设不成立，即三角点阵中前n 即当点P坐标1，)或(32时， 行的点数的和不能是600. 新题型特训一实验、 3.解： 矩形OCPD的面积为1. 3.解：如图，在△AOB中， 探究与活动 1.(25-2)2.45-83.5+1 4.解：(1)636 函数图象如图所示 (2)不能.理由如下： 依题意，得mn,+山=600. 0 2 ∠A0B=90° 即n2+n-1200=0, AB=10m,A0=8m, △=√480I,不是整数，故三角点 由勾股定理得 阵中前n行的点数和不能是600. 闯盟学温数学九年级全一册RU版7参考答案 总结： 第5课二次函数y=a(x-h)2+ 向上 向下 的图象与性质 (0,0) (0.0) L.(1)y=(x-2)2(2)y=x2-1 y轴 y轴 2.y=(x-2)2-1 00 00 3.解： 增大减小 减小增大 -6 0 2 4.(1)>(2)上(3)y轴 (4)(0.0)(5)00(6)增大 4.(1)y=-x2+2 3 0 -10 3 5.(1)下(2)y轴(3)(0.0) (2)y=-x2-2 函数图象如图所示： (4)0大0(5)<0 向下 y轴 (0.0 6.B7.B8.C9.B10.< -22-1 11.B 向下 y轴 (0.2 2解：0Dy= 总结：上 下x=0 (0,) 1 (2)(-2,-2)4 5.(1)y= 32+1 4.(1)右2下1 (2) (3):Sac=25a40e, (2)y=-3x2-2 6.(1)y=4x2-1(2)下4 向上x=2(2,-1)2小-1 >2 ∴.Sac=2. 设以AB为底的△ABC的高为h, 7.向上y轴0.-3)0小-3增大 总结：上下 AB=42×4h=2 向下y轴(0,1)0大1 增大 方法提示：hkx=h 5.(1)y=-3(x-3)2+2 解得h=L. 8.A9.B10.C11.上 <0 12.下313.C14.D (2)y=-3(x-9)2-5 当y=-2-1=-3时，-3= 第4课二次函数y=a(x-h)2的 6.(1)右3下2 -之，解得=士6这时点C (2)左2下3 图象与性质 7.(1)向下(2)(1,3) 的坐标为(6，-3)或(-6，-3). I.y=x2+l (3)直线x=1(4)1大3 当y=-2+1=-1时， 2.解： (5)<1 -1-解得=±2 8.(1)向上(2)(-2.-1) 9 (3)直线x=-2 这时点C的坐标为(2，-1)或 916 (4)-2小-1(5)增大 (-2,-1) 9.A10.C11.D 综上所述，点C的坐标为 16941014 12.(1)D(2)< (6,-3)或(-6-3)或 13.(1)y>y>y(2)3 函数图象如图所示 14.解：(1) -10123 (2,-1)或(-2，-1). 30-103 e I 第3课二次函数y=ax2+k的 函数图象如图所示 图象与性质 知识储备y=x2+1 1.解： 5 2125 3.(1)左1(2)右1 向上x=-1(-1,0) J234567 30-103 函数图象如图所示： 向上 x=1 (1,0) (2)-1(3)0(4)-18 总结： 第6课用配方法将y=ax2+b:+c 上下x=h(h,0) 化成y=a(x-h)+k的形式 4.(1)y=3(x+1) 162a93(2)?2 (2)y=-(x-1)2 3.解：y=x2+6x+9-1-9 5.(1)y=-2(x+1)2 =(x+3)2-10. (2)y=2(x-3)2 开口向上，顶点坐标为(-3，-10). 2.(1)上1(2)下1 6.(1)上(2)(3.0) 4.解：y=x2-8.x+16+1-16 向上 y轴 (3)直线x=3(4)30(5)>3 (0.0) =(x-4)2-15. 7.(1)下(2)(-4,0) 顶点坐标为(4，-15)， 向上 y轴 (0,1) (3)直线x=-4(4)-40 对称轴为直线x=4. (5)<-4 向上 y轴 5.解：y=x+x+1 (0,-1) 8.A9.D 3.解： 10.(1)下(2)直线x=-1 =+++1- 1 4 -212 (3)(-1.0)(4)<-1 11 3 1 -2 (5)-1大0 =(+x+4)+4 函数图象如图所示： 11.D12.y=5(x-3)213.A 14.D15.y=a(x-1)2 闯盟学温数学九年级全一册RJ版8参考答案 顶点坐标为-子，) 总结： y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 3)- b ④ 4ac-b2 ∴抛物线向下平移3个单位长度 6.解：y=x2-3x+2 4a 后经过原点 9 =-3x+4+2- 9 3.解：a=-2,b=4,c=-1. ∴.平移后图象所对应的二次函数 4 4 2a2×-2)=1, 的表达式为y=x2-4x. 第8课二次函数与一元 4ac-2 二次方程的关系(1) 顶点坐标为号) 4a -4x-2x()-4= 1.(1)解：与x轴交点坐标为(-1,0) 7.解：y=-2(x2-6x+9-9)-10 4×(-2) (3,0),与y轴交点坐标为(0，-3). 对称轴为直线x=1,顶点坐标 ①D>2有2个不相等的③2 =-2(x2-6x+9)+(-2) (2)解：与x轴交点坐标为(3,0)， ×(-9)-10 为(1,1) 与y轴交点坐标为(0,9) =-2(x-3)2+8. 4.解：a=3,b=-6,c=1, 4ac-6_12-36 ①=②有2个相等的③1 -2<0, =1, 2a ∴当x=3时，函数有最大值，且最 4a 12 (3)解：与x轴无交点，与y轴交点 -2. 坐标为(0,3). 大值为8 .顶点坐标为(1，-2). ①< ②2无③0 8解=+3+1 5.解：a=- b=1c-1 总结： (1) 不相等 2 3 、 (x-2+1-1)+1 b 两个相等 2a =- 2(2-2x+10+ 2× 31-3 -2 无 0 3 4×-2)x1- (2)mn (3)10 C （-×(-+1 4ac-b2 > 2.解：4=-4ac=(-4)2-4×1× Aa 6 -+ 4×(-2 3=4>0. ∴抛物线与x轴的交点个数为 2个. ∴顶点坐标为1，) “对称轴为直线x=3,顶点坐标 3.B 9.B10.C 11.(2,1) 为3) 4.解：4=b2-4ac=22-4×1×(m- 1)=8-4m. 12.解：y=- 6.解：0=- 26=-2,c=3. 依题意，得8-4m>0. 解得m<2 +1 1 b -2 5.解：4=b2-4ac=22-4×1×m 2” -2, 2a =4-4m. 1 之将抛物线y=-2先向左平 依题意，得4-4m≥0， I 4×-2)×3-(-2) 解得m≤1. 移1个单位长度，再向下平移号 4ac-b2 6.x1=-1,x2=27.(0,0),(1,0) Aa 8.(1,0)9.310.x1=2=-3 个单位长度，就可得到二次函数 11.k≤2且k≠0 =---1的图象 =5. 12.(1)证明：令y=0, ∴.顶点坐标为(-2,5). 则x2-(m+2)x+2m-1=0, 13.解：(1)直线x=1(1,3) 7.解：a=2,b=4m,c=m-5. ∴4=[-(m+2)]2-4(2m-1) (2) -10123 依题意，得-品 4m 2×2=2. =(m-2)2+4≥4. .4>0. -1232- 解得m=-2. “.方程总有两个不相等的实 函数图象如图所示。 ∴.b=4×(-2)=-8 数根. c=-2-5=-7. :4c-b_4x2x(-7)-(-8 ∴不论m取何值，该函数图象与 x轴总有两个公共点， 4a 4×2 (2)解：函数的图象与y轴交于 =-15 点(0,3)， ∴顶点坐标为(2，-15). .2m-1=3,解得m=2. 8.-229.(1,-1)10.D ∴.抛物线的解析式为 (3),a=-1<0, 11.解：a=m,b=4,c=-2, y=x-4x+3. 对称轴为x=1, b 4 ∴当x>1时，y随x的增大而 一2m .-2a =1. y=x2-4x+3=(x-2)2-1. 减小 当y=0时，(x-2)2-1=0, m=-2..a=-2. .当x1>x2>1时，y<2 x1=3,x2=1. 14.D15.-3 4ac-B_4×(-2)×(-2)-④ “.该函数的图象与x轴的交点坐 4a 4×(-2) 标为(3,0)或(1,0) 第7课用公式法求y=ax+br+c =0. 13.(1)证明： 的顶点坐标及对称轴 顶点坐标为(1,0) 4=(-2m)2-4×1×(m2+3) 12.B 1.解：y=2(x2+6.x)-2 =4m2-4m2-12 13.解：(1)y=(x-1)(x-a) =-12<0, =2(x+6.x+9-9)-2 =x2-(a+1)x+a, .方程x2-2mx+m2+3=0没有 =2(x2+6.x+9)-2×9-2 又：对称轴为直线x=2, 实数解， =2(x+3)2-20. :0=2.解得a=3: 即不论m为何值，该函数的图象 ∴顶点坐标为(-3，-20) 2 与x轴没有公共点； 2((】 b 4ac-b2 (2).a=3 (2)解：y=x2-2mx+m2+3 2a 4a .二次函数的表达式为 =(x-m)2+3, 闯盟学数学九年级全一册RJ版9参考答案 把函数y=(x-m)2+3的图象沿 当y=0时，-x2+2x=0, 4ac-b_4×(-1)×0-4 y轴向下平移3个单位长度后， 解得x1=0,x2=2. 4a =4 4×(-1) 得到函数y=(x-m)的图象， ∴抛物线与x轴的交点坐标为 对称轴为直线x=2,顶点坐标 它的顶点坐标是(m,0), (0,0),(2,0) 为(2.4). 所以，把函数y=x2-2mr+m2+ 如图，当x<0或x>2时，y<0. 10.解：(1)：二次函数y=x2+r+c的 3的图象沿y轴向下平移3个单 图象经过点A(1,-2),B(0,-5), 位长度后，得到的函数的图象与 六66：2，解得化2. 「c=-5, x轴只有一个公共点. 第9课二次函数与一元 该二次函数的表达式为 二次方程的关系(2) y=x2+2x-5=(x+1)2-6. ∴.顶点坐标为(-1，-6). 1.(1)直线x=1(2)-1或3 ∴-x+2x<0的解集为x<0或 (2)当y=-2时， (3)x<-1或x>3 x>2. (4)-1<x<3 第10课用待定系数法求二次 (x+1)2-6=-2, 2.(1)直线x=1 (2)-1或3 (x+1)2=4. 函数解析式（一般式） (3)-1<x<3 解得x=1,3=-3. (4)x<-1或x>3 1.解：将(-1,4)代入y=ax2中，得 如图，当y≤-2时，-3≤x≤1. 注意： 0=4. ∴.所求函数的解析式为y=4x2. 3.解：(1)令y=0,得 2.解：将A(1,0),B(2,5)代入 x2-4x+3=0. y=x+br+c,得 11111 解得x,=1,x2=3. 点A坐标为(1,0)， 942解得2a 5=4+2b+c. B 点B坐标为(3,0). ∴.所求抛物线的解析式为 y=x+2x-3. 11.(2,0) 令x=0,得y=3 点C坐标为(0,3)： 3.解：设这个二次函数的解析式为 12.解：(1)当x=0时，y=3. (2)直线x=2(3)x<1或x>3 y=ax2+bx+c,将(0，-3)，(1,0)， .点A的坐标为(0,3) 1<x<3x>2 (2.5)分别代入，得 y=x2-4x+3 4.解：(1)令y=0 r-3=C, ra=I. =x2-4x+4+3-4 即-x2+6x-5=0, 0=a+b+c, 解得 b=2, =(x-2)2-1. 解得x1=1,x2=5. 5=4a+2b+c. e=-3 ∴点B的坐标为(2，-1)： ∴该抛物线与x轴的交点坐标为 ·这个二次函数的解析式为 (2)如图，连接AB,与x轴交于点 (1,0),(5,0)； y=x2+2x-3. P,即使得PA+PB的值最小， (2)1<x<5(3)直线x=3 4.解：设抛物线的解析式为 (4)x>3 y=ax'+bx +c. 5.(1)-1或4(2)x<-1或x>4 将(0，-1)，(1,0)，(-1,2)分别 (3)-1<x<4 代入，得 6.(1)0或3(2)0<x<3 f-1=e, a=2. (3)x<0或x>3 0=a+b+c,解得 总结：(1)上面函数图象与x轴的 2=a-b+c, c=-1. 设直线AB的解析式为y=x+b. 交点函数图象在x轴下面 ∴.所求抛物线的解析式为 过A(0.3).B(2,-1). (2)等高比y2图象低的 y=2x2-x-1. f3=b, 1b=3. 7.C8.x1=3,63=-1 5.解：由图象知，二次函数过(0,3)， 【-12k+6.解得=-2， 9.直线x=2x≤-1或x≥5 (-1,0),(3,0)三点，设其解析式 .y=-2x+3. 10.(1)直线x=1(2)4 为y=ax+bx+c(a≠0)，将三个 把y=0代人得0=-2x+3, 11.解：(1)令x2=x+6, 点的坐标分别代入，得 解得x=-2,x2=3 r3=c, ra=-1, 解得= 把x=-2代入y=x2得y=4,把 0=a-b+c, 解得{b=2, x=3代人y=x2得y=9 0=9a+3b+c. c=3. 六A与x轴的交点为2.0 ∴.A(-2,4),B(3,9): ∴.所求函数的解析式为 点P的坐标3， (2)把x=0代入y=x+6得 y=-x°+2x+3. y=6. 6.解：由图象知二次函数过(0,0)， 第11课用待定系数法求二次 点C的坐标为(0,6)， (2,0),(1,-1). 函数解析式（顶点式、交点式） ∴.SAg=SAwe+SAE= 10C 设解析式为y=ax2+bx+c(a≠ 0),将三个点的坐标分别代入，得 1.(1)-45(2)hk 2.解：：二次函数图象的顶点坐标为 1x+20C。=2×6×2+ r0=c, ra=1, 0=4a+2b+c,解得{b=-2, A(2,-3). L-1=a+b+c. lc=0. ∴可设该二次函数的解析式为 2×6x3=15: ∴.所求函数的解析式为y=x-2x y=a(x-2)2-3. (3)点A横坐标为-2，点B横 将点B(3,0)代入，得 7.y=-x2+2x8.19 坐标为3， 9.解：(1)将点A(4,0),B(1,3)代入 0=a(3-2)2-3, ∴.x<-2或x>3时，抛物线在直 解得a=3. y=-x'+bx+e, 线上方， .该二次函数的解析式为 不等式x2-x>6的解集为x< 得8=6解得化6 1c=0. y=3(x-2)2-3. -2或x>3. ∴.该抛物线的解析式为 3.解：由图象知点A的坐标为 12.解：设y=-x2+2x y=-x2+4r; (2,-4),点B坐标为(0,4). 设抛物线的解析式为 .a=-1<0 44 抛物线y=-x2+2x的开口 (2) 2a=2x-10=2, y=a(x-2)2-4. 将B(0,4)代入得 向下. 闯盟学是数学九年级全一册J版10参考答案 4=a(0-2)2-4. 1 高为h2×4h=8, 利润最大，最大利润为2250元 解得a=2. 6.解：(1)依题意，得 ∴抛物线的解析式为 解得h=4. AP=t cm,BQ =2t cm y=2(x-2)2-4 把y=4代入y=-x2-4x,得 .AB =6 cm. 4.解：依题意，设函数的解析式为 x1=x2=-2. .PB=AB-AP=(6-1)(cm). y=a(x+2)2-1. 这时点P的坐标为(-2,4). 在Rt△PBQ中，PB+BQ=PQ, 将点(0,3)代入，得3=4a-1. 把y=-4代入y=-x2-4x,得x 即(6-)2+(21)2=(42)2， 解得a=1. =-2±22. 解得1=2或1= 2 ∴函数的解析式为 y=(x+2)2-1. 这时点P的坐标为(-2+22，- 5.解：依题意，设函数解析式为 4)或(-2-22，-4). y=a(x-3)2+4. 综上所述，满足条件的点P的坐 故当1=号或2时，P0的长度等于 将点(4，-3)代人，得-3=a+4. 标为(-2,4)或(-2+22，-4) 42cm: 或(-2-2√2，-4). (2)由(1)知AP=tcm, 解得a=-7. 这个二次函数的解析式为 BO =2t cm, 微专题3抛物线y=ar2+br+c :当P,Q两点中有一点停止运动 y=-7(x-3)2+4. 与系数a,b,c的关系 时，则另一点也停止运动， 6解：依题意，设函数的解析式为 Y=a(x+3)(x-1). 1.②3④⑤2.①3④ (二)表中填： 82i0.解得0≤1≤5 将点(0，-3)代人，得-3=-3a 解得a=1. a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c Sam=PB·B0=2(6-） 所求函数的解析式为 3.(1)> (2)<(3)<(4)> ·21=-12+61. y=(x+3)(x-1). (5)>(6)=(7)<(8)= 即y=x2+2x-3. (9)<(10)>(11)a+b+c Samw=-f+6t=-(t-3)2+9, 4. ②3④56⑦8⑨ -1<0. 7.解：设抛物线的解析式为 .B6.D Y=a(x-x1）(x-x,) ∴.当1=3时，SABw有最大值，最大 由图象得，该抛物线与x轴交于点 第12课二次函数的应用(1) 值为9， (-1,0),(2,0), 最值问题 即点P,Q出发3s时，Saw有最大 ∴.y=a(x+1)(x-2), 值，最大面积为9cm2. 又：该抛物线过点(0,1)，将其代 1.10大200 7.解：(1)设y与x之间的函数关系 入，得 2.解：(1)：花周的宽AB为xm, 式为y=x+b(k≠0)，由表可知 1=a×1×(-2)=-2a, .BC=(24-4x）m. ∴.S=x(24-4x) 西三13+么：解得化0 .a=-2 =-4x2+24x(0<x<6). 故y与x之间的函数关系式为y= ∴，该抛物线的解析式为 (2)由(1)得 -2x+60: S=-4x2+24x (2)依题意，得 y=-1 (x+1)(x-2) =-4(x-3)2+36, 0=(x-10)(-2x+60) ,24-4x≤8，∴.x≥4. =-2(x-20)2+200(10≤x≤19) .0<x<6,∴.4≤x<6. -2<0,对称轴为直线x=20, 8.解：(1)依题意，设函数解析式为 :-4<0,对称轴为直线x=3, .当10≤x≤19时，0随x的增大 y=a(x+1)(x-3). ∴当4≤x<6时，S随x的增大而 而增大 ,y=a(x2-2x-3) 减小 ∴.当x=19时，0有最大值， =a(x2-2x+1-4) ∴.当x=4时，S有最大值，最大值 为32. 是大意198. 答：当销售单价为19元时，每天获 =a(x-1)2-4a. 答：当宽AB为4m时，所围成的花 利最大，最大利润是198元. .抛物线的对称轴为x=1； 圃的面积最大，最大面积是32m2. 8.B9.350 (2)·函数的最大值为4， 3.解：(I),AB=xcm 第13课 二次函数的应用(2) .-4a=4. 解得a=-1. BC-20,2r=(10-x)cm 2 抛物线型问题 y=-(x2-2x-3) y=x(10-x)=-x2+10x: 即y=-x2+2x+3. 「x>0. 9.解：(1)将点(0，-3)和(3,0)分别 110-x>0 L.解：(14c- 4 代入y=a(x-1)2+h,得 ∴.0<x<10: 4x [-3=a(0-1)2+, (2)y=-x2+10x =3.2(m). 0=a(3-1)2+h. =-(x-5)2+25 ∴.球飞行过程中的最大高度为32m: 解得份4 当x=5时，y有最大值为25 即当x=5cm时，矩形的面积最 (2)令y=0,得-写+ 5t=0 (2)由(1)知该抛物线的解析式为 大，最大面积为25cm2 解得x1=0,x2=8. y=(x-1)2-4 4.解：设降价x元，利润为y元，则 ∴.球飞行过程中的最大水平距离 ·平移后得到新的抛物线的函数 y=(40-x)(20+2x) 为8m. 解析式为y=(x-2)2-2. =-2(x-15)2+1250 2.解：(1)抛物线的解析式可化为 10.解：(1)将(0,0)，(-4.0)分别代 当x=15时，ymm=1250. 入函数解析式，得 .降价15元时，可获最大利润，最 y=-4(x-2)2+4. 0i6+16解得C=0 f0=c, 大利润为1250元. 当x=2时，y=4. 5.解：设销售单价上涨x元，销售利 ∴.铅球飞行过程中的最大高度为 ∴.该二次函数的解析式为 润为y元，则 4 m; y=-x2-4x y=(5+x)(250-10x) (2)存在. =-10(x-10)2+2250. (2②)当y=0时，-++3=0， OA=4,设△AOP的边OA上的 当x=10时，y=2250. 解得x1=6,x2=-2 即单价为25+10=35元时，销售 ∴.此次推铅球的成绩为6m. 闯盟学是数学九年级全一册RJ版11参考答案 3.解：(1)顶点A的坐标为(6,3) ·所求抛物线的函数关系式为 =24: 设y=a(x-6)2+3. 抛物线经过(0,0)， y=- x-5+4 (2)设m,-7m2+2m+6, .0=a(0-6)2+3. 解得a=-2 1 =+g (2)当x=5+1=6时， x8×-2m+2m+6=24 ∴所求抛物线的解析式为 4 y=--6+3 25x6+ 号6尝（米 -2m+2m+6=6. m2-4m=0或m2-4m-24=0, (2)当x=9时， 桥洞离水面的高是尝米 ∴.m=0(舍去)或m=4或m=2+ y=-b9-62+3=225<25 8.解：当y=3.05时， 2w7或m=2-27. 点P的坐标为(4,6)或(2+ ∴能射中球门. 3.05=-+35, 27,-6)或(2-27，-6 4.解：(1)由图知点P坐标为(0,3)， 解得x=±1.5（负根舍去）. ,1=1.5+2.5=4(m). 6.解：(1)当y=0时， 点A坐标为(1,4). 设y=a(x-1)2+4. 微专题4二次函数的综合(1) 4-2P-10. 将点P坐标(0,3)代入，得 1.32.3 3=a(0-1)2+4.解得a=-1. 解得x,=0,x2=4, 3.解：(1)令y=0, 点A的坐标为(4,0)； ·所求函数关系式为 即x2-2x-3=0, 故答案为(4,0)： y=-(x-1)2+4: .x1=3,x2=-1. (2)SAO =2A0A (2)当y=0时，-(x-1)2+4=0, .A(-1,0).B(3,0). ∴点C到OA的距离为2， 解得x,=-1,x2=3. 抛物线与y轴交于点C, 水池半径至少3米 .C(0,-3) 当y=2时4x-2-1=2 5.解：(1)AB=4米，0C=2米， 又y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·点A坐标为(-2,0)，点B坐标 解得x=2-25:2=2+25. .D(1,-4): 为(2,0)，点C坐标为(0,2). (2)如图，连接OD, 点C的坐标为(2-23,2)或 设抛物线的解析式为 (2+23,2) y=a(x+2)(x-2). 7.解：(1)E(x,-x2+2x+3), 将点C(0,2)代入，得 F(x,-x+3), 2=a(0+2)(0-2). .EF=-x2+2x+3-(-x+3) 解得a=-2 =-x2+3x; (2)EF=-x2+3x :所求抛物线的解析式为 ∴.S动形m=S△Ac+S△D十S△n y=-2(x+2)(x-2) 2×1×3+ 2×3x1 2 -1<0, 1 +2×3×4 当x=了时，EF的最大值为}； (2)当y=-1时.-之字+2=-1 =9 (3)如图，连接AE,EB,作AM⊥ 4.解：(1)设抛物线的解析式为 EF,垂足为M,EN⊥OB交于点N 解得x,=√6，x=-6 y=a(x-2)2 4(x,x-2r3) .水面宽度为26米 将点C(3,1)代入，得 6.解：(1)由图可知点P坐标为(6,6)， 1=a(3-2)2, 点M坐标为(12,0). ∴.a=1, 设抛物线的解析式为 ∴y=(x-2)2=x2-4x+4: y=a(x-6)2+6. (2)当x=0时，y=4, 将点M(12,0)代入，得 ∴点B的坐标为(0,4)： .S△ABE=S△AB+S△sr 0=a(12-6)2+6. (3)如图，过点C作CD⊥x轴于 =球M TEF BN 郁得。：一石 点D. F(AN+BN). ∴所求抛物线的解析式为 y6a-6)+6 AM⊥EF,EF⊥x轴，AO⊥x轴， ∴.四边形AMWO是矩形， .∴.AM=ON. 石+2 1 Sm=EF.(AM+BN) （2)当y=4时，-名+2x=4 Ss边彩ia=Ss形0Bcm-Sa4cm 2EF·(ON+BN = 解得x1=6+23,x2=6-25. ×1+4)x3-7×3-2)x1 CD=6+23-(6-23) =7 .0服 =43(米). 5.解：(1)令y=0, 0B=3, 7.解：(1)由题意可知抛物线过点 即-+2+6=0 1 (10,0),顶点为(5,4). 5am=2x(-r+3)x3 设抛物线的解析式为 .x1=-2,x2=6. y=a(x-5)2+4. .A(-2,0),B(6,0) -r-3对) 将点(10,0)代人，得 :该抛物线与y轴交于点D, 3/ 0=a(10-5)2+4. D(0,6). 解得a=一分 5Sm=74B,00=7×8x6 .当x= 多时.S:有最大值受 阌盟学温数学九年级全一册J版12参考答案 8.解：(1)对于直线y=2-2, 轴I于点P,则此时PA+PC的值 ③当∠BMC=90°时，由勾股定理， 最小， 得BC2=BM2+CM, 令x=0,则y=-2, 即32=9+m2+1+(4-m)2、 C(0,-2). .m=2±7..M(-1,2+7)或 令y=0,则2x-2=0,解得x=4, M(-1,2-7). 综上所述，点M的坐标为(-1,5) .B(4.0). 将点B,C的坐标代入抛物线 或(-1，-3)或(-1,2+7)或 y=+c+e中，得 设直线BC的解析式为 (-1,2-7). y=kx+b(k≠0). 5.解：(1)把点A(-2,0)代人 8+4b+c=0,解得 6=- 点C(0,3),点B(3,0), 2 y=+弓得-2冰+2=0， 1c=-2, c=-2 日+6解得. 3=b, ∴抛物线的解析式为 直线BC的解析式为 解得=子把点4(-2.0)代入 y=2-2 y=-x+3, 当x=1时，y=-1+3=2, (2)如图，过点P作PG∥y轴交 ,当PA+PC的值最小时，点P的 BC于点G, 坐标为(1,2). 得4×(-2°-2b-吾=0， 3.解：：抛物线解析式为 y=-x2-2x+3, 解得6=一子 .其对称轴为直线 则直线CD的解析式为 =子-山 y=+20 ∴.设点P坐标为(-1，a). 抛物线的解析式为 设P,2- 当x=0时，y=3, 21-2 ∴.点C坐标为(0,3)，点M坐标为 (-1,0). 则c,z-2 ①当CP=PM时， 联立①2，解得二。2，（舍去） ly=0 6=7-2- (-1)2+(3-a)2=a2, fx=8, 21*2 2 解得a=号 这时点P坐标为-1，》： 即点D的坐标为8，》： 5a=7×4-+2 1 ②当CM=PM时， (2)存在.设点P的坐标为 =-(1-2)2+4. （-1)2+32=2, -m-》 5 当1=2时，Saor的值最大，最 解得a=±/10. 大值为4 这时点P坐标为(-1，￥10)或 则点M的坐标为m,m+2 3 微专题5二次函数的综合(2) (-1,-10): PM∥CE且四边形PMEC为平 1.解：(1)a=1,b=-4, ③当CM=CP时， 行四边形， 2 b (-1)2+32=(-1)2+(3-a)2, 解得a=6,或a=0(舍去) .PM CE.:'yw -yr =YE-Yc, 即++45- 153 即抛物线的对称轴为x=2: 这时点P坐标为(-1,6) (2)如图，连接AC交对称轴于 综上所述，存在符合条件的点P,其 整理，得(m-2)(m-4)=0, 点P, 坐标为(-1,0)或(-1，-√0) 解得m1=2,m2=4, 或(-1.6)或(-1，) 故点P的坐标为2，-3)或4，-） 4.解：令y=0, 6.解：(1)：抛物线y=x2-2x-3过 即-2-x+4=0,得 A,B,C三点， c(0,-3),令y=0. x1=-4,x2=2. 即x2-2x-3=0, 即使PA+PC的值最小. .B(-4,0),且该二次函数的对 得x1=3,x2=-1. 当x=0时，y=3,∴A(0,3) 称轴为x=-1. ∴.B(-1,0),A(30): 设直线AC的解析式为y=kx+b 设M(-1,m), (2)设M(m,0),N(n,n2-2n-3). (k≠0)，代入A(0,3),C(3,0),得 ·.BM=√/(-1+4)2+m ①当MN为对角线时，有 {6-0.解得伦3. =√9+m, 「m+n=3, CM=+(4-m) 1n2-2n-3=-3, ∴.直线AC的解析式为y=-x+3. 当x=2时，y=-2+3=1. =√1+(4-m), 2或{8（合去） 点P的坐标为(2,1). BC=4+4=42. .N(2,-3); 2.解：(1)：抛物线y=-x2+2x+3 ①当∠MCB=90时，由勾股定理 ②当MC为对角线时，有 与x轴交于A,B两点，与y轴交于 得BM=BC2+CM, 「m=3+n. 点C, 即9+m2=32+1+(4-m)2, 1-3=n2-2n-3, C(0,3),令y=0, ∴.m=5,M(-1,5); 即-x2+2x+3=0, ②当∠CBM=90°时，由勾股定理， 子或9.（舍去 .x1=3,x3=-1. 得CM=BC2+BM, N(2,-3); ∴A(-1,0),B(3,0): 即1+(4-m)2=32+9+m2, ③当MA为对角线时，有 (2)如图，连接BC交抛物线对称) .m=-3,∴.M(-1,-3): 阌盟学温数学九年级全一册RJ版13参考答案 ∫m+3=n, 整理，得(a-2.5)2≤6.25. (3)存在，理由如下： 0=-3+n2-2n-3, .-2.5≤a-2.5≤2.5. 如图1，若点P到AB和AC两边 n=1+7或n=1-万， .0≤a≤5. 的距离相等，则AP是∠BAC的平 1m=万-2,1m=-7-2, .售价m元满足60-5≤m≤60 分线，设AP与y轴相交于点D, +10.即55≤m≤70. 过点D作DE⊥AC于点E, .N(1+7,3)或(1-7,3). ∴.售价应控制在55元至70元 ∴综上所述，N的坐标为(2，-3) 之间 或(1+7,3)或(1-7,3)： 12.解：(1)BC=x,则 (3)存在.点P的横坐标是2+√3 CD=18+2-x=20-x, 或2+3 ∴.y=BC·CD=x(20-x) 如图所示。 =-x+20x(0<x<18) (2)y=-x2+20x(0<x<18), 图1 而-1<0， AP平分∠BAC,AB⊥OD 20 DE⊥AC, 当x=-2×(-1) =10时， .OD=DE,OA =AE=6, y取最大值，最大值为 .0A=6,0C=8. ①当点P在直线AC下方时，由 -10°+20×10=100 .·.AC=/0A2+0C=10 (1)知∠OC4=45° 即当x为10m时，车棚的面积 设OD=m. 又.·∠PCA=15° y最大，最大面积是100m2. ∴.CD=8-m,CE=4 .∠0CP=45°+15°=60° 即直线PC与x轴的夹角为30°， 13.解：1)01=6,0B=号 在Rt△DEC中，由勾股定理，得 4+m2=(8-m)2,解得m=3. 则直线PC的解析式为 A(-6.0.a0 .D(0,-3). ∴.直线AD的解析式为 3t-3 ∴，抛物线的解析式为 ry=x2-2x-3, y=a(x+6)(x-3) 4 y=-2-3. 由 [y= 3x-3, 令--3=+-8 解得x=0(舍去)或x=2+ .-8a=-8,解得a=1. 解得x=-6(合去)或=名， 3 ∴抛物线的解析式为 故点P的横坐标为2+马： y=+号-8 点P的坐标刘名 本章教材母题回归 ②当点P(即P)在直线AC的上 (2)令x=0,则y=-8, 1.y=2x2-4x+2 方时，同理可得点P'的横坐标为 .C(0,-8). ,直线AC的解析式为 2.解：函数图象如下 2+3. 综上所述，点P的横坐标是2+ y=-3-8. 如图，连接AC,过点P作PQ∥y 或2+5. 轴交AC于点Q, 第14课二次函数单元复习 A 1.100(1+x)2 (1)由图象知方程x2-2x-3=0 2.下(1,2)直线x=1 <1 B 的解为x,=-1,x2=3. =1大2 (2)由图象知，顶点坐标为(1，-4)， 3.y=(x-1)2-24.k≤3且k≠0 5.D6.D P 对称轴为直线x=1. (3)由图象知当-1<x<3时，函 7.直线x=-1-3<x<1 数值小于0. 8.x<1或x>39.B10.C 设点P的横坐标为1， 3.解：设这个二次函数为y=a2+bx+ 11.解：(1)设涨价x元，利润为y元， 则P(2+号-8， c(a≠0)，将(0,0)，(-1，-1)， 依题意，得 fc=0. y=(60-40+x)(300-10x) (1,9)代入，得{a-b+c=-1, =-10x2+100x+6000 1a+b+c=9. =-10(x-5)2+6250 0p=--8-(+-8到 fa=4, .当x=5时，y有最大值6250. 解得b=5 设降价a(0≤a≤20)元，利润为 =-2-61. lc=0. 0,依题意，得 1 Sae=2(xe-x)·QP “.这个二次函数的解析式为 w=(60-40-a)(300+20a) y=4x+5x. =-20a+100a+6000 =2×6(-1-6) 1 4.解：由题意可得 =-20(a-2.5)2+6125 BP=AB-AP=12-21,BQ=41, .当x=2.5时，w有最大值 =-312-181. 6125. .0A=6.0C=8, S=P·BQ 2 综上所述，当定价为65元时，利 =12-210)·4 润最大 5ae=01,0= 2 ×6×8 2 (2)当涨价x元时 =24. =-42+241. -10(x-5)2+6250≥6000， .S边卷oCn=S△e+S么e r0≤12-2t≤12 整理，得(x-5)2≤25. =-31-181+24 10≤41≤24. .-5≤x-5≤5.，.0≤x≤10. =-3(1+3)2+51. ,∴，1的取值范围是0≤1≤6 当降价a元时， ∴当t=-3时，四边形AOCP面 5.解：设利润为y,由题意，得 -20(a-2.5)2+6125≥6000， 积的最大值为51. y=(x-30)(100-x) 闯盟学是数学九年级全一册RU版14参考答案 =-x2+130.x-3000 当AC=5,BD=5时.四边形ABCD y取最大值722500. =-(x-65)2+1225 面积最大 此时800+x=850 ∴.当x=65时，函数有最大值1225. 4.解：在Rt△ABC中，∠A=30°， 800+(100-x)=850 答：当定价为65元/件时，利润 AB=12,∠C=90°. ,.积最大的是850×850 最大 6.解：如图，过点A作AE⊥BC于点 Bc=74B=7×12=6, 2.解：如图1所示.设该抛物线表示 的二次函数为y=ax E,则四边形ADCE为矩形 ∠DAE=∠AEB=90°. 2×12=63. ,四边形CDEF是矩形 135 ∴.∠CFE=90°.∴.∠AFE=90 设EF=x,则AE=2x,AF=3x ∴.FC=AC-AF=65-3x 图1 ∠BAE=∠BAD-∠DAE=45 Sa形aEr=EF·CF=x(63-√3x) 设DC=AE=xm. 由于抛物线过点(2，-2)， =-5x2+63x 在Rt△AEB中，∠AEB=90°， 可得0=一2 ∴∠B=45 =-5(x-3)2+93. 故该抛物线表示的二次函数为 ∴AE=BE=xm 当x=3时，S形最大， .AD=CE=(15-2x)m. 此时AE=2x=6 .S彩ABCD AB=12E 当水面下降1m时，水面纵坐标为 =(4D+BC)·CD 点E为AB的中点 即点E为AB的中点时，矩形 -3-3, =2(15-2x+15-x)·x CDEF的面积最大. 解得x=±6，则水面宽26m 5.解：设圆的半径为r +15x ∴.水面下降1m,水面宽度增加 4-2 则r=2 ,Sm=πr2= 4 (26-4)m. 2(x-5)2+ 设矩形边长为a,b, 3.解：任务1：如图2，以D为原点，AB 21 所在直线为x轴建立直角坐标系， 当x=5时，S大= 75 则a=-6-2-么 也就是当CD长为5m时，储料场 S距形=(2-b)b=-b+2b 的面积最大 =-(6-1)2+1. (OD 当b=1时，S最大， 核心素养及数学思想 此时S形=1， B=24.CD=婴？点B的坐标为 1.600 2.解：建立平面直角坐标系，设横轴 4>1…Sa>S6 (12,0),顶点C的坐标为(0,4). x通过AB,纵轴y通过AB中点O 圆的面积大 设抛物线的解析式为y=ax2+4, 且通过点C, 新题型特训—实验、 把点B(12,0)代入，得144a+4= 则通过画图可知O为原点 探究与活动 0,解得a=-36 1.解：(1)D .这条抛物线的函数表达式为 (2)y=(20+x)[20+(10-x)] =(20+x)(30-x) y石+4 =-x2+10x+600 任务2：如图3，过点E作EM⊥FK =-(x-5)2+625 于点M, ,抛物线以y轴为对称轴，且经过 A,B两点， -1<0, ∴.0A=0B=2m, .当x=5时，y取最大值625， 抛物线顶点C坐标为(0,2) 此时20+x=25, 通过以上条件可设抛物线顶点式 20+(10-x)=25 ∴.积最大的是25×25 为y=ax+2. 图3 把(-2,0)代入，得出a=-0.5. (3)设矩形的边长为 .EF EK=1.Tm,FK =3 m, y=-0.5x2+2. (90+x),(100-x)(x=1,2,3,4,5), 则矩形的面积 .FM=1.5m 当y=-1时，-1=-0.5x2+2 S=(90+x)(100-x) ·.EM=√EF-FMf=0.8(m). 解得x=±v6. =-x+10x+9000 依题意，得点E的纵坐标为 .水面宽度增加到2√6m =-(x-5)2+9025. 0.8+1.26=2.06. ·,:当载重最少通过时，游船顶部E 比原先的宽度增加了(2√6-4)m. .-1<0 ∴.当x=5时，S取最大值9025. 与拱桥的竖直距离至少为0.5m, 3.解：设AC=x,四边形ABCD面积为 S,则B=10-x, 故答案为9025. (4)积最大的是850×850，理由 在y=石+4中， =7(10-x)=- +5x 如下： 令y=2.06+0.5=2.56,得 1 设两个乘数的积为y,其中一个乘数 -2<0 的十位上的数与个位上的数组成的 石2+4=256。 数为x,则另一个十位上的数与个位 解得x=7.2或x=-7.2 ∴抛物线开口向下 5 上的数组成的数为(100-x), FG=JK=0.4 m, 当x= =5时， FM=1.5m, 2x(-) ∴.y=(800+x)[800+(100-x)] =-x2+100x+720000 ∴.MG=MJ=1.1m :游船底部Ⅲ在点P,Q之间通行， =-(x-50)2+722500. S最大=- 2 ×52+5×5= 25 -1<0,∴，当x=50时， ∴PQ的最大值为(7.2+1.1)× 2=16.6(m). 阅盟学盒数学九年级全一册RJ版15参考答案第二十二章二次函数 第1课二次函数的相关概念 新课学习》 解析式 举例 一次函数 y=x+b(k,b是常数，k≠0)》 y=3x+4; y=-x 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) y=3x2+4x+1: y=-x2 知识点1二次函数的概念 1.下列是二次函数的是 2.下列一定属于二次函数的是 (1)y=2x2-3x; (2)y=x3+2; A.y=3x-1 (3)y=√民+x-1; Ry时 (4)y=0x2-3x; (5)y=(x-3)2-x2. C.y=ax2+bx+c D.y=3x2+x-1 3.网(1)已知y=x-x-1是二次函数，则实 4.已知y=(m-2)xm1-x-1是二次函数，则 数m= 实数m= (2)已知y=(m-3)x2-x-1是二次函数， 则实数m的取值范围是 + 知识点2列二次函数关系式 5.④一个直角三角形的两直角边的和为6.用一根长16cm的铁丝围成一个矩形，矩形 16cm,其中一直角边为xcm,三角形面积为 面积为ycm2,矩形一边长为xcm y cm2. (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取 (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取 值范围； 值范围； (2)当x=2时，y的值为 (2)当x=2时，y的值为 知识点3求函数自变量的取值范围 7.(1)函数y=√2x-6中自变量x的取值范 8.(1)函数y= 中自变量x的取值范围 围是 √2x-6 (2)函数了中自变量x的取值范圈是 是 (2)函数y=-3x2+3x中自变量x的取值范 围是 38 RJSX 总结： (1)二次函数y=ax2+bx+c,注意a≠0这个条件； (2)会根据实际问题列二次函数关系式； (3)求函数自变量取值范围：(1)分母≠0；(2)二次根号内式子≥0；(3)实际问题中，①边长>0； ②三角形任意两边和>第三边；③靠墙养鸡场中，平行于墙的边≤墙长. 过天检测 女县础训练 9.(2023·珠海校级月考)下列函数中，是二次10.函数y=一2中自变量x的取值范围是 √x+1 函数的是 A.y=-3x+5 B.y=2x2 C.y=(x+1)2-x2 y 马能力训线 11.当k 时，y=(k+1)x2是关于x12.当x=-1时，二次函数y=x2+1的值为 的二次函数， 色拓最训缘 13.某种产品现在的年产量是20吨，若接下来平14.如图，一块草地是长80m、宽60m的矩形， 均每年的增长率都是x,写出两年后这种产品 中间是两条互相垂直的宽为xm的小路，这 的产量y与x之间的关系式 时草坪面积为ym2,则y与x的函数关系式 是 80m 15.【易错题】已知函数y=(m-1)x2+3x-2. 16.已知正方形的对角线长为x,面积为y,则y (1)当m 时，它是二次函数； 与x间的函数关系式为 (2)当m 时，它是一次函数 17.(则九上P57改编)如图，用20m长的木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知矩形菜园的一边 靠墙，墙长MN为11m,其中AD≤MW,BC边上留了一个宽1m的进出口，设AB边长为xm. (1)请写出菜园的面积y(单位：m2)与x(单位：m)的函数关系式及自变量x的取值范围： (2)若矩形菜园ABCD的面积为55m2,则AB= m. M A RJSX 39第10课用待定系数法求二次函数解析式（一般式） 新课宇习务 知识点1已知一个或两个参数求二次函数解析式 1.@已知二次函数y=a2的图象过点(-1,4)，2.已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0), 求这个函数的解析式 B(2,5),求这个抛物线的解析式 知识点2a,b,c未知，求二次函数解析式 3.已知二次函数的图象过三个点(0，-3)，4.(U九上P40改编)某抛物线过点(0，-1)， (1,0),(2,5),求这个二次函数的解析式. (1,0),（-1,2),求该抛物线的解析式. 总结： 已知三点坐标求抛物线解析式的方法： (1)设y=ax2+bx+c(a≠0)；(2)代入三点坐标列出方程组；(3)解出a,b,c,写出解析式. 知识点3根据图象信息求二次函数解析式 5.已知二次函数的图象如图所示，求它的解6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 析式 示，求这个二次函数的解析式 56 RJSX 过天检测 凸县础遭练 7.已知二次函数y与自变量x的部分对应值如8.若抛物线y=ax2过点(-2,4)，(-3，k),则 下表所示： d= ,k= …01 2 …0 1 0 则该二次函数的解析式为 之能力训孩 9.【易错题】已知抛物线y=-x2+bx+c过点 10.(2023·中山校级期中)如图，已知二次函 A(4,0),B(1,3).求： 数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2), (1)该抛物线的解析式； B(0,-5) (2)该抛物线的对称轴和顶点坐标. (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点 坐标； (2)当y≤-2时，请根据图象直接写出x VA 的取值范围。 3拓最训练 11.【原创题】如图，在x轴上，存在一个点P,使12.【核心素养】如图，抛物线y=x2-4x+3与 PA+PB的值最小，则点P的坐标为 y轴交于点A,顶点为B. (1)求A,B两点的坐标； B(4,2) (2)x轴上是否存在一点P,使得PA+PB的 A(L,1） 值最小？若点P存在，求出点P的坐标 -10 34 RJSX 57第12课二次函数的应用(1)一最值问题 知识储备房 1.二次函数y=-2(x-10)2+200,当x= 时，y取得最 值为 新课学习影 知识点1求面积最大值 2.④(2023·广州白云区期中)如图，在一面靠3.有一根长为20©m的铁丝，把它弯成一个如 墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有 图所示的矩形ABCD,其中AB=xcm,矩形面 两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为 积为ycm2. x(m),面积为S(m2) (1)求y与x之间的函数关系式，并求自变 (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写 量x的取值范围： 出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大 (2)若墙的最大可用长度为8m,求所围成的 面积为多少？ 花圃的最大面积 0 知识点2求销售的最大利润 4.某商场在销售中发现，某品牌运动鞋平均5.一种新上市的文具，进价为20元，试销阶段 每天可售出20双，每双盈利40元，如果每双 发现：当销售单价是25元时，每天的销售量 降价1元，那么每天可多售出2双.当降价多 为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售 少元时，可获得最大利润？最大利润是 量就减少10件.求销售单价为多少元时，该 多少？ 文具每天的销售利润最大 62 RJSX 过天检测 (基础训练 之能力训练 6.(2023·珠海金湾区月考)如图，在△ABC7.(2023· 东莞期中)某超市以每件10元的价 中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm,点P从 格购进一种文具，销售时该文具的销售单价 点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度 不低于进价且不高于19元.经过市场调查发 运动，点Q从点B开始沿边BC向点C以 现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单 2cm/s的速度运动，点P,Q分别从点A,B 价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据 同时出发，当P,Q两点中有一点停止运动 如下表所示. 时，另一点也停止运动，设运动的时间为1s 销售单价x/元 12 13 14 (≥0) 每天销售数量y/件 3634 32 (1)当t为何值时，PQ的长度等于42cm: (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)求出SA0关于t的函数解析式，计算点 (2)设销售这种文具每天获利心（元），当销 P,Q出发几秒时，SAP0有最大值，并求 售单价为多少元时，每天获利最大？最 出这个最大面积 大利润是多少元？ (色拓最训练 8.(2023·东莞校级模拟)飞机着陆后滑行的9.【核心素养】某宾馆有50个房间供游客住 距离s(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的 宿.若每个房间每天的定价为180元，房间会 函数解析式是s=-1.52+60t,那么飞机着 全部住满：当每个房间每天的定价每增加10 陆后滑行多长时间才能停下来 元时，就会有一个房间空闲.另外宾馆需对 A.10sB.20s C.30s D.40s 每个居住房间每天支出20元费用.房价定为 元时，宾馆利润最大 RJSX 63微专题4二次函数的综合(1) 知识储备 1.已知A(-1,0),B(2,0),则AB= 2.已知A(0,4),B(0,1),则AB= 新课学习 知识点1求多边形的面积 3.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点4.如图，抛物线顶点为A(2,0),过点C(3,1), A,B,与y轴交于点C,点D是该抛物线的 与y轴交于点B. 顶点。 (1)求抛物线的解析式； (1)求点A,B,C,D的坐标； (2)求点B的坐标； (2)连接AC,CD,BD,求四边形ACDB的面积 (3)求四边形OACB的面积 B 知识点2由面积关系求点坐标 5.@如图，地物线y=-+2x+6与x轴相6如图，抛物线y=(x-2-1过原点，顶点B 交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 的坐标为(2，-1)，与x轴的另一交点为点A. 交于点D. (1)点A的坐标为 (1)求△ABD的面积； (2)若点C在抛物线上且SAac=2SAo4B,求 (2)点P是抛物线上的一动点（不与点D重 YA 点C的坐标 合)，满足SABP=SAARD,求点P的坐标 方法总结： (1)求多边形的面积时：①求出多边形每个顶点坐标；②用“割补拼凑”转化为规则图形来求解 (2)由面积求点坐标时：①设动点的坐标为(x,y);②三角形的高为y,解出y有两个值，再分类讨论 66 RJSX 知识点3求斜三角形面积的最大值 7.如图，直线y=-x+3与抛物线y=-x2+8.(2023·广州越秀区校级月考)如图，抛物线 2x+3交于点A(0,3),B(3,0). (1)用含x的代数式表示EF的长； y之+c+e与x轴交于A,B两点（点A (2)求EF的最大值； 在点B左边)，与y轴交于点C,直线y=2-2 (3)求△ABE面积的最大值. E(x,-x+2x+3) 经过B,C两点，P是抛物线上一动点，连接 PC.PB. x+3)】 (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线上的点P在BC下方运动时，求 △BCP的面积的最大值， B 方法总结： 求斜三角形面积的最大值时：①表示出斜三角形的面积=？×水平宽×铅垂高，一般水平宽是 一个常数，铅垂高的表示为y高一y低；②求出斜三角形面积的最大值. RJSX 67核心素养及数学思想 1.(R九上P52)[跨学科整合]飞机着陆后滑3.(RU九上P52)[对角线垂直的四边形面积= 行的距离s(单位：m)关于滑行的时间1（单 两对角线积的一半]如图，四边形ABCD的 位：s)的函数解析式是s=60t-1.52,飞机 两条对角线AC,BD互相垂直，AC+BD=10 着陆后滑行 m才能停下来 当AC,BD的长是多少时，四边形ABCD的面 2.(RU九上P51)[建立适当直角坐标系]如图 积最大？ 是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面 宽4m.水面下降1m,水面宽度增加多少？ B 74 RJSX 4.(U九上P52)[特殊直角三角形与四边形的5.(U九上P52改编)分别用4米的线段围成 面积最大值]一块三角形材料如图所示，∠A= 矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？ 30°，∠C=90°，AB=12.用这块材料剪出一个 矩形CDEF,其中，点D,E,F分别在BC,AB, AC上.要使剪出的矩形CDEF的面积最大， 点E应选在何处？ RJSX 75第6课用配方法将y=ar2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式 知识储备器 1.完全平方公式：a2±2ab+b2=(a± )2 2.填空： (1)x2+6x+ =(x+)2; (2)x2-3x+ =(x- 新课学习》 类型1a=1,b为偶数 3.用配方法将抛物线y=x2+6x-1化成顶4.用配方法将抛物线y=x2-8x+1化成y= 点式并写出开口方向和顶点坐标 a(x-h)2+的形式，并写出顶点坐标和对 称轴. 类型2a=1,b为奇数 5.@求抛物线y=x2+x+1的顶点坐标 6.求抛物线y=x2-3x+2的顶点坐标 类型3a≠1 7.0求二次函数)=-2+2：-10的最8求抛物线y=-+3+1的顶点坐标 大值 48 RJSX 过天检测 火基础训练 9.将抛物线y=x2-2x化为顶点式y=a(x- 10.对于抛物线y=-x2-2x+2,下列结论正确 h)2+k的形式为 ( ) 的是 A.y=(x-1)2+1 B.y=(x-1)2-1 A.抛物线的开口向上 C.y=(x+1)2+4 D.y=(x-1)2-4 B.对称轴为直线x=1 C.顶点坐标为(-1,3) D.当x>1时，y随x的增大而增大 马能力训缤 11.抛物线y= 22-2x+3的顶点坐标为 .三次函数y=-2-x-1的图象可由抛 1 物线y=-2通过怎样平移得到？ 多拓最训练 13.已知抛物线y=-x2+2x+2. 14.(2023·广州白云区月考)已知点A(-1,少)， (1)该抛物线的对称轴是 B(-2,y2),C(-4,y3）在抛物线y=2x2+ 顶点坐标是 8x-1上，则y1,y2,y3的大小关系是() (2)画出该抛物线的图象： A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 D.y<y<y3 、2 15.【易错题】若二次函数y=x2+mx+5配方 后为y=(x-2)2+k,则m+k= (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2) 的横坐标满足x1>2>1,试比较y1与 2的大小 RJSX 49第11课用待定系数法求二次函数解析式（顶点式、交点式） 知识储备务 1.(1)抛物线y=3(x+4)2+5的顶点坐标是( (2)抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是( 新课学习》 知识点1顶点式y=a(x-h)2+k 2.④(2023·广州越秀区月考)已知二次函数3.抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点. 图象的顶点坐标为A(2,-3),且经过点 求出点A,B的坐标及抛物线的解析式 B(3,0).求该二次函数的解析式 4.@二次函数的图象与y轴交于点(0,3)，对5.已知二次函数的图象过点(4，-3)，并且当 称轴是直线x=-2,函数最小值为-1.求它！ x=3时，y有最大值4，求这个二次函数的解 的解析式 析式 知识点2（选学）交点式y=a(x-x1)(x-x2) 6.网已知二次函数图象与x轴的两个交点的7.【原创题】根据图中条件求抛物线的解析式 坐标为(-3,0)，(1,0)，且与y轴的交点坐标 为(0，-3)，求这个二次函数的解析式。 58 RJSX 总结： 求二次函数解析式的方法选择 般式：y=ax2+bx+c 已知任意三点坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k 已知顶点及另一点 交点式：y=a(x-x1)(x-2) 已知与x轴的两个交点及另一点 过天检测 点县础训练 马能力训练 8.已知抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(3,0)，9.【易错题】已知抛物线y=a(x-1)2+h经 函数的最大值为4. 过点(0，-3)和(3,0). (1)求抛物线的对称轴； (1)求a,h的值； (2)求抛物线的解析式. (2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再 向右平移1个单位长度，得到新的抛物 线，直接写出新的抛物线相应的函数解 析式 色拓最训练 10.【核心素养】如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(-4,0). (1)求此二次函数的解析式 (2)在抛物线上是否存在点P,满足SA4op=8?若存在，求出点P的坐标 RJSX 59第14课 二次函数单元复习 县础练习紧 知识点1列二次函数解析式 知识点2二次函数的图象及性质 1.某企业今年第一个月新产品的研发资金为2.抛物线y=-(x-1)2+2开口向 100万元，以后每月新产品的研发资金与上 顶点坐标为 :对称轴是 月相比增长率都是x,则该企业今年第三个 当x 时，y随x的增大而增大，当 月新产品的研发资金y(万元)关于x的函数 时，y有最 值为 关系式为y= 知识点3二次函数的平移 知识点4二次函数与坐标轴的交点 3.将抛物线y=x2先向下平移2个单位长度，4.若二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有 再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的 交点，则k的取值范围是 解析式是 知识点5二次函数的增减性 知识点6求抛物线的对称轴 5.已知二次函数y=a(x-1)2,当x<1时，y随x的6.二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为 增大而增大，则a的取值范围是 直线 A.a≥0 B.a≤0 A.x=4 B.x=-4 C.a>0 D.a<0 C.x=2 D.x=-2 知识点7求二次函数的自变量取值范围 知识点8二次函数与一次函数值比较大小 7.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则8.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c 其对称轴是 ,当函数值y<0时 都经过点A(1,0)和B(3,2),不等式x2+bx+ 对应x的取值范围是 c>x+m的解集为 知识点9二次函数图象与a,b,c的关系 知识点10二次函数与一元二次方程（求近似解） 9.(2023·广东)如图，抛物线y=ax2+c经过 10.已知二次函数y=aax2+bx+c中x和y的值 正方形OABC的三个顶点A,B,C.点B在 如下表： y轴上，则ac的值为 0.10 0.11 0.12 0.130.14 A.-1 -5.6 -3.1 -15 0.9 1.8 B.-2 则ax2+bx+c=0的一个根的范围是( C.-3 A.0.10<x<0.11 B.0.11<x<0.12 D.-4 C.0.12<x<0.13 D.0.13<x<0.14 70 RJSX 提升练习路 11.某商品现在的售价为每件60元，每星期可12.(2023·珠海香洲区校级期中)如图，某小 卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每 区计划用18m的铁栅栏两面靠墙（墙足够 涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价 长)围成一个矩形车棚ABCD,为了方便存 1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进 车，在边CD(CD>2)上开了一个2m宽的 价为每件40元. 门EF(门不是用铁栅栏做成的)，设边BC (1)如何定价才能使利润最大？ 的长为xm,车棚面积为ym2. (2)为了使每星期利润不少于6000元，应 (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写 如何控制销售价格？ 出自变量x的取值范围。 (2)当x为多少米时，车棚的面积y最大？ 最大面积是多少？ 13.(2023·广州增城区期中)如图，抛物线y=ax2+bx-8与x轴相交于A,B两点，与y轴相交 于点C,OA=6,0B=手，P为x轴下方的抛物线上的一点。 (1)求抛物线的函数表达式 (2)连接AP,CP,求四边形AOCP面积的最大值 (3)是否存在这样的点P,使得点P到AB和AC两边的距离相等？若存在，请求出点P的坐 标：若不存在，请说明理由 RJSX 71本章教材母题回归 1.(RJ九上P41)某种商品的价格是2元，准备3.(RU九上P40)一个二次函数的图象经过 进行两次降价.如果每次降价的百分率都是 (0,0),(-1,-1),（1,9)三点，求这个二次 x,经过两次降价后的价格y(单位：元)随每 函数的解析式。 次降价的百分率x的变化而变化，y与x之 间的函数关系式为 2.(RU九上P47改编)画出函数y=x2-2x-3 的图象，利用图象回答： (1)方程x2-2x-3=0的解是什么？ (2)求顶点坐标和对称轴， (3)x取什么值时，函数值小于0？ 4.(RJ九上P41)如图，在△ABC中，∠B=90°， AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始 沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点 Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的 速度移动.如果P,Q两点分别从A,B两点同 时出发，写出△PBQ的面积S关于出发时间 t的函数解析式及t的取值范围， 72 RJSX 5.(U九上P51)某种商品每件的进价为306.(SK九下P36)如图，利用135的墙角修建一 元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出 个梯形储料场ABCD,并使LC=90°.如果新 (100-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 建墙BCD总长15m,旧墙长度不限，那么怎 样修建才能使储料场的面积最大？ 0 1359 RJSX 73新题型特训一实验、探究与活动 1.(2023·太原杏花岭区校级模拟)阅读与思考 下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务： 二次函数的应用 ×年×月×日 今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数 的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10)，21×29,22×28,23×27，…，27×23， 28×22,29×21. 请你先猜想，积最大的是 ,并说明理由 猜想：积最大的是25×25.理由如下： 设两个乘数的积为y,其中一个乘数的个位上的数为x,则另一个乘数个位上的数为 (10-x),依题意，得y=(20+x)[20+(10-x)]=(20+x)(30-x),… 任务： (1)上面日记中的分析过程主要运用的数学思想是 A.数形结合 B.统计思想 C.分类讨论 D.函数思想 (2)请补全小牛的日记中的解题过程； (3)【模型应用】有一组边长分别为91,99：92,98；93,97：94,96：95,95的矩形，它们中最大的 面积是 ； (4)下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数 组成的数的和等于100)，801×899,802×898,803×897，…，897×803,898×802,899× 801.用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由. 76 RJSX 2.(RJ九上P51)【数学探究一抛物线形拱桥】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水 面宽4m.水面下降1m,水面宽度增加多少？ 4m 3.(2023·舟山定海区期中)根据以下素材，探索完成任务 如何设计警戒线之间的宽度 素材1 D 图1 图2 图3 图1为某公园的抛物线形拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24m,拱顶离水 面的距离为CD=4m 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为 素材2 矩形，船顶为等腰三角形.测得相关数据如下：EF=EK=1.7m,FK=3m,GH=J=1.26m, FG=JK=0.4 m 为确保安全，拟在石拱桥下面的点P,Q两处设置航行警戒线，要求如下： 素材3 ①游船底部HⅢ在点P,Q之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5m 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式 任务2 设计警戒线之间的宽度 求PQ的最大值 RJSX 77第3课二次函数y=ax2+k的图象与性质 塔知识储备 直线y=x向上平移1个单位长度可以得到直线y=x+1. 猜想：抛物线y=x2向上平移1个单位长度可以得到的抛物线解析式为 新课学习多 知识点1画二次函数y=ax2+k的图象 1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象. 1 … -2 -1 0 2 y=x2 4 1 0 y=x2+1 y=x2-1 -3-20】23 2.观察上一题图象填空： (1)抛物线y=x2向 平移 个单位 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 长度可得到抛物线y=x2+1; y=x2 (2)抛物线y=x2向 平移 个单位 y=x2+1 y=x2-1 长度可得到抛物线y=x2-1. 3.在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=-x2+2的图象. y=-x2 y=-x2+2 4.观察上一题图象填空： (1)抛物线y=-x2向上平移2个单位长度，得 到的抛物线解析式为 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 (2)抛物线y=-x2向下平移2个单位长度，得 y=-x2 到的抛物线解析式为 y=-x2+2 42 RJSX 总结：抛物线y=ax2 上下平移 抛物线y=ax2+k. a决定开口方向 k决定平移的方向 对称轴 顶点坐标 a>0开口向 上+ a<0 开口向 下一 知识点2抛物线y=a2+与y=a的平移关系 5.④填空： 6.填空： (1)抛物线y=子向上平移1个单位长度， (1)抛物线y=4x2向下平移1个单位长度， 得到的抛物线解析式为 得到的抛物线解析式为 (2)抛物线y=-x2向 平移个单 (2)抛物线y=-3x2向下平移2个单位长度， 得到的抛物线解析式为 位长度得到抛物线y=-x2-4. 知识点3二次函数y=ax2+k的图象性质 7.填表： 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大（小）值 增减性 y-2x2-3 当x=时，y有最值为 当x>0时，y随x的增大而 y=-22+1 当x= 时，y有最 值为 当x<0时，y随x的增大而 过天检测 女是锦训练 8.(2023·东莞期中)将抛物线y=x2向上平移29.抛物线y=-x2+3的顶点在 个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ) A.x轴上 B.y轴上 A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.第一象限 D.第二象限 C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2 10.二次函数y=2x2+3的最小值是 )11.抛物线y= 3-1的开口向 A.1 B.-1 C.3 D.-3 当x 时，y随x的增大而减小 马能力训练 12.【易错题】抛物线y=x2+2向」 平移13.抛物线y=-x2,y=-3x2+1,y=2x2-3共 个单位长度得到抛物线y=x2-1. 有的性质是 () A.开口向上 B.都有最高点 C.对称轴是y轴D.y随x的增大而减小 (③拓层训缩 14.【核心素养】在同一坐标系中，画出直线y=ax+b与抛物线y=bx2+a,图象可能是 RJSX 43第5课二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 知识储备务 1.(1)抛物线y=x2向右平移2个单位长度，得2.猜想： 到的抛物线解析式为 抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再 (2)抛物线y=x2向下平移1个单位长度，得 向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析 到的抛物线解析式为 式为 新课学习器 知识点1画二次函数y=a(x-h)2+k的图象 3.0画出二次函数y=(x-2)2-1的图象. y=(x-2)2-1 4.根据上一题填空： (1)抛物线y=x2先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，可得 到抛物线y=(x-2)2-1. (2)抛物线y=(x-2)2-1的图象性质： 开口方向对称轴 顶点坐标 最值 增减性 当x= 时，y有最 值为 当x 时，y随x的增大而增大 总结：抛物线y=ax2 左右平移 上下平移 y=a(x-h)2+k. a决定开口方向 h决定左右平移方向 k决定上下平移方向 平移规律 a>0开口向 左+ 上+ 左+右- a<0开口向 右 下- 上+下- 方法提示：①油y=a(x-h)2+k可知顶点为( ),我们称y=a(x-h)2+k为顶点式： ②二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是 知识点2抛物线y=a(x-h)2+k与y=a2的关系 5.填空： 6.填空： (1)抛物线y=-3(x-4)2-1先向左平移1个 (1)函数y=5(x-3)2-2的图象可由函数 单位长度，再向上平移3个单位长度，得到 y=5x2的图象先向 平移 个单位 的抛物线解析式为 长度，再向 平移个单位长度 (2)抛物线y=-3(x-4)2-1先向下平移4个 得到： 单位长度，再向右平移5个单位长度，得到 (2)抛物线y=(x+2)2-3可由抛物线y=x 先向 平移 个单位长度，再向 的抛物线解析式为 平移 个单位长度得到. 46 RJSX 知识点3二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 7.抛物线y=-2(x-1)2+3,则： 8.二次函数y=3(x+2)2-1的图象，则： (1)开口方向： (1)开口方向： (2)顶点坐标： (2)顶点坐标： (3)对称轴： ； (3)对称轴： (4)当x= 时，y有最 值为 (4)当x= 时y有最 值为 (5)当x 时，y随x的增大而增大. (5)当x>-2时，y随x的增大而 过天检测 化县移训缤 9.(2023·广州越秀区校级月考)将抛物线y= 10.（2023·珠海香洲区校级月考)将抛物线 x2向左平移3个单位长度，再向上平移2个 y=x2+1向右平移3个单位长度，再向下平 单位长度，得到的抛物线表达式为（ 移2个单位长度，得到抛物线 ( A.y=(x+3)2+2 B.y=(x+3)2-2 A.y=(x+3)2-1 B.y=(x+3)2+3 C.y=(x-3)2+2 D.y=(x-3)2-2 C.y=(x-3)2-1 D.y=(x-3)2+3 马能力训缘 11.(2023·广州白云区校级月考)对于二次函12.(1)关于二次函数y=2(x-4)2+6,下列说 数y=-4(x+6)2-5的图象，下列说法正 法正确的是 ( 确的是 ( A.有最大值4 B.有最小值4 A.图象与y轴交点的坐标是(0,5) C.有最大值6 D.有最小值6 B.对称轴是直线x=6 (2)已知A(-2,y),B(-3,2)在抛物线y= C.顶点坐标为(-6,5) (x+1)2-3上，则y y2. D.当x<-6时，y随x的增大而增大 多拓最训 13.【易错题】(1)已知二次函数y=3(x-1)2+k14.【原创题】已知二次函数y=(x-1)2-1. 的图象上有三点A(2,),B(3,）,C(-3,), (1)画出函数的图象： 则y,少23的大小关系为 (2)抛物线y=(x+2)2+3上的点到x轴 最短的距离是 11234567 (2)函数的最小值为 (3)当2≤x≤5时，y最小值为 (4)当-2≤x≤2时，y最小值为 最大值为 RJSX 47第8课二次函数与一元二次方程的关系(1) 新课学习 知识点1求抛物线与坐标轴的交点坐标 1.如图，求下列抛物线与x轴、y轴的交点坐标并填空： (1)y=x2-2x-3; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-2x+3. ①A 0; ①4 0; ①A 0; ②x2-2x-3=0 ②x2-6x+9=0 ②x2-2x+3=0 实 实数根； 实数根； 数根； ③y=x2-2x-3与x轴有③y=x2-6x+9与x轴有③y=x2-2x+3与x轴有 个交点 个交点 个交点. 06.0主 总结：二次函数与一元二次方程的关系。 (1) 4=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0(a≠0)》 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)】 4>0 有两个 的实数根 与x轴有 个交点 4=0 有 的实数根 与x轴有 个交点 4<0 实数根 与x轴有 个交点 (2)若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(m,0),(n,0), 则方程ax2+bx+c=0的解为1= ,x2= (3)抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有 个交点( 知识点2计算△确定与x轴的交点个数 2.判断抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点3.下列抛物线与x轴无交点的是 个数 A.y=x2+x-1 B.y=x2+x+1 C.y=x2+x D.y=x2 52 RJSX 知识点3根据抛物线与x轴的交点个数求参数 4.若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有2个5.若抛物线y=x2+2x+m与x轴有交点，求m 交点，求m的取值范围。 的取值范围。 知识点4二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系 6.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为7.若方程ar2+bx=0的根为x1=0,x2=1,则抛物 (-1,0),(2,0),则方程ax2+bx+c=0的解 线y=ax2+bx与x轴的交点为 为 过天检测 马县础调缓 8.抛物线y=x2-2x+1与x轴的交点坐标为9.抛物线y=x2-3x+1与坐标轴的交点有 个 之能力训维 10.二次函数y=ax2+bx+9的图象与x轴交11.【易错题】若抛物线y=-x2+4x-2与x轴 于一个点(-3,0)，则方程ax2+x=-9的 有交点，则k的取值范围为 根为 还拓最训馆 12.(2023·东莞校级月考)已知二次函数y= 13.已知二次函数y=x2-2x+m2+3(m是常数). x2-(m+2)x+2m-1. (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与 (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x x轴没有公共点； 轴总有两个公共点； (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少 (2)若该函数图象与y轴交于点(0,3)，求 个单位长度后，得到的函数图象与x轴 该函数的图象与x轴的交点坐标. 只有一个公共点？ RJSX 53第9课二次函数与一元二次方程的关系(2) 新课学习 知识点1根据二次函数值求自变量x的取值范围 1.抛物线y=x2-2x-3的图象如图所 2.【原创题】抛物线y=-x2+2x+3的图象如 示，则： 图所示，则： (1)对称轴是 (1)对称轴是 (2)当x= 时， (2)当x= 时，y=0; y=0; (3)当 时， (3)当 时，-x2+2x+3>0: y>0; (4)当 时，-x2+2x+3<0. (4)当 时，y<0. 注意：若抛物线与x轴交点为(x1,0)和(x2,0),则对称轴为x= 3.网如图，抛物线y=x2-4x+3的图象与x轴4.已知抛物线y=-x2+6x-5 交于A,B两点，与y轴交于点C (1)求该抛物线与x轴的交点； (1)求点A,B,C的坐标； (2)对称轴是 (2)当 时，y>0; (3)当 时，y>0; （(3)对称轴是 当 时，y<0; (4)当x满足 时，y随x的增大而 当 时，y随x的增大而增大 减小 知识点2二次函数与一次函数值的大小比较 5.如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2= 6.如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+ mx+n交于点A(4,2),B(-1,-3) n交于点A(0,1),B(3,0). (1)当x= 时， (1)当x= 时， y1=y2; y1=y2; (2)当 (2)当 时，y1>y2 时，y1>y2 (3)当 时，ax2+bx+c<mx+n. (3)当 时， ax2 +bx c<mx +n. 54 RJSX 总结： (1)对于抛物线y=ax2+bx+c: (2)对于两个函数y1,2: y>0,是指函数图象在x轴 的 y>2,是指y比y2图象高的部分； 部分； y=2,是指y1与y2图象的 部分； y=0,是指 y1<y2,是指 部分. y<0,是指 的部分。 过天检测 (凸县础训练 之能力训练 7.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则当 8.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如 函数值y<0时，x的取值范围是 图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+ A.x<-1 c=0的解为 B.x>2 C.-1<x<2 D.x<-1或x>2 011 3为 (多拓展训孩 9.【易错题】若点(-1,4)与(5,4)在抛物线10.已知抛物线y=x2-2x+m y=ax2+bx+c上，则该抛物线的对称轴是 (1)该抛物线的对称轴是 ,若a>0,则当y≥4时，x的 (2)若该抛物线与x轴交于点A,B,已知 取值范围是 A(-1,0),则线段AB=一 11.如图，抛物线y=x2与直线y=x+6交于A,12.【原创题】利用图象法解一元二次不等式 B两点 x2-2x-3<0. (1)求A,B两点的坐标； 解：设y=x2-2x-3. (2)求△AOB的面积； 因为a=1>0, (3)直接写出不等式x2-x>6的解集 所以抛物线开口向上 当y=0时，x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以抛物线与x轴交点为(-1,0)，(3,0) 如图，当-1<x<3时，y<0. 所以x2-2x-3<0的解集为-1<x<3. 请模仿上面的方法解不等式-x2+2x<0. RJSX 55