专题05 直线的倾斜角与斜率（八大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题5 直线的倾斜角与斜率 题型1 求直线的倾斜角 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线方向向量的概念及辨析 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 2．（24-25高二下·四川广安·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解． 【详解】由， 所以的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故选：B． 3．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 4．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、直线的倾斜角 【分析】由倾斜角与斜率的关系，利用同角三角函数的商数关系与平方关系即可求得结果. 【详解】，所以又，所以. 故答案为：. 题型2 求直线的斜率 7．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 9．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 10．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 题型3 已知倾斜角或斜率求参数 11．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 12．（24-25高二上·江苏淮安·周考）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】由过两点的斜率公式求解即可. 【详解】解：因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 13．（24-25高二上·江苏·期中）已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，. 故选：B 14．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案. 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 15．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 16．（23-24高二上·江苏连云港·月考）（多选题）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 17．（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可. 【详解】由题意得，即，所以， 故选：BCD． 18．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 19．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 20．经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】由过两点的直线斜率公式求解即可. 【详解】因为经过两点，的直线的斜率等于2， 所以，解得. 故答案为：0. 21．（2023高二上·江苏·月考）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】根据直线的斜率求出可得答案. 【详解】由得 ， 因为，所以， 当即时，直线与轴垂直，倾斜角为，不符合题意， 故，可得直线的斜率， 即，得. 22．（23-24高二上·江苏扬州·周考）经过两点的直线的倾斜角为，则 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知斜率求参数 【分析】根据斜率列方程，由此求得. 【详解】倾斜角为，斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 23．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知斜率求参数 【分析】根据题意，结合斜率公式和斜率的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由直线过点，，可得的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，所以. 故答案为：. 24．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）已知点，则直线的斜率为2，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】依题意，得，所以. 故答案为： 25．（24-25高二上·贵州贵阳·周考）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 26．（23-24高二上·四川·月考）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析． (2) 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、求直线的方向向量 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 题型4 直线与线段的关系求参数范围 27．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 28．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 29．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    30．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 31．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 32．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 题型5 判断两条直线的平行 33．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 34．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由斜率判断两条直线平行 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 35．在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】由两直线的位置关系进行判断． 【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 36．（23-24高二下·浙江·期中）（多选题）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 37．直线，那么与 . 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 38．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 题型6 由两条直线的平行求参数 39．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 40．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行的条件列式求解. 【详解】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 41．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去. 所以，. 故选：D. 42．（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 43．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】利用两条直线平行列式求解. 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 题型7 判断两条直线的垂直 44．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 45．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、直线斜率的定义 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 46．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 47．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 48．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选题）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 49．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 题型8 由两条直线的垂直求参数 50．（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 51．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 52．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 53．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 54．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 55．（23-24高二上·重庆黔江·月考）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况； （2）由两直线垂直的性质计算即可得. 【详解】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或. 56．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 直线的倾斜角与斜率 题型1 求直线的倾斜角 1．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川广安·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为 ． 5．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 6．（24-25高二上·上海·期末）已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为 . 题型2 求直线的斜率 7．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 8．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 题型3 已知倾斜角或斜率求参数 11．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 12．（24-25高二上·江苏淮安·周考）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·江苏·期中）已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 15．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 16．（23-24高二上·江苏连云港·月考）（多选题）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 18．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 19．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 20．经过两点，的直线的斜率等于2，则 . 21．（2023高二上·江苏·月考）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 22．（23-24高二上·江苏扬州·周考）经过两点的直线的倾斜角为，则 故答案为： 23．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线过，两点且倾斜角为，则m的值为 . 24．（23-24高二上·宁夏吴忠·期中）已知点，则直线的斜率为2，则 25．（24-25高二上·贵州贵阳·周考）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 26．（23-24高二上·四川·月考）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 题型4 直线与线段的关系求参数范围 27．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D．   30．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 31．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 32．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 题型5 判断两条直线的平行 33．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 34．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 35．在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 36．（23-24高二下·浙江·期中）（多选题）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 37．直线，那么与 . 38．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 题型6 由两条直线的平行求参数 39．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 40．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 41．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 42．（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 43．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 题型7 判断两条直线的垂直 44．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 45．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 47．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 48．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选题）已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 49．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 题型8 由两条直线的垂直求参数 50．（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 51．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 52．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 53．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 54．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 55．（23-24高二上·重庆黔江·月考）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 56．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$