专题04 空间向量的应用-用空间向量研究距离、夹角问题（七大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题4 空间向量的应用-用空间向量研究距离、夹角问题 题型1 点到平面距离的向量求法 1．（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏·周考）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求得，利用点到面的距离公式可求点到平面的距离. 【详解】因为点，点，所以， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直接坐标系，写出点坐标，利用空间坐标法求点到平面的距离即可. 【详解】 以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ． 则 ，，，， 所以 ，，， 设平面 的法向量为，则 令 ，则 ，，所以平面 的一个法向量为． 所以点 到平面 的距离为， 故选：A 5．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解. 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】因为AB、AC、AD两两垂直，以点A为坐标原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCD的一个法向量为， ， 令，则， 则顶点A到平面BCD的距离， 即顶点A到平面BCD的距离为． 故答案为： 题型2 平行平面距离的向量求法 7．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 8．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 9．（24-25高二上·上海虹口·月考）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 10．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 题型3 点到直线距离的向量求法 11．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 12．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求空间图形上的点的坐标、点到直线距离的向量求法 【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据空间点到线的距离公式计算即可. 【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 14．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间点到直线距离公式进行计算. 【详解】 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以直线的方向向量为，而， 则，在上的投影长为. 所以点B到直线的距离. 故答案为：. 15．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 16．（24-25高二下·重庆·周考）如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为 .    【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，，， 所以，点到直线的距离为. 故答案为：. 题型4 向量法求异面直线的夹角 17．（24-25高一下·浙江台州·期末）在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系结合向量求解异面直线的夹角. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系: 设点 ，，，. 则 为 . 因为在正四棱锥中，所以由图形可知. 因为 是 的中点，所以由，. 得到中点坐标： . 所以 所以 设这两条异面直线夹角为 则 故选：A. 18．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 19．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】思路一：利用几何法求异面直线所成角时，往往结合平行四边形的对边或三角形的中位线寻找平行线，将异面直线转化到同一个三角形中，进而利用正、余弦定理求解；思路二：两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数. 【详解】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 20．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 21．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据，结合向量数量积的运算法则，分别求出和的值，再利用，求解即可． 【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线与所成角为． 故答案为：． 22．（2025·甘肃白银·二模）如图，在平行六面体中，底面四边形ABCD是菱形，，，，则的长为 ，直线与直线所成角的余弦值为 ．（结果用a，b表示） 【答案】 ； . 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】由，应用向量数量积的运算律求模长，根据，，应用向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角. 【详解】由， 则 ， 所以； 由，， 所以， ， ， 所以， 则直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：，. 题型5 向量法求线面角 23．（24-25高二下·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）在平面内，过点作，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论； （2）求出以及平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）在平面内，过点作， 由题知，， 所以， 所以. 因为底面，且在平面内， 所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 设，因为，所以 所以，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，所以，又因为平面. 所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，所以， 设直线与平面所成角为， 又， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 24．（24-25高二下·上海·月考）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以， 因为底面圆， 所以底面圆， 因为底面圆，所以， 因为平画，所以平画， 因为平面，所以平面平面． （2）因为底面圆圆， 所以， 又，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 25．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）应用两次线面平行判定定理可得出平面平面，进而得出平面； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，建系求出平面的法向量，最后应用线面角正弦公式计算求解. 【详解】（1）如图所示，取中点，连接， 因为在矩形中，，是的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 从而，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 设， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以， 故， 又因为， 解得， 又因为是中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 设直线和平面所成角为 故所求为. 26．直三棱柱中，，，点E在棱上，． 若平面平面，点Q是上异于点B的动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）根据空间中线面的位置关系，通过线面平行的性质定理，证明线面平行， （2）根据空间向量求线面角正弦值的方法，建立空间直角坐标系，求出方向向量和法向量，求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）由直三棱柱得， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 如图所示，以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以设，则， 设平面的一个法向量为， 由，即，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 所以． 27．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 28．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 29．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 题型6 向量法求二面角 30．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求平面的法向量、面面角的向量求法 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 31．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 32．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 33．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，根据勾股定理证明和，即可证明线线垂直； （2）根据（1）的结果建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，为轴和轴的正方向，在平面中，作， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 34．（2025·甘肃白银·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合. (1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、面面角的向量求法 【分析】（1）取中点，证明得，及，设，求出，过作于，证明得平面，即为点到平面的距离，进而得到答案； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的法向量求法求解即可． 【详解】（1）由题意可知，，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为二面角为，所以， 所以与均是全等的正三角形，取中点，则， 由平面平面得， 又，平面，因此平面，即， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 设，所以，，所以即， 所以的长为. 过作于，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 即为点到平面的距离，因为，所以， 所以，所以点到平面的距离为. （2）因为，所以， 又平面平面，所以即为二面角的平面角， 所以. 取中点，连接，如图， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，又平面， 所以平面，因为，平面，所以， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 则， 设平面的法向量，则 令，则，所以. 设平面的法向量，又， 所以， 令，则，所以. 所以. 设平面与平面夹角为， 所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 35．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先证，推得在同一直线上，在中，由余弦定理求得，进而可证，利用线线垂直可得平面，进而可证结论； （2）利用余弦定理求得，可证得，结合，得到平面，建系后，求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得． 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，点O为AC中点． 所以，且，故在同一条直线上， 在中，由余弦定理，可得， 又，，故得， 解得，又，，故是等边三角形，则， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）可得，， ，， 在中，由余弦定理可得， 又，，，， 因，则， 又，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）已得，故可知平面， 即是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的正弦值为． 36．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，在，中，运用勾股定理逆定理得到，再结合线面垂直判定定理证明； （2）建系，求出关键点坐标，应用计算求解； （3）求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算即可求出余弦值，最后应用同角三角函数关系求出正弦值. 【详解】（1）设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； （2） 如图，建系，则 ， 设直线与所成角为， （3）设平面的法向量是 ，即，令，解得 设平面的法向量是 ，即令，解得 设平面与平面夹角为 故面与平面夹角正弦值为. 题型7 存在性、探索性问题 37．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)选条件②，证明见解析； (2)存在，或. 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取AB中点O，连接，先假设，则有，进而得到条件②能使，从而选条件②，再由先出垂直判定定理结合线面垂直定义即可得证； （2）以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用求出参数y即可得解. 【详解】（1）取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标. 38．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 39．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答 如图，在五面体中，已知___________，，，且，. (1)求证：平面与平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；. 【难度】0.4 【知识点】空间垂直的转化、空间位置关系的向量证明、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）若选①，取中点，中点，中点，可证得四边形为平行四边形，从而利用勾股定理和平行关系证得，由线面垂直和面面垂直判定得到平面平面，利用面面垂直性质可证得平面； 若选②，取中点，中点，由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面平面，利用面面垂直性质可证得平面； 若选③，取中点，中点，根据长度和平行关系可证得四边形为平行四边形，由此确定，得到，结合可得，从而利用勾股定理和平行关系证得，由线面垂直和面面垂直判定得到平面平面，利用面面垂直性质可证得平面； 三个条件均可说明两两互相垂直，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面垂直的向量证明方法可证得结论； （2）假设存在满足题意的点，利用二面角的向量求法可构造方程求得，由此可确定点位置，得到的值. 【详解】（1）若选①，取中点，中点，中点，连接， ，，四边形为平行四边形，， ，又，，，， 又，，又，，平面， 平面，平面，平面平面， ，，又平面，平面平面， 平面，又，，； 若选②，，，，平面， 平面，平面，平面平面， 取中点，中点，连接， ，，又平面，平面平面， 平面，又，，； 若选③，取中点，中点，连接， ，，又，； 分别为中点，，又，， 四边形为平行四边形，； ，，，，， ，，， ，又，， 又，，平面， 平面，平面，平面平面， 又，平面，平面平面， 平面，又，，； 综上所述：两两互相垂直， 则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ，即，平面与平面. （2）设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于， 由（1）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，， ； ， 化简可得：，解得：或（舍）， ，，； 综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于. 40．如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、空间线段点的存在性问题 【解析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）由，知，所以可得出，因此，等价于，继而得出的值. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以. 因为是菱形，所以.因为，所以是正三角形， 所以，而，所以平面. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由，知. 所以，， . 因此，等价于，所以，. 即存在满足的点，使得，此时. 【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题. 41．（2024·湖南常德·模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2. （1）证明：； （2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【难度】0.4 【知识点】证明异面直线垂直、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）由AB//CD推出CD//平面PAB，利用线面平行的性质可推出CD//EF，又CD⊥AD则； （2）由面面垂直的性质证明PO⊥平面ABCD，即可根据四棱锥的体积及勾股定理求出PO，AD，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法利用的余弦值列出方程即可求得. 【详解】（1）证明：由题意得，AB//CD， 又AB⊂平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB. 又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF， ∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD. （2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD， ∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4， 又PO2+=4，∴PO=，AD=2. 取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)， ∴=(，2，－)， =(0，－2，0). 假设存在点G，设， ∴，则， ∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))， 设平面GCD的法向量为， ，可取， 又平面的一个法向量，二面角G－CD－B为锐角， ∴，解得λ=或λ=3（舍）. 存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为，此时. 【点睛】本题考查线面平行的性质、面面平行的性质、空间向量法求二面角的余弦值，属于较难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 空间向量的应用-用空间向量研究距离、夹角问题 题型1 点到平面距离的向量求法 1．（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·周考）若平面的一个法向量为且该平面过点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ，的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 6．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 题型2 平行平面距离的向量求法 7．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·上海虹口·月考）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 10．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 题型3 点到直线距离的向量求法 11．（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知直三棱柱中，，，则点到直线的距离为 . 15．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 16．（24-25高二下·重庆·周考）如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为 .    题型4 向量法求异面直线的夹角 17．（24-25高一下·浙江台州·期末）在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 19．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 21．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 22．（2025·甘肃白银·二模）如图，在平行六面体中，底面四边形ABCD是菱形，，，，则的长为 ，直线与直线所成角的余弦值为 ．（结果用a，b表示） 题型5 向量法求线面角 23．（24-25高二下·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 24．（24-25高二下·上海·月考）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 25．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 26．直三棱柱中，，，点E在棱上，． 若平面平面，点Q是上异于点B的动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 27．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 28．（2022·全国甲卷·高考真题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 29．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型6 向量法求二面角 30．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 31．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 32．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 33．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 34．（2025·甘肃白银·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合. (1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值. 35．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 36．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 题型7 存在性、探索性问题 37．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 38．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 39．在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答 如图，在五面体中，已知___________，，，且，. (1)求证：平面与平面； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 40．如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 41．（2024·湖南常德·模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2. （1）证明：； （2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$