专题03 空间向量的应用-用空间向量研究直线、平面的位置关系（八大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3 空间向量的应用-用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型1 求空间向量的法向量 1．（25-26高二·江苏·月考）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 2．（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、求平面的法向量 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 3．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】要是平面的一个法向量，则要与平面的两不共线的向量垂直，两向量垂直即数量积为零，再根据数量积的运算验证即可. 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 5．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】求平面的法向量 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 6．（24-25高二上·山东·周考）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【难度】0.94 【知识点】求直线的方向向量、直线方向向量的概念及辨析、求平面的法向量、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 题型2 利用空间向量证明线线平行 7．（23-24高三下·湖南衡阳·月考）空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线面平行的性质、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】根据法向量的定义即可求解A，根据向量相等可得平行四边形，进而可得线线平行，进而根据线线平行得线面平行，即可由线面平行的性质求解BCD. 【详解】由于是平面的法向量，且，不在平面内，则//平面，A正确， 对于B，由于,则四边形为平行四边形，故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 则平面,平面,则平面,故B正确， 对于C, 由于,则四边形为平行四边形，,显然矛盾，故C错误， 对于D，由于,由选项B可得，由于四边形为平行四边形， 故,平面平面， 所以平面，平面，且平面平面,故, 由于, 因此,故四边形为矩形， 故选：C    8．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 【答案】②③ 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】应用空间向量研究4个命题，对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可；对于②，研究函数的最值即可；对于③，可研究函数的最值即可；对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故答案为：②③ 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·周考）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.94 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，根据共线即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系即可求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故； （2） 故， 因此，故 10．如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）取基底，根据图形将与用向量表示出来，进而可推出，从而得证； （2）要证明面面平行，首先要证线线平行，由（1）知，只需证明即可，方法同（1），用向量表示出与的线性关系；结合，即可证明结论. 【详解】（1）取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． （2）因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 11．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G．    (1)证明：； (2)证明：面EFDC； (3)求该五面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、空间位置关系的向量证明、证明线面垂直、求组合体的体积 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而由线面平行的性质即可求解， （2）根据线线垂直以及重心的性质，即可由线面垂直的判定求证，或者利用向量法求解坐标，根据向量垂直求解， （3）根据锥体体积以及柱体体积公式即可求解. 【详解】（1）,平面ABEF,平面ABEF 平面ABEF， 又平面平面,平面ABCD． （2）解1：点G为的重心，作EG的延长线交AB于H， 点H为AB中点  又．   四边形AHCD为平行四边形，, 又平面，平面 ,,由于,, 又,平面， 平面，平面, 又, 又，平面， 平面    解2：以D为原点，以DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系, 设, , , 又, ，故，, 又,平面， 平面,    （3）解1：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系, ， ，, ∴五面体的体积， 解2：在中，, 令, 五面体的体积，    12．在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，.    (1)用，，表示，； (2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面. 【答案】(1); (2)证明见详解 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）利用共面向量基本定理即可求证. 【详解】（1）因为E，F分别是OA，AB的中点，所以， 因为F，G分别是AB，BC的中点，所以且， 所以．    （2）证明：因为， ，， 又， 所以，所以E，F，G，H四点共面． 题型3 利用空间向量证明线面平行 13．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 14．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3， ，设， 所以设平面的法向量为， 所以，取，则， ， 由于∥平面，所以，即， 故，所以 所以， 故答案为： 15．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明： (1)E，F，G，H四点共面； (2)平面EFGH． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间共面向量定理的推论及应用、判定空间向量共面、证明线面平行 【分析】（1）要证E，F，G，H四点共面，只需证明向量，，共面，结合向量的线性运算及共面向量定理证明即可； （2）由向量共线结合线面平行的判定定理证明． 【详解】（1）如图，连接EG，BG．    因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋， 由向量共面的充要条件可知，向量，，共面， 又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． （2）因为＝－＝－＝(－)＝， 又E，H，B，D四点不共线，所以EH//BD， 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD//平面EFGH． 16．（24-25高二下·江苏镇江·周考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、判定空间向量共面、空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 17．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． (1)求证：平面； (2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； (3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、面面平行证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，即可证明； （2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果. 【详解】（1）在梯形中，因为，所以翻折后有，且， 因为平面，平面，故平面，同理可得平面， 因为，平面， 所以平面平面，又因为平面，所以平面. （2） 由题意，在梯形中，，，即， 且，所以翻折后有，，且， 所以平面，同理，平面， 由二面角的大小为，得， 过点作的垂线，交直线于，由平面，平面， 所以，且，所以平面， 即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值. （3） 过点作的垂线，交直线于点，分别以为轴 正方向建立空间直角坐标系，则，， 在平面中，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， 在平面中，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 18．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 19．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行 【分析】（1）设与交于点．连接，则可证明四边形为平行四边形，于是，故而平面； （2）以为原点建立空间坐标系，求出，，的坐标，通过计算，得出，，故而平面． 【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示．    因为，且，， 即， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，两平面的交线为，且，所以平面． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，． 所以，，． 所以，， 所以，， 即，． 又，且平面，平面， 所以平面． 20．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】求空间图形上的点的坐标、空间向量平行的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，由线面平行的判定定理可证得平面. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，由不在一条直线上， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 题型4 利用空间向量证明面面平行 21．（24-25高二上·天津蓟州·月考）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 22．（2023·湖北·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．    (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论； （2）假设存在，使得直线平面，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面平面的法向量，则求出的坐标，由可得，此方程组无解，即可得出结论. 【详解】（1）证明：若，则平面、平面为同一个平面， 连接，则M是中点，是中点，    故是的中位线，所以． 因为，所以平面四边形是平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面 同理平面，且平面平面， 所以，平面平面． （2）假设存在，使得直线平面． 以C为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，故． 设是平面的法向量，则， 所以，取，得是平面的一个法向量，        取中点P，中点Q，连接， 则． 于是是二面角的平面角，是二面角的平面角， 是二面角的平面角，于是， 所以，且平面， 故，同理， 所以， 因为， ， 所以． 若直线平面，是平面的一个法向量，则． 即存在，使得，则，此方程组无解， 所以，不存在，使得直线平面． 【点睛】关键点点睛：是否存在，使得直线平面，明确点线面的位置关系，建立空间直角坐标系后，关键点在于确定，并结合三角恒等变换化简，从而结合向量的共线的坐标表示，判断结论. 23．（23-24高二上·全国·周考）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 24．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【详解】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 25．如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 26．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：（1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量积即可证明； （2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明. 【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1). （1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥， 即得令z1=2，则y1=-1， 所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. （2）=(2，0，0). 设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥， 得 令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2). 因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F. 【点睛】本题考查用向量证明线面平行、以及面面平行，属基础题. 题型5 利用空间向量证明线线垂直 27．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 28．（24-25高二上·湖南郴州·月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以， 因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以 所以，，故， 即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，， 故，所以， 在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时， 故，，即，所以不垂直， 则3个直观图中满足的有个，故C正确. 故选：C 29．（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间向量与立体几何综合、面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行 【分析】（1）通过证明垂直平面与平面的交线，利用平面与平面垂直的性质定理来证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证得两直线垂直； （2）建立空间直角坐标系，将垂直关系、线段长度都转化成坐标运算，设，通过解得或，分别代入计算可得结果. 【详解】（1）设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. （2）在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 30．（2025·广东深圳·一模）如图，在三棱锥中，已知． (1)若，求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、求线面角 【分析】（1）取的中点，连接，易证，再通过空间位置的关系的向量表示即证即可； （2）通过等体积法，求得到平面的距离为，即可求解； 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 由 因为，所以, 所以， 又， 所以， 所以； （2） 过点作的垂线，交于点，连接， 因为，又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以， 又， ， 所以为中点，所以， 因为， 由勾股定理可得：, 所以，所以， 所以， ， 设到平面的距离为， 则， ， 解得：， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 31．在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）再正方体中建立空间直角坐标系，由正方体棱长，写出点的坐标，从而得到和的坐标，由坐标得到，从而证明两直线平行； （2）由（1）得点坐标和，坐标，由向量的数量积为0，得到线线垂直. 【详解】（1）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 所以， 所以，所以，所以， 所以. （2）由（1）知，. 所以，所以，即， 所以. 32．（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，. (1)求证：； (2)求线段AO的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量数量积的应用 【分析】（1）利用空间向量数量积计算得证. （2）利用空间向量基本定理，得到，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在三棱柱中，由，，， 得， 则，因此， 所以. （2）三棱柱中，由，得是的中点，由，得， ， 则， . 所以线段的长度为. 33．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 题型6 利用空间向量证明线面垂直 34．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设 ， ， ，根据空间向量的数量积运算可得 ，进而可得 平面 . 【详解】设 ， ， ， 则 为空间所有向量的一个基底，且 ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ，又 ，平面， 平面 . 故选：C 35．如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向量，利用法向量平行可证平面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直. 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 36．（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 37．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点.    (1)求证：平面； (2)若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)四点共面，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的性质以及判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系可求得，即可证明，，，四点共面. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于，    由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 可得，，， 若平面，则，且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面， 即可得，，，四点共面. 38．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且 ．    (1)证明：； (2)若平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用空间向量的线性运算和数量积运算求解即可得结论；或者连结和交于，利用线面关系证得，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证得结论； （2）根据线面垂直可得，由此得平面的充要条件是，根据空间向量的线性运算、数量积运算即可得的长． 【详解】（1）解法一：设， ∴ ∴ 解法二：连结和交于，    ∵四边形是菱形，∴，． 又∵，，∴，  ∴， ∵，∴． 又，平面，∴平面， ∵平面，∴． （2）∵四边形是菱形，∴，又，平面， ∴平面，     ∵平面， ∴ ∴平面的充要条件是 ∵， ∴ ∵， ∴． 所以的长为1． 题型7 利用空间向量证明面面垂直 39．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 40．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、数量积的坐标表示 【分析】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 41．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、线面平行的性质 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 42．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面. 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 43．（2024·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，三棱锥的体积为，平面与平面垂直.    (1)求直线EF到平面的距离； (2)求证：平面⊥平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间垂直的转化、求直线与平面的距离、锥体体积的有关计算 【分析】（1）作，证明到平面的距离即为的长，即得三棱锥的高等于的长，利用三棱锥的体积，即可求得答案； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论. 【详解】（1）在平面内作，垂足为Z，四边形是等腰梯形， 则,故； 因为平面与平面垂直，平面平面， 且平面，故平面， 而，平面,平面，故平面， 则到平面的距离即为的长， 即E点到平面的距离即为的长，即三棱锥的高等于的长， 三棱锥的体积为，且四边形ABCD是边长为1的正方形， 则，则, 即直线EF到平面ABCD的距离为； （2）证明：四边形是等腰梯形，四边形ABCD是边长为1的正方形，， 则, 以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， , 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 则，即， 故平面⊥平面. 题型8 综合问题 44．（2025·北京石景山·一模）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量可判断①②；在平面内作⊥，垂足为点，过点作在平面内作⊥交于，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，截面面积最大，进而判断③. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于①，， 则， 所以，即，故①正确； 对于②，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 要使平面，则， 则，即，不符合题意， 所以不存在点Q，使得平面，故②错误； 对于③，如下图，在平面内作⊥，垂足为点， 过点作在平面内作⊥交于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以⊥， 因为，、平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，为中点，截面面积最大， 此时，，截面面积为，故③对. 故选：C. 45．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 C．存在点，使得 D．面积的最小值是 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，分别是棱的中点，则， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，所以平面， 因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，因为，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，则，B错误；    对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,    设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决. 46．（24-25高二上·北京·期中）如图，是正方形内一动点（不包括边界），平面于，，，，给出下列四个结论: ①四棱锥的体积是定值； ②设平面与平面交于，则； ③四棱锥的表面积既有最小值又有最大值； ④存在点，使得四棱锥的四个侧面两两垂直. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【难度】0.4 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面平行的性质 【分析】根据棱锥体积公式可求得①正确；根据线面平行的性质定理可证得②正确；根据垂直关系可用的长度表示出各个侧面的面积，从而将问题转化为点到点和的距离之和的最值问题，可知③错误；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点，利用向量法可说明不存在，由此知④错误. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，，平面，平面，平面， 平面平面，平面，，②正确； 对于③，取中点，连接， 平面，，，， 又四边形正方形，，，即三点共线； ，，平面，又平面，； 设，则，，， ； 过作，分别交于点， ，，平面，又平面，， 同理可得：； ，， ，又， 四棱锥的表面积； 的几何意义表示点到点和的距离之和， 关于轴对称的点为， ，无最大值， 即四棱锥的表面积有最小值，无最大值，③错误； 对于④，以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，则，，； 若四棱锥的四个侧面两两互相垂直，则平面，平面，平面两两互相垂直， ，方程组无解， 不存在点，使得四棱锥的四个侧面两两互相垂直，④错误. 故答案为：①②. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，求解四棱锥表面积最值的关键是能够将问题转化为关于某一变量的函数最值的求解，进而通过其几何意义进一步转化为“将军饮马”问题的求解. 47．如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面垂直证线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】取中点，连接，，由已知可得，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，可求得结论． 【详解】侧面底面，则点在平面上的射影在直线上， 为直线与底面所成的角， ，三棱柱的各条棱长均为2， 是等边三角形， 取中点，连接，，则， ∵侧面底面，侧面底面，面， 所以面， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则，令，则，， 平面的一个法向量为， 平面平面，∴， ，， ． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：取中点，证明，，两两垂直，是解决本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 空间向量的应用-用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型1 求空间向量的法向量 1．（25-26高二·江苏·月考）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·三模）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 6．（24-25高二上·山东·周考）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 题型2 利用空间向量证明线线平行 7．（23-24高三下·湖南衡阳·月考）空间四边形中 分别为的点（不含端点）.四边形为平面四边形且其法向量为.下列论述错误项为（    ） A．，则//平面 B．，则平面 C．，则四边形为矩形. D．，则四边形为矩形. 8．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·周考）如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明：； (2)证明：； 10．如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 11．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G．    (1)证明：； (2)证明：面EFDC； (3)求该五面体的体积． 12．在正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，.    (1)用，，表示，； (2)用向量方法证明：E，F，G，H四点共面. 题型3 利用空间向量证明线面平行 13．（23-24高二上·山东聊城·期中）如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 14．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 15．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明： (1)E，F，G，H四点共面； (2)平面EFGH． 16．（24-25高二下·江苏镇江·周考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 17．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V． (1)求证：平面； (2)当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值； (3)若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值． 18．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 19．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．求证：    (1)平面； (2)平面． 20．如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面； 题型4 利用空间向量证明面面平行 21．（24-25高二上·天津蓟州·月考）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 22．（2023·湖北·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．    (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（23-24高二上·全国·周考）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 24．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 25．如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 26．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：（1）FC1∥平面ADE； （2）平面ADE∥平面B1C1F. 题型5 利用空间向量证明线线垂直 27．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   28．（24-25高二上·湖南郴州·月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 30．（2025·广东深圳·一模）如图，在三棱锥中，已知． (1)若，求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 31．在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 32．（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，. (1)求证：； (2)求线段AO的长度. 33．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 题型6 利用空间向量证明线面垂直 34．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在平行六面体中，，，则下列直线与平面垂直的是（   ） A．AC B． C． D． 35．如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 36．（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 37．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点.    (1)求证：平面； (2)若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 38．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且 ．    (1)证明：； (2)若平面，求的长． 题型7 利用空间向量证明面面垂直 39．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 40．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 41．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 42．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 43．（2024·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形是等腰梯形，，三棱锥的体积为，平面与平面垂直.    (1)求直线EF到平面的距离； (2)求证：平面⊥平面. 题型8 综合问题 44．（2025·北京石景山·一模）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 45．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 C．存在点，使得 D．面积的最小值是 46．（24-25高二上·北京·期中）如图，是正方形内一动点（不包括边界），平面于，，，，给出下列四个结论: ①四棱锥的体积是定值； ②设平面与平面交于，则； ③四棱锥的表面积既有最小值又有最大值； ④存在点，使得四棱锥的四个侧面两两垂直. 其中所有正确结论的序号是 . 47．如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$