专题02 空间向量的基本定理与坐标表示（十一大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2 空间向量的基本定理与坐标表示 题型1 空间向量基底的概念 1．（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 2．（24-25高二下·上海·周考）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 5．（23-24高二上·四川绵阳·月考）（多选题）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）（多选题）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 题型2 利用空间向量的基底表示向量 8．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 10．（24-25高二下·河南周口·月考）如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 11．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·广东中山·期中）（多选题）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 13．（24-25高二上·河南新乡·期末）（多选题）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型3 利用空间向量的基本定理求参数 14．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 15．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 16．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型4 利用基本定理证明平行、垂直、共线与共面问题 17．（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 18．（23-24高二下·江苏连云港·月考）给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 19．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·安徽亳州·期末）（多选题）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 题型5 利用基本定理解决距离、夹角问题 22．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 23．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 24．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·山东·月考）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 题型6 空间向量的坐标表示 27．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 29．（21-22高二上·福建三明·期末）（多选题）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 30．（24-25高一下·黑龙江大庆·周考）（多选题）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 31．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）（多选题）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 32．（24-25高二下·甘肃白银·期中）（多选题）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型7 空间向量的数量积运算 33．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 36．（2025·福建三明·三模）若正四面体的棱长为，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·上海·阶段练习），，则向量在向量上的投影向量是 ． 38．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知，则向量在向量上的投影向量是 . 题型8 空间向量模长的坐标表示 39．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 40．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 41．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 42．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 43．已知向量，，则 44．（24-25高二下·上海·周考）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 题型9 空间向量平行、共线的坐标表示 45．（24-25高二下·江苏连云港·月考）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 46．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 47．（24-25高二下·上海·周考）向量 且 ，则实数 . 48．（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 . 49．（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 题型10 空间向量垂直的坐标表示 50．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 51．（16-17高二下·江西南昌·期中）设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 52．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知空间向量，，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，若，则 ． 54．已知空间向量，若，则 55．已知空间向量，，若，则 ． 题型11 空间向量夹角的坐标表示 56．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 60．（24-25高二上·山东临沂·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 61．已知，且，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 空间向量的基本定理与坐标表示 题型1 空间向量基底的概念 1．（24-25高二下·福建宁德·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据相等向量，共面向量，基底概念，逐个判断即可. 【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误． 平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确. 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海·周考）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间基底向量的概念与性质即可判断A，B；根据空间四点共面的充要条件及其推论即可判断C，D. 【详解】对于A，若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基，故A正确； 对于B，与不共线，且不能用和表示，即，，不共面，故B正确； 对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若， 因为，可得P，A，B，C四点共面，故C错误； 对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线）， 当时，即，可得，即， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确． 故选：ABD． 5．（23-24高二上·四川绵阳·月考）（多选题）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）（多选题）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 7．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】举反例可得A错误；由共面定理可得B正确；由基底的性质可得C正确；由向量共面的性质可得D正确； 【详解】对A，当时，夹角为平角，故A错误； 对B，由空间向量的基本定理知，因，所以四点共面，故B正确； 对C，因向量组是空间的一个基底，所以三向量不共面，且不为， 假设共面，则，即，矛盾， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对D，由向量共面的性质可得空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故D正确； 故选：BCD. 题型2 利用空间向量的基底表示向量 8．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 9．（24-25高二下·上海奉贤·期末）如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确. 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 10．（24-25高二下·河南周口·月考）如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】利用向量的加减法法则，将转化为以、、表示的形式，再根据已知条件逐步计算. 【详解】因为，所以， 因为点是的中点，所以. 所以， 故选：A. 11．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 12．（24-25高二上·广东中山·期中）（多选题）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得：， 故选：CD. 13．（24-25高二上·河南新乡·期末）（多选题）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D. 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD. 题型3 利用空间向量的基本定理求参数 14．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 15．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 16．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 题型4 利用基本定理证明平行、垂直、共线与共面问题 17．（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量基本定理及其应用 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 18．（23-24高二下·江苏连云港·月考）给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、判定空间向量共面、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量共面定理依次判断即可. 【详解】①：由共面向量定理知，故①正确； ②：共线，则不与共线， 则不存在实数x，y，使，故②错误； ③：共面向量定理知，故③正确； ④：共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，故④错误． 故选：B 19．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 20．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 21．（24-25高二上·安徽亳州·期末）（多选题）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求点面距离、判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】选项A：若点P到点B，，D，的距离相等，则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，计算即可.选项B:长度的最小值为点到平面的距离,计算即可，选项C：若，则点P在上及其内部，长度的最大值为，选项D:若，则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 【详解】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等， 则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上， 分别取，的中点，， 连接，如图（1），则点P在线段上，则，， 所以，故A正确； 图（1） 对于B，若，则点在上及其内部， 如图（2）， 图（2） 则长度的最小值为点到平面的距离， 设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离， 易知为等腰直角三角形，所以，故B正确； 对于C，若，则点P在上及其内部， 如图（3）， 图（3） 则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，， 所以长度的最大值为，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，所以， 则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用向量的几何意义，得到具体的几何关系进行求解是关键，方法点睛：几何与代数的结合求解是关键. 题型5 利用基本定理解决距离、夹角问题 22．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 23．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 24．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 25．（2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 26．（23-24高二上·山东·月考）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【详解】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 题型6 空间向量的坐标表示 27．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的坐标运算计算即可. 【详解】空间向量，则. 故选：D. 28．（23-24高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【详解】 则. 故选：A. 29．（21-22高二上·福建三明·期末）（多选题）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】空间中点的位置及坐标特征、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间两点的中点坐标、空间向量的坐标表示 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 30．（24-25高一下·黑龙江大庆·周考）（多选题）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】A利用求解；B数量积的坐标运算；C求模公式；D根据求解. 【详解】若，则存在使得，即，无解，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由A可知与可构成一组基底，故若，，是共面向量， 则存在使得， 即，解得，故，，是共面向量，D正确. 故选：BCD 31．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）（多选题）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 32．（24-25高二下·甘肃白银·期中）（多选题）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 题型7 空间向量的数量积运算 33．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据数量积和投影向量公式计算即可. 【详解】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 34．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D 35．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 36．（2025·福建三明·三模）若正四面体的棱长为，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据可得出点的轨迹方程，然后设，，，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【详解】将正四面体补成正方体， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 则、、，设点， 则，， 所以， 所以， 化简得， 因为，则， 设，，， 所以 . 故的最大值为. 故选：D. 37．（24-25高二下·上海·阶段练习），，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 38．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】向量在向量上的投影向量为，据此计算即可. 【详解】因为，， 所以， ， 向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 题型8 空间向量模长的坐标表示 39．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 40．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 41．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 42．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 43．已知向量，，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解. 【详解】，， ， . 故答案为：. 44．（24-25高二下·上海·周考）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用空间向量求点的坐标、空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 题型9 空间向量平行、共线的坐标表示 45．（24-25高二下·江苏连云港·月考）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 46．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 47．（24-25高二下·上海·周考）向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 48．（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 49．（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标计算公式列出方程，计算即得. 【详解】向量 ，， ， 与互相平行，， ，解得 故答案为： 题型10 空间向量垂直的坐标表示 50．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值. 【详解】因为，所以，可得， 故选：C. 51．（16-17高二下·江西南昌·期中）设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 52．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知空间向量，，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 又，所以，解得， 故选：D. 53．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，若，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】先计算，由题意可得： ， 所以. 故答案为：4 【点睛】 54．已知空间向量，若，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直列方程，从而求得. 【详解】因为空间向量， 所以， 由于， 所以，解得. 故答案为： 55．已知空间向量，，若，则 ． 【答案】// 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由得，即可得到的值. 【详解】因为，所以，解得． 故答案为：． 题型11 空间向量夹角的坐标表示 56．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 57．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 58．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】求出可判断选项C；根据三点的坐标求出向量的坐标，结合空间向量共线的运算可判断选项B；结合空间向量数量积的坐标表示可判断选项A；结合空间向量夹角的求法可判断选项D. 【详解】对于C，，，， 所以，故C错误； 对于B，因为不存在，使得，所以B错误； 对于A，因为，所以A正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：A. 59．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 60．（24-25高二上·山东临沂·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 61．已知，且，则 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由空间向量夹角公式代入计算即可. 【详解】由题意得，， 整理得且，则. 故答案为：2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$