精品解析：上海市宜川中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

宜川中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为3，圆心角等于的扇形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】因为扇形所在圆的半径为，且圆心角为， 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为. 故答案为：. 2. 直线被圆截得弦长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长. 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算，以及投影向量的概念与计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，可得且， 所以向量在方向上的投影向量为. 故答案为：. 4. 复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，代入方程化简可求得实数的值. 【详解】，由题意可得，解得. 故答案为：. 5. 在中，若，，，则的长为 _______. 【答案】 【解析】 分析】由余弦定理即可求解； 【详解】， 所以, 故答案为： 6. 直线与直线的夹角的大小为________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求得两直线的倾斜角，进而可求得两直线的夹角. 【详解】直线的斜率不存在，故倾斜角为， 直线的斜率为，故倾斜角为， 所以直线与直线的夹角的大小为. 故答案为：. 7. 已知等差数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式得，结合已知及等差数列的性质和通项公式得，即可得. 【详解】由题设， 由，，则， 设数列的公差为，所以， 易得，故， 所以. 故答案为： 8. 直线关于点对称的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由直线关于点对称的直与已知直线平行，则设所求直线方程为，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线， 则有， 解这个方程得或. 结合图形可看出时两直线都在点的同侧，故舍去. 所以对称直线的方程中 【点睛】本题考查直线关于点对称的直线方程，还可以用相关点法求对称的直线方程，属于中档题. 9. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与曲线有两个公共点，作出图形，求出当直线与曲线相切时实数的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】若关于的方程有且只有两个不同的实数根， 则函数的图象与的图象有且只有两个交点， 由得， 所以是以为圆心，2为半径的圆在轴及轴上方的部分， 又因为的图象恒过定点， 故在同一坐标系中作出函数的图象与的图象， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 当过点时，可得，解得， 又函数的图象与的图象有且只有两个交点， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 在数列中，，，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次求出确定周期，进而求出. 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 11. 已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】②④ 【解析】 【分析】写出圆心和半径，应用点线距离公式判断圆心到直线距离与半径大小，即可判断. 【详解】由题设，圆心，半径， 所以到的距离，且， 对任意实数与，直线和圆有公共点，②对； 对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切，④对. 故答案为：②④ 12. 已知复数满足，若复数，（是虚数单位），记 ，则的最小值的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得，在复平面内对应点为，在复平面内对应的点，求得关于直线的对称点的坐标，进而由平面几何知识可得，求得的取值范围即可. 【详解】设，其中，因为， 所以 两边平方： 整理得，所以， 又在复平面内的对应于点， 由可知复数在复平面内对应的点位于以为中心、半径为2的圆内或圆上， 记关于的对称点为， 所以，解得，记， 复数在复平面内对应的点记为， 由平面几何知识可得， 所以的最小值为， 又， 所以， 所以的最小值的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）． 13. “”是“直线与直线平行”的（ ）． A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，两直线方程为，，所以两直线平行. 当直线与直线平行时，， 解得或， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 当时，两直线方程为，，两直线平行， 所以由直线与直线平行，得或. 综上，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：B. 14. 已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（ ）． A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特例及复数的相关性质即可求解. 【详解】对于AD，若， 此时，则，，故AD错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为得， 题目未限定，使用无法推出，故C错误. 故选：B. 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 16. 过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】D 【解析】 【分析】求出切线方程并与曲线联立，根据即可判断A；利用韦达定理即可判断B；利用对数的运算法则化简即可判断C；利用等差数列的前项和公式判断D. 【详解】由题意可知切线方程为， 联立得，， 则，即， 因，则，故A正确； 由韦达定理可得， 得，故B正确； ，故C正确； 因， 则，则，故D错误. 故选：D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题． 17. 已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据共轭复数的概念及复数乘法得，再求复数的模长，确定其最小值. 【详解】设，则，解得， ， 当，即时，的最小值为. 18. 已知，，． （1）为何值时，与垂直？ （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由计算可得； （2）首先求出、，再由夹角公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，解得， 若， 可得， 整理得，解得， 即当时，向量与垂直． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， ， 设向量与的夹角为，则． 即向量与的夹角的余弦值． 19. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米． （1）求S关于的函数表达式； （2）当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【答案】（1），； （2）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【小问1详解】 过作，垂足为，由题意得：，， 故，， 所以矩形的面积，． 【小问2详解】 由（1）及题设知， 故， 令，，所以，且， ， 在区间上严格减，在区间上严格增，且， 当，即时，取得最小值， 此时，则，故， 当，即时，取得最大值， 此时，则，故或． 20. 已知过点的直线与圆相交于、两点，直线． （1）当时，求直线的方程； （2）设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； （3）是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【解析】 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【小问1详解】 （解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； 【小问2详解】 （解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离， 所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； 【小问3详解】 易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 21. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． （1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： （2）记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）是“数列”，理由见解析； （3）存在，且，. 【解析】 【分析】（1）根据题设得，进而知是以首项为，公差的等差数列，写出通项公式； （2）由题设得，利用关系得，应用构造法得是以首项为，公比为等比数列，求数列通项公式，即可得结论； （3）根据已知得，假设存在正整数，，使得，进而求出对应参数值，即可得结论. 【小问1详解】 因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以， 设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即， 所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； 【小问3详解】 由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故． 假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以， 又， 所以，则． ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜川中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 半径为3，圆心角等于的扇形的面积是______． 2. 直线被圆截得弦长为__________. 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 4. 复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数___________. 5. 在中，若，，，则的长为 _______. 6. 直线与直线的夹角的大小为________． 7. 已知等差数列中，，，则________． 8. 直线关于点对称的直线方程为________. 9. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是________． 10. 在数列中，，，则______. 11. 已知圆和直线．下面四个命题： ①对任意实数与，直线和圆相切； ②对任意实数与，直线和圆有公共点； ③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切； ④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 12. 已知复数满足，若复数，（是虚数单位），记 ，则的最小值的取值范围是_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）． 13. “”是“直线与直线平行”（ ）． A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（ ）． A. 若，则 B. C. 若，则 D. 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 过点向曲线（为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）． A B. C. D. 数列的前项和为 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题． 17. 已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 18. 已知，，． （1）为何值时，与垂直？ （2）求向量与的夹角的余弦值． 19. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米． （1）求S关于的函数表达式； （2）当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 20. 已知过点的直线与圆相交于、两点，直线． （1）当时，求直线的方程； （2）设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； （3）是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 21. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． （1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： （2）记数列前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件正整数，；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $