精品解析：上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上海外国语大学附属浦东外国语学校 2024学年度第二学期高一年级期末考试数学卷 考生注意； 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用水笔或圆珠笔将答案写在答题卷上． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若，则_________． 2. 已知，则_________． 3. 若△OAB的斜二测直观图为如图所示的，则原△OAB的面积为______． 4. 已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为___________. 5. 函数的单调区间为_________． 6. 已知，则取值范围是_________． 7. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为_________. 8. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 9. 在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 10. 空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 11. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 12. 设复平面内不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为___________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A B. C. D. 14. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 15. 设是两条不同直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 18. 如图，在直角梯形中，． （1）求； （2）若为边上一点，且，求． 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角大小. 20. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 21. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海外国语大学附属浦东外国语学校 2024学年度第二学期高一年级期末考试数学卷 考生注意； 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用水笔或圆珠笔将答案写在答题卷上． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义与复数的乘法法则即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 2. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简三角函数，求出结果. 【详解】由诱导公式可知. 故答案为：. 3. 若△OAB的斜二测直观图为如图所示的，则原△OAB的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意结合斜二测画法可求出，，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以的面积为， 故答案为：6 4. 已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的求解公式得到答案. 【详解】向量在向量上的投影为. 故答案为： 5. 函数的单调区间为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 6. 已知，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 因为， 所以的最小距离为，最大距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 7. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为_________. 【答案】72m 【解析】 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得： ， 所以 所以. 故答案为：72 8. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得， 当时，则、均是实数， 又因为，则， 即，解得，符合题意； 当时，、均为虚数， 又，则，即， 解得，符合题意； 则实数的值为或. 故答案为：或. 9. 在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 10. 空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据线线平行可得异面直线所成角的角，即可分情况求解. 【详解】如图，设是的中点，分别连接， 又因为、分别为和的中点， 所以， 所以是所成的角或是其补角．      因为，所以，所以， 因为异面直线与所成的角为，所以或， 当时，和所成角， 当时，和所成角， 综上所述：异面直线和所成角的大小是或. 故答案：或. 11. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明平面平面，得点的轨迹，由此可得的最大值为的长，最小值为到平面的距离，求出距离后可得． 【详解】连接，正方体中由与平行且相等得是平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 平面，则平面， 所以动点的轨迹形成的区域为的边界及内部，的最大值为即的长， 的最小值为到平面的距离， 连接交于点，连接交于点，， 由平面，平面，得， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以，同理， 又因为，平面，所以平面， 同理可证，所以，从而， 故线段的长的取值范围是． 故答案为：． 12. 设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由得，进而求得，，即可求得. 【详解】设，由可得， 即，整理得， 即， 则；又复数对应的向量为， 则，， 则， ， 则，则，则. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得. 【详解】对A：，又是偶函数，故A正确； 对B：为奇函数，故B错误； 对C：周期为，故C错误； 对D：为奇函数，故D错误. 故选：A. 14. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应点坐标写出复数，再应用复数的乘除运算化简，即可得答案. 【详解】由图得，则， 所以，虚部. 故选：C 15. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ） ①若，则为异面直线 ②若，则 ③若，则 ④若，则 ⑤若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可. 【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确. 故选：C. 16. 已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解. 【详解】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，所以， 即，所以，即. 由，知， 所以, 当且仅当与同向时取等号. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 若复数，为虚数单位． （1）当复数为纯虚数时，求实数的值； （2）当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值； （2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. 【小问2详解】 解：当时，可得， 由复数是方程的一个根，则是方程的一个根， 解方程的两个根为和， 则，即，解得. 18. 如图，在直角梯形中，． （1）求； （2）若为边上一点，且，求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积； （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以. 【小问2详解】 如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或. 19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，然后结合线面平行的性质得，再结合线面平行的判定定理即可得解； （2）首先说明是直线与平面所成的角，结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 因为底面为菱形，所以， 因为平面，且平面， 所以平面； 因为平面，且平面平面， 所以； 因为平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 过作交于，连接， 平面平面， ， 又平面， 平面， 是直线与平面所成的角， 底面为菱形，且， 为等边三角形，且， ， 平面平面， ，且是的中位线， 在中，， 在中，， ，即直线与平面所成角为. 20. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】（1）； （2）岛屿到补给站的距离 （3）岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. （3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【小问1详解】 依题意，得，因为点为中点，所以， 又在靠近岛屿的的三等分点上所以， 又，所以， ； 【小问2详解】 依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 所以岛屿到补给站的距离； 【小问3详解】 由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知， 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值， 即的最小值为，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 21. 如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上． （1）当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角余弦值； （2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 ① 当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以 因为，平面，平面， 所以平面； ② 过E作EO⊥BD于点O，连接. 因为平面，平面，所以， 因为EO⊥BD， ，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 因为所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以在中，， 即二面角的余弦值为. 【小问2详解】 过点做交于，所以直线与平面所成的角, 即为直线与平面所成的角， 过E作EO⊥BM于点O，连接. 由②同理可得平面，平面， 所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面， 所以平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，所以， 所以， 所以，， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查线面角和二面角的求法，解题的关键是通过几何方法找出线面角和二面角，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$