4.第四章 图形的相似（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

第四章 中考热点1)相似与位似 1.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上， 请按要求在方格纸内作图。 (1)在图1中以点A为位似中心，作△ABC的位 似图形，使得与△ABC的位似比为1：2： (2)在图2中作出△ABC的相似三角形，使得该 三角形的顶点都在格点上，且与△ABC相似 比为12 B 图1 图2 中考热点(2)平行四边形中的相似 2.如图，在口ABCD中，点E,F分别在边AD,BC 上，且∠ABE=∠CDF (1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由： (2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD 交AC于点若能-子，AB=4,求C 的长 阅盟学量数学九年级全一册BS版】 图形的相似 中考热点(3菱形中的相似 3.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接 CP并延长交AD于点E,交BA的延长线于点F. (1)求证：△APD≌△CPD: (2)求证：△APE∽△FPA: (3)如果PE=4,PF=5,求线段PC的长 5培优滚动练 中考热点4)等比性质、合比性质 4()(223,排城区月考)已知号-号=子6+≠ 0),则+C的值为 6+d (2)(2023·龙川县开学)已知△ABC和△DEF中， DE-EF-FD=号，且△DEF和△ABC的周长 AB BC CA 2 之差为15cm,则△ABC周长为 中考热点（⑤）数学建模 5.(2023·宝安区校级期中)如图，将一个装有水的 杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个 宽BC=6cm,长CD=16cm的矩形.当水面触到 杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此 时水面高度是 B 水面高度 业桌面 A.9.6 cm B.9.3 cm C.8.6 cm D.7.2 cm 中考热点(6⊙)相似与旋转（与特殊四边形综合）】 6.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°， 直线MN经过点C垂直于AB,垂足为D, (1)求证：△ADC△CDB; (2)若直线MWN从图1的位置绕点C逆时针旋 转，如图2，设旋转的角度为α(0<α< 180°)，作AP⊥MN,垂足为P,BQ⊥MN,垂足 为Q. ①当α的度数为 时，点A,P B,Q构成的四边形为平行四边形； ②当α的度数为 时，点A,P, B,Q构成的四边形为矩形 M 图1 图2 阅黑学量数学九年级全一册BS版1 6 培优滚动练 中考热点⑦相似与动点（分类讨论】 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,CB⊥AB,AB= 16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始 沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边 匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s.点P和 点Q同时出发，设运动的时间为t(s),0<1<5. (1)用含t的代数式表示AP; (2)当以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABD相 似时，求1的值. 阅黑学量数学九年级全一册BS版1 中考热点8)中位线与平行线分线段成比例定理 8.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的 中点，AE交对角线BD于点G,BF交AE于点H. 则张的值是 () .2 D.x3 D 中考热点(9)正方形中的相似 9.(2023·宝安区期中)如图，在正方形ABCD中，E 是AB上一点，连接CE,过点C作CF⊥CE交AD 的延长线于点F,连接EF,EF分别交CD,AC于 点G,H,M是EF的中点，连接DM,则下列结论： ①BE=DF:②FH·GE=CE:③∠CDM=45°； ④若AE=AH,则5=2-1.正确的是() BC A.①②③ B.①②④ C.①3④ D.①23④ 10.(2023·顺德区期中)如图，0为正方形ABCD 对角线AC上的一动点，连接OD,过点O作 OE⊥OD交AB于点E,连接DE交AC于点G 结论：①OD=OE;②∠ADE=∠AOE;③DG= G0·GC:④若AB=3,AE=1.则OE=√6.其中 正确结论的序号为 () E A.①3④ B.①②④ C.①②3 D.②③④ 7培优滚动练D,D,D.D, D.D,D,D. 共有8种等可能的情况，其中落 入③号槽的有3种，P(落入③ 号槽)=名 11.解：(1)田忌首局应出“下马”才 可能获胜， 此时，比赛所有可能的对阵为 (AC2,BA2,C,B2),（AC2, C B2,BA2),(AC2,B B2, C1A2),（AC2,C1A2,BB2),共 4种，其中获胜的有2场，故此 田忌获胜的概率P=2 1 (2)不是 当齐王的出马顺序为A,B,C 时，田忌获胜的对阵是(A,C2, B1A2,CB2), 当齐王的出马顺序为A1,C,B 时，田忌获胜的对阵是(A,C2, C1B2,BA2), 当齐王的出马顺序为B,A,C, 时，田忌获胜的对阵是(BA2, A C2,CB2) 当齐王的出马顺序为B1,C1,A 时，田忌获胜的对阵是(B,A2, C B2,A C2), 当齐王的出马顺序为C,A,B, 时，田忌获胜的对阵是(C,B2, A1C2,BA2), 当齐王的出马顺序为C1,B,A, 时，田忌获胜的对阵是(C,B2, BA2,A C2). 综上所述，田忌获胜的对阵有6 种，不论齐王的出马顺序如何，也 都有相应的6种可能对阵，所以 田忌类胜的概率P-名-行 第四章图形的相似 1.解：(1)如图1所示，△AB,C,即 为所求 图1 (2)如图2所示，△A2B2C2即为 所求.（答案不唯一） B.B 图2 2.解：(1)四边形BEDF为平行四 边形，理由如下： 阅职学耀数学九年 ,四边形ABCD为平行四边形， .AP =BQ. ∴.∠ABC=∠ADC, ∴.△DAP≌△DBQ(ASA), ∠ABE=∠CDF, .AD=BD, .∴.∠EBF=∠EDF .CD为AB边上中线， ,四边形ABCD为平行四边形， ,∠ACB=90°， ∴.AD∥BC, ∴∠EDF=∠DFC=∠EBF, w=B=0. ∴BE∥DF,又：AD∥BC, .·∠BAC=60° ∴四边形BEDF为平行四边形. .∠ACD=∠BAC=60° (2设46=24,8能-号 :∠AEC=90°，∴.∠ACE=30°， =3, ∴.a=∠DCE=60°-30°=30°； .0G=3a,A0=5a, 如图3， :四边形ABCD为平行四边形， .A0=C0=5a, AC=10a,CG=8a, AD∥BC,.△AGE∽△CGB, 小品8-4 图3 ..BC=16. 当a=90°时，四边形APQB是 3. (1)证明：：四边形ABCD是 矩形， 菱形， 故答案为30或90° ∴.DA=DC, ②如图3，四边形APQB是矩形， ∠ADP=∠CDP, 则∠ABQ=90°， 在△APD和△CPD中， 作CE⊥AB于点E,则CE所在直 rDA=DC, 线就是直线MN开始的位置， ∠ADP=∠CDP, BQ⊥MN DP =DP. ∴.∠EBQ=∠BQC=∠CEB=90°， ·.△APD≌△CPD(SAS). ∴.四边形CEBQ是矩形， (2)证明：由(1)得△APD≌△CPD, .a=∠ECQ=90°， .∠PAE=∠PCD 故答案为90° 又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD, 7.解：(1)如图，作DH⊥AB于点H, ∴.∠PAE=∠PFA, 又：∠APE=∠FPA, ∴.△APEn△FPA. (3)解：△APE∽△FPA, 隐開 则四边形DHBC是矩形， .CD=BH=8,DH=BC=6, ∴PA2=PE·PF, .'AH=AB-BH=8. PE=4,PF=5,.PA=25, AD=√DH+Af=10 由(1)知△APD≌△CPD, 由题意AP=AD-DP=10-21. .PC=PA...PC=2 5. (2)当以点A,P,Q为顶点的三角 40 形与△ABD相似时， (2)30cm AP_AQ AP_AQ ·ADAB或AB=AD 5.A 6.(1)证明：：CD⊥AB, 10-24-2或10-24.2 10-16 16 -10 .∠ADC=∠CDB=90 ,:∠ACB=90°， 解得1智支言。 ∴.∠A=90°-∠ACD=∠DCB, ∴.△ADC∽△CDB. 当1=铝或4=时，以点4 (2)解：①如图2，四边形APBQ 是平行四边形，作CE⊥AB于点 P,Q为顶点的三角形与△ABD E,则CE所在直线就是直线MW 相似. 开始的位置， 8.B9.D10.C 第五章投影与视图 1. 解：如图，连接DC并延长交BM 于点N, 图2 :AP⊥MW,BQ⊥MN, .AP∥BQ, 30 .∠DAP=∠DBQ M ∠DPA=∠DQB, 由题意得BE=5×5=25(米)， 及全一册BS版75培优滚动练参考答案