2.第二章 一元二次方程（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

∴.AF=AM,∠1=∠2. -12; 3 :∠EAF=45°， (4)m2+n2-8m+2n+17=0, 1 1=m+n =-3 ∠1+∠3=45° m2-8m+16+n2+2n+1=0, m n mn 1 ∴.∠2+∠3=∠MAE=45o (m-4)2+(n+1)2=0, -2 =∠FAE. .m-4=0,n+1=0, 10.解：(1)设函数关系式为 又AE=AE, .m=4,n=-1, y=kx+b, ∴.△EAM≌△EAF(SAS). ∴.m+n=3. 由图可知，直线y=kx+b经过 ∴.EF=EM=BE+BM. 4.(1)证明：b2-4ac=(2m)2- 点(25,30)和点(35,10)， 又，BM=DF, 4(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0, .EF BE +DF. 即4>0， 则有+80： (2)EF=BE+DF仍然成立，理 ·不论m为何值 由如下： 该方程总有两个不相等的实 解得传：动 如图2，延长CB至点M,使得 数根； 即函数关系式为y=-2x+80. BM=DF,连接AM, (2)解：方程有一个根是-2， (2)根据产品的利润率不得超 ∴.4-4m+m2-1=0, 过60%，可知产品的售价最高 .-m2+4m=3, 为20×(1+60%)=32（元）， .2025-m2+4m=2028. 依题意，得(x-20)y=150, 5.B 将y=-2x+80代人(x-20)y= 6.解：①当x+2≥0，即x≥-2时， 150中， 图2 x2+2(x+2)-4=0, 整理，得x2-60x+875=0 ∠ABC+∠D=180 x2+2x=0, 解得x1=25,x2=35. ∠ABC+∠4=180°， 解得x1=0,2=-2; :价格不得超过32元， .∠D=∠4. ②当x+2<0,即x<-2时， x=25, 又：AB=AD,BM=DF, x2-2(x+2)-4=0, 即销售单价应定为25元. ∴.△ADF≌△ABM(AS) x2-2x-8=0, 11. 解：设这个最小数为x,则最大 ∴AF=AM,∠1=∠2. 解得x1=4(不合题设，舍去)， 数为(x+8). ~LBF=∠BMD, 1=-2(不合题设，舍去). 依题意，得x(x+8)=65, 综上所述，原方程的解是x=0或 整理，得x2+8x-65=0, ∴.∠1+∠3=∠EAF x=-2. 解得x1=5,x2=-13(不合题 ∴，∠MAE=∠2+∠3=∠FAE. 7.解：(1)依题意，得 意，舍去) 又AE=AE, 4=(2m-1)2-4m2≥0， 答：这个最小数为5. ·.△EAM≌△EAF(SAS). 解得m≤4 12.解：(1)(24-3x)m .EF EM=BE +BM. (-6x2+48x)m3 又BM=DF, (2)由题意，得-6x2+48x=72, .EF BE DF 故实数m的取值范围为m≤4 解得x1=2,x2=6. 第二章 一元二次方程 (2)依题意，得 当x=2时， AB=24-3×2=18>12,不合 1解：(0长题意，得山3：2 x1+x2=-(2m-1),x=m2, x12+x1+x2=4, 题意，舍去； 解得a=3. ∴.m2-(2m-1)=4 当x=6时， a的值为3. 解得m1=-1,m2=3(舍去). AB=24-3×6=6<12,符合 题意， (2)把a=3代入原方程， 故m的值是-1. 8. x应等于6. 1 (1)证明：4=[-(k+2)]2 得6威+-2=0， 8k=(k-2)2≥0 13. 解：(1)设AB=xm, 则BC=2AB=2x(m) 4=12-4×6× )=13>0, “k取任何实数值，方程总有实 数根. 依题意，得2x+x+x=120, (2)解：依题意，得 解得x=30. x= -1±13 12 a2=b2+c2,b+c=k+2,bc=2k, .AB=30m,BC=60m. 答：长方形花圃ABCD的长为 名=1+3 a=3,∴.9=(b+c)2-2bc=(k+ 2)2-2×2k, 60m,宽为30m 12 名=1-13 解得k=±5.当k=-√5时， (2)设网红打卡点的边长为mm, 12 b+c=2-√5<0，不符合题意， 依题意，得 2.解：由题意，得 舍去； (60-m)· 4m+m2=60×30- 「m-2≠0，① 当k=5时，b+c=2+5>0,符 1728, m2-3m+2=0,② 合题意 解得m1=4,m2=-24(舍去). 解①，得m≠2； 故△ABC的周长为 “.网红打卡点的面积为4×4= 解②，得m1=1,m2=2 a+b+c=3+2+5=5+5. 16(m2). ∴.m=1. 9解：1)号 1 答：网红打卡点的面积为16m2. 3.解：(1)1(2)3 -2 14.B (3)a2-6a-3=a2-6a+9-12 (2):一元二次方程2x2-3x-1= =(a-3)2-12, 0的两个根分别为m,n, 15.解：(2)15 (3)n(n-1) 2 当a=3时， 3 (4)595 代数式有最小值，最小值为 .m+n= (5)依题意，得要准备车票的种 阅盟学裙数学九年级全一册BS版73培优滚动练参考答案 数为6×5=30（种） 共有24种等可能的结果，能组 开始 答：要准备30种车票 成三角形的结果有18种， 道口A 第三章概率的进一步认识 .能组成三角形的概率为 1.解：(1)画树状图如下： 开始 - 下一道口直左右直左右直左右 结果明向西南北南东西北西东 5.解：(1)摸出一个球恰好是白球 (3)共有9种等可能的结果，嘉 的概率大约是0.25， 淇经过两个十字道口后向西参 黄球有02 -2=2(个) 观的结果有3种，向南参观的结 共有6种等可能的结果，点P所 果有2种，向北参观的结果有2 故答案分别为0.25,2. 有可能的坐标为(1,2)，(1,3)， 种，向东参观的结果有2种， (2)记一红一黄为“V√”，其余记 (2,1),(2,3),(3,1),(3,2)； 为“×”，列出表格为 ∴向西参观的概率为号弓，向 (2)由(1)可知，共有6种等可能 白红黄黄 的结果， 南参观的概率=向北参观的概 点P(x,y)在函数y=-x+3图 红 率=向东参观的概率=弓 象上的结果有2种， 黄 ∴点P(x,y)在函数y=-x+3 ∴向西参观的概率较大 黄×V 8.解：(1)此次调查中接受调查的 图象上的概率为名号 从表中可知，共有12种等可能的 人数为 2.解：(1)列表表示出(a,c)的所有 结果，其中一红一黄的结果有 18÷36%=50(人). 可能出现情况如下： 4种， 调查结果为“满意”的人数为 50-4-8-18=20(人). -3 P(一红-黄)=合分 1 2 补全条形统计图如图所示， 6.解：(1)：P(一次拿到8元球) 人数A -3 (-3,-3) (1,-3)(2,-3》 1 =2 (-3,1) (1,1) (2,1) 2 （-3,2) (1,2) (2,2) :8元球的个数为4×2=2 不满意一般满意非常满湾 (2)关于x的一元二次方程 (个)， 满意程度 按照从小到大的顺序排列为7， 故答案为50： ax+2x+c=0有两个实数根时， (2)将2位男性分别记为A、B,2 有4=22-4ac≥0， 8,8,9, .这4个球价格的众数为8元； 位女性分别记为C、D, ∴.ac≤1 由表格中的数据可知：(a,c)共 (2)①所剩的3个球价格的中位 画树状图如图： 数与原来4个球价格的中位数 开始 有9种等可能性的情况，而能够 使关于x的一元二次方程 相同， 理由如下：原来4个球的价格按 ax2+2x+c=0有两个实数根的 有(-3,1)，(1，-3)，(2，-3)， 照从小到大的顺序排列为7,8， 8,9 （-3,2),(1,1),占其中的5种， 共有12种等可能的结果，其中选 ·关于x的一元二次方程ax2+ ∴.原来4个球价格的中位数为 择回访的市民为“一男一女”的 x+c=0有两个实数根的概率 8=8(元)，所剩的3个球价 结果有AC、AD、BC、BD、CA、CB 2 DA、DB,共8种， 是 格为8,8,9， ,选择回访的市民为“一男一 ∴所剩的3个球价格的中位数 女”的概率为 解：()分 为8元， (2)画树状图如图： .所剩的3个球价格的中位数 开始 与原来4个球价格的中位数 相同； 9.解：(1)日 小林 ②画树状图如图所示： (2)画树状图如下： 开始 ARCD ARCD ARCD ABCD 共有16种等可能的结果，小林、 第一次 小李接种的是相同种类疫苗的 88988988 第二次2345 23452345 ）34 结果有8种， 共有9种等可能的结果，乙组两 和45675678678978910 ∴.小林、小李接种的是相同种类 次都拿到8元球的结果有4种， 共有16种等可能的结果，棋子最 ∴.乙组两次都拿到8元球的概 终跳动到点C处（和为8）的结果 疫苗的概率为8=之 有3种， 4.解：（1)小明有三种选择： 率为号 棋子最终跳动到点C处的概 ①3cm,5cm,7cm,②3cm, 7解：(1)号 率为品 7 cm,9 cm,35 cm,7 cm,9 cm; (2)画树状图如下： (2)补全树状图如图： 10.解：根据题意，画出如下树状图： 阅盟学量数学九年级全一册BS版74培优滚动练参考答案第二章 中考热点1)一元二次方程的定义 1.已知关于x的一元二次方程(a+3)x1+ 1 1 30x-2=0. (1)求a的值； (2)解这个一元二次方程 2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2-6x+m2- 3m+2=0的常数项为0，求m的值. 阅盟学量数学九年级全一册BS版 元二次方程 中考热点(2)配方的应用 3.我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数， 即对于任何有理数，都有α2≥0成立，所以，当 a=0时，有最小值a2=0. 【应用】(1)代数式(x-1)2有最小值时，x= (2)代数式m2+3的最小值是 【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这 样做的： …n2+4n+9 =n2+4n+4+5 =(n+2)2+5. ∴.当n=-2时，代数式2+4n+9有最小值，最 小值为5. (3)请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3 的最小值，并求此时a的值； (4)代数式m2+n2-8m+2n+17=0,求m+n 的值。 培优滚动练 中考热点3)根的判别式 4.已知关于x的方程x2+2mx+m2-1=0(m为常 数) (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等 的实数根； (2)若方程有一个根是-2，求2025-m2+ 4m的值. 5.(2023·龙岗区校级月考)对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0： ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则 方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实 数根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定 有ac+b+1=0成立； ④若x是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则 b2-4ac =(2axo +b)2; ⑤存在实数m,n(m≠n),使得am2+bm+c=an2+ bn+c. 其中正确的是 ( A.①②④ B.①②④⑤ C.①23④⑤ D.①②③ 阅盟学堂数学九年级全一册BS版 中考热点(4)阅读理解一解绝对值方程 6.小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题 目“解方程x2+2x+2-4=0”,她思考良久， 未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到 了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅 读，仿照解法，很快得出了正确答案.你能解答这 道题吗？ 例：解方程x2-x-1-1=0. 解：(1)当x-1≥0，即x≥1时， x2-(x-1)-1=0,x2-x=0, 解得x1=0(不合题设，舍去)，2=1. (2)当x-1<0,即x<1时，x2+(x-1)-1=0, x2+x-2=0, 解得x1=1(不合题设，舍去)，x2=-2. 综上所述，原方程的解是x=1或x=-2 依照上例解法，解方程x2+2x+2-4=0. 培优滚动练 中考热点5)根与系数的关系（韦达定理） 7.(2023·佛山月考)已知关于x的一元二次方程 x2+(2m-1)x+m2=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若x1,x2满足x1x2+x1+x2=4,求m的值. 8.(2023·南海区期中)已知关于x的方程x2-(k+ 2)x+2k=0. (1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若Rt△ABC的斜边长a=3,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 阅盟荨堂数学九年级全一册BS版《 9.(2023·南海区月考)阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根分别为x1,x2, 则名+名=治离·南= a 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个 实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 解：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根 分别为m,n, ∴.m+n=1,mn=-1. ∴.m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的 两个根分别为x1,x2,则x1+x2=一， x1·x2= (2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0 的两个根分别为m,n,求女+1的值 m n 培优滚动练 中考热点(6)一元二次方程的应用 售点①》销售利润问题 10.(2023·福田区二模)冰墩墩是2022年北京冬 季奥运会的吉祥物.某商场以20元/只的价格 购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现， 其日销售量y(单位：只)与销售单价x(单位：元)》 之间存在如图所示的函数关系， (1)求y与x的函数关系式； (2)若物价局规定，产品的利润率不得超过 60%,该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获 得150元利润，销售单价应定为多少？ Ay/只 30 10 2535 x/元 阀盟学量数学九年级全一册BS版 考点②》日历中的方程 11.在某月日历表上可以用一个方框圈出4个数 (如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最 大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知 识解答) 日一二三四五六 456,安88 11121314151617 18192021222324 25262728293031 培优滚动练 考点③》面积与容积问题 12.某农户计划利用现有的长为12m的一面墙再 修四面墙，建造如图所示的长方体水池，来培育 不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为2m,长 24m的墙材料并准备施工，设图中与现有一面 墙垂直的三面墙的长度都为xm,即AD=EF= BC=xm.(不考虑墙的厚度) (1)则AB= (用含x的代数式表 示)，长方体水池的容积V= (用含x的代数式表示)； (2)若水池的总容积为72m3,x应等于多少？ 阅盟学堂数学九年级全一册BS版 13.(2023·光明区校级月考)园林部门计划在某公 园建一个长方形花圃ABCD,花圃的一面靠墙 (墙足够长)，另外三边用木栏围成，如图1所示， BC=2AB,建成后所用木栏总长120m,在图1 总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设 计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等 的小路（如图2），小路的宽度是正方形网红打 卡点边长的好，其余部分种植花卉，花卉种植的 面积为1728m2. 图1 图2 (1)求长方形花圃ABCD的长和宽； (2)求网红打卡点的面积. 培优滚动练 14.(2023·宝安区期中)如图，在一块长32m、宽 20m的矩形地面上修建三条入口宽度相等的 小路，每条小路的两边是互相平行的.若使剩余 面积为570m2,则小路的入口宽度x为() 32m A.0.5m B.1m C.2m D.3m 考点④》互赠与握手问题 15.(2023·盐田区期中)学校体育节要举办足球 赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛 过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场 且只比赛一场)，则该校一共要安排多少场 比赛？ 【构建模型】 生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的 数学模型，利用模型的思想来解决问题。为解决 上述问题，我们构建如下数学模型： (1)如图1，我们可以在平面内画出5个点（任 意3个点都不在同一条直线上)，其中每个 点各代表一支足球队，两支球队之间比赛 一场就用一条线段把它们连接起来.由于 每支球队都要与其他各队比赛一场，即每 个点与另外4个点都可连成一条线段，这样 一共连成5×4条线段，而每两个点之间的 线段都重复计算了一次，实际只有4=10 条线段，所以该校一共要安排10场比赛 (2)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助 图2，可知一共要安排 场比赛 (3)根据以上规律，若学校有支足球队进行单循 环比赛，则一共要安排 场比赛 【实际应用】 (4)老师为了让数学兴趣班的同学互相认识， 请班上35位同学每两个人都相互握一次 手，全班同学总共握手 次 阅盟学堂数学九年级全一册BS版 【拓展提高】 (5)往返于深圳和潮汕的同一辆高速列车，中 途经惠州、陆丰、普宁、潮阳4个车站（每种 车票票面都印有上车站名称与下车站名 称)，则在这段线路上往返行车，要准备多 少种车票？请你求出来 图1 图2 培优滚动练