1.第一章 特殊平行四边形（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

培优滚动练参考答案 九年级上册 ,四边形AEFD为平行四边形 .AD=AB,∠A=90°，BC∥AD. 第一章特殊平行四边形 若口AEFD为菱形，则AE=AD, ·.∠ENC=∠EDG. AC=60 cm,CD =4t cm, E是DN的中点，.NE=DE. 1.(5,√2I) ,∴.AD=(60-4t)cm. .在△CNE和△GDE中， 2.(1)证明：：四边形ABCD是平 ∴.21=60-4， r∠ENC=∠EDG, 行四边形， 解得t=10. NE=DE, .AD∥BC,OD=OB. ∴.当t=10时，四边形AEFD能 L∠NEC=∠DEG, ∴.∠AD0=∠CBO. 够成为菱形 .△CNE≌△GDE(ASA). :DE平分∠ADB, 4.B5.C ∴.CE=EG,GD=CN=1. BF平分∠CBD, 6.25 又F是CM的中点， ∠0DE=∠AD0, 7.（1)证明：，四边形ABCD是 菱形， .MF=CF.EF-MG ∠0Br=7∠CB0 .0B=OD. :正方形ABCD的边长为4， E是AD的中点， BM=DG=1, .∠ODE=∠OBF..∴.DE∥BF .OE是△ABD的中位线。 ∴.AM=AG=3. :OD=OB,∠DOE=∠BOF, ∴OE∥FG. 在Rt△AGM中，由勾股定理，得 .△ODE≌△OBF(ASA), ,OG∥EF GM=AM +AG=32. .DE=BF. ∴四边形OEFG是平行四边形. ∴，四边形DEBF是平行四边形 .EF⊥AB,..∠EFG=90 印3 .BE∥DF.∠1=∠2. .平行四边形OEFG是矩形. (2)解：由(1)知△ODE≌△OBF, (3)如图3，过点B作BH⊥CM (2)解：四边形ABCD是菱形， .OE =OF. 于点H, .BD⊥AC,AB=AD=8. :四边形ABCD是菱形， .∠A0D=90° .BD⊥EF,OD=OB,AD∥BC :E是AD的中点， :四边形DEBF是菱形 :AD∥BC, .0E-AE-2AD-4 ∠BAD+∠ABC=180 由(1)知，四边形OEFG是矩形 ∠ABC=120°，∴.∠BAD=60°. .FG=0E=4. 图3 AD=AB, AE=4,EF=3, .CM2 BC2 BM2, ∴△ABD是等边三角形 .AF=√JAE-EF .CM=2+4=7. .BD=AB=2,∠AD0=60° =42-32=√万 00=20=1. CM GBM .BG =AB -AF-FG LODE=2 =8-7-4=4-万 ·BH=47 ∠AD0=30°， 17 8.D9.2+510.B 0= 1L.解：(1)CM=DN且DN⊥CM, CH=/BC BIF=16/17 17 3 理由如下：四边形ABCD是正 ,∠BPC=45°. EF=20E=23 方形， 31 ∴在△BCM和△CDN中， .PH=BH=417 ∴.四边形BEDF的面积为 rBC=CD, 17 1 2BD·EF2x2× 23 ∠B=∠NCE, 3 BM=CN, PC=PH+CH=2017 17 23 .△BCM≌△CDN(SAS). ∴.CM=DN,∠BCM=∠CDN. PM=PC-CM=3/7 17 3 :∠BCM+∠MCD=90°， 12.解：（1)EF=BE+DF,理由 3.(1)证明：依题意，得 ..∠CDN+∠MCD=90 如下： AE =2t cm,CD =4t cm, ∠C0D=90 如图1，延长CB至点M,使得 DF⊥BC,∴.∠CFD=90 ∴.DN⊥CM BM=DF,连接AM, :∠B=90°，∠A=60°， ∴线段CM与DN的关系为 .∠C=30. CM=DN且DN⊥CM. DF=cD=×4 (2)如图2，连接CE并延长交 AD于点G,连接GM =2t(cm). .AE =DF. 图1 (2)解：四边形AEFD能够成为 ,四边形ABCD是正方形， 菱形，理由如下： .'AB=AD, 由(1)得AE=DF, ∠D=∠ABM=90° :∠DFC=∠B=90°， 图2 又：BM=DF ∴.AE∥DF. :四边形ABCD是正方形， ∴.△ADF≌△ABM(SAS). 阀职学耀数学九年级全一册BS版72培优滚动练参考答案 ∴.AF=AM,∠1=∠2. -12; 3 :∠EAF=45°， (4)m2+n2-8m+2n+17=0, 1 1=m+n =-3 ∠1+∠3=45° m2-8m+16+n2+2n+1=0, m n mn 1 ∴.∠2+∠3=∠MAE=45o (m-4)2+(n+1)2=0, -2 =∠FAE. .m-4=0,n+1=0, 10.解：(1)设函数关系式为 又AE=AE, .m=4,n=-1, y=kx+b, ∴.△EAM≌△EAF(SAS). ∴.m+n=3. 由图可知，直线y=kx+b经过 ∴.EF=EM=BE+BM. 4.(1)证明：b2-4ac=(2m)2- 点(25,30)和点(35,10)， 又，BM=DF, 4(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0, .EF BE +DF. 即4>0， 则有+80： (2)EF=BE+DF仍然成立，理 ·不论m为何值 由如下： 该方程总有两个不相等的实 解得传：动 如图2，延长CB至点M,使得 数根； 即函数关系式为y=-2x+80. BM=DF,连接AM, (2)解：方程有一个根是-2， (2)根据产品的利润率不得超 ∴.4-4m+m2-1=0, 过60%，可知产品的售价最高 .-m2+4m=3, 为20×(1+60%)=32（元）， .2025-m2+4m=2028. 依题意，得(x-20)y=150, 5.B 将y=-2x+80代人(x-20)y= 6.解：①当x+2≥0，即x≥-2时， 150中， 图2 x2+2(x+2)-4=0, 整理，得x2-60x+875=0 ∠ABC+∠D=180 x2+2x=0, 解得x1=25,x2=35. ∠ABC+∠4=180°， 解得x1=0,2=-2; :价格不得超过32元， .∠D=∠4. ②当x+2<0,即x<-2时， x=25, 又：AB=AD,BM=DF, x2-2(x+2)-4=0, 即销售单价应定为25元. ∴.△ADF≌△ABM(AS) x2-2x-8=0, 11. 解：设这个最小数为x,则最大 ∴AF=AM,∠1=∠2. 解得x1=4(不合题设，舍去)， 数为(x+8). ~LBF=∠BMD, 1=-2(不合题设，舍去). 依题意，得x(x+8)=65, 综上所述，原方程的解是x=0或 整理，得x2+8x-65=0, ∴.∠1+∠3=∠EAF x=-2. 解得x1=5,x2=-13(不合题 ∴，∠MAE=∠2+∠3=∠FAE. 7.解：(1)依题意，得 意，舍去) 又AE=AE, 4=(2m-1)2-4m2≥0， 答：这个最小数为5. ·.△EAM≌△EAF(SAS). 解得m≤4 12.解：(1)(24-3x)m .EF EM=BE +BM. (-6x2+48x)m3 又BM=DF, (2)由题意，得-6x2+48x=72, .EF BE DF 故实数m的取值范围为m≤4 解得x1=2,x2=6. 第二章 一元二次方程 (2)依题意，得 当x=2时， AB=24-3×2=18>12,不合 1解：(0长题意，得山3：2 x1+x2=-(2m-1),x=m2, x12+x1+x2=4, 题意，舍去； 解得a=3. ∴.m2-(2m-1)=4 当x=6时， a的值为3. 解得m1=-1,m2=3(舍去). AB=24-3×6=6<12,符合 题意， (2)把a=3代入原方程， 故m的值是-1. 8. x应等于6. 1 (1)证明：4=[-(k+2)]2 得6威+-2=0， 8k=(k-2)2≥0 13. 解：(1)设AB=xm, 则BC=2AB=2x(m) 4=12-4×6× )=13>0, “k取任何实数值，方程总有实 数根. 依题意，得2x+x+x=120, (2)解：依题意，得 解得x=30. x= -1±13 12 a2=b2+c2,b+c=k+2,bc=2k, .AB=30m,BC=60m. 答：长方形花圃ABCD的长为 名=1+3 a=3,∴.9=(b+c)2-2bc=(k+ 2)2-2×2k, 60m,宽为30m 12 名=1-13 解得k=±5.当k=-√5时， (2)设网红打卡点的边长为mm, 12 b+c=2-√5<0，不符合题意， 依题意，得 2.解：由题意，得 舍去； (60-m)· 4m+m2=60×30- 「m-2≠0，① 当k=5时，b+c=2+5>0,符 1728, m2-3m+2=0,② 合题意 解得m1=4,m2=-24(舍去). 解①，得m≠2； 故△ABC的周长为 “.网红打卡点的面积为4×4= 解②，得m1=1,m2=2 a+b+c=3+2+5=5+5. 16(m2). ∴.m=1. 9解：1)号 1 答：网红打卡点的面积为16m2. 3.解：(1)1(2)3 -2 14.B (3)a2-6a-3=a2-6a+9-12 (2):一元二次方程2x2-3x-1= =(a-3)2-12, 0的两个根分别为m,n, 15.解：(2)15 (3)n(n-1) 2 当a=3时， 3 (4)595 代数式有最小值，最小值为 .m+n= (5)依题意，得要准备车票的种 阅盟学裙数学九年级全一册BS版73培优滚动练参考答案九年乡 第一章特 中考热点1)菱形的性质与判定 1.如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边 AB在x轴上，点A(-2,0),B(3,0).现固定点A, B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向 推，使点D落在y轴正半轴上的点D',则点C的 对应点C'的坐标为 y 推 2.(2023·呼和浩特)如图，四边形ABCD是平行四 边形，对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADB 交AC于点E,BF平分∠CBD交AC于点F,连接 BE,DF. (1)求证：∠1=∠2： (2)若四边形ABCD是菱形且AB=2,∠ABC= 120°，求四边形BEDF的面积 阅盟学量数学九年级全一册BS版 及上册 珠平行四边形 3.(2023·南海区月考)如图，在Rt△ABC中，∠B= 90°，AC=60cm,∠A=60°，点D从点C出发沿 CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时 点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向 点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一 个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是 ts(0≤t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接 DE.EF. (1)求证：AE=DF (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求 出相应的1值：如果不能，请说明理由， 4.(2023·金水区模拟)如图，剪两张等宽且对边平 行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成 一个四边形ABCD,其中一张纸条在转动过程中， 下列结论一定成立的是 () A.四边形ABCD周长不变 B.AB=BC C.四边形ABCD面积不变 D.AC=BD 培优滚动练 中考热点2)矩形的性质与判定 5.(2023·宁波)如图，以钝角三角形ABC的最长 边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设 △AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S,S2, 若要求出S-S,-S2的值，只需知道 () A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积 第5题 第6题 6.(2023·龙岗区校级月考)如图，菱形ABCD的对角 线AC,BD相交于点O,P为边AB上一动点（不与点 A,B重合)，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若 AC=20,BD=10,则EF的最小值为 7.(2023·南海区期末)如图，菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在 AB上，EF⊥AB,OG∥EF (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD=8,EF=3,求OE和BG的长. 阅黑学量数学九年级全一册BS版 中考热点③3)正方形的性质与判定 8.(2023·深圳期中)如图，在面积为25的正方形 ABCD内有两点E,F,且AE=FC=4.BF=DE= 3,则EF的长为 A.1 B.2 C.22 D.2 3 B C 第8题 第9题 9.如图，在边长为1的正方形ABCD中，以各边为边向 其外作等边三角形，得到△ABE,△BCF,△CDG △DAH,则四边形EFGH的面积为 10.(2023·深圳开学)如图，在正方形ABCD中，O 是对角线AC,BD的交点，过点O作射线OM, ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°， OC,EF相交于点G.给出下列结论： ①△COE≌△DOF:②△EOF≌△BOC: ③DF2+BE=2OE2:④正方形ABCD的面积是 四边形CEOF的面积的4倍， 其中正确的是 A.①②③ B.①3④ C.①②④ D.①2③④ 11.（2023·福田区月考)问题背景：如图，在边长为 4的正方形ABCD中，M,N分别是边AB,BC上 的点，且BM=CN=1,连接CM,DN,CM与DW 相交于点O 图1 图2 图3 (1)探索发现：探索线段CM与DN的关系，并 说明理由： (2)探索发现：如图2，若E,F分别是DN与CM 的中点，计算EF的长； 培优滚动练 (3)拓展提高：如图3，延长CM至点P,连接BP, 若∠BPC=45°，请直接写出线段PM的长. 阅黑学。数学九年级全一册BS版 12.(2023·南山区开学)(1)对于试题“如图1，在 正方形ABCD中，E,F分别是BC,DC上的点， 且∠EAF=45°，连接EF,探究BE,DF,EF之间 的数量关系”，王老师给出了如下的思路： 延长CB至点M,使得BM=DF,连接AM,…, 利用三角形全等的判定及性质解答， 请根据王老师的思路探究BE,DF,EF之间的 数量关系，并说明理由， (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+ ∠D=180°，E,F分别是BC,DC上的点，且 ∠EAF=号∠BD,此时(1)中的结论是香 仍然成立？请说明理由 图1 图2 培优滚动练