3.第三章 圆（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

第10课 切线的判定 新课学习 图形 切线的性质 切线的判定1 切线的判定2 圆的切线垂直于过切点 经过半径的外端并且垂直于 若圆心到直线的距离等于半 的半径 这条半径的直线是圆的切线 径，则这条直线是圆的切线 几何语言： 几何语言： 几何语言： ●0 方法口诀：有切线，圆心 方法口诀：证切线，有交点， 方法口诀：隐交点，作垂 连切点，得垂直 圆心连准切点，证垂直 直，证半径 类型1已知直线过半径外端，证直角 1.如图，0A是⊙0的半径，∠B=20°，∠A0B=2.如图，AB为⊙0的直径，AB=BC,∠A=45°， 70°求证：AB是⊙0的切线. 求证：BC是⊙O的切线. 类型2已知直线与圆有公共点，连半径，证直角 3.④如图，在△ABC中，∠A=∠C=30°，AB是 4.如图，∠A=25°，∠ABC=115°，点A,B在⊙0 ⊙0的弦，AC过圆心O.求证：BC是⊙0的 上，AC过点O.求证：BC是⊙O的切线. 切线。 类型3直线与圆无明确的公共点，作垂线段，证半径 5.④如图，AO是∠CAD的平分线，AC与⊙O相6.如图，等腰△ABC的腰AC与⊙0相切于点 切于点B.求证：AD与⊙0相切 D,AB=AC,圆心O是BC的中点.求证：AB B 是⊙0的切线. 0 D 218 BSSX 过天检测》 化县础训练 7.[利用全等证切线]如图，直线AB过⊙0上8.【原创题】[利用勾股定理的逆定理证切线] 的点C,OA=OB,CA=CB.求证：AB是⊙0 如图，OA为⊙0的半径，OA=1,OB=2, 的切线。 AB=√3.求证：AB是⊙O的切线： 色能打训缤 9.[利用平行证切线]如图，AC是⊙0的直径，10.[利用中位线证切线]如图，AB是⊙0的直 点D在⊙O上，过点D的直线BD与AC的 径，⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证：DE 延长线交于点B,AE⊥BD,垂足为E,AD平 是⊙0的切线. 分∠BAE.求证：BD是⊙O的切线 多拓展训线 11.【原创题】[利用“弦切角”证切线]如图，△ABC内接于⊙O,过点A作直线AE,∠B=∠EAC. (1)如图1，AB为⊙0的直径.求证：AE是⊙0的切线； (2)如图2，AB不是⊙0的直径.求证：AE是⊙0的切线 图1 图2 BSSX 219第13课弧长及扇形的面积 知识储备 1.(1)圆的周长C= 2.(1)若圆的半径为4，则圆的周长为 (2)圆的面积S= (2)若圆的周长为6π，则圆的半径为 新课学习修 知识点1探究弧长的计算公式 180° n 图形 弧占整个圆的几分之几 90 360 弧长 器2m 孤长公式 1= (其中，1为弧长，n为圆心角，r为半径) 3.④已知圆弧的半径为6，圆心角为60°，求4.已知扇形的半径为4，圆心角为90°，求此扇 弧长 形的弧长. 5.Q一个扇形的半径为6，扇形的弧长为2m,6.如图，AB的长为12m,圆心角∠A0B=120°， 则扇形的圆心角为 则此弧所在圆的半径为， 12π 120 B 知识点2探究扇形面积的计算公式 90° 图形 180° 0 扇形占圆的几分之几 90 360 扇形面积 器 扇形的面积公式 S篇形= ;S扇形= 226 BSSX 7.侧已知扇形半径为3cm,圆心角为60°，则扇8.扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的 形的面积为 面积为 (结果保留π) 9.半径为2cm,弧长为4πcm的扇形面积为10.半径为3的扇形的面积为3π，则扇形的弧 cm2. 长为 过天输测 马县础训练 11.(1)半径为2，圆心角为180°的扇形的面积12.如图，⊙A,⊙B,⊙C的半径都为1. 为 对应弧长为 (1)图中阴影部分的总面积为 (2)半径为2，弧长为4的扇形的面积为 (2)图中阴影部分的3个扇形的弧长总和 为 马能力训缓 13.如图，0B=2,△AB0绕点0顺时针方向旋14.如图，两个扇形的圆心都为0,0A=AB=1, 转90°得到△AB,0,则点A运动的路径长 ∠0=120°，则阴影部分的面积为( 为 A.T B.2m c D. 47 多拓展铺练 15.(2023·佛山顺德区三模)如图，△ABC内16.【教材改编】(BS九下PI06)如图，△ABC是等 接于⊙0，∠BAC=45°，BC=√2，则BC的长 边三角形，AB=2,分别以A,B,C为圆心，以2 为 为半径作弧，则图中阴影部分 的面积是 17.【教材改编】(BS九下P122)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线， 其中CD,DE,EF的圆心依次是A,B,C.如果AB=1,那么曲线CDEF的长是 BSSX 227核心素养专练 1.[转化思想](BS九下P104)如图，AC是⊙04.[集零为整](RU九上PI23)如图，⊙A,⊙B, 的直径，AB,CD是⊙O的两条弦，且AD= ⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm.则图中 三个扇形（即阴影部分）的面积之和 BC,求DAB所对的圆周角的度数 为 BA 5.[一题多解](RJ九上PI03改编)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别 为c,a,b.求证：△ABC的内切圆半径r= 2.(BS九下PI04)如图，已知△ABC,求作其外 a+b-c=ab 2 a+b+c 接圆。 3.[整体思想](R则九上P123)如图，大半圆中有 n个小半圆，大半圆的弧长为L,n个小半圆的 弧长和为L2,探索L,和L2的关系并证明你的 结论 232 BSSX 6.[转化思想](BS九下P122)如图所示的图8.[一题多解](BS九下P99)如图，把边长为6 案（阴影部分）是这样设计的：在△ABC中， 的正三角形剪去三个三角形得到一个正六 AB=AC=2cm,∠B=30°，以A为圆心、以 边形DFHKGE,求这个正六边形的面积 AB为半径作BEC;以BC为直径作BFC.求图 案的面积 E 9.(BS九下P106)如图，P是半径为4cm的圆 内一点，OP=2cm,过点P的弦与圆弧组成 弓形，当过点P的弦垂直于OP时，弦与其 所对的劣弧所组成的弓形面积最小.那么最 小的弓形面积是多少？ 7.(BS九下PI04)如图，⊙0的直径AB= 0 13cm,C为⊙0上的一点，已知CD⊥AB,垂 足为D,并且CD=6cm,AD<DB,求AD 的长 10.[实际应用](RJ九上P114)如图，圆锥形的 烟囱帽的底面圆的直径是80cm,母线长是 50cm,制作100个这样的烟囱帽至少需要 多少m2的铁皮？ BSSX 233第2课 圆的对称性 新课学习器 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等 几何语言：如图， 等弧→等弦、 等圆心角一等弧、 等弦→等圆心 等孤<>等弦 等圆心角 等弦 角、等弧 AB=A'B' :∠1=∠2， AB=A'B′， 等圆心角 ∴.AB=A'B', ∠1=∠2 1.@如图，在⊙0中，AB=CD,∠A0B=30°，则2.如图，在⊙0中，点A是BC的中点，若∠B= ∠COD= 30°，则∠C= ,∠A= B 3.如图，在⊙0中，AB=AC,∠ABC=60.求4【教材母题】(BS九下71)如图，AB,DE是 证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⊙0的直径，C是⊙0上的一点，且AD=CE. BE与CE的大小有什么关系？为什么？ 5.(教材改编】(BS九下PI04)如图，在⊙06.【原创题】如图，CD是⊙0的直径，AC=BC,E 中，AC=BC,AD=BE.求证：CD=CE. 为0D上任一点（不与0重合）. 求证：AE=BE. 202 BSSX 过天检测 马是础训练 7.如图，AB是⊙0的直径，BC=CD=DE,8.【重点模型】如图，AB是⊙0的直径，C是AB ∠B0C=40°，则∠AOE的度数为 的中点，连接OC,AC,则∠C= 9.【教材改编】(RJ九上P89)如图，在⊙O中，10.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接 AB=AC,∠C=75°，则∠A的度数为 于⊙O,若BC=CD=DA=2cm,则⊙0的周 长为 A.4T cm B.6m cm 0 C.8m cm D.10m cm 色能打训综 11.【易错题】(2023·梅州丰顺县校级开学考) 12.【教材母题】(BS九下P73)如图，AB是⊙0 如图，已知在⊙O中，两条弦AB和CD相交 的直径，OD∥AC.CD与BD的大小有什么关 于点P,AP=CP,求证：AB=CD 系？为什么？ 多拓展训孩 13.【教材母题】(RU九上90)如图，A,B是⊙0上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点.求证：四边形 AOBC是菱形 BSSX 203第3课 垂径定理 和识储备 1.下列图形是不是轴对称图形？ 新课学习 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的两条 几何语言：如图， 2.如图，CD是⊙0的直径，CD⊥AB,则下列结3.如图，在⊙0中，半径OC⊥AB于点E,AE= 论不一定成立的是 2,则下列结论正确的是 A.EA=EB A.0E=2 B.EO=ED B.EC=2 0 C.DA=DB C.AB垂直平分OC D.CA=CB D.OC垂直平分AB 知识点1根据垂径定理直接求边长 4.如图，在⊙0中，直径CD1弦AB,AB=8,5.如图，⊙0半径为5,0C=3,0C1AB,求AC OE=3,求⊙0的半径及ED的长， 及AB的长 0 方法总结：构造由 、半弦、弦心距组成6.【教材改编】(BS九下P76)如图，⊙O的半径 的直角三角形，用 定理求解 为10，AB=16,则圆心0到AB的距离为 常作的辅助线：①连接半径；②过圆心作弦的 ∠A的余弦值为 垂线段。 204 BSSX 知识点2根据垂径定理列方程求边长 7.@(2023·梅州五华县校级开学考)如图，在8.如图，在⊙0中，半径0C⊥AB,DC=2,AB= ⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB,垂足为E, 8,求⊙0的半径 CD=8,BE=2,求⊙0的直径 知识点3垂径定理的相关证明 9.④[教材改编】(BS九下77)(2023·梅州 10.如图，AB是⊙0的弦，点C,D是直线AB上 丰顺县校级开学考)如图，两个圆都以点O 的点，且OC=OD.求证：AC=BD, 为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点， AC=2.求BD的长. 过天榆测粉 马县佛训练 马能力训练 11.如图，⊙0的半径为5cm,弦AB=8cm, 12.如图，⊙0的半径为13,0D=5,弦AB1 OC⊥AB于点C,则OC= OC,则AB= A.3 cm B.4 cm 0 D B C.5 cm D.6 cm 色拓最训维 13.【易错题】⊙0的半径为5，弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB与CD间的距离为 A.1 B.7 C.1或7 D.3或4 BSSX 205第4课 垂径定理的应用及垂径定理的推论 新课学习 知识点1垂径定理的应用 L.④如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为2.如图是某蔬菜基地搭建的一座圆弧形蔬菜 8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为 棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为 ( AB的中点，D为弧AB的中点) (1)该圆弧所在圆的半径为 米； (2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆 EF,则支撑杆EF的高度为 米 D D A.4 m B.5m C.6 m D.8 m B 知识点2垂径定理的推论 3.如图，CD为⊙0的直径，E为弦AB(不是 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径 直径)的中点，请问CD与AB垂直吗？ 弦，并且 弦所对的两条弧 几何语言：如图， 4.@如图，C为弦AB的中点，CD=1,AB=10,5.如图，D为AB的中点，⊙0的半径为10， 求⊙0的半径. CD=4,求AB的长， B 0 D 206 BSSX 6.如图，AB为⊙0的直径，E为0B与CD的7.如图，∠A=45°，C为⊙0的弦AB的中点， 中点，CD=45,求⊙0的周长 AB=2,求⊙0的面积 45 0 过天检测 (凸县础训练 8.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔9.【教材改编】(U九上90)如图，实线为一条公 的宽口长度，假设钢珠的直径是10mm,测得 路，公路有一段是圆弧(AB),已知AB=12米， 钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,则这个 CD=2米，半径0C⊥AB,则 小圆孔的宽口AB的长 8 mm 半径OA为 米 度是 经能力训练 多范最训孩 10.如图，在⊙0中，AB∥A'B'.求证：AA'=BB 11.【数学文化】(BS九下P76)我国《九章算 术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中， 不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺 ·0 问：径几何？”意思是：如图，CD为⊙0的直 径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE为1寸，AB为 10寸，则直径CD为 寸 B BSSX 207第5课圆周角和圆心角的关系(1) 新课学习 1.(1)顶点在 的角叫做圆心角； 2.下列各圆中，∠A是圆周角的是 (2)顶点在 并且两边和圆 的角叫做圆周角 A B D 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对3.④如图，根据条件求∠A. 的圆心角的 几何语言：如图， 0 60 809 90 ① ② ③ 4.(2023·梅州梅江区校级月 5.如图，点A,B,C在⊙0上， 考)如图，⊙0是△ABC的外 且∠A+∠B0C=120°，则 接圆，∠B0C=100°，则∠A= ∠A的度数为 6.如图，点A,B,C,D都在⊙0上，则∠A和∠B7.④如图，点A,B,C,D都在⊙0上，找出图中 有什么关系？ 相等的角。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 8.如图，点A,B,C,D,E都在⊙0上，AB=B ,9.如图，点A,B,C,D在⊙0上，则∠A= ∠D=40°，则∠E= D ,∠B= 0 208 BSSX 10.网如图，△ABC是⊙0的内接三角形，P为劣 11.如图，点A,B,C在⊙0上，点D是BC的中 弧AB上一点，连接PA,PB,PC,∠1=∠2= 点.求证：∠CAD=∠BCD. 60°，求证：△ABC为等边三角形 2 塔过天检测粉 凸县陪训练 12.(2023·深圳南山区校级二模)如图，在正13.如图，在⊙0中，04=2，点B是⊙0上一 方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 点，且∠ABC=45°，则弦AC= ⊙O是△ABC的外接圆，点A,B,O在网格 线的交点上，则： (1)∠AOB与∠ACB的数量关系为 (2)tan∠ACB的值是 马能力训练 还苑展训缘 14.如图，AB为⊙0的直径，CD是弦，且AB⊥15.【教材母题】(BS九下P80)如图，OA,OB, CD于点E,连接AC,OC,BC OC都是⊙0的半径，∠AOB=2∠BOC.求 (1)求证：∠DCB=∠CAB; 证：∠ACB=2∠BAC. (2)若EB=2,CD=8,求⊙0的直径. BSSX 209第6课圆周角和圆心角的关系(2) 和识储备 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 1.(1)如图①，若∠AOB=80°， 2.如图，根据条件求∠A 则上C= (2)如图②，4B=BC,∠D=35°， 0 0 B 160 170° C 则LE= 180° ① ② ③ D ① ② 新课学习 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 :90的圆周角所对的弦是 几何语言：如图， 反之， 3.如图，⊙0的直径AB=4,∠B=30°，求4.如图，在⊙0中，∠CAB=∠CBA=45°，点A, LC的度数及AC的长. B,C在⊙0上 (1)求证：AB是⊙0的直径； (2)若AC=3,求AB. 0 210 BSSX 5.侧如图，⊙0的直径AB为10cm,弦AC为6.如图，⊙0的直径AC与弦BD交于点E,AD= 6cm,∠ACB的平分线交⊙0于点D,求BC, CD=2,∠BAC=30°. AD,BD的长 (1)求BC的长； (2)求∠BEC的度数. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个 多边形的外接圆， 推论3：圆内接四边形的对角 几何语言：如图， 7.@[教材改编】(BS九下P82)如图，四边形8.【原创题】如图，点A,B,C在⊙0上. ABCD内接于⊙O,点E在BA的延长线上. (1)若∠B=100°，则∠A0C= (1)求证：∠C=∠EAD; (2)若∠A0C=100°，则∠B= (2)若∠D=3∠B,则∠B= BSSX 211第三章 圆 ∴.△ABC是等边三角形 第1课圆 .'AB=AC=BC. ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC. 新课学习 4.解：BE=CE.理由是： 圆：⊙0圆心半径圆心半径 ∠AOD=∠BOE, 弦：圆上线段AB CD EF (1)最长(2)不是 .AD=BE. 弧：两两半圆 大于 CAB 又：A0=CE AB,AC ACB,ABC BE=CE,".BE CE. 圆心角：∠AOB 5.证明：如图，连接0C, 等圆：等圆等弧：等弧 (1)等圆 (2)等圆(3)不一定 1.(1)OA,0B(2)AB(3)AC, BC,AB (4)BAC AC ABC (5)ACB,AEB提示：在直径AB .AC BC. 上方圆周上标一点E. ∴.∠AOC=∠B0C. .OA =OB,AD=BE, .OA-AD =OB-BE. ∴.OD=OE. 又：OC=0C,∴.△OCD≌△00 2.(1)0C,OB(2)BC(3)BC, ∴.CD=CE. AC (4)ABC AB ACB (5) 6.证明AC=BC, BAC,BEC提示：在直径BC上 .∠AOC=∠BOC. 方圆周上标一点E. .180°-∠A0C =180°-∠B0C. .∠AOE=∠BOE. .0A =OB,OE =OE .△OAE≌△OBE(SAS). 3.(1)内<(2)上= ∴AE=BE. (3)外 > 7.60°8.45°9.30°10.A 4.B 11.证明：BD=BD,∠A=∠G 5.(1)上(2)圆内(3)圆外 6.(1)圆外(2)5(3)0<r<5 在△MDP和△CBP中， 7.点B在圆内8.外 r∠A=∠C, AP=CP, 9.(1)ABAB(2)120° L∠APD=∠CPB, 10.30°60° ∴.△ADP≌△CBP(ASA): 11.45°4212.20° ∴DP=BP 13.证明：在⊙0中， .AP=CP 0A=0B=OC=OD ∴.AP+BP=CP+DP :M,N分别为OA,B0的中点， 即AB=CD..AB=CD 0N=20A,0N=20B 12.解：CD=D ∴0M=ON. 理由：如图，连接C0, ·.四边形CMDN为平行四 边形. 14.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.0A=0C,0B=0D, AC=BD, .OC=0A, .∴.OA=OC=0B=OD ∴.∠OAC=∠OCA. ∴，点A,B,C,D在以点O为圆 心，OA的长为半径的圆上 :OD∥AC, .∴.∠OCA=∠COD. 第2课圆的对称性 ∠OAC=∠BOD. 新课学习 ∴.∠COD=∠BOD. AB=A'B' AB=A'B' ∠1=∠2 .CD BD. AB=A'B' 13.证明：如图，连接0C, 1.30°2.30°120° 3.证明：AB=AC, .AB=AC. :∠ABC=60°， 阅盟学星数学九年级全一册BS版41课堂本参考 C是AB的中点， ∠A0B=120°， ∴.∠AOC=∠B0C=60 又OA=OC=OB, ∴，△OAC和△OBC都是等边三 角形， .AC=OA=OB=BC, ∴.四边形OACB是菱形. 第3课垂径定理 1.不是是 新课学习 平分弧 直径CD垂直弦ABAE=BE AD=BD AC=BC 2.B3.D 4.解：如图，连接OA, 0 B 直径CD⊥弦AB, .AE=BE=2AB-4. .OA=√AE2+OE =√4+32=5， 即⊙0半径长为5. .ED =OD -OE =2. 5.解：如图，连接OA, B OC⊥AB, .AC=BC=√OA2-OC =√52-32=4 .AB=2AC=8. 方法总结：半径勾股 6.65 7.解：如图，连接0C, CD⊥AB, .CE-DE-CD-4. 设⊙0的半径为t,则OE=r-2, OC=r, 在Rt△OCE中，由勾股定理得 42+(r-2)2=2, 解得r=5. .⊙0的直径为2r=10. 8.解：设⊙0半径为x, .OC⊥AB, A0=74B=4 在Rt△AOD中， 5.解：如图，连接A0 0A2=AD2+0D2 即x2=42+(x-2)2 解得x=5,.⊙0的半径为5. 9.解：如图，过点0作OH⊥AB于 点H, D为AB的中点，OD⊥AB. .AC-BG=AB 0A=0D=10,CD=4, ∴.AH=BH,CH=DA. .0C=10-4=6, .AH CH BH DH, .AC=√OA-0C 即AC=BD. =√/102-62=8， AC=2,.BD=2 ..AB=2AC=16. 10.证明：如图，过点0作OE⊥AB 6.解：如图，连接0C, 垂足为E, 设OC=OB=x C B D .OC=OD,OE⊥AB, ∴.EC=ED(三线合一). .·OE⊥AB :E为OB中点，.OE= .EA EB. 2 ∴.EC-EA=ED-EB. :E为CD中点， ∴.AC=BD. 11.A12.2413.c 0ELCD.CE-CD-2, 第4课垂径定理的应用及 在Rt△0CE中，OE2+EC2=0C 垂径定理的推论 即+2，=2 1.D2.(1)2(2)0.4 3.解：垂直理由如下： 解得x1=4, 如图，连接OA,OB. 为2=-4（舍去）： ⊙0的周长为2m·4=8m 7.解：C为AB中点， 0C1AB,4C=74B=1, ,∠A=45°， E为AB中点，∴.AE=BE. .AC=0C=1 在△AOE和△BOE中， ∴.A0=AC+OC=2 rAO=BO, OE=OE,.△AOE≌△BOE. .So0=T×(2)2=2m LAE BE, 8.8mm 9.10 ∴.∠AE0=∠BE0=90 10.证明：如图，过点0作OE⊥AB 交⊙0于点E, .CD⊥AB 垂径定理的推论：垂直平分 几何语言：直径CD平分弦AB(不是 直径)CD⊥ABAD=BD AC=BC 4.解：C为弦AB的中点， :AB∥AB, .半径OD⊥AB, OE⊥AB' ∴AC=24B=7×10=5. .EA'EB' OE⊥AB, 如图，连接OA,设OA=OD=x, ·EA=EB .EA-EA'=EB-EB'. ·.AA=BB B 11.26 在Rt△OAC中，C0=x-1. 第5课圆周角和圆心角的关系(1 0C2+AC2=0A2, 1.(1)圆心上(2)圆周上相交 (x-1)2+52=x2. 2.A .x=13,⊙0半径为13. 圆周角定理：一半 阅盟学星数学九年级全一册BS版42课堂本参考答 几何语言：∠ACB和∠AOB都对应 AB LACB=3∠A0B ∠BOC 3.解：①LA=2 1 =2×80°=40°； ②LA=3LB0c 1 =2×90°=45： ③L4=<Boc 1 =2×60°=309 4.50°5.40° 6.解：如图，连接0C,0D, yLA=∠c0D, ∠B=<Gn. ∴.LA=∠B. 7.解：∠1=∠4， ∠2=∠7， ∠3=∠6， ∠5=∠8. 推论1：相等 8.40°9.∠D∠C 10.证明：由题意得 ∠ABC=∠2=60° ∠BAC=∠1=60 .∠ACB=180°-60°-60° =60°. ·△ABC为等边三角形 11.证明：点D是BC的中点， .BD=CD. ·.∠CAD=∠BCD(同弧或等弧 所对的圆周角相等) 12.(1)∠A0B=2∠ACB(2)2 13.22 14.(1)证明：AB为⊙0的直径， AB⊥CD,.BC=BD .∠BCD=∠CAB: (2)解：AB为⊙0的直径， AB⊥CD,CD=8, cB=20D=7×8=4, 1 设⊙0的半径为r,BE=2, .0E=r-2, 在Rt△OCE中，OC=OE+CE, .2=(r-2)2+42,解得r=5, .⊙0的直径为10. 1 15.证明：：∠ACB=2∠A0B, ∠BMC=1∠BOC, 2 又：∠AOB=2∠B0C, 在△BCE中，∠ECB+∠CBE+ .∠ACB=2∠BAC. ∠BEC=180°， 第6课圆周角和圆心角的关系(2) ·.∠BEC=18O°-∠ECB-∠CBE 知识储备 =180°-60°-45°=75° 一半相等 推论3：互补 1.(1)40(2)35 几何语言：⊙O是四边形ABCD的 AB为⊙0的直径， 外接圆∠DAB+∠DCB=180°， 2解：0∠A=分×160=80 .∠ADB=90° ∠ABC+∠ADC=180° 又AB=AC, 7.（1)证明：四边形ABCD内接 .DB=DC, ②LA=2×170°=85： 于⊙0， ∠BAD=∠CAD. ③∠A=7x180°=90 ∴.∠DAB+∠C=180° ·BD=DE 又：∠DAB+∠EAD=180°， .∠C=∠EAD. ∴.BD=DE. 新课学习 .DB DC DE. 90°直径 (2)45° BC是直径 ∠BAC=90° 8.(1)160°(2)130° 12.(1)证明：，∠ACB=90°， ∴.AD为△ACD外接圆的直径， ∠BAC=90°BC是直径 第7课 确定圆的条件 ∴.∠AED=90. 3.解：AB是直径， 1.D :AD平分∠BAC, ∠C=90. 2.(1)无数(2)无数(3)一个圆 ∴.∠CAD=∠EAD.,AD=AD, :AB=4,∠B=30°， 3.(1)外接圆(2)圆心 .△ADC≌△ADE,.AC=AE. 4C=0=2 4.(1)相等(2)垂直平分线 (2)解：设CD=x, 则BD=8-x, 4.(1)证明：∠CAB=∠CBA=45° ,△ADC≌△ADE, .∠ACB=18O°-LCAB-∠CBA ∴.DE=CD=x,AE=AC=6. =90°. .AB是⊙0的直径： AB=√6+82=10， (2)解：∠CAB=∠CBA=45°， .EB=AB-AE=4. AC=3, 在Rt△BDE中， .BC=AC=3. 5.(1)内部(2)120 DE2 +EB2 DB2 由(1)得∠ACB=90° x2+4=(8-x)2, ·△ABC是直角三角形. x=3,.CD=3 .AB=√AC2+BC=√3+3 .AD=W62+32=35, =32. 5.解：AB是直径， 周长=2mr=2m×3,5 .∠ACB=∠ADB=90 =35π. 在Rt△ABC中， (1)斜边中点处 (2)5 第8课 直线与圆的位置关系 AB2 =AC2+BC2, 新课学习 AB=10 cm,AC=6 cm. 零相离 ∴BC=√AB-AC 相切 =√10-6=8(cm). 两相交 又.CD平分∠ACB, 1.(1)相交2(2)21 ∠ACD=∠BCD,AD=DB, (3)相离0 (1)外部(2)9π :AD BD 6.B7.160 2.(1)相离(2)4(3)2 在R△ABD中，AD+BD=AB 8.(1.5,2)2.5 3.(1)相切 (2)0<r<1 .AD2+BD2=102 (3)3 9.25 00 六AD=BD=√2 =52(cm). 10.解：(1)AC是⊙0的直径， 4.(1)相交(2)4.8(3)8 5.C .∠ADC=90. 6.解：(1)AC是⊙0的直径， AC=10,4D=6. 6.(1)相离 (2)点A在圆上 ,∠ABC=∠ADC=90°. 7.0≤d≤2 ∴.DC=√AC2-AD=8. 在Rt△ACD中，AD=CD=2, 8.(1)相切 (2)点D在⊙0外 (2):DB平分∠ADC, 9.1或5 ∴AC=√AD+CD=√2+2 .AB=BC..AB=BC. 10.(1)0M=12cm =22, AC是⊙0的直径， (2)0≤0M<12cm ∠CAD=∠ACD=45 .∠ABC=90°. 11.解：直线AB与⊙0相切.理由如 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ,△ABC是等腰直角三角形 下： BC=AC=; A=c=号4C=号×10 如图，过点0作OC⊥AB于 点C, (2):∠BAC=30°， ∠ACB=90°-∠BAC=60 =52. 11.证明：如图，连接AD, :∠CBD与∠CAD都是CD所对 的圆周角， ∴.∠CBD=∠CAD=45o .OA =OB, 阅盟学星数学九年级全一册BS版43课堂本参考答案 .AC-BC=AB-8. B0=740=3(cm）. ∴.OC=OB-BC .AB=√A0-B0=√62-3 =√102-82=6. =3√5(cm). 由圆的切线的定义知直线AB AB BC,..BC=33 cm. 是⊙0的切线. 9.解：如图，连接0C 12.(3,3)或(-3,3)或(3，-3)或 (-5,-3) 第9课切线的性质 1.轴对称直线OA 2.垂直AB为⊙0的切线 AB与小圆相切，∴OC⊥AB 又，AB是大圆的弦 OA⊥AB 3.解：AB为⊙0的切线， ∴.由垂径定理，AC=BC ∴.OA1AB..∠OAB=90°. 在直角三角形AOC中， 0C=0D=2, 又.∠A0B=60°， ∴.∠B=180°-∠OAB-∠AOB A0=AD+0D=4, =30°. .AC=√A0-0C 又：OA=2,∴.0B=20A=4. =√42-22=25， 4.解：：AB为⊙0的切线，AC是 .AB=2AC=4,5. ⊙0的直径，∴.AC⊥AB. 10.证明：如图，连接0C, ∠CAB=90°.又AC=AB, ∴.∠C=∠B=45°. 在Rt△CAB中，AC=AB=1, .BC=√AC+AB=2. 5.20°6.90°23 7.(1)解：如图，连接0D, ,DC是⊙O的切线， .OC⊥DC, ,AD⊥CD,∴.AD∥OC, ∴.∠DAC=∠OCA, .0A=OC. ∴.∠OCA=∠OAC. :CD是⊙0的切线，OD是半径， ∴.∠DAC=∠OAC, .0D⊥EC,.∠ED0=90°. 即AC平分∠DAB. ∠ADE=60°，∴.∠AD0=30 11.C12.58 OA=OD, 13.证明：AE与⊙0相切， ∠A=∠AD0=30°， .BA⊥AE, .∠C0D=2∠A=60°， ·.∠EAC+∠B'AC=90. .∠C=90°-60°=30° :AB为直径， (2)证明：∠A=∠C=30°， ∴∠ACB=900 ∴.AD=CD. ∴LBAC+∠B'=90 8.解：(1)如图，连接OB, ∴.∠EAC=LB AB是⊙O的切线， 又：∠B'=∠B, ..∠B=∠EMC. 14.证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 如图，连接OD.,DE是⊙0的 ∴.∠AB0=90°， 切线， ∴∠A+∠A0B=90° AB=BC,∴.∠A=∠ACB. .OB=OC,.∴∠OBC=∠ACB. ∴.∠A=∠OBC=∠ACB. 在△BOC中， ∠AOB=∠OBC+∠ACB, .∠ODE=90 ∠A0B=2∠A, DE⊥AC, ∴∠A+2∠A=90°、 .OD∥EC. 3∠A=90°，∠A=30°； ∴.∠BDO=∠A. (2)由(1)知，∠A=30°， OB=OD,.∠B=∠BDO ,AB是⊙O的切线， ∴∠A=∠B=∠C ∴∠AB0=90°， ·△ABC是等边三角形. △AOB是直角三角形. 第10课切线的判定 在Rt△AOB中， 新课学习 0A=6cm,∠A=30°， AB是⊙0的切线， 阅盟学堂数学九年级全一册BS版44课堂本参考答 A为切点AB⊥OA AB⊥OAAB是⊙O的切线 OA⊥ABOA是⊙O的半径 AB是 ⊙O的切线 1.证明：∠B=20°，∠A0B=70°， .∠0AB=90°， ∴OA⊥AB, 又：OA是⊙0的半径， .AB是⊙O的切线 2.证明：：AB=BC,∠A=45°， ∴.∠ABC=90 又：AB为直径 ∴.BC为⊙O的切线 3.证明：如图，连接B0 .·∠A=∠C=30° .∠ABC=180°-∠A-∠C =120° 又A0=B0, .∠AB0=∠A=30 .∠OBC=∠ABC-∠AB0=90°， 即OB⊥BC, OB是半径， .BC是⊙O的切线。 4.证明：如图，连接OB, :∠A=25°，∠ABC=115°， OA=OB. ∴.∠0BA=∠A=25° .∴.∠OBC=∠ABC-∠OBA=90° 即BO⊥BC, OB是半径 .BC是⊙O的切线： 5.证明：如图，过点0作OE⊥AD, 垂足为E,连接OB. AC与⊙0相切于B, .OB⊥AC, AO是∠CAD的平分线， .OE=0B,其中OB为⊙0半径 ∴.AD与⊙0相切. 6.证明：如图，过点0作OE⊥AB, 交AB于点E,连接OA,OD. AB=AC,0为BC的中点， .A0平分∠BAC :AC与⊙0相切， ∴.OD⊥AC ,∴.OE=OD,∴.AB是⊙0的切线. 7.证明：如图，连接0C 在△OAC和△OBC中， 0A=OB, CA=CB, LOC=0C, ·.△OAC≌△OBC, ∴.∠0CA=∠0CB=90° .OC⊥AB,∴.AB是⊙0的切线。 8.证明：0A2+AB=12+(5)2=4 0B2=22=4, ..OA2 +AB2 =OB2 .∠A=90 ∴，AB为⊙O的切线。 9.证明：如图，连接OD OD=0A, .∴.∠OAD=∠ODA :AD平分∠BAE, ∴.∠OAD=∠EAD .∠ODA=∠EAD,.OD∥AE AE⊥BD,∴.OD⊥BD .BD为⊙O的切线. 10.证明：如图，连接0D, ,D为BC中点，O为AB中点， .OD为△ABC的中位线. ∴.OD∥AC. ,·DE⊥AC .OD⊥DE. .DE为⊙O的切线 11.证明：(1)AB为⊙0的直径 ∠C=90° .∠B+∠BAC=90°， ,·∠B=∠EAC ,∠EAC+∠BAC=90°， 即∠BAE=90 .AE为⊙O的切线 (2)如图2，连接A0,并延长A0 交⊙0于点B',连接CB, 图2 AC=AC,∠B'=∠B. ,AB为⊙0的直径， ,∴，∠ACB'=90° ∴.∠B'+∠CAB=90° 又.·∠B'=∠B,∠B=∠EAC .∠B'=∠EAC, ∴.∠EAC+∠CAB'=90 阅盟学星数学 即∠EAB'=90°， .AE⊥AB' 4cr+8c ∴AE是⊙O的切线. 第11课切线长定理 (AB+AC+BC) 新课学习 I=AB+AC+BC, (1)两(2)轴对称 直线OP 两相等平分 PA,PB是⊙O的切线 PA=PB 2.(1em(2)2 ∠OPA=∠OPB 1.42.2 13.(1)证明：⊙0切梯形ABCD 3.解：作法：(1)分别作∠B,∠C的 于点E,F,G,H 角平分线交于点P; ∴AE=AH,BE=BF,DG=DH, (2)过点P作线段BC的垂线交 CG=CF,.'.AE+BE+DG+CG= AH BF DH+CF. BC于点E; (3)以点P为圆心，线段PE长为 .AB CD=AD BC. 半径画圆， (2)解：：AB,BC,CD分别与 如图所示，圆P即为所求 ⊙0相切于E,F,G三点， .B0平分∠ABC,C0平分 ∠BCD,.∠ABC=2∠OBC, ∠BCD=2∠BCO, 又：AB∥DC ∴∠ABC+∠BCD=180°， 即2∠OBC+2∠BC0=180°， 4.解：设AF=x,则AE=x, .∠0BC+∠BC0=90°， CD=CE=AC-AE=13-x, .∠B0C=90°； BD=BF=AB-AF=9-x, (3)解：如图，连接0F,在 由BD+CD=BC,可得 (9-x)+(13-x)=14. Rt△B0C中，BC=√6+8=10， 解得x=4. 因此AF=4,BD=5,CE=9. 课堂总结： 相切角平分线三边距离 5.(1)证明：，⊙0是△ABC的内 切圆， :BC与⊙O相切于点F, ∴.OD⊥BC,OE⊥AC OF⊥BC, 又：∠C=90 ∴.四边形ODCE是矩形. 20B.0c=28c.0r, OD=OE. ∴.四边形ODCE是正方形； 0p:48, (2)解：∠C=90°， ⊙0的半径为4.8 AC=3,BC=4, 微专题7圆与三角形相似综合 .AB=√AC+BC=5, 1.(1)证明：如图，连接0C, 由切线长定理得AF=AE, BD BF,CD =CE. ∴.CD+CE=BC+AC-BD-AE =BC+AC-AB=2, ,.CE=1. :四边形ODCE是正方形， .OA=0C,∴.∠0AC=∠0CM. ∴.OD=CE=1,即⊙0的半径 AC平分∠DAB, 为1. ∴.∠DAC=∠OAC 6.解：(1)130° (2)90+号 ∴.∠DAC=∠OCA,∴.OC∥AD. AD⊥DC,.OC⊥DC 如图. 0C是⊙0的半径 .DC是⊙O的切线. (2)解：如图，连接BC, :AD1DC,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADC=∠ACB=90°， 7.A8.115 9.2 ∠DAC=∠OAC 10.①②④⑤ 11.证明：SAABG=SAAB0+S△A0c+ △ADC△ACB, AD AC AC AB' .AC2=AD·AB, '.= AB·r+ ⊙0的半径为3，AD=4, .AB=6, 年级全一册BS版45课堂本参考答案 .AC2=4×6=24 AC>0,.AC=26,即AC的 长为26. 2.(1)证明：，AB是⊙0的直径， .∠ACB=90 :AP是圆0O的切线， .∠0AP=90°， ∴.∠ACB=∠OAP=90. OP∥BC,∠AOP=∠ABC. 在△ABC和△POA中， ∠ABC=∠POA, ∠ACB=∠PAO. ∴.△ABC∽△POA (2)解：由(1)知△ABC∽△P0A, %部。 …60希0 ∴0A=2√5，即圆的半径为25. 3.(1)证明：：CD切半圆0于点D, ∴CD⊥OD.∠CD0=90°. BE⊥CD, ∴.∠E=∠CD0=90°， 又∠C=∠C, .△COD∽△CBE. (2)解：在Rt△BEC中，CE=12, BE=9, .BC=√CE+BE=15, △COD∽△CBE, 小08C即 15-r 9= 15, 解得7=智 4.(1)证明：CD是圆0的直径 ∴∠DFC=90°， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C,AD∥BC,AB∥CD, .∠ADF=∠DFC=90°， :DE是圆O的切线， .DE⊥DC,.DE⊥AB, ∴.∠DEA=∠DFC=90° ∠A=∠C,∴.△ADE∽△CDF (2)解：，△ADE∽△CDF, CF 2 AE=3AD=BC=6, 品号-g解得0=4 圆面积： S=m2=r×(4÷2)2=4m 5.证明：AB是直径， .∠ACB=90°， .AC⊥BC, 又：CD⊥AB, “{w0版 △0c△4cB8-6 .AC2=AD·AB. 6.证明：如图，连接BE. 阅盟学星数学才 3.解：(1)如图所示，正方形ABCD 即为所求； AE是⊙0的直径， .∠ABE=90°， AD⊥BC, (2)42 ∴.∠ADC=90°， .∠ABE=∠ADC (3)90°22 ∠E=∠C,.△ABEm△ADC, 4.解：(1)如图1所示，正六边形 ABAE ABCDEF即为所求； C ∴.AB·AC=AD·AE 7.证明：(1)：∠A与∠C所对的弧 是BD .∠A=∠C, 同理可得∠D=∠B, 图1 ∴.△ADP∽△CBP. (2)24 (2)由(1)得△ADP∽△CBP, (3)如图2所示，正三角形ABC P民PB PA PD 即为所求 .PA·PB=PC·PD 8.证明：(1)如图1，连接AC,BD, 图2 "o 5.B6.257.B 图1 2059.18510.27m 8 3 ∠PCA+∠ACD=180°， 11.(1)120°(2)90°72 ∠ACD+∠PBD=180°， .∠PCA=∠PBD (3)∠M0N=360° 又：∠P=∠P, 第13课 弧长及扇形的面积 △PCA△PBD,PB-PD PCPA 1.(1)2mr(2)m2 .PA·PB=PC·PD: 2.(1)8π (2)3 (2)如图2，连接AC,BC,0C, 新课学习 并延长C0交⊙0于点B,连 知识点1 接AB. 180 1 n 180 360360360 360 .2mr 1 3602mr 360 2mr 180·Tm 3.解：l 180m×6=2m. 60 图2 90 :AC=AC,∠B=LB. 解：l=10m×4=2m 4. ,PC为⊙0的切线，CB为⊙0 5.60°6.18 的直径， 知识点2 .∠PC0=∠CAB=90 180 1 ∴∠PCA+∠AC0=90°， 360360360 ∠B'+∠AC0=90° 180 1 ·r2 n .∠PCA=∠B. 360 360 360· .∠PCA=∠B,∠P=∠P, .△PCA∽△PBC, 360·m2 六PC-PRPA·PB=PC. PA PC 7. 2 w cm2 28.T9.4r10.2π 第12课圆内接正多边形 11.(1)2π 2π(2)4 1.(1)圆心(2)半径(3)圆心 2.()号 (2)π13.√5m (4)中心距离 2.60°120°2516533 14A15. ·16.2m-35 120°260°√51263 17.4π 年级全一册BS版46课堂本参考答案 第14课圆单元复习 .∠CBP=∠APO. 1.B2.D3.140°4.C 在Rt△AOP中， 5.内6.相离7.38.6 ∠A+∠AP0=90° .∠OBA+∠CBP=90°， 9.(1)3(2)2m10.25120°1 即∠0BC=90° 11.1.312.(3,-1) ∴.OB⊥BC. 13.(1)证明：如图，连接OA,0B, 又，OB是半径， :.直线BC与⊙0相切. (2)∠A=30°，∠A0P=90°， ∴.∠AP0=60° ∴.∠BPD=∠AP0=60° ,∠APB+2∠ACB=180°， PC=CB. ∠AOB=2∠ACB, ∴△PBC是等边三角形， .∠APB+∠AOB=180°. .∠PCB=∠CBP=60° ∴.∠OAP+∠OBP=180 .∠OBP=∠P0B=30° PA与⊙0相切于点A, .OP=PB=PC=2. .PA⊥OA..∠OAP=90° .BC=2. ·.∠0BP=90. ∴.0B=√OC2-BC=25. OB是半径，PB是⊙0的 ·图中阴影部分的面积= 切线. (2)解：如图，延长A0交BC于 Some-Sawowxx 点D,连接OC,过点P作PQ⊥ BC于点Q, 30mx(23=2万-m 360 PA⊥OA,BC∥PA, 16. (1)证明：如图1，连接0M AD⊥BC. CD=BD=BC=3,四边形 ADQP是矩形. ∴.0D=√OC2-CD =√52-3=4. 图1 ∴.AD=OA+0D=5+4=9. :∠BCD=90°，∴.BC⊥CD :PA,PB是⊙O的切线， :AB∥CD,.BC⊥AB. .PA=PB. .AB与CD都与⊙0相切： 在Rt△PBQ中，设PB=PA=x, ,⊙O与AD相切于点M, 则BQ=x-3, .AB =AM,DC=DM 由勾股定理得 .AB CD=AM DM AD; (x-3)2+92=x2, (2)证明：在Rt△AB0和 解得x=15..PA的长为15. 14.解：(1)：OD⊥AB,AB是⊙0的 R△AM0中，OB=OM, OA=0A. 一条弦，.OD垂直平分AB, .Rt△ABO≌Rt△AMO(HL). ∴.∠AOB=∠AOM. ∴AE=BE,AD=BD 同理可证RL△CDO≌R△MDO 又：∠A0D=54°， (HL),∴∠COD=∠MOD. .∠B0D=54°， :∠AOM+∠MOD+∠AOB+ ∠BMD=7∠B0D=27 ∠C0D=180°， .2(∠A0M+∠MOD)=180° (2)AB=25, .∠AOM+∠MOD=90. <.AE-2AB-/5, ∴.∠AOB+∠C0D=90 ∠AOB+∠BA0=90°， 在Rt△AOE中， .∠BAO=∠COD. 0A2=0E+AE2, 又.∠AB0=∠OCD=90°， 即0A=(0A-1)2+5, .△AB0∽△OCD: .0A=3. (3)解：BE=BF 15.解：(1)直线BC与⊙0相切， ∠EBF=90°. 理由如下：如图，连接OB, :△BEF是等腰直角三角形 ·.∠BFE=45°.AB∥CD, ∴.∠FDC=∠BFE=45°. 又，∠DC0=90° ∴△DCE是等腰直角三角形. ·CD=CE.如图2，作AG⊥CD OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA 于点G, CP=BC,∴.∠CPB=∠CBP .∠CPB=∠APO 阅盟学星数学九年级全一册BS版47课堂本参考答案 图2 :AG⊥CD,BC⊥CD, .AG∥BC. :AB∥CD, ∴.四边形ABCG为矩形 .AB=CG,AG=BC. 设BE=BF=x,AB=y, 点E为OB的中点， .CE=CD=3x, .AD=AB+CD=y+3x, BC=AG=4x, DG=CD-CG=3x-y, AF=x+y. 在RI△ADG中，DG2+AG=AD, ÷(3x-y)2+(4x)2=(y+3x)2. y== 3*心B=y=4 教材母题回归 1.解：根据题意作出如图，连接OA, OB,OC.OD. 0 …AB:BCCD:DA=23:5:5 5 LA0D=LC0D=2+3+5+5× 360°=120°. LABc=(LA0D+∠c0D) =120° 2.解：如图，作OC⊥AB于点C B 0C⊥AB,AB=36mm, AC=BC=4B=7×36 =18(mm), 在Rt△A0C中，OA=30mm, AC=18 mm, ∴.0C=√0A2-AC=√30-182 =24(mm), 即点0到AB的距离是24mm, msL01B-46-8-号 3.证明：：PA,PB是⊙O的切线， .'PA PB. ·.·OA=OB,OP=OP, .∴.△OAP≌△OBP(SSS). ∴.∠AOP=∠BOP. ∠BOA=2∠BCA, .∠BCA=∠BOP O是底边BC的中点， .AC∥OP. ∴.AO是∠BAC的平分线， 4.解：如图，连接0H,OE,0G,OF .OE =OD, 即OE是⊙0的半径. ,AC经过⊙0的半径OE的外 端点且垂直于OE,∴AC是⊙0 的切线. 10.解：当点P在0B上且与边OC 四边形ABCD是菱形， 相切时，如图，作PH⊥OC于点 .AC⊥BD, AB=BC=CD=AD H,则PH=3, 四条边的中点分别为E,F, G,H, .oW-AD.OG-CD, 0B=24B,0F=26C, △OBC为等边三角形， ∴0E=0F=0G=OH, ∠0=60° ∴.E,F,G,H四个点共圆，圆心为 在Rt△OPH中， 点0. 5.7cm或17cm on-x1 6.解：第二个，因为90°的圆周角所 0P=20H=2, 对的弦是直径. ∴点P在OB上，OP=2时， 7.证明：(1)MN是AB的垂直平 ⊙P与边OC相切， 分线，∴.MN过圆心O. 同理可得点P在OB上，BP=2 ,AB∥CD,∴.MN⊥CD 时，⊙P与边BC相切； ∴.MN垂直平分CD. 点P在BC上，BP=2时，⊙P (2):MN⊥AB,.AN=Bm, 与边OB相切， 点P在BC上，CP=2时，⊙P MN⊥CD,.CN=DN, 与边0C相切， .CN-AN DN BN, 点P在OC上，CP=2时，⊙P 即AC=BD. 与边BC相切， 点P在OC上，OP=2时，⊙P 8.解：如图，过点O作OD⊥AB,垂 足为D, 与边OB相切， 综上所述，⊙P运动一圈与 △OBC的边相切6次，每次相切 时，点P分别与△OBC的顶点距 离为2 核心素养专练 .AB =30 m. 1.解：如图，连接BC ∴AD=BD=15m, ∴0D=√A0-AD=√/20-15 =5,7(m). :血LA00-8-品=075， AC为⊙0的直径， ∠A0D≈49°，∠A0B=98°， ,∴.∠ABC=90°. S阴影都分=S角形O4a一S△O ∴.∠A+∠BCA=90. _98m×20-1 ×30×57 AD=BC,.∠DCA=∠A. 360 2 ≈143.7(m2), ∴.∠DCA+∠BCA=90°，即 ∠DCB=90. .143.7×3≈431（人）. 答：大约有431位观众在看马戏 .DAB所对的圆周角的度数 9.证明：如图，过点0作OE⊥AC于 为90. 点E,连接OD,OA, 2.解：作法： ①作线段BC的垂直平分线EF, 作线段AB的垂直平分线MN,设 直线EF,MN交于点O: ②以0为圆心，OB(或OA,OC) 长为半径画圆. :AB与⊙0相切于点D, 如图所示，⊙0即为所求作的圆。 .AB⊥OD :△ABC为等腰三角形， 阅盟学堂数学九年级全一册BS版48课堂本参考答案 3.解：L1=L2.理由如下： 设n个小半圆半径依次为1,2， …,rn, 则大圆半径为(+2+…+r) 1=π(r+T2+…+T), L2=1+3+…+T矿， =T(+2+…+ra), L1=L2 5.证明：⊙0内切于Rt△ABC,D, E,F分别为⊙0与Rt△ABC 边的切点， 连接OE,OF,如图. B D,E,F分别为⊙0与Rt△ABC 三边的切点， .AD =AF,BD BE,CE CF, OF⊥AC,OE⊥BC, ∴.∠0FC=∠0EC=∠C=90°， .四边形OECF是矩形， 又OE=OF, ∴.四边形OECF是正方形， ∴.CE=OF,OE=CF 设AD=AF=x,BD=BE=y, CE=CF=z, .AB=c,BC=a,AC=b, x=b+c-a 2 [x+y=c, y+=a,解得：y=a+c-b 2 儿x+z=b, (z=atb-e 2 六CE=2=a+b-c 2 .OF=CE=a+b-c 2 .△ABC的内切圆半径r为 a+b-c 2 ra2+62=c2 .'.a2+b2-c+2ab =2ab, .(a+b+c)(a+b-c)=2ab, 六a+b-e=ab 2 a+b+c' 故r=a+b-c=ab 2 a+b+c 6.解：作A0⊥BC于点0，如图， AB=AC,∴.OB=OC, ∠ABC=∠ACB=30°， ∠BAC=120°， 在R1△AB0中，∠B=30°， 5M=8s OB=50A=√5. .阴影部分的面积=S华Fc （S南形B4c-S△ABc） =180·π：(32_120·m·2 360 360 合25 =(名+水e). 7.解：AB是⊙0的直径， ,∠ACB=90° ,CD⊥AB, ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∴.∠ACD+∠BCD=LACD+ ∠A=90°， ∴∠A=∠BCD, ∴.△ACD∽△CBD, …品品 AB =13 cm,CD=6 cm, .BD=AB-AD, ∴.CD=AD(AB-AD), 即36=AD(13-AD), 解得AD=4或AD=9, ,AD<BD,∴.AD=4cm 8.解：：六边形DFHKGE是正六 边形， ·.LEDF=∠DFH=∠FHR ∠HKG=∠KGE=∠GED=120 DE=DF, .∠ADE=∠AED=6O° .△ADE是等边三角形， ∴.AD=DE=AE, 同理：BH=BF=FH, ∴AD=DF=BF=2, SE大边号DFNKCE=6S△DE s6x92 =65. 9.解：连接OA,0B,如图。 阅盟学堂数学 OP⊥AB,且0P=2,OA=4, CF=y-x,∴.DC=x+y .∠A=30°，∠A0P=60°， 由勾股定理，得DC2=DF2+ ∠A0B=120°： CF,即(x+y)2=12+(y-x)2, 由勾股定理得 AP=√0M-0P2=4-2 整理，得y=36y=36 =25, ∴y关于x的函数解析式为 .AB=2AP=45: y=36(x>0), 设扇形AOB、△OAB的面积分别 函数图象如图2所示， 为a,B; 则&-120，元x4_16m 360 3 B=24B.0P=7×45x2 1 =45, 2 ,最小弓形面积=a-B= 3.10 (16m-4(cm2) 4.解：(1)：AB,BC,CD分别与⊙O 3 相切于点E,F,G 10.解：：1个圆锥的侧面积为 :.BO平分∠EBF,CO平 ×50=2000m(cm2), 分∠GCF. 2000π×100÷10000= L0BC=7∠ABC) 20m(m2), ∴.制作100个这样的烟肉帽至 LOC-LDCB. 少要20πm2的铁皮. 又：AB∥CD, 新课标、新题型特训 ∴.∠GCF+∠EBF=180°. 实验、探究与活动 ,∴.L0BC+L0CB=90. L.解：AB+CD=AD+BC.理由 ∴.∠B0C=90° 如下： (2)如图2，连接0F,:BC与⊙0 如图，设四边形ABCD的边与圆 相切于点F,∴OF⊥BC,由(1) O分别相切于点H,E,F,G, 知，△BOC是直角三角形， A DN 图2 ∴AH=AG,BH=BE,CE=CF, DF DG..AH+BH+CF DF= .BC=√OB+0C2=10, AG+DG+BE CE, 即AB+CD=AD+BC :Sx=20B.0c=2Bc.0r, 2.解：如图1，过点D作DF⊥BC于 即6×8=100F,解得0F=4.8. 点F, ∴.⊙0的半径为4.8. ∠B0C=90°，.∠B0M=90° :MN∥OB, ∴.∠NMC=∠BOM=∠BOC=90°. 由(1)知，∠NCM=∠BCO, 六△NMC∽△BOC.:M=MC 图1 AD,BC分别是⊙O的切线， 即MN_8+48,解得MN=9.6 ∴∠OAD=∠OBF=90°. 6 8 又：DF⊥BC, 5.解：∠ABC=∠ADC=∠AEC .四边形ABFD为矩形 理由如下：∠ABC,∠ADC, ∴.DF=AB=12cm,BF=AD. ∠AEC均是AC所对的圆周角， :AD,BC,DC分别为⊙O的 切线， 它们都等于AC所对的圆心角度 .DE DA=x,CE=CB=y, 数的一半， .∠ABC=∠ADC=∠AEC. L年级全一册BS版49课堂本参考答案第12课 圆内接正多边形 知识储备 1.正多边形的有关概念（如图所示）： (1)正多边形的中心：是指正多边形的外接圆的 (2)正多边形的半径：是指正多边形的外接圆的 中心入半径R (3)正多边形的中心角：是指正多边形每一边所对的 角； O边 (4)正多边形的边心距：是指正多边形的 到它的一边的 (5)正多边形有唯一的外接圆及内切圆，它们是同心圆 新课学习》 知识点1正多边形与圆的有关计算 (方法：转化为几个等腰三角形作高在直角三角形中用勾股定理求解) 2.填表： 正多边形 内角度数∠ABC 半径OA 中心角∠AOB 边长AB 边心距OP 周长 面积 2 2 知识点2作圆的内接正三角形，正方形正六边形 3.例如图，⊙0的半径为4. 4.如图，⊙0的半径为4. (1)尺规作图：作⊙O的内接正方形ABCD: (1)尺规作图：作它的内接正六边形ABCDEF: (2)所作的正方形ABCD的边长为 (2)所作的正六边形ABCDEF的周长为 ； (3)正方形ABCD的中心角为 ,边心 (3)作⊙0的内接正三角形. 距为 0 224 BSSX 过天检测 飞旦础训练 5.正五边形的中心角为 ( ）:6.如图，等边三角形ABC的外接圆的半径为2， A.60° B.72° C.80° D.90° 则AB= 色能力训练 7.如图，⊙0是正方形ABCD的外接圆，点E是8.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽 AD上任意一点，则∠BEC的度数为( 时，扳手张开的开口b=20mm,则边长a= A.30° mm. B.45 ●0 C.60° D.90 9.如图，⊙0内切于等边△4BC,⊙0的半径为10.如图，已知正六边形的边长为6，则它的内 3,则△ABC的周长为 切圆的面积为 () 还拓展训练 11.如图①，②，③，·，@，M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE …正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点，且BM=CN,连接OM,ON. ① ③ (1)图①中∠MON= (2)图②中∠MON的度数是 ,图③中∠MON的度数是 (3)∠MON的度数与正n边形边数n的关系为 BSSX 225第8课直线与圆的位置关系 新课学习器 探索直线与圆的位置关系：（如图，r为⊙0的半径，d为圆心到直线l的距离） 切线 割线 切点 直线1与⊙0有 个公共点 直线1与⊙0有 个公 直线1与⊙0有 个公 0 共点 共点 直线与圆 0 I 0 直线与圆 直线与圆 ① d d 1.已知圆的半径为2cm,圆心到直线1的距2.已知⊙0的半径为r,圆心到直线的距离为4. 离为dcm (1)若r=3,则直线与圆的位置关系 (1)若d=1cm,则直线1与圆的位置关系是 是 ,直线与圆有 个公共点： (2)若r= 时，直线与圆相切； (2)若d= cm,则直线l与圆相切， (3)若r=6,则直线与圆有 个公共点 直线与圆有 个公共点； (3)若d=4cm,则直线l与圆 ,直 线1与圆有 个公共点. 3.如图，已知Rt△ABC,AB=2,∠B=30° 4.如图，已知Rt△ABC,AC=6,BC=8. (1)以A为圆心，作一个半径为1的圆，则 (1)以C为圆心，作半径为8的⊙C,则直线 ⊙A与直线BC的位置关系是 AB与⊙C (2)以A为圆心，r为半径作圆，若BC与⊙A (2)以C为圆心作圆，AB是切线，则⊙C的 相离，则r的取值范围是 半径为 (3)以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与AB (3)以点B为圆心作圆，并与AC相切，则 相切，则r= ⊙B的半径应为 6 ￥30 6 214 BSSX 过天检测 丛是础训练 5.⊙0的直径为4，圆心0到直线l的距离为6.【原创题】在平面直角坐标系内，如果⊙P的 3,则直线l与⊙0的位置关系是 圆心P的坐标为(4,0)，半径是3，那么： A.相交 B.相切 (1)y轴与⊙P的位置关系是 C.相离 D.无法确定 (2)点A(7,0)与⊙P的位置关系是 经能力训线 7.已知⊙0的半径为2，直线1与⊙0有公共8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,⊙O 点，则圆心到直线l的距离d的取值范围 是以AB为直径的圆，则： 是 (1)直线DC与⊙0的位置关系是 (2)点D与⊙0的位置关系是 D 9.【易错题】如图，在平面直角坐标系x0y中，半 10.如图，已知∠AOB=30°，M为OB上一点， 径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将 若以点M为圆心，r=6cm为半径作圆，则： ⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切， (1)当OM满足 时，⊙M与 则平移的距离为 OA所在的直线相切； (2)当OM满足 时， ⊙M与OA所在的直线相交 B 马苑展训缤 11.【教材改编】(RU九上PI01)如图，在△0AB12.【核心素养】如图，点P是抛物线y=X-6 中，0A=0B=10,AB=16.⊙0的半径为6， 上的一个动点，⊙P的半径为3，当⊙P与坐 判断⊙O与直线AB的位置关系，并说明 标轴相切时，点P的坐标为 理由。 BSSX 215第9课 切线的性质 新课学习 知识点1探索切线的性质 1.如图，直线1与⊙0相切，切点为A,这个图形2.切线的性质： 是 图形，对称轴是 圆的切线 于过切点的半径 几何语言：如图， B 知识点2利用切线性质进行简单的计算 3.如图，AB是⊙0的切线，切点为A,半径4.如图，AB为⊙0的切线，切点为A,AC=AB= OA=2,∠AOB=60°，求∠B的度数及OB 1,AC是⊙O的直径，求∠C的度数及BC 的长 的长 5.如图，AB与⊙0相切于点A, 6.如图，AB是⊙0的切线，A为切 B ∠B=70°，则∠A0B= 点，∠B=30°，0B=4,则∠A= AB= B 知识点3切线的性质的综合计算与证明 7.@如图，在⊙0中，AB是直径，CD是⊙0的8.如图，AB是⊙0的切线，B为切点，半径C0的 切线，切点为D,直线AB和ED交于点C, 延长线交切线于点A,若AB=BC,OA=6cm ∠ADE=60. (1)求∠A的度数； (1)求∠C的度数； (2)求BC的长. (2)求证：AD=CD. 216 BSSX 课堂总结： 切线的性质：①有切线，得垂直；②常作辅助线：连接圆心与切点。 9.④两个同心圆如图所示，大圆的弦AB与小圆10.【教材母题】(RU九上P102)如图，AB为 相切于点C,OA交小圆于点D,若OD=DA=2, ⊙0的直径，C为⊙0上一点，AD和过点C 求AB的长. 的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平 分∠DAB. D 过天检测 化目础训依 11.如图，AC与⊙0相切于点A,∠B=20°，则12.如图，AB是⊙0的切线，A是切点，AC是弦，过 ∠BAC= 点0作OH⊥AC于点H.若OH=3,AB=12, A.50° B0=13.则：(1)0A=;(2)AC= B.60° B C.70° D.80° 马能力训练 多拓展训线 13.【易错题】如图，△ABC内接于⊙0，AE与⊙014.【核心素养】如图，已知在△ABC中，AB=AC, 切于点A,求证：∠B=∠EAC.(提示：连接AO DE⊥AC于点E,DE与半圆O相切于点D. 求证：△ABC是等边三角形. 并延长AO交⊙O于点B',连接CB) BSSX 217知识点1圆的有关概念 定义 如右图，线段OA绕固定点 圆 0旋转一周，点A所形成的 图形叫做圆 连接 任意两点的 弦 叫做弦 圆周上任意两点间的部分叫 做弧 弧 半圆：一条直径把圆分成 个半圆； 劣弧：小于 的弧； 优弧： 半圆的弧 圆心角 顶点在圆心的角 等圆 能重合的两个圆 等孤 能重合的两条弧 1.如图，在⊙0中 (1)半径有 (2)直径有」 (3)弦有 (4)劣弧BC对应的优弧是 劣弧 对应的优弧是 (5)半圆弧有 200 BSSX 第三章圆 第1课 圆 新课学习 图例 表示方法 注意 圆0记作 决定圆的位置； 0 圆定点0叫做； OA叫做圆的 决定圆的大小 左图的弦有 (1)直径是圆中 的弦； (2)半径弦 左图有 条弧 每条劣弧，总对应唯一的 一条优弧，并且它们可组 写出左图中的一个半 成一个完整的圆 圆：；劣弧： ;优弧： 圆心角∠1可表示为 圆心角是由两条半径组成 的角，圆心角可大于180° B 因为⊙0与⊙0'的半 (1)半径相等的圆是 3cm 径相等，所以⊙0与 0 ⊙0'是 (2)等弧只存在于同圆或 中： 因为AB与A'B可完 (3)长度相等的弧 3cm 全重合，所以AB与 是等弧 A'B是 2.如图，在⊙0中 (1)半径有 (2)直径有 (3)弦有 (4)劣弧AC对应的优弧是 劣弧 对应的优弧是 (5)半圆弧有 知识点2点与圆的位置关系 3.如图，⊙0的半径为r 4.【原创题】如图，下列判断正确的是( (1)点A在圆 0A A.点A在圆上 。C (2)点B在圆 OB B.点B在圆上 (3)点C在圆 →0C C.点C在圆上 ●0 D.点O在圆上 5.@已知⊙0的半径r=5cm. 6.已知⊙0的半径为r,点P到圆心距离d=5. (1)若OP=5cm,则点P在圆 (1)若r=4,则点P在 (2)若OP=4cm,则点P在 (2)若r= 则点P在圆上； (3)若点P到圆心0的距离为6cm,则点P (3)若」 ,则点P在圆外. 在 7.(2023·梅州大埔县开学考)在平面直角坐8.若⊙0的半径为4，圆心0的坐标为(0,0)， 标系中，以点0为圆心的圆过点A(0,-4), 则点P(0,-5)在⊙0 则点B(-2,3)与⊙0的位置关系是 过天检测 马县础训练 9.如图，在⊙0中，已知∠A=30° 10.如图，在⊙0中，AC是直径，若∠AOB= (1)图中的弦有」 60°，则∠C= ,∠A= 劣弧有 (2)∠AOB= 马能力训维 11.如图，0A,0B是圆的两条半径，∠A0B=90°，12.如图，⊙0的弦AB与半径0C的延长线交 A0=4,则∠A= ,AB 于点D,BD=OA,若 的长= ∠A0D=120°，则∠D= 色拓最训练 13.如图，AB,CD为⊙0的两条直径，M,N分别 14.【教材改编】(RU九上P80)如图，在矩形 为AO,B0的中点.求证：四边形CMDN为 ABCD中，AC与BD交于点O,求证：点A,B, 平行四边形 C,D共圆，圆心为点O. BSSX 201第11课 切线长定理 新课学习 图示 探究 切线长定理 几何语言 (1)过圆外一点P可作⊙0的 从圆外一点P可作圆的 条切线； 条切线，切线长 ,点P与 (2)左图是 图形，对称 圆心的连线 两切线的 轴是 夹角 1.如图，已知PA,PB分别切⊙0于点A,B,2.如图，PA,PB是⊙0的两条切线，A,B是切点， ∠P=60°，PA=4,那么弦AB的长是 若∠APB=60°，P0=4,则⊙0的半径等于 B 3.如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截4.如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB 下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三 分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14, 角形的三条边都相切？ CA=13,求AF,BD,CE的长 课堂总结： 三角形的内切圆：是指与三角形各边 的圆； 三角形的内心：是指内切圆的圆心，是三角形三条 的交点.它到三角形的 相等 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC 6.如图，作△ABC的内心 的内切圆，D,E,F是切点 (1)若∠ABC=60°，∠C=40°，则∠B0C= (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)如果AC=3,BC=4,求内切圆⊙0的半径 (2)若∠A=a°，则∠B0C= (结 果用含a的代数式表示). 220 BSSX 过天检测 火县础训徐 7.【原创题】已知△ABC的内心为点P,则下列8.【教材改编】(BS九下93)如图，点0为 说法错误的是 △ABC的内心，且∠A=50°，则∠BOC的度 A.PA=PB=PC 数为 B.点P在△ABC的内部 C.点P为△ABC三个内角平分线的交点 D.点P到△ABC三边距离相等 之能力训孩 9.如图，AB为⊙0的切线，AC,BD分别与⊙010.如图，PA,PB分别为⊙0的切线，0P交⊙0 相切于C,D两点，若AB=5,AC=3,则BD的 于点C,则下列结论： 长是 ①PA=PB;②∠1=∠2； ③OC=CP;④AB⊥OP; ⑤∠AOB与∠APB互补 正确的有 (填序号) 还拓展训维 11.【原创题】△ABC的内切圆半径为r,△ABC12.(1)[利用第11题的结论解决问题】如图1， 的周长为L,求证：Sc=2(提示：如图， △ABC的周长为10cm,面积为5cm2, 则△ABC内切圆半径为 设△ABC的内心为O,连接OA,OB,OC) 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC=5,BC= 6,则△ABC的内切圆半径为 13.【核心素养】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，点E,F,G,H是切点，AB∥CD. (1)求证：AB+CD=AD+BC; (2)求∠B0C的度数； (3)若0B=6,0C=8,求⊙0的半径 BSSX 221微专题7圆与三角形相似综合 类型1：先证切线，再证三角形相似 类型2：切线的性质与三角形相似证明及计算 1.如图，C为⊙0上一点，AB为直径，AD和直线2.如图，AB是⊙0的直径，AP是⊙O的切线， CE互相垂直，垂足为D,且AC平分∠DAB. 切点为A,OP∥BC. (1)求证：DC为⊙O的切线； (1)求证：△ABC∽△POA; (2)若⊙0的半径为3，AD=4,求AC的长. (2)若OP=10,BC=4,求⊙0半径的长. 类型3：圆与直角三角形及三角形相似的结合 类型4：圆与平行四边形的综合 3.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上4.如图，以口ABCD的边CD为直径作⊙O,⊙O 一点，CD与半圆O相切于点D,连接OD,作 与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边 BE⊥CD于点E,交半圆O于点F已知 AB相交于点E. CE=12,BE=9. (1)求证：△ADE∽△CDF; (1)求证：△COD∽△CBE; (2)求半圆0的半径r的长. (2)岩张-号，C=6,求⊙0的面积 222 BSSX 类型5：圆中双垂直模型（双直角三角形） 类型6：圆中三角形相似与辅助线 5.如图，AB为⊙0的直径，CD为△ABC的高 6.如图，△ABC内接于⊙O,AD是BC边上的高， 求证：AC2=AD·AB. AE是⊙O的直径，求证：AB·AC=AD·AE. D 类型7：相交弦模型及其结论 类型8：割线模型及其结论 7.如图，在⊙O中，弦AB,CD交于点P 8.(1)如图1，PB,PD是⊙0的割线.求证： 求证：(I)△ADP∽△CBP; PA·PB=PC·PD: (2)PA·PB=PC·PD. (2)如图2，PB是⊙0的割线，PC是⊙0的 P 切线，切点为C.求证：PA·PB=PC2 0 图 图2 BSSX 223第14课 圆单元复习 县础练习 1.下列说法中，正确的是 2.如图，在⊙0中，半径r=10,弦AB=12,M是 A.同心圆的周长相等 弦AB上的动点，则线段OM长的最小值是 B.面积相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 A.10 D.平分弧的弦一定经过圆心 B.16 C.6 D.8 3.(2023·梅州开学考)如图，四边形ABCD内4.圆中长度等于半径的弦所对的圆心角的度 接于⊙O,BC为⊙0的直径， 数为 ( ) OA∥CD,若∠ABC=70°，则 A.30° B.45° C.60° D.90° ∠BAD的度数为 5.(2023·梅州五华县校级开学考)已知⊙0的半6.若⊙0的直径为4cm,圆心到直线l的距离为 径为4cm,点A到圆心0的距离为3cm,则点A 4cm,则直线与⊙0的位置关系为 与⊙0的位置关系是点A在⊙0 7.如图，AB与⊙0相切于点B,其中OA=6,8.如图，BA,BC分别与⊙O相切于点A,C,BA= ∠A=30°，则⊙0的半径为 6,则BC= 9.(2023·梅州丰顺县校级开学考)一个扇形 10.如图，正△ABC内接于半径为2的⊙0，则 的面积是3πcm2,圆心角是120° AB= △ABC的中心角为 (1)此扇形的半径为 cm; 边心距为， (2)对应的弧长为 cm. 11.(2023·深圳龙岗区一模)如图，某地园林12.【原创题】如图，过原点B,A(2,2),C(4,2) 中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入 三点的圆的圆心坐标为 口宽为1m,则该门洞的半径为 m. m 228 BSSX 提升练习 13.(2023·深圳宝安区校级三模)如图，P是 14.如图，AB是⊙0的一条弦，OD⊥AB,垂足为 ⊙0外一点，PA与⊙0相切于点A.B,C是 E,交⊙0于点C,D,连接AD. ⊙O上的另外两点，连接AC.BC.∠APB+ (1)若LA0D=54°，求∠BAD的度数； 2∠ACB=180° (2)若AB=25,ED=1,求OA的长. (1)求证：PB是⊙0的切线； (2)若BC∥PA,⊙0的半径为5，BC=6,求 PA的长， 15.(2023·茂名茂南区二模)如图，AB是⊙016.如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB≠ 的弦，C是⊙0外一点，OC⊥OA,C0交AB CD,∠BCD=90°，以BC为直径作⊙O恰好 于点P,交⊙O于点D,且CP=BC 与AD相切于点M. (1)判断直线BC与⊙0的位置关系，并说 (1)求证：AB+CD=AD; 明理由； (2)连接OA,OD,求证：△ABO∽△OCD: (2)若∠A=30°，OP=2,求图中阴影部分的 (3)如图2，若点E为OB的中点，连接DE 面积 并延长交AB的延长线于点F,当BE= F时，求出铝的位 B 图】 图2 BSSX 229教材母题回归 1.(BS九下P122)四边形ABCD内接于圆，并3.(BS九下P121)已知：如图，P为⊙0外一 有AB:BC:CD:DA=2:3:5:5,求∠B的度数. 点，PA,PB为⊙O的两条切线，A和B为切 点，BC为直径.求证：AC∥OP. B 2.(BS九下P76)如图，已知⊙O的半径为4.(RU九上PI24)如图，菱形ABCD的对角线 30mm,弦AB=36mm,求点O到AB的距离AC,BD相交于点O,四条边AB,BC,CD,DA 及∠OAB的余弦值. 的中点分别为E,F,G,H.这四个点共圆吗？ 圆心在哪里？ 5.(U九上90)⊙0的半径为13cm,AB,CD是 ⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=24cm,CD= 10cm.则AB和CD之间的距离为 230 BSSX 6.(BS九下P83改编，U九上P89)如图，用直9.(R九上P98)如图，△ABC为等腰三角形，O 角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的 是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点 (在合格工件的括号内画“V”)? D.求证：AC是⊙0O的切线. 钉 o 7.(BS九下P76改编，RJ九上P90改编)如图， AB,CD是⊙O的两条平行弦，MN是AB的垂 直平分线，求证： (1)MN垂直平分CD: (2)AC=BD. 10.(BS九下PI06)如图，等边三角形OBC的 边长为10，点P沿0一→B一C→0的方向运 动，⊙P的半径为3，⊙P运动一圈与 △OBC的边相切多少次？每次相切时，点P 分别在什么位置？ 8.(BS九下P108)如图，有一个马戏帐篷，它 的底面是圆形，其半径为20m,从A到B有 笔直的栅栏，其长为30m.观众在阴影区 域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观 众，并且阴影区域坐满了人，那么大约有多 少名观众在看马戏？ BSSX 231新课标、新题型特训一实验、探究与活动 1.(BS九下P95)如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ 与同伴进行交流。 2.【拓广探索一三切图】(RU九上P125)如图，⊙0的直径AB=12cm,AM和BN是它的两条 切线，DE与⊙O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点，设AD=x,BC=y,求y关于x 的函数解析式，并试着画出它的图象. 3.【变式1】(2023·北京平谷区期末)如图，AB,BC,CD分别与⊙0相切于E, F,G三点，且AB∥CD,B0=6,C0=8,则BE+GC的长为 4.【变式2】已知AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点，且AB∥CD,连 接0B,OC. (1)如图1，求∠B0C的度数； 第3题图 (2)如图2，延长C0交⊙0于点M,过点M作MN∥OB交CD于点N,若OB=6,OC=8,求 ⊙O的半径及MN的长. A A D G DN G 图1 图2 5.【综合探究一射门角度】(BS九下P78)在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与 他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC)有关.当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置 对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 234 BSSX第7课 确定圆的条件 新课学习 1.可以作圆，且只可作一个圆的条件是( )2.(1)经过一点可画 个圆； A.已知圆心的位置 (2)经过两点可画 个圆； B.已知半径的大小 (3)经过不在同一直线上的三点可画 C.过三个已知点 D.过不在同一直线上的三个已知点 3.如图： 4.[外心的性质] (I)过△ABC三个顶点的圆叫做△ABC的 (1)(如图)三角形的外心到三角形三个顶点 的距离 (2)三角形外接圆的 0 (2)三角形的外心是三角形三 叫做三角形的外心 边 的交点。 5.分别作下列如图所示三角形的外接圆⊙0. (1)锐角三角形的外心在 (1)直角三角形的外心 (1)钝角三角形的外心在 三角形的 ； 在三角形的 三角形的 (2)若∠C=60°，则∠A0B (2)若∠B=30°，AC=3,则 (2)若BC=6,AC=8, Soo= 则OA= 过天检测 火县磁训缤 6.三角形的外心是三角形的 )7.如图，点0为△ABC的外心，∠A=80°，则 A.三条中线的交点 ∠BOC= B.三边的垂直平分线的交点 C.三个内角角平分线的交点 D.三条高的交点 212 BSSX 8.如图，△OAB的外接圆的圆心的坐标是9.如图，已知等边三角形ABC.若AB=6,则 ,外接圆半径为 △ABC的外接圆的半径为 01 马能力训练 10.【教材改编】(RU九上P87)(2023·吕梁中11.如图，AB=AC,AB为⊙0的直径，BC,AC分 阳县期中)如图，⊙0的直径AC长为10，弦 别与⊙O交于D,E两点，连接DE. AD长为6. 求证：DB=DC=DE. (1)求DC的长； (2)若∠ADC的平分线交⊙0于点B,求 AB,BC的长 多拓展训套 12.【核心素养】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,过A,C,D三点的圆与斜边 AB交于点E,连接DE. (1)求证：AC=AE: (2)若AC=6,CB=8,求△ACD外接圆的周长. BSSX 213