2.第二章 二次函数（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

第9课二次函数与一元二次方程的关系(2) 知识储备 1.如图，直线y=ax+b与x轴交于点(1,0). (1)当x= 时，y=0; y=ax+b (2)当x 时，y>0; (3)当x 时，ax+b<0. 新课学习 2.④抛物线y=x2-2x-3的图象如图所示. 3.④如图，抛物线y=x2-4x+3的图象与x轴 (1)对称轴是 交于A,B两点，与y轴交于点C. A (2)当x= 时，y=0; (1)求点A,B,C的坐标； (3)当 时，y>0: (2)对称轴是 OA (4)当 时，x2-2x-3<0. (3)当 时，y>0; 当 时，x2-4x+3<0; 当 时，y随x的增大而增大 4.求抛物线y=-x2+6x-5与x轴的交点坐标. (1)当 时，y>0;(2)对称轴是 (3)当x满足 时，y随x的增大而减小 注意：若抛物线与x轴交点为(x1,0)和(x2,0),则对称轴为x= 5.④如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=6.【原创题】如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直 mx+n交于点A(4,2),B(-1,-3) 线y2=mx+n交于点A(0,1),B(3,0) (1)当x= 时，少1=y2； (1)当x= 时，y1=y2; A (2)当 时y1>y (2)当 时，y>y2 (3)当 时，ax2+ (3)当 时，ax2+ bx +c<mx +n. bx c<mx +n. 课堂总结： 对于抛物线y=ax2+bx+c 对于两个函数y1,y2 y>0,是指函数图象在x轴 的部分 y1>y2,是指y1比y2图象高的部分 y=0,是指 y1=y2,是指y1与y2图象的 部分 y<0,是指 的部分 y1<y2,是指 部分 178 BSSX 7.④二次函数y=x2-2x-5的图象如图所示，8.(2023·佛山顺德区校级月考)已知二次函数 设方程x2-2x-5=0的两个根分别为a,b, y=x2+2x-k,小聪利用计算器列出了下表： 且a<b,根据图象可知，a,b的取值范围为 -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 x2+2x-k -1.39 -0.76-0.11 0.56 A.-2<a<-1,3<b<4 2 那么方程x2+2x-k=0的一个近似根是 B.-2≤a≤-1,3<b<4 -2024 C.-2<a<-1,3≤b≤4 2 A.-4.1B.-4.2C.-4.3D.-4.4 D.-2≤a≤-1,3≤b≤4 =x2-2x-5 过天检测 (凸县础训练 9.如图所示，二次函数y1=ax2+bx+c和一次10.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象 函数y2=x+b的图象都经过点A(-2,1)和 如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+ 点B(4,3),若y1>y2,则x的取值范围是 bx+c=0的解为 A.x=0 B.x1=1,x2=3 C.x1=x2=3 013 D.x1=3,x2=-1 马能打训练 (3拓展训练 11.已知在二次函数y=a2+bx+c中，函数y与12.【核心素养】阅读理解： 自变量x的部分对应值如下表所列，则方程 利用图象法解一元二次不等式x2-2-3<0. ax2+bx+c=0的一个解x的范围是 解：设y=x2-2x-3. 因为a=1>0, ( 所以抛物线开口向上 1.1 1.2 1.3 1.4 当y=0时，x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3. -0.490.04 0.59 1.16 所以抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(3,0) A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 如图，当-1<x<3时，y<0, C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 故x2-2x-3<0的解集为-1<x<3. 请解不等式-x2+2x<0. BSSX 179第11课用待定系数法求二次函数解析式(2) 新课学习》 知识点1顶点式y=a(x-h)2+k 1.④(2023·河源龙川县校级开学考)已知抛2.抛物线的图象如图所示，其中点A为顶点. 物线的顶点坐标为(-1,2)且过点(0，-1)， 求出点A,B的坐标及抛物线的解析式 求其解析式 3.二次函数的图象与y轴交于点(0,3)，对4.已知二次函数的图象过点(4，-3)，并且当 称轴是直线x=-2,函数最小值为-1.求它 x=3时，y有最大值4，求这个二次函数的解 的解析式 析式 知识点2（※选学）交点式y=a(x-x1)(x-x2) 5.©已知二次函数图象与x轴的两个交点的6.根据图中条件求抛物线的解析式. 坐标为(-3,0)，(1,0)，且与y轴的交点坐 标为(0，-3)，求这个二次函数的解析式 182 BSSX 课堂总结： 求二次函数解析式的方法选择 般式：y=ax2+bx+c 已知任意三点坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k 已知顶点及另一点 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 已知与x轴的两个交点及另一点 过天检测 女县础训练 7根据图中条件，选择适当方法求抛物线的解8.根据图中条件，选择适当方法求抛物线的解 析式. 析式 色能力训缓 (3拓展训缤 9.如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标10.【易错题】如图，二次函数y=ax2-4x+c的图 为(2,6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴， 象经过坐标原点，与x轴交于点A(-4,0) 过B,C,D三点的抛物线的顶点坐标为 (1)求此二次函数的解析式； (2,2),求抛物线的函数解析式. (2)在抛物线上存在点P,满足SA4oP=8,请 直接写出点P的坐标。 BSSX 183第13课二次函数的应用(2) —抛物线型问题 新课学习 1.如图，一个高尔夫球在地面0点被击出，球2.如图，铅球在A点被推出，铅球的飞行轨迹 的飞行路线是抛物线y=一+？，其中 是抛物线=-子+x+3,其中y(m)是飞 y(m)是飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离， 行高度，x(m)是铅球飞出的水平距离 (1)求球在飞行过程中的最大高度； (1)求铅球在飞行过程中的最大高度； (2)求球在飞行过程中的最大水平距离， (2)求此次推铅球的成绩！ YA y/m 0 x/m 3.[原创题】如图，小明在球门正前方9米点4.【教材改编】(BS九下P57)要建造一个圆形 O处将球踢起，射向球门.当球飞行的水平距 的喷水池，在水池中央安装一个柱子OP,P 离为6米时，球达到最高点A,此时球距地面 处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各 个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下， 3米 如图，已知OP=3米，喷出的水流的最高点 (1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式。 A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距 (2)若球门高2.5米，问小明能否射中球门？ 离为1米. (1)求这条抛物线的函数关系式 (2)水池的半径至少要多少米，才能使喷出 的水流不落在池外？ 球门 186 BSSX 5.©如图是抛物线形的拱桥，水面AB=4米，6.如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 拱顶C离水面2米， 米，0M为12米. (1)求抛物线的解析式； (1)求这条抛物线的解析式： (2)若水面下降2米，则水面的宽度是多 (2)若在隧道C,D处装两个路灯，且路灯的 少米？ 高度为4米，求C,D之间的距离. 课堂总结： (1)通过找抛物线上的点坐标，使用待定系数法求解析式： (2)常考类型：①求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；②求抛物线顶点坐标；③已知x求y,已知y求x. 过天检测房 县陪训练 马能力训线 7.(1)【易错题】小亮在某次投篮中，球的运动轨8.【教材母题】(BS九下P48)如图，隧道的截面 迹是抛物线y=一与+35的一部分（如 由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m, 图所示)，若命中篮圈 宽是2m,抛物线可以用y=一+4表示 中心，则他与篮底的 05m (1)一辆货运卡车高4m、宽2m,它能通过 距离l= m. 2.5m0 该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双向行车道，那么这辆 (2)在某届奥运会跳水比赛中，中国运动员 货运卡车是否可以通过？ 的表现令人印象深刻。在正常情况下，跳 水运动员进行10米跳台训练时，必须在 距水面5米之前完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则容易出现失误. 假设某运动员起跳后第：秒离水面的高 25 度为k米，且h=-5+名+10，那么为 了避免出现失误，这名运动员最多有 秒时间完成规定的翻腾动作 BSSX 187第15课二次函数的应用(4)一数形结合 和识储备 1.如图，小牛在小河边喝水后回家，小牛想要2.如图，小牛在小河边喝水后回家，小牛想要 走最少的路程，请画出喝水点P(假设河水很 走最少的路程，请画出喝水点P. 浅，小牛可通过) 财小牛 月小牛 ·B小牛家 小河 小河 B小牛家 新课学习务 3.如图，抛物线y=x2+bx+c过点B(1,0),4.如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴 C(3,0). 交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐 (1)求抛物线的解析式； 标为(3,0) (2)求抛物线的对称轴； (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (3)点P是对称轴上一点，当PA+PB达到 (2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点， 最小值时，求点P的坐标 当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. B 190 BSSX 5.④如图，抛物线的顶点是B(2,-1),过点6.【原创题】如图，已知抛物线y=-x2-2x+3 A(3,0) 与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴 (1)求抛物线的函数表达式； 交于点C.设抛物线的对称轴与x轴交于点 (2)在对称轴上找出点P,使△PAB为等腰 M,在对称轴上存在点P,使△CMP为等腰三 三角形，求点P的坐标 角形.请求出所有符合条件的点P的坐标 0 B 过天输测 7.【原制题1如图，二次函数=- -x+4的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C (1)求点A,B,C的坐标； (2)动点M在抛物线的对称轴上，求△MAC的周长的最小值及点M的坐标； (3)若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标. yA BSSX 191第2课二次函数y=ax2的图象与性质 和识储备修 1.用描点法画一次函数y=x+1的图象 塔新课学习 知识点1画二次函数y=ax2的图象 2©用描点法厨二次函数y=和y=的3在同一坐标系中，画出二次函数y=-2和 图象 y=-之的图象 … -2-1012 -2-1 0 2 y=x2 y=-x2 y-2 A A 课堂总结： 二次函数y=ax2的图象叫做抛物线 函数 y=ax2(a>0)(以y=x2为例) y=ax2(a<0)(以y=-x2为例) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x=」 时，y最大值三 当x>0时，y随x增大而 -； 当x>0时，y随x增大而 函数的变化 当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大而 162 BSSX 知识点2二次函数y=a的图象性质 4.二次函数y=ax2的图象如图所示，则： 5.已知抛物线y=-行，则 (1)a 0; (1)开口向 (2)开口向 (2)对称轴是 (3)对称轴是 (3)顶点坐标是 (4)顶点坐标是 (4)当x= 时，y的最 值为 (5)当x= 时，y的最小值为 (6)当x>0时，y随x的增大而 (5)当x 时，y随x的增大而增大 8过天检测 凸昌陪训练 6.二次函数y=ax2的图象如图所示，则： 7.抛物线y=2x,y=-2x,y=2共有的性 (1)a 0; A 质是 (2)开口向 A.开口向下 (3)对称轴是 B.对称轴是y轴 (4)顶点坐标是 C.都有最低点 (5)当x= 时，y的最大值为 D.y随x的增大而减小 (6)当x>0时，y随x的增大而 马能力训练 8.【易错题】下列函数中，当x>0时，y随x的9.已知点(1，y),(2,y2)都在函数y=-x2的 增大而减小的是 ( ) 图象上，则 ( A.y=x B.y=2x-2 A.y<y2 B.y1>y2 C.y=-x2 D.y=x2 C.y1=y2 D.y1,2大小不确定 多范展训孩 10已知二次函数y=子. 11.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8) (1)求a的值； (1)该函数的图象是 ,顶点坐标 (2)若点P(m,-6)在此抛物线上，求点P 是 (2)画出该函数的图象 的坐标； (3)判断点M(2,8)是否在此抛物线上 BSSX 163第3课二次函数y=ax2+k的图象与性质 知识储备 直线y=x向上平移1个单位长度可以得到直线y=x+1. 猜想：抛物线y=x2向上平移1个单位长度可得到的抛物线解析式为 新课学习 知识点1画二次函数y=a2+k的图象 1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象. -2-1 0 1 2 Y=x2 … 4 1 0 4 y=x2+1 y=x2-1 2.观察上一题图象填空： (1)抛物线y=x2向 平移 个单位长度可得到 函数 开口方向对称轴顶点坐标 抛物线=x2+1; y=x2 y=x2+1 (2)抛物线y=x2向 平移 个单位长度可得到 y=x2-1 抛物线y=x2-1. 3.在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2,y=-x2+2的图象 -2-10 y=-x2 -4-10 -3-2- -1-4 234 y=-x2+2 6 4.观察上一题图象填空： (1)抛物线y=-x2向上平移2个单位长度，得到 的抛物线解析式为 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 (2)抛物线y=-x2向下平移2个单位长度，得到 y=-x2 y=-x2+2 的抛物线解析式为 课堂总结： 抛物线y=ax2上下平移 抛物线y=ax2+k. a决定开口方向 k决定平移方向 方法提示 a>0,开口向 上+ 由a,k的作用画出y=ax2+k的大致图象即可确 a<0,开口向 下一 定它的五要素 164 BSSX 知识点2二次函数y=a2+k的图象性质 5.0填空： 6.填空： (1)抛物线y=子向上平移1个单位长度， (1)抛物线y=4x2向下平移1个单位长度， 得到的抛物线解析式为 得到的抛物线解析式为 (2)抛物线y=-x2向 平移个单 (2)抛物线y=-3x2向下平移2个单位长度， 位长度得到抛物线y=-x2-4. 得到的抛物线解析式为 7.填表： 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大（小）值 增减性 当x=」 时， 当x>0时， y=2x2-3 y有最 值为 y随x的增大而 y=-2+1 当x= 时， 当x<0时， y有最 值为 y随x的增大而 8过天检测 马县佛训线 8.抛物线y=2x2向上平移1个单位长度得到9.(2023·佛山南海区校级模拟)抛物线 的抛物线解析式为 y=-x2+1的对称轴是 ,顶点坐标 是 10.抛物线y=- +2的顶点坐标为 1山.抛物线y=号-1的开口向 ;当x 当x= 时，y最大值= 时，y随x的增大而减小 马能力训练 12.(2023·梅州五华县一模)将抛物线y=13.对于抛物线y=-x2+1与y=x2-1,描述 3x2-2先向右平移3个单位长度，再向下 正确的是 平移2个单位长度得到的新抛物线的解析 A.开口方向相同 式为 ( B.顶点相同 A.y=3(x+3)2-4B.y=3(x-3)2 C.当x>0时，y随x的增大而增大 C.y=3(x-3)2-4D.y=3(x+3)2 D.对称轴相同 马拓展训练 14.【原创题】抛物线y=ax2+k与x轴无交点，则ak 0 BSSX 165第4课二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 知识储备 1.抛物线y=x2向上平移1个单位长度，得到2抛物线y=-x2向 平移 个 的抛物线解析式为 单位长度，可得到抛物线y=-x2-4. 新课学习》 3.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=(x+1)2与 y=(x-1)2的图象. …-3-2-10123 3 y=x2 …9410149 4-32-17 4 4.根据上一题填空： (1)抛物线y=x2向 平移 个单位长度， 可得到抛物线y=(x+1)子； 函数 开口方向对称轴顶点坐标 (2)抛物线y=x2向平移 个单位长度， y=(x+1)2 y=(x-1)2 可得到抛物线y=(x-1)2. 课堂总结： 抛物线y=ax2 左右平移 1 抛物线y=a(x-h)2. a决定开口方向 h决定平移方向 方法提示 a>0,开口向 左+ 由a,h的作用画出y=a(x-h)2的大致图象即 a<0,开口向 右 可确定它的五要素 5.©(1)抛物线)y=向左平移1个单位长度， 6.(1)抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度， 得到的抛物线解析式为 得到的抛物线解析式为 (2)抛物线y=2x2向右平移3个单位长度， (2)抛物线y=-x2向右平移1个单位长度 得到的抛物线解析式为 得到的抛物线解析式为 7.已知抛物线y=(x-3)2. 8.已知抛物线y=-3(x+4)2 (1)开口向 (1)开口向 (2)顶点坐标是 (2)顶点坐标是 (3)对称轴是 (3)对称轴是 (4)当x= 时，y的最小值是 (4)当x= 时，y的最大值是 (5)当x 时，y随x的增大而增大 (5)当x 时，y随x的增大而增大 166 BSSX 过天检测 丛是础训练 9.将抛物线y=3x2向右平移1个单位长度所10.y=-2(x-1)2的图象大致是 得的抛物线解析式为 A.y=3(x-1)2 B.y=3(x+1)2 C.y=3x2-1 D.y=3x2+1 马能力训练 11.对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说12.抛物线y=(x-1)2向右平移2个单位长度 法正确的是 得到的抛物线解析式为 A.开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.顶点坐标是(-1,2) D.当x≥1时，y随x的增大而减小 色拓展训练 13.一个二次函数，当x=4时，有最小值为0,14.在平面直角坐标系中，直线y=-x+1与抛物 图象形状与y=3x2相同，则该二次函数的 线=-弓(x-1)的图象大致是 3 ()》 解析式为 15.【原创题】抛物线y=ax2+1先向下平移116.【易错题】抛物线y=-(x-1)2与x轴的交点 个单位长度，再向右平移1个单位长度，所 为 ,与y轴的交点为 得抛物线的解析式为 BSSX 167第5课二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 知识储备器 1.(1)抛物线y=x2向右平移2个单位长度，得2.猜想： 到的抛物线解析式为 抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再 (2)抛物线y=x2向下平移1个单位长度，得 向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析 到的抛物线解析式为 式为 新课学习形 知识点1画二次函数y=a(x-h)2+k的图象 3.在如图的平面直角坐标系中画出二次函数y=(x-2)2-1的图象. x y=(x-2)2-1 4.根据上一题填空： (1)抛物线y=x2先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，可得 到抛物线y=(x-2)2-1; (2)抛物线y=(x-2)2-1的图象性质： 开口方向对称轴 顶点坐标 最值 增减性 当x= 时，y有最 值为 当x 时，y随x的增大而增大 课堂总结： 抛物线y=ax2 左右平移 上下平移 y=a(x-h)2+k. a决定开口方向 h决定左右平移方向 k决定上下平移方向 平移规律 a>0,开口向 左+ 上+ 左+右 a<0,开口向 右- 下- 上+下- 方法提示：由a,h,k的作用画出y=a(x-h)2+k的大致图象，即可确定它的五要素. 知识点2二次函数y=a(x-h)+k的图象平移规律 5.④填空： 6.填空： (1)抛物线y=2x2先向左平移1个单位长 (1)函数y=5(x-3)2-2的图象可由函数 度，再向上平移3个单位长度，得到的抛 y=5x2的图象先向 平移 个 单位长度，再向 平移个单位 物线解析式为 长度得到； (2)抛物线y=x2先向下平移4个单位长度， (2)抛物线y=(x+2)2-3可由抛物线y= 再向右平移5个单位长度，得到的抛物 x2先向 平移 个单位长度，再 线解析式为】 向 平移 个单位长度得到. 168 BSSX 知识点3二次函数y=a(x-h)2+k的图象性质 7.④已知抛物线y=-2(x-1)2+3. 8.观察二次函数y=3(x+2)2-1的图象. (1)开口方向向 (1)开口方向向 (2)顶点坐标： (2)顶点坐标： (3)对称轴： ； (3)对称轴： (4)当x= 时，y有最 值为 (4)当x= 时，y有最 值为 (5)当x 时，y随x的增大而增大 (5)当x>-2时，y随x的增大而 过天检测器 凸县础训线 9.抛物线y=4x2先向左平移1个单位长度，再 10.(2023·茂名茂南区校级一模)将抛物线 向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析 y=-3(x+1)2+3向右平移2个单位长 式为 度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛 物线解析式为 ( A.y=-3(x+3)2+4 B.y=-3(x-1)2+2 C.y=-3(x+3)2+2 D.y=-3(x-1)2+4 之能打训缤 1.已知抛物线y=(:+3)2-1。 12.(1)二次函数y=- (：-1户+2的顶点 (1)开口方向向 是 函数的最大值为 (2)顶点坐标： (2)已知A(-2,y1),B(-3,y2)在抛物线 (3)对称轴： y=(x+1)2-3上，则y y2: (4)当x= 时，y有最 值为 (5)当x 时，y随x的增大而减小 色拓雨训缘 13.【易错题】设点A(-1,y),B(1,),C(2,3)14.【核心素养】已知二次函数y=(x-1)2-1. 是抛物线y=-2(x-1)2+m上的三点，则 y1,2y3的大小关系正确的是 A.y2>y3>y B.y1>y2>y为 C.y3>y2>y1 D.y1>y3>y2 3 2 67 (1)画出函数的图象； (2)函数的最小值为， (3)当2≤x≤5时，y最小值为 (4)当-2≤x≤2时，y最小值为 最大值为 BSSX 169微专题6二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 一、二次函数y=ar2+br+c(a≠0)的图象特征与系数a,b,c的关系 代数式 作用 代数式符号 图象特征 a>0 开口向上 a 决定开口方向 a<0 开口向下 c>0 交点在y轴正半轴 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 交点在原点 c<0 交点在y轴负半轴 b <0曰a·b>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 b 2a 决定对称轴的位置(“左同右异”)》 b=0 对称轴是y轴 6 >0=a·b<0(a,b异号)》 2a 对称轴在y轴右侧 L.例如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称 2.【变式练习】如图，抛物线y=a2+bx+c的对 轴为直线x=1,与x轴交于点(3,0)，下列结 称轴为直线x=-1,与x轴交于点(-3,0)， 论正确的有 (1,0),则下列结论错误的是 ①a>0:②c>0:③b>0:④b2-4ac>0: ①a<0;②c<0:③b<0;④b2-4ac<0; ⑤b+2a=0. ⑤b=2a. 二、几种常考的关系式的解题方法 a,b,c的关系式 方法指引 对应点坐标 ①a+b+c 当x=1时，y=a+b+c (1,a+b+c) ②a-b+c 当x=-1时，y= (-1,a-b+c) ③4a+2b+c 当x=2时，y= (2,4a+2b+c) ④4a-2b+c 当x=-2时，y= (-2,4a-2b+c) ⑤abc 根据开口方向、对称轴及与y轴的交点进行判断 62a-b或2a+b 根据对称轴位置进行判断 ⑦A=b2-4ac b2-4ac=0:与x轴有唯一交点（顶点） (决定抛物线与x轴 b2-4ac>0:与x轴有两个交点 的交点个数) b2-4ac<0:与x轴没有交点 174 BSSX 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于4.【变式练习】抛物线y=ax2+bx+c的对称 点(-1,0)，(3,0)，确定下列各式的符号： 轴为直线x=-1,且过点(1,0)，顶点位于 (1)a 0; 第二象限，其部分图象如图所示，给出以下 (2)c 0 判断： (3)b 0; ①ac>0,b>0: (4)b2-4ac 0: ②与x轴的另一个交点为(-3,0)： 5)-品 ③b2-4ac>0: 0; ④2a-b=0: (6)2a+b 0: ⑤4a-2b+c>0: (7)a+b+c 0;(提示：当x=1, ⑥9a-3b+c=0; y=a+b+c) ⑦9a+3b+c<0; (8)a-b+c 0 8a+b+2c>0: (9)4a+2b+c 0; ⑨c=3a-3b; (10)4a-2b+c0: 08a+c>0. (11)函数y的最小值为 其中正确的有 (填 序号) 中春实战 5.(2023·深圳光明区期中)如图是抛物线6.如图，二次函数y=ar2+bx+c(a>0)的图 y1=ax2+br+c(a≠0)图象的一部分，抛物线 象经过点A(-1,0),点B(m,0),点 的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个相交点 C(0,-m),其中2<m<3.下列结论中：① B(4,0),直线2=mx+n(m≠0)与抛物线相交 于A,B两点，下列结论中：①2a+b=0:②abc >0;②2a+c<0:③2a+b>0;④方程ax2+ bx+c+m=0有两个不相等的实数根.正确 >0:3抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)； 结论的个数为 ④方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数 A.1 根；⑤当1<x<4时，有y2<y,正确的是 B.2 B C.3 A.①②③ D.4 B.①④⑤ C.①3⑤ D.①④ BSSX 175第10课用待定系数法求二次函数解析式(1) 新课学习 1.已知二次函数的图象过三个点(0，-3)，2.(2023·梅州大埔县开学考)已知二次函数y= (1,0),(2,5),求这个二次函数的解析式 ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0), C(0,-3)三点，求这个二次函数的解析式 3.④已知二次函数的图象如图所示，求它的解4.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次 析式. 函数的解析式 5.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函 bx+4经过点B(2,4)与点C(-1,7).该抛 数y与自变量x的部分对应值如下表所示. 物线的解析式为 -2 0 2 -3 -4 则该二次函数的表达式为 课堂总结： 已知三点坐标求抛物线解析式的方法： ①设y=ax2+bx+c(a≠0)；②代入三点坐标列出方程组；③解出a,b,c,写出解析式. 180 BSSX 过天检测器 丛是础温练 7.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过8.【原创题】已知某二次函数的图象如图所示： A(0,1),B(2,-1)两点 (1)求这个二次函数的解析式； (1)求这个函数的解析式： (2)利用图象回答：当x取何值时，y≤0？ (2)试判断点P(-1,2)是否在此函数的图 象上 马能力训练 9.若抛物线y=ax2过点(-2,4)，(-3，k),则10.【原创题】如图，在x轴上，存在一个点P使 a= ,k= PA+PB的值最小，则点P的坐标为 B(4,2) 41,1) 1234 (3苑展训练 11.(1)如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A,顶点为B,求A,B两点的坐标； (2)在(1)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PA+PB最短？若点P存在，求出点P的 坐标；若点P不存在，请说明理由， BSSX 181第14课二次函数的应用(3)—数形结合 塔知识储备器 1.如图，SAOAP= 2.(1)已知A(-1,0),B(2,0),则AB= P(4,2) ； 0 A(3,ò法 (2)已知A(0,4),B(0,1),则AB= 新课学习 3.@如图，抛物线顶点为A(2,0),过C(3,1),4.如图，抛物线顶点为C,与y轴交于点P(0,3). 与y轴交于点B. (1)求抛物线的解析式； (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (2)求点B的坐标； (3)求四边形OACP的面积， (3)求四边形OACB的面积. -10 5.④抛物线y=-x2+2x+3的图象如图所示 6,如图，抛物线y=4(x-2》2-1过原点，顶点 已知A(-1,0),B(3,0),C(0,3). (1)连接AC,BC,SAABC= B的坐标为(2，-1)，与x轴的另一交点为A. (2)抛物线上存在点C'(不与点C重合)使 (1)点A的坐标为 SAARC=SAARC,求点C的坐标. (2)若点C在抛物线上且SAOAC=2SA0B,求 YA 点C坐标 188 BSSX 7.@如图，直线y=-x+3与抛物线y=-x2+8.如图，直线y=x-3与抛物线y=x2-2x-3 2x+3交于点A(0,3),B(3,0) 交于点A,B,点F在线段AB上，EF⊥x轴， (1)点F是线段AB上的点，FE⊥x轴，点E 点E在抛物线上. 在抛物线上，若点F的横坐标为m,请用 (1)若点F的横坐标为m,请用含m的代数 含m的代数式表示EF的长； 式表示EF的长； (2)求EF的最大值 (2)连接AE,BE,求△ABE面积的最大值 A 过天检测 9.【原创题】如图，已知抛物线过点A(-4,0),B(0,-4),C(2,0) (1)求抛物线的解析式； (2)若Sa4Cp=6,点P在抛物线上，求出点P的坐标； (3)若点F在线段AB上运动，过点F作FE⊥x轴交抛物线于点E,求EF的最大值； (4)在(3)中，是否存在以点O,B,E,F为顶点的平行四边形？请说明理由. BSSX 189第6课用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式 知识储备器 1.(1)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a± )2；2.填空： (2)x2+8x+ =(x+ )2； (1)x2+2x+ =(x+)2 (3)x2-3x+ =(x- )2 (2)x2-4x+ =(x-)2 新课学习谢 类型1a=1,b为偶数 3.用配方法将抛物线y=x2+6x-1化成顶4.已知二次函数y=x2+4x-6. 点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。 (1)将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k 的形式； (2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标 类型2a=1,b为奇数 5.求抛物线y=x2+x+1的顶点坐标. 6.求抛物线y=x2-3x+2的顶点坐标. 类型3a≠1 7.0求二次函数y=-2x2+12x-10的最8.求二次函数y=3x2-12x-3的最小值. 大值. 170 BSSX 9.国求抛物线y=--2x+3的顶点坐标 10【易辑题]求抛物线y=-多+3x+1的顶 点坐标 过天检测 马基础训练 马能力训线 11.已知抛物线y=2x2+8x. 12.已知抛物线y=-x2+2x+2. (1)化成顶点式为 (1)该抛物线的对称轴是 顶点坐标是 (2)顶点坐标为 (2)画出该抛物线的图象： (3)当x 时，y有最 值为 (4)当x 时，y随x的增大而增大。 (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2) 的横坐标满足x1>2>1,试比较y1与 2的大小 马拓展训缤 13.(2023·深圳宝安区三模)把二次函数y=14.若二次函数y=x2+mx+5配方后为 x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向 y=(x-2)2+k,则m+k=一 上平移1个单位长度，新二次函数的表达式 变为 () A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-1)2+2 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x+3)2-1 BSSX 171第8课二次函数与一元二次方程的关系(1) 新课学习 1.求抛物线与x轴、y轴的交点坐标： (1)y=x2-2x-3; (2)y=x2-6x+9; ! (3)y=x2-2x+3. ①A 0: ①A 0; ①4 0; ②x2-2x-3=0 ②x2-6x+9=0 ②x2-2x+3=0 实数根 实数根； 实数根； ③y=x2-2x-3与x轴有③y=x2-6x+9与x轴有③y=x2-2x+3与x轴有 个交点. 个交点。 个交点 A 0 3.0)主 (-1.0) (3.0) 课堂总结： 二次函数与一元二次方程的关系： △=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 4>0 有两个 的实数根 与x轴有 个交点 4=0 有 的实数根 与x轴有 个交点 4<0 实数根 与x轴有」 个交点 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(m,0),(n,0), 则方程ax2+bx+c=0的解为x1= 抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有 个交点( 176 BSSX 2.©判断抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点3.下列抛物线与x轴无交点的是 个数 A.y=x2+x-1 B.y=x2+x+1 C.y=x2+x D.y=x2 4.④若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有2个5.若抛物线y=x2+2x+m与x轴有交点，求m 交点，求m的取值范围。 的取值范围。 6.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为7.若方程ax2+bx=0的根为x1=0,x2=1,则 （-1,0),(2,0),则方程ax2+bx+c=0的解 抛物线y=ax2+bx与x轴的交点为 为 过天检测 马县础训练 8.抛物线y=x2-3x+1与y轴的交点个数是 9.抛物线y=x2-2x+1与x轴的交点坐标 ( 为 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 色能力训缘 10.二次函数y=ax2+bx+9的图象与x轴交 11.【易错题】(2023·深圳福田区三模)若函数 于一个点(-3,0)，则方程ax2+bx=-9的 y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则k 根为 的取值范围是 马拓展训练 12.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公 共点？ BSSX 177第二章 二次函数 第1课二次函数的相关概念 新课学习》 解析式 举例 一次函数 y=kx+b(k,b是常数，k≠0)》 y=3x+4;y=-x 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) y=3x2+4x+1:y=-x 知识点1二次函数的概念及判别 1.④下列是二次函数的是 2.(2023·梅州大埔县开学考)下列函数中，属 (1)y=-2x2-3x+1;(2)y=x3+2; 于二次函数的是 () (3)y=√R+x-1；(4)y=(x-3)2-x2. A.y=3x-1 1 By=7* C.y=(x+1)2-x2 D.y=2x2-3 知识点2根据二次函数求参数的取值范围 3.(1)已知y=x-x-1是二次函数，则实4.(1)已知y=(m-2)x-x-1是二次函 数m= 数，则实数m= (2)已知y=(m-3)x2-x-1是二次函数， (2)若y=(m-2)x-2是关于x的二次函 则实数m的取值范围是 数，则常数m的值为 知识点3列二次函数解析式 5.一个直角三角形的两直角边的和为16cm,6.用一根长16cm的铁丝围成一个矩形，矩形 其中一直角边为xcm,三角形面积为ycm2. 面积为ycm2,矩形一边长为xcm (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取 (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取 值范围； 值范围； (2)当x=2时，则y= (2)当y=16时，则x= 知识点4求函数自变量的取值范围 7.(1)函数y=√2x-6中自变量x的取值范8.(1)函数y= 1 中自变量x的取值范围 围是 √2x-6 ； 是 ； (2)函数y=x-3中自变量x的取值范围是 (2)函数y=-1 1 中自变量x的取值范围是 (3)函数y=√x+3中自变量x的取值范围 是 (3)函数y=-3x2+3x中自变量x的取值范 围是 160 BSSX 课堂总结： ①在二次函数y=ax2+bx+c中，注意a≠0这个条件； ②要学会根据实际问题列二次函数关系式； ③求函数自变量的取值范围时注意分母≠0，根号内式子≥0. 过天检测 丛县础训缓 9.下列各式中，y是x的二次函数的是( 1 10.(1)函数y= 中自变量x的取值范围 √x-2 A.y=ax2+bx+c B.y=2+x(x+1) 是 C.y=x2-(x+2)2 D.y2 (2)函数y=,2中自变量x的取值范围是 11.当k 时，y=(k+1)x2是关于x的 12.当x=-1时，二次函数y=x2+1的值为 二次函数 马能力训缓 13.某种商品价格为5元，准备进行两次降价，14.用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩 如果每次降价的百分率都是x,经过两次降 形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方 价后的价格y(单位：元)随每次降价的百分 米，则y关于x的函数关系式为 () 率x的变化而变化，则y与x之间的关系式 A.y=-x2+10x B.y=x2-10x 为 C.y=-x2+20x D.y=x2-20x 15.【易错题】已知函数y=(m-1)x2+3x-2. 16.已知正方形的对角线长为x,面积为y,则y (1)当m 时，它是二次函数； 与x之间的函数关系式为 (2)当m 时，它是一次函数 色苑展训练 17.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花 圃的宽AB为x米，面积为S平方米 (1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； D (2)若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围 BSSX 161第12课二次函数的应用(1)一最值问题 新课学习》 1.如图，要用总长为20m的铁栏杆，一面靠2.如图，有一根长为20cm的铁丝，把它弯成一 墙（墙长12m)围成一个矩形花圃ABCD,设 个矩形ABCD,其中AB=xcm,矩形面积为 AB=xm,矩形ABCD的面积为ym2. y cm2. (1)求y与x之间的函数关系式； (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当x为何值时，花圃的面积最大？最大 (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大 面积是多少？ 面积为多少？ 3.@某种运动鞋平均每天可售出20双，每双4.某商场将进货价为30元的台灯以40元售 盈利40元，如果每双降价1元，那么每天可 出，平均每月能售出600个.调查发现，售价 多售出2双， 在40元至60元范围内，这种台灯的售价每 (1)要想平均每天销售盈利1200元，那么每 上涨1元，其销售量就减少10个，设该商场 双运动鞋应降价 元 决定把售价上涨x(0<x<20)元. (2)当降价多少元时，可获得最大利润？最 (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售 大利润是多少？ 出 个台灯（用含x的代 数式表示). (2)台灯售价定为多少元时，每月销售利润 最大？ 184 BSSX 过天检测 丛是础温练 马能力训综 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,6.某商家准备销售一种防护品，进货价格为每 BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B 件50元，并且每件的售价不低于进货价.经 以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始 过市场调查，每月销售量y(件)与每件的售 沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，且当 价x(元)之间满足如图所示的函数关系. 其中一点到达终点时，另一个点随之停止 (1)求该防护品每月的销售量y(件)与每件 移动 的售价x(元)之间的函数关系式（不必 (1)P,Q两点出发2s后，△PBQ的面积 写出自变量的取值范围)； 是多少？ (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不 (2)设P,Q两点同时出发移动的时间为ts, 允许高于进货价的30%.设这种防护品 求△PBQ面积的最大值， 每月的总利润为（元），则售价定为多 少元可获得最大利润？最大利润是 多少？ A每月销售量y/件 600 400 6080售价x/元 还拓展训缤 7.【教材改编】(U九上P52)某宾馆有50个房间供游客住宿.若每个房间每天的定价为180元，房间 会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.另外宾馆需对每个居住 房间每天支出20元费用.房价定为 元时，宾馆获得的利润最大，为 元 BSSX 185第16课 二次函数单元复习 县础练习 1.(2023·深圳福田区模拟)在平面直角坐标2.若二次函数y=x2-6x+3的图象与x轴有 系中，将抛物线y=-x2-1先向右平移1个 交点，则k的取值范围是 单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的 新抛物线的解析式为 ( A.y=-(x-1)2-4B.y=-(x+1)2-4 C.y=-(x-1)2+3 D.y=-(x+1)2+3 3.某企业今年第一个月新产品的研发资金为 100万元，以后每月新产品的研发资金与上 4关于二次函数y=-x-3P-2的图象与 月相比增长率都是x,则该企业今年第三个 性质，下列结论错误的是 月新产品的研发资金y(万元)关于x的函数 A.抛物线开口方向向下 关系式为y= B.当x=3时，函数有最大值-2 C.当x>3时，y随x的增大而减小 D.抛物线可由y=经过平移得到 5.已知二次函数y=a(x-1)2,当x<1时，y随6.二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为 x的增大而增大，则a的取值范围是( 直线 ( A.a≥0 B.a≤0 A.x=4 B.x=-4 C.a>0 D.a<0 C.x=2 D.x=-2 7.(2023·深圳龙岗区校级月考)根据下列表8.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则 格的对应值，判断ax2+bx+c=0(a≠0，a,b, 其对称轴是 ,当函数值y<0 c为常数)的一个解x的取值范围是( 时，对应x的取值范围是 x 5 6 ax2+bx+c -16 -6 10 19 A.4<x<5 B.5<x<6 C.6<x<7 D.5<x<7 9.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c 10.(2023·佛山南海区校级模拟)如图，抛物线 都经过点A(1,0)和B(3,2),不等式x2+bx+ y=ax2+bx+c交x轴于点(-1,0)和 c>x+m的解集为 (4,0),关于该抛物线的性质描述不正确 的是 A.abc<0 B.b2>4ac C.当x>0时，y随x的增大 而减少 D.当-1<x<4时，y>0 192 BSSX 提升练习 11.(2023·梅州五华县一模)某商场购进一批 12.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点 单价为16元的日用品，销售一段时间后，经 A(3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. 调查发现，若按每件20元的价格销售时，每 (1)求抛物线的解析式； 月能卖360件；若按每件25元的价格销售 (2)D为抛物线上一点，且不与点B重合， 时，每月能卖210件，若每月销售件数y 若SAACD=S AABC,求点D的坐标； (件)与价格x(元/件)满足关系y=x+b. (3)E为抛物线上一点，若∠BCE=45°，求 (1)确定y与x的函数关系式，并指出x的 点E的坐标 取值范围。 (2)为了使每月获得的利润达1800元，商 品的定价应为每件多少元？ (3)为了获得最大的利润，商品的定价应为 每件多少元？ OB 13.如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点，已知点A(1,0), AB=4,点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. (1)求该抛物线的解析式； (2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标. BSSX 193教材母题回归 1.(BS九下P43)已知二次函数图象的顶点坐3.(BS九下P53)二次函数y=-x2+3x+4的 标是(-1,1)，且经过点(1，-3)，求这个二 图象与一次函数y=2x-1的图象相交吗？ 次函数的表达式。 如果相交，请求出它们的交点坐标， 2.(BS九下P44)已知二次函数的图象经过 (-1,10),(1,4),(2,7)三点，求这个二次函 数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 4.(RU九上P47)画出函数y=x2-2x-3的图 象，利用图象回答： (1)方程x2-2x-3=0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0？ (3)x取什么值时，函数值小于0？ 194 BSSX 5.(BS九下P41)当火箭被竖直向上发射时，它7.(RU九上P52)如图，四边形ABCD的两条对 的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式 角线AC,BD互相垂直，AC+BD=10.当 h=-52+150t+10表示.经过多长时间，火 AC,BD的长是多少时，四边形ABCD的面积 箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？ 最大？ 6.(BS九下P50)某旅行社组团去外地旅游， 30人以上组团成功，每人单价800元，旅行 社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每 增加一人，每人的单价就降低10元.你能帮 助算一下，当一个旅游团的人数是多少时， 旅行社可以获得最大营业额？最大营业额 是多少？ BSSX 195核心素养专练 1.(BS九下P62)某种蔬菜的销售单价与销售2.(BS九下P46)如图，在一个直角三角形的内 月份之间的关系如图(1)所示，成本与销售 部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在 月份之间的关系如图(2)所示[图(1)的图 两直角边上 象是线段，图(2)的图象是抛物线].哪个月 (1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边 出售这种蔬菜，每千克的收益最大？（收益= 的长度如何表示？ 售价-成本) (2)设矩形的面积为ym,当x取何值时，y A每千克售价/元 A每千克成本/元 的值最大？最大值是多少？ F 4 30 mD 6月份 6月份 (2) B 40m 196 BSSX 3.(BS九下P61)一座抛物线形拱桥如图所5.(BS九下P61)如图，隧道的截面由抛物线和 示，桥下水面宽度是4m时，拱顶到水面的 长方形构成.长方形的长为16m,宽为6m, 距离是2m.当水面下降1m后，水面宽度 抛物线的最高点C离路面A4,的距离为 是多少？ 8m. (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛 静 物线的函数表达式： (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为 7m,宽为4m.如果该隧道内设双向行 车道，那么这辆货车能否安全通过？ 4.(BS九下P60)如图（单位：m),等腰直角三 角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方 形移动，直到AB与CD重合.设经过xs,三 角形与正方形重叠部分的面积为ym2 (1)写出y与x的关系式： (2)当重叠部分的面积是正方形面积的一半 时，三角形移动了 S. 10 10 B10 BSSX 197新课标、新题型特训一实验、探究与活动 1.(BS九下P46)如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直 角边上 (1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ D 40m 2.(BS九下P46)在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形 的最大面积是多少？你是怎么知道的？ 的 40m 3.(BS九下P61)一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶到水面的距离是 2m.当水面下降1m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m) 198 BSSX 4.【变式练习】(2023·舟山定海区期中)根据以下素材，探索完成任务. 如何设计警戒线之间的宽度 C G 素材1 图1 图2 图3 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24m,拱 顶离水面的距离为CD=4m 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面 素材2 的船身为矩形，船顶为等腰三角形.测得相关数据如下：EF=EK=1.7m,FK=3m, GH=IJ =1.26 m,FG=JK =0.4 m 为确保安全，拟在石拱桥下面的点P,Q两处设置航行警戒线，要求如下： 素材3 ①游船底部HI在点P,Q之间通行： ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5m 问题解决 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物 任务1 确定拱桥形状 线的函数表达式 任务2 设计警戒线之间的宽度 求PQ的最大值 BSSX 199第7课用公式法求y=ax2+bx+c的顶点坐标及对称轴 和识储备 1.求抛物线y=2x2+12x-2的顶点坐标， 塔新课学习》 2.求抛物线y=ax2+br+c(a≠0)的顶点坐标 解：y=am2+x+e=d+到+e=a父+合+ 12 所以y=ax+2a 4ac-b2 4a .顶点坐标为( 课堂总结： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). )化为顶点武y=+,(@顶点坐标会“。的： (3)对称轴：直线x= ;(4)当x= 时，y的最值为 知识点1利用公式求顶点坐标及对称轴 3.@求抛物线y=-2x2+4x-1的对称轴及顶4.求抛物线y=2x2-12x+1的对称轴及顶点 点坐标 坐标， 5.【易错题】求抛物线y=-多++1的对称6求抛物线y=+2x-3的开日方向、对称 轴及顶点坐标 轴及顶点坐标 172 BSSX 知识点2已知对称轴或顶点坐标求系数的值 7.抛物线y=2x2+4mx+m-5的对称轴为8.抛物线y=x2+mx+n的顶点为(1,1)，则 直线x=2,求m的值及顶点坐标. m= ,n= 过天检测影 凸县础训练 马能力训线 9.求二次函数y=-x2-3x+1的图象的顶点10.已知二次函数y=-2x2+4x+6. 坐标 (1)求该函数图象的顶点坐标和对称轴. (2)自变量x在什么范围内，y随x的增大 而增大？ 还拓展训练 11.抛物线y=mx2+4x-2的对称轴为直线12.抛物线y=x2+(m-2)x的对称轴是直线 x=1,求m的值及顶点坐标. x=-1,则m= BSSX 17345 3 BD=AB,∠D=∠DAB. ∠ABC=∠D+∠DAB=45°， .∠D=22.5 在RL△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=45°，AC=1, .BC=AC=1. .AB=√AC+BC=T+下=2 .DC=2+1. 在R△ADC中，tan22.5°=4C 1 2-1 2+1(2+1)(2-1) =2-1, .tan22.5°=√2-1. 第二章二次函数 第1课二次函数的相关概念 1.(1)2.D 3.(1)2(2)m≠3 4.(1)-2(2)-2 5解：0y=(16-) =-7+8(0<x< 16). (2)14 6.解：(1)y=x(8-x) =-x2+8x(0<x<8). (2)4 7.(1)x≥3(2)x≠3 (3)x可取任意实数 8.(1)x>3(2)x≠±1 (3)x可取任意实数 9.B10.(1)x>2(2)x≠2 11.≠-112.2 13.y=5(1-x)214.A 15.(1)≠1(2)=1 16y= 17.解：(1)S=BC·AB=(24-3x)x =-3x2+24x, 由题意得。>0 解得0<x<8. (2)24-3x≤9，∴.x≥5，综合 (1)得5≤x<8. 第2课二次函数y=ax2的 图象与性质 1.解：(1)列表： 0 y=x+1 1 0 (2)描点，连线， )4 0.1山 0 (-1.0) 圆盟学墓数学九年 2.解：如图所示： 函数图象如图所示 41014 FA 02 22 2 -3-2-23 2 2.(1)上1 (2)下1 向上y轴(0,0) 向上y轴(0,1) 3.解：如图所示： 向上y轴(0，-1) -4-10-1-4 3.解：-2121-2 0-2 -2 函数图象如图所示. 课堂总结： 向上(0,0)y轴00增大 4.(1)y=-x2+2(2)y=-x2-2 减小 向下y轴(0,0) 向下(0,0)y轴00减小 向下y轴(0.2)》 增大 课堂总结： 4.(1)>(2)上(3)y轴 上下 (4)(0.0)(5)00(6)增大 5.(1)下(2)y轴(3)(0,0) 5y=+1 (4)0大0(5)<0 (2)y=-3x2-2 6.(1)<(2)下(3)y轴 6.(1)y=4x2-1(2)下4 (4)(0,0)(5)00(6)减小 7.向上y轴(0，-3)0小 7.B8.C9.B -3增大 10.解：(1)抛物线(0,0》 向下y轴(0,1)0大1 (2)函数图象如图所示： 增大 8.y=2x2+19.y轴(0,1) -2 0 1 10.(0,2)0211.上<0 0 12.C13.D14.> 第4课二次函数y=a(x-h) 的图象与性质 L.y=x2+12.下4 3.解：列表如下： …-3-2-i01 23 16 11.解：(1)把点A(-2,-8)代入 =(+1) y=ax =(-12 169 41 得4a=-8,a=-2; (2)把点P(m,-6)代入 (x-1) y=-2x2中，得-2m2=-6, .m=±5， ∴点P的坐标为(-5，-6)或 (3,-6) -4-3-2-0 234 (3)当x=2时， y=-2×22=-8. 4.(1)左1(2)右1 ,点M(2,8)不在此抛物线上. 向上x=-1(-1,0) 第3课二次函数y=ar2+k的 向上x=1(1,0) 图象与性质 课堂总结： 知识储备 上下 y=x2+1 1 1.解：52125 5.(（0y=3(x+1) 30-103 (2)y=-(x-1)2 级全一册BS版32课堂本参考答案 6.(1)y=-2(x+1) (2)y=2(x-3)2 7.(1)上(2)(3,0) (3)直线x=3(4)30 (5)>3 8.(1)下(2)(-4.0) (3)直线x=-4(4)-40 (5)<-4 9.A10.D11.B 12.y=(x-3)213.y=3(x-4)2 14.D15.y=a(x-1)2 16.(1,0)(0,-1) 第5课二次函数y=a(x-h)2+ 的图象与性质 1.(1)y=(x-2)2(2)y=x2-1 2.y=(x-2)2-1 3.-1012345830 -1038 A (-221 4.(1)右2下1 (2)向上x=2(2,-1)2 小-1>2 课堂总结： 上下 5.(1)y=2(x+1)2+3 (2)y=(x-5)2-4 6.(1)右3下2 (2)左2下3 7.(1)下(2)(1,3) (3)直线x=1 (4)1大3 (5)<1 8.(1)上(2)(-2，-1) (3)直线x=-2 (4)-2小-1 (5)增大 9.y=4(x+1)2+2 10.B 11.(1)上(2)(-3，-1) (3)直线x=-3 (4)-3小-1(5)<-3 12.(1)(1,2)2(2)< 13.A 14.-10123 30-103 (1) 4 2 -10八134567x (2)-1(3)0(4)-18 第6课用配方法将y=ax2+bx+ 化成y=a(x-h)2+k的形式 L(1)b(2)164(3)93 042 2.(1)11(2)42 圆盟学墓数学 3.解：y=x2+6x+9-1-9 =(x+3)2-10. 开口向上，顶点坐标为 (-3,-10), 顶点坐标为1，) 对称轴为直线x=-3. 11.(1)y=2(x+2)2-8 4.解：(1)y=x2+4x+4-6-4 (2)(-2,-8) =(x2+4x+4)-10 (3)=-2小 -8 =(x+2)2-10: (4)>-2 (2)y=(x+2)2-10, 12.解：(1)直线x=1(1,3) :a=1>0,.二次函数图象的开 (2)函数图象如图所示： 口向上，对称轴是直线x=-2,顶 -10123 点坐标是(-2，-10). -1232 5.解：y=x2+x+1 1 3 =(+++ ++经 (3)a<0, 对称轴为直线x=1, 小顶点坐标为（分） ∴当x>1时，y随x的增大而 减小， 6.解：y=x2-3x+2 .当x1>2>1时，出<2 =-3++2- 13.C14.-3 第7课用公式法求y=ax2+b+c 4 的顶点坐标及对称轴 1.解：y=2(x2+6x)-2 顶点坐标为（弓，） =2(x2+6.x+9-9)-2 =2(x2+6x+9）-2×9-2 7.解：y=-2(x2-6x+9-9)-10 =2(x+3)2-20, =-2(x2-6x+9)+(-2)× .顶点坐标为(-3，-20). (-9)-10 bb b 4ac-b =-2(x-3)2+8. 2.4n4o -2a 4a .-2<0 课堂总结： ∴.当x=3时，函数有最大值8. b 4ae-2 8.解：y=3(x2-4x)-3 (3)-品4- 4a =3(x2-4x+4-4)-3 3.獬：a=-2,b=4,c=-1, =3(x2-4x+4)-3×4-3 名2x1 4 =3(x-2)2-15. 3>0, 4ac-2_4×(-2)×(-1)-4 .当x=2时， 4a 4×(-2) 函数有最小值-15. =1. 9解：y-2+3 对称轴为直线x=1,顶点坐标 为(1,1). 4. =2+4)+3 解：a=2,b=-12,c=1, b =-2×2 2a 23 =-+4+4-4)+3 4e-B_4x2x1-(-12)2 4a 4×2 =-17 对称轴为直线x=3,顶点坐标为 (-4)+3 =+2+5. (3,-17) 5.解：a=- ,b=1,c=1, 3 .顶点坐标为(-2,5) b 1 1 10解=-+3+ .-2a 2×( 3 =-d-2x+*1-0+1 4ac-b2 4×(-x1- =-(2-2x+1)+ 4a 4x(引 (x(-0+1 7 6 ,年级全一册BS版33课堂本参考答案 :对称轴为直线x=了，顶点坐 标为行) 6解：0=3b=2c=-3, 2 -2a s-2. 2×2 54了x(-3)-2 4a 1 4￥2 =-5. ·该抛物线的开口向上，对称轴 是直线x=-2, 顶点坐标为(-2，-5). 7.解：a=2,b=4m,c=m-5. 依题意-名=投3=2，解得 m=-2, .b=4×(-2)=-8, c=-2-5=-7. 4e-6 =4×2×(-7)-(-8)2 4×2 =-15. .顶点坐标为(2，-15) 8.-22 9.解：y=-x2-3x+1 32,13 =-（x+2)+4, 313 顶点坐标为-24} 10.解：(1)a=-2,b=4,c=6, b 4 20=2×（-2)=l 4c-&_4x(-2)x6-4=8, 4a 4×(-2) ,抛物线的对称轴为直线x=1, 顶点坐标为(1,8. (2)a<0,∴抛物线的开口 向下， 又：抛物线的对称轴为直线 x=1, 当x<1时，y随着x的增大 而增大. 11.解：，a=m,b=4,c=-2, ”4=1 m=-2. ∴，0=-2. 4ac-b2 4a _4×(-2)×(-2)-4=0 4×(-2) 顶点坐标为(1,0). 12.4 微专题6二次函数y=ax2+bx+c 的图象与系数a,b,c的关系 1.②3X452.①34 二、几种常考的关系式的解题方法 ②a-b+c③4a+2b+c ④4a-2b+c 圆盟学墓数学九年 3.(1)>(2)<(3)<(4)> 与x轴只有一个公共点。 (5)>(6)=(7)<(8)= 第9课二次函数与一元二次 (9)<(10)>(11)a+b+c 4.2345678⑨ 方程的关系(2) 5.B6.D 1.(1)1(2)>1(3)<1 第8课二次函数与一元 2.(1)直线x=1(2)-1或3 二次方程的关系(1)】 (3)x<-1或x>3 1.(1)解：当x=0时，y=-3: (4)-1<x<3 当y=0时，x2-2x-3=0. 3.解：(1)当x=0时，y=3: 当y=0时，x2-4x+3=0,解得 解得x1=-1,2=3, ,与x轴交点为(-1,0)和(3， x=1,x2=3.点A的坐标为 0),与y轴交点为(0，-3). (1,0),点B的坐标为(3,0)，点C ①>②有2个不相等的 的坐标为(0,3) 32 (2)解：当x=0时，y=9: (2)直线x=2 当y=0时，x2-6x+9=0. (3)x<1或x>31<x<3x>2 解得x1=x2=3, 4.解：当y=0时，-x2+6x-5=0, .与x轴交点为(3,0)，与y轴交 解得x1=1,2=5,.与x轴的交 点为(0,9). 点为(1,0)和(5,0) ①=②有2个相等的③1 (1)1<x<5(2)直线x=3 (3)解：当x=0时，y=3: (3)x>3 当y=0时，x2-2x+3=0,方程 无实数根 注意： 与x轴无交点，与y轴交点为 5.(1)-1或4(2)x<-1或x>4 (0,3).①<②无③0 (3)-1<x<4 课堂总结： 6.(1)0或3(2)0<x<3 不相等2两个相等1无0 (3)x<0或x>3 m n I 0 c 课堂总结： 2.解：4=b2-4ac 上面函数图象与x轴的交点等 =(-4)2-4×1×3=4>0, 高函数图象在x轴下面为，比 “.抛物线与x轴的交点个数为 低的 2个. 7.A8.C9.x<-2或x>4 3.B 10.D11.B 4.解：4=b2-4ac 12.解：设y=-x2+2x =22-4×1×(m-1) .a=-1<0 =8-4m, .抛物线开口向下 依题意，得8-4m>0. 当y=0时，-x2+2x=0,解得 ∴，m<2 x=0,x2=2. 5.解：4=b-4ac=2-4×1·m ∴.抛物线与x轴的交点为(0， =4-4m, 0),(2.0) 依题意，得4-4m≥0， ∴.如图，当x<0或x>2时，y<0 .m≤1. ∴.-x+2x<0的解集为x<0或 6.x1=-1,x1=2 X>2 7.(0.0),(1,0)8.B9.(10) 10.x1=名2=-311.k≥-1 12.(1)证明： 4=(-2m)2-4×1×(m2+3) =4m2-4m2-12 第10课用待定系数法求 =-12<0. .方程x2-2mx+m2+3=0没 二次函数解析式(1) 有实数解，即不论m为何值，该 1.解：设这个二次函数的解析式为 函数的图象与x轴没有公共点 y=ax2+x+c,将(0，-3)，(1， (2)解：y=x2-2mx+m+3= 0),(2,5)三点坐标代入得 (x-m)2+3, r-3=c, 把函数y=(x-m)2+3的图象 0=a+b+c, 沿y轴向下平移3个单位长度 5=4a+2b+c, 后，得到函数y=(x-m)2的图 ra=1. 象，它的顶点坐标是(m,0),因 解得{b=2, 此，这个函数图象与x轴只有一 [c=-3」 个公共点. ∴这个二次函数的解析式为 所以，把函数y=x2-2x+m2+3 y=x2+2x-3. 的图象沿y轴向下平移3个单 2.解：将点(-1,0)，(3,0)，(0，-3) 位长度后，得到的函数的图象 分别代入y=ax2+br+c,得 级全一册BS版34课堂本参考答案 ra-b+c=0, fa=1, 9a+3b+c=0,解得{b=-2 lc=-3, e=-3. “这个二次函数的解析式为 y=x2-2x-3. 3.解：由图象知，二次函数过(0， 3),(-1,0),(3,0)三点，设其解 析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 将三个点的坐标代人得 r3=c, r=-1. 0=a-b+c,解得{b=2. 0=9a+3b+c, lc=3, ∴所求函数解析式为 y=-x+2x+3. 4.解：由图象知过(0,0)，(2,0)， (1,-1).设解析式为y=ax2+ bx+c(a≠0).将三个点的坐标 代人得 r0=c, 0=4a+2b+c, -1=a+b+c, ra=1, 解得{b=-2 c=0, ,所求函数的解析式为 y=x2-2x. 5.y=x2-2x+4 6.y=x2+2x-3 7.解：(1)把A(0,1),B(2,-1)两 点代入y=x2+bx+c, 04+2+e=-. b=-3, {c=1: ∴.这个函数的解析式为 y=x2-3x+1: (2):二次函数解析式为y=x -3x+1,把x=-1代入y=x2- 3x+1,得y=1+3+1≠2， ·点P(-1,2)不在此函数图 象上 8.解：(1)由图象可知二次函数过 点(0,2)，(1,0)，(20) 设解析式为y=ax2+bx+c(a≠ 0),将三个点坐标代入 r2=e, 得0=a+b+c, l0=4a+2b+c, ra=1, 解得{b=-3, le=2, .这个二次函数的解析式为 y=x2-3x+2. (2)1≤x≤2. 9.1910.(2.0) 11.解：(1)令x=0,得y=3, ∴.A点坐标为(0,3)， 由y=x2-4x+3=(x-2)2-1得 B点坐标为(2，-1)： (2)点P存在.如图，连接AB, 交x轴于点P,即使得PA+PB 最短. 圆照学墓数学九年 ∴，抛物线的解析式为 y=-2(x-1)(x-3), 即y=-2x2+8x-6. 7.解：由图象知，该抛物线顶点为 (-1,-4),设其解析式为y= a(x+1)2-4,再将点(0，-3)代 设直线AB的解析式为 人，得-3=a-4. 解得a=1, y=kx+b 过A(0,3),B(2,-1), 所以抛物线的解析式为 y=(x+1)2-4. 即y=x2+2x-3. y=-2x+3,把y=0代入，得 8.解：由图可知该抛物线与x轴交 于点(-1,0)，(3,0). x=2 设该抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3). ∴AB与：轴的交点为号，0， 将点(0,3)代入得 点P的坐标为？0 3=a(0+1)(0-3) 解得a=-L. 第11课 用待定系数法求二次 “.抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3) 函数解析式(2) 即y=-x2+2.x+3 1解：设抛物线的解析式为 9.解：，过B,C,D三点的抛物线的 y=a(x+1)2+2. 顶点坐标为(2,2)， 把点(0，-1)代入，得 AD∥BC∥x轴， a·(0+1)2+2=-1, ∴.BC=4 解得a=-3. :四边形ABCD是平行四边形， ∴抛物线的解析式为 ∴.AD=BC=4. y=-3(x+1)2+2. :A的坐标为(2,6)， 2.解：由图象知A(2,-4),B(0,4), D(6,6),设抛物线为y=a(x- 设抛物线的解析式为 2)2+2,代入D的坐标得 y=a(x-2)2-4. 将B(0,4)代人得 6=16a+2,解得0=4 4=a(0-2)2-4. .抛物线的函数解析式为 解得a=2, ∴.抛物线的解析式为 y=(x-2+2=2-x+3. y=2(x-2)2-4=2x2-8x+4. 10.解：(1)将(0,0)，(-4,0)代人 3.解：依题意，设函数的解析式为 y=a(x+2)2-1 得8i6e+16+ 将点(0,3)代人，得3=4a-1, 解得a=1, 解得0=1， 1c=0. ∴函数的解析式为 y=-x2-4x y=(x+2)2-1=x2-4x+3. (2)·OA=4,设△A0P的边OA 4. 解：依题意，设函数解析式为 上的高为h, y=a(x-3)2+4 将点(4，-3)代人，得-3=a+4 小分×4h=8,解得后=4 解得a=-7, 把y=4代入y=-x2-4x “.这个二次函数的解析式为 得x1=x2=-2, y=-7(x-3)2+4 则P(-2,4). =-7x2+42x-59 把y=-4代入y=-x2-4得 5.解：依题意，设函数的解析式为 x=-2±22，则 y=a(x+3)(x-1). 将点(0，-3)代入， P2(-2+22,-4), 得-3=-3a. P(-2-22,-4). ∴.a=1, 综上所述，点P坐标为(-2,4) “.所求函数解析式为 或(-2+22，-4)或 y=(x+3)(x-1), (-2-22,-4). 即y=x2+2x-3. 第12课二次函数的应用(1) 6.解：由图象可知二次函数的图象 与x轴的两个交点坐标为 一最值问题 (10),(3,0) 1.解：(1)y=x(20-2x) 依题意设函数的解析式为 =-2x2+20x: y=a(x-1)(x-3), (2)y=-2x2+20x 将点(2,2)代入得a=-2 =-2(x-5)2+50. 吸全一册BS版35课堂本参考答案 当x=5时，花圃的面积最大，最 大面积为50m2. 2.解：(1)y=x(10-x) =-x2+10x: (2)y=-x2+10.x =-(x-5)2+25. 当x=5时，矩形的面积最大，最 大面积为25cm2。 3.解：(1)设每双运动鞋应降价 x元， 则(40-x)(20+2x)=1200. 解得x1=10,2=20. 故答案为10或20. (2)设利润为y,则y=(40-x) (20+2x)=-2(x-15)2+ 1250. 当x=15时，ym=1250. ∴.降价15元时，可获最大利润 1250元. 4.解：(1)(600-10x) (2)设每月的销售利润为元， 依题意，得 0=(40-30+x)(600-10x) =-10(x-25)2+12250. :-10<0,0<x<20,x取整数， ∴当x=9时，w有最大值，最大 值为11890. 此时售价为40+19=59（元）. 答：台灯售价定为59元时，每月 销售利润最大. 5.解：(1)P,Q移动ts时， AP =t cm,BO =2t cm, 则PB=AB-AP=(6-t)cm, ASam=BP.BQ =2(6-)·21 =t(6-t)(cm2), .P,Q两点出发2s后， Sam=2×(6-2)=8(cm'), 故P,Q两点出发2s后，△PBQ 的面积是8cm, (2)Sam=-12+61 =-(t-3)2+9, 在移动过程中，△PBQ的最大 面积是9cm, 6.解：(1)由图象可知每月销售量y (件)与售价x(元)之间为一次 函数关系，设其函数关系式为 y=x+b(k≠0，x≥50)， 将(60,600)，(80,400)代入，得 ±0解得化10 ∴.每月销售量y(件)与售价x (元)的函数关系式为 y=-10x+1200: (2)由题意得 w=(-10x+1200)(x-50) =-10x2+1700x-60000 =-10(x-85)2+12250, .-10<0,.当x≤85时 和随x的增大而增大， :该防护品的每件利润不允许 圆盟照学墓数学九年 高于进货价的30%， ∴x≤50×(1+30%)，即x≤65 a=-2 ,当x=65时，w取得是大值. 最大值=-10(65-85)2+ y三-7(x+2)(x-2) 12250=8250. ∴.售价定为65元可获得最大利 2 润，最大利润是8250元 (2)当y=-2. 7.35010890 第13课二次函数的应用(2) 则-7+2=-2 -抛物线型问题 解得x,=22,x=-22(舍去) “.水面宽度为42米 1.解：(1)4-b 6. 解：(1)由图可知P(6,6),M(12,0). 4a 设抛物线的解析式为 4x-)x0-( y=a(x-6)2+6. 将点M(12,0)代入得 4×() 0=a(12-6)2+6, 1 ∴.0=- 6 ∴球飞行过程中的最大高度为 心y=6x-62+6 5米 6+2 (2)令y=0,则-2+=0， (2)当y=4,则-石+2x=4, 解得x,=0,x2=8.∴.最大水平距 解得x1=6+25,x2=6-23. 离为8米 CD=6+23-(6-25) 2解：1)y=--22+4. =43(米). 当x=2时，ymn=4。 ∴.铅球飞行过程中的最大高度 7(14(2号 为4米. 8.解：(1)把y=4-2=2代入 (2)当y=0时， y=-+4, 则-名-2)2+4=0 得2=+4， 解得x1=6,x2=-2(舍去) .成绩为6米 解得x=±22，，此时可通过物 3.解：(1)顶点A(6,3). 体的宽度为22-(-22)= 设y=a(x-6)2+3. 42>2,.能通过： 过(0,0)， (2)结合(1)可知当隧道内设双 .0=a(0-6)2+3. 向行车道时，相同高度下可通过 .a=-i2 1 宽22m的车辆.22>2， ∴能通过 y=--6+3 第14课二次函数的应用(3) (2)当x=9时， 数形结合 y=70-6+3=225<25 1.32.(1)3(2)3 3.解：(1)设抛物线的解析式为 能射中球门 y=a(x-2)2, 4.解：(1)由图知P(0,3), 将点C(3,1)代人得 A(1,4), 1=a(3-2)2. 设y=a(x-1)2+4, .a=1, 过P(0,3), y=(x-2)2=x2-4x+4 .3=a(0-1)2+4. (2)当x=0时，y=4, ∴a=-1,y=-(x-1)2+4. ∴B点坐标为(0,4) (2)当y=0时，x1=-1(舍去)， (3)如图，过点C作CD⊥x轴于 x2=3. 点D. ·.水池半径至少3米. 5.解：(1)AB=4,0C=2, ∴A(-2,0),B(2,0),C(0,2). 设抛物线的解析式为 y=a(x+2)(x-2), 将点C(0,2)代人得 2=a(0+2)(0-2), 段全一册BS版36课堂本参考答案 =分x1+4)x3- 1×(3 m-+ 2)×1=7. 4.解：(1)设抛物线的解析式为 当m=2时，F的最大值为？ y=a(x+1)2+4, 8.解：(1)设点F的坐标为(m,m- 将点P(0,3)代入得 3) 3=a(0+1)2+4, 则点E的坐标为(m,m2-2m-3), ∴.a=-1. .EF=(m-3)-(m2-2m-3) y=-(x+1)2+4 =m-3-m2+2m+3 =-x2-2x+3. =-m2+3m (2)当y=0时， 则-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, (2)把y=0代人y=x-3 .与x轴的交点坐标为A(-3, 得x-3=0, 0),B(1,0). x=3,0B=3, (3)如图，过点C作CD⊥x轴于 点D, EFO 1 =2(-m2+3m)x3 1 s、 3 9 2m+2m 31 27 -1OB\ △AE面积的最大值为受 S边形p=S梯形wCp+Sae =7x(3+4)x1+3×2x4 9.解：(1)设抛物线解析式为 y=a(x+4)(x-2). 将点B(0,-4)代入得 1 5.解：(1)6 -8a=-4,a=2 (2)设C的纵坐标为y, .抛物线解析式为y= 2(x+4 SAAC=SAABC,C(0,3), ∴y=3.当y=3, （x-2)=+-4 则3=-x2+2x+3 1=0,C(0,3)(舍去)， (2)设P点坐标为 x2=2,C'2(2.3). (6,28+6-4 当y=-3, 则-3=-x2+2x+3, AC=6, 3=1+7,C",(1+7,-3); s4c2+6-4=6 x4=1-7,C'(1-7,-3): C'的坐标为(2,3)或(1+7， +6-42 -3)或(1-7，-3). 解得b=5-1或-5-1或 6.(1)(4,0) √13-1或-13-1. (2)解：令点C的纵坐标为y,则 .点P的坐标为(5-1，-2)或 Sc=7×4y=2y (-5-1,-2)或(13-1,2) 又SAac=2S△uB 或(-13-1,2). 1 (3)设直线AB的解析式为 =2×2×4×1=4, y=kx-4. .2|y=4y=±2. 将点A(-4,0)代人得0=-4- y≥-1，∴y=2. 4,k=-1,∴直线AB的解析式为 当y=2时， y=-x-4. 则4(x-22-1=2 设F(c,-c-4), 解得x1=2+25,x2=2-23, 则(c2+e-4) ∴.EF=-e 4- 点C的坐标为(2+23,2)或 (2-23,2). (分+c-4-e+2y+ 1 7.解：(1)：E(m,-m2+2m+ 2..EF最大值为2. 3),F(m,-m+3), (4)不存在.EF⊥x轴， .∴.EF=(-m+2m+3)-(-m+ ∴.EF∥OB 3)=-m2+3m. ∴以O,B,E,F为顶点的平行四 (2)EF=-m2+3m 边形只能是四边形OBEF. 圆盟学墓数学九年级全一册BS版37课堂本参考答 OB=4,EF≤2，.EF≠OB. ∴，不存在以O,B,E,F为顶点的 平行四边形. 第15课二次函数的应用(4) 数形结合 1.解：如图所示： 六小牛 小河 B小牛家 2.解：如图所示： 心小牛 ·B小牛家 P、 小河 g' 3.解：(1)将点B(1,0),C(3,0)代 入y=x2+br+c 得0=1+6+c. f10=9+3b+c, 解得化了=2-4+8 -4 (2-2品=2x=2, .对称轴为直线x=2. (3)如图，连接AC交对称轴于点 P,即使PA+PB的值最小 当x=0时，y=3,.A(0,3). 设直线AC的解析式为y=x+ b,代入4(0,3)，C(3,0) 得/3=6. 10=3k+b, 解得化 直线AC:y=-x+3. 当x=2时，y=-2+3=1. P(2,1). 4.解：(1)将B(3,0)代入得 0=-9+3m+3, ∴m=2. y=-x2+2x+3 =-(x-1)2+4 顶点坐标为(1,4) (2)如图，连接BC交对称轴于点 P,使得PA+PC的值最小，设直 线BC的解析式为y=x+b,代 入点B(3,0),C(0,3) 得8+舒得6. 直线BC:y=-x+3. 当x=1时，y=-1+3=2 .P(1,2). 5.解：(1)设抛物线的函数表达 式为 y=a(x-2)2-1. 将点A(3,0)代人得 0=a(3-2)2-1, ∴.a=l. ∴y=(x-2)2-1=x2-4x+3. (2):B(2,-1),A(3,0). .AB=2. 当B为顶角顶点时， PB=AB=2 .P(2,2-1)或(2，-2-1)： 当A为顶角顶点时， AP =AB=2, ∴.P(2,1) 当P为顶角顶点时，PA=PB, ∴.P(2,0) 综上所述，点P的坐标为(2， 2-1)或(2，-2-1)或(2,1) 或(2,0) 6.解：抛物线解析式为 y=-x-2x+3, “其对称轴为x=- 1 -2 ∴.设点P的坐标为(-1，a), 当x=0时，y=3, ∴.C(0,3),M(-1,0) ①当CP=PM时， (-1)2+(a-3)2=2 5 解得u=3· 点P坐标为(1，)} ②当CM=PM时，(-1)2+32= a2,解得a=±10， .点P的坐标为(-1，√0)或 (-1,-10): ③当CM=CP时， (-1)2+32=(-1)2+(a-3)2, 解得41=6，a2=0(不合题意，舍 去) .点P的坐标为(-1,6). 综上所述，存在符合条件的点P, 其坐标为(-1，√10)或 (-1,-10)或(-1,6) 或(-1，》 7解：1)令--x+4=0,解 得x1=2,x2=-4. ∴.点A的坐标为(2,0)，点B的 坐标为(-4,0).令x=0, 解得y=4. ∴点C的坐标为(0,4). (2)如图，过点C作CE⊥I与抛 物线交于点E,连接AE交I于点 M.连接MC.AC. 圆照学墓数学九年 即x2-48x+572=0, 解得x1=22,x2=26. .当每月获得的利润为1800 元时，商品的定价应为每件22 元或26元 (3).p=(-30x+960)(x-16) =-30(x-24)2+1920 此时，△MAC的周长最小 -30<0,16≤x≤32. 设AE所在的直线解析式为 ∴.当x=24时，p有最大值，最 y=kx+b. 大值为1920. 点C的坐标为(04)， 答：为了获得最大的利润，商品 对称轴1=-1， 的定价应为每件24元 ∴.点E的坐标为(-2,4)， 12.解：(1)由题意得x=0时，y=3 则财64 设抛物线解析式是 y=a(x-1)·(x-3), 解得2 a·(0-1)·(0-3)=3, ∴.a=1, ∴，AE所在的直线解析式为 .y=(x-1)·(x-3) y=-x+2,当x=-1时， =x2-4x+3; y=-(-1)+2=3, (2)如图1，作BG∥AC交OC于 点M的坐标为(-1,3). 点G,交抛物线于点D, A(2,0),C(0,4),E(-2,4), .AC=2+4=25,AE= /(2+2)2+(0-4)=45, ∴.△MAC的周长的最小值=AM+ G CM+AC=AM+EM+AC=AE+AC =42+25. 图1 (3)设P(m,0) 作直线EF∥AC交y轴于点E, B(-4,0),C(0,4), 交抛物线于点D,且到CA的距 BC=42,.BP2=(m+4), 离等于BG到AC的距离， CP2=m2+16. SAACD.=SA4CD,=SAARC :△PBC是等腰三角形， A(3,0),C(0,3), ∴①当BP=CP时，由题意可得 ∴直线AC的解析式是 (m+4)2=m2+16,解得m=0, y=-x+3, .P(0,0). B(1,0),∴直线BG的解析式 ②当BP=BC时，由题意可得 是y=-x+1,.G(0,1), (m+4)2=(42)2=32, C(0,3)..CG=3-1=2, 解得m=-4±42. .CE =CG=2, .OE=0C+CE=5. .P(-4-4√2.0)或(-4+ .直线EF的解析式是 42.0). y=-x+5, ③当CP=BC时，由题意可得 由=*+1， m2+16=(42)2,解得m=4或 1y=x2-4x+3. m=-4(舍去)，.P(4,0) ∴综上所述，符合条件的所有点 角化62 P的坐标为(0,0)或(-4-42， 0)或(-4+42,0)或(4,0). 2248 得 第16课二次函数单元复习 3+17 3-/17 1.A2.k≤3且k≠0 x1= 4= 2 2 3.100(1+x)24.D5.D6.D 7.B8.直线x=-1-3<x<1 7-17 7+17 y= 2 y4= 2 9.x<1或x>310.C 11.解：(1)依题意，得 D(2, 1)或 620解得传0 3+7-回咸 2,2 .y=-30x+960(16≤x≤32). (2)设每月获得的利润为P, 3,72 2 则p=(x-16)y, (3)如图2，作MB⊥CB交CE ∴.p=(-30x+960)(x-16). 于点M,作MN⊥AB于点N, 当每月获得的利润为1800元时， (-30x+960)(x-16)=1800, 级全一册BS版38课堂本参考答案 图2 ∴.∠CBM=∠BOC=∠MNB=90°， .∴.∠BC0+∠OBC=90°， ∠BCO+∠MBN=90°， ∴.∠BC0=∠MBN, ,∠BCE=45 ∴.∠CMB=45 ∴.∠CMB=∠BCE,∴.CB=MB .△MNB≌△BOC(AAS), ∴.MN=OB=1,BN=OC=3, .ON =0B+BN=4, .M(4,1), C(03),∴直线CE的解析式是 由=-2+3， 【y=x2-4x+3, 7 得，=0， x= 1=3, y=4 3) 13. 解：(1)依题意，得A(1.0), AB=4,∴.B(-3,0). 1+b+c=0, {9-3b+c=0, 解得化2 ∴抛物线的解析式为 y=x2+2x-3: (2)如图，过点Q作QE⊥x轴于 点E,过点C作CF⊥x轴于 点F, 于A 设P(m,0),则PA=1-m, y=x2+2x-3=(x+1)2-4, .C(-1,-4)..CF=4. :PQ∥BC,.△PQA∽△BCA. …=0脚华” 4 41 ∴QE=1-m. .Sscr =Sarcs -Samu CF-2A 0B=2(1-m)×4 21-m1-m） 2(m+1)+2. -3≤m≤1， 圆盟学墓数学九年 ∴当m=-1时，S。cw有最大值 h=-5f2+150t+10 为2， =-5(t-15)2+1135. ∴.△CPQ面积的最大值为2，此 -5<0, 时点P的坐标为(-1,0). ∴1=15时，h取得最大值，即火 教材母题回归 箭达到最高点，最高点的高度是 1.解：设抛物线解析式为 1135米. y=a(x+1)2+1, 6.解：设旅行团的人数为x(x>30) 把(1，-3)代入得a·(1+1)2+ 人，营业额为y元， 则y=x[800-10(x-30)] 1=-3. 解得a=-1, =-10x2+1100x ∴抛物线解析式为 =-10(x-55)2+30250 y=-(x+1)2+1=-x2-2x. ·.当x=55时，y输大=30250. 2.解：设二次函数的解析式为 ∴.当旅行团的人数为55人时，旅 行社可以获得最大营业额30250 y=ax'+bx+c, 把(-1,10)，(1,4)，(2,7)各点 兀 ra-b+c=10. 7.解：设四边形ABCD的面积为y, 代入上式得a+b+c=4, AC的长为x,BD的长为(10-x), 4a+2b+c=7, ∴根据题意可得 ra=2, y=10-) 2 解得b=-3, le=5. =+5x 则抛物线解析式为 y=2x2-3x+5. ea-5)+12.5 由=24-+5=2- ·当x=5时，四边形的面积 可知 最大， 此时AC=BD=5. 核心素养专练 抛物线对称轴为直线x= 4,顶 1.解：设售价y与月份x的关系式 点坐标为) 为y=kx+b 过(3,5)，(6,3)两点，得方程 3.解：根据题意可得方程组： y=-x2+3x+4, 组66改+ 1y=2x-1, 2 解得 解得 k=- x=1+2I b=7, 2 2 或 x=1-2 2 则-子+1 y=21 y=-2I, 设成本m与月份x的关系式为 “它们的交点坐标为 0=a(x-6)+1, ( 过点(3,4) 得方程：4=u(3-6)2+1, 解得a=分 4.解：作出函数y=x-2x-3的图 0=写-62+1 象如图所示，观察图象可知： =3-4+1 每千克收益为 P=y-0 =-子+7-+4-1B. 2 (1)方程x2-2x-3=0的解为 =+9-6 x1=3,=-1. (2)当x<-1或x>3时， =-x-50+子 1 抛物线上的点位于x轴的上方， 即函数值大于0. 六当=5时，P最大为好 (3)当-1<x<3时，抛物线上的 故5月份出售这种蔬菜，每千克 点位于x轴的下方，即函数值小 收益最大 于0. 2.解：(1)AB=xm, 5.解：当火箭到达最高点时，即h达 ∴.BE=(40-x)m. 到最大值 ,四边形ABCD是矩形， 级全一册BS版39课堂本参考答案 .AD BC, 矩形， AD∥BC, ∴.△CBE∽△FAE ..BC=BE BC_40-x AFAE'30=40 c=0-是， 40m 六0=8C=30- ∴.AB=DC,DC∥AF :AF=40m,AE=30m, (2y=(30-子 AB =x m,.'.CD =x m. :-子+30 CD∥AF,∴.△EDC∽△EAF 小果即骑货 =-(x-20)+30m. a 解得DB=子 <0,图象开口向下， A0=(30-子m ·当x=20时，y有最大值 为300. (2)矩形的面积y=AB·AD= 3.解：如图，以水面所在的直线为x 30-子刘=(x-202+ 轴，以这座抛物线型拱桥的对称 轴为y轴，建立直角坐标系， 300(0<x<40). :-}<0当=20时y的 值最大，最大值是300. 2.解：如图，过点0作OH⊥EF于 设抛物线的函数关系式为 点H交AD于点G, y=ax+k. :抛物线过点(0,2)， .k=2, .y=ax2+2 又：抛物线经过点(2,0)， ∴.有0=4a+2. 解得a=一之 ,四边形ABCD为矩形， .AB∥BC,AB=CD,BC=AD △01△0ER0-8胎 水面下降1m, 设AB=xm,则GH=AB=xm, 即-1+2， .0G=(0H-x)m 在Rt△EOF中，由勾股定理可得 解得x=6或x=-6(舍去)， EF=√E0+0F=50(m). .水面宽度为2√6m 4.(1)y=2x2(2)5 Sr=寸0.0F 5.解：(1)根据题意得A(-8,0), B(-8.6).C(0,8), =.0m 设抛物线的解析式为 ..500H=30×40,解得0H=24. y=ax2+8,把B(-8,6)代人， ∴.0G=(24-x)m. 得64a+8=6, 解得a=-32 ÷40-24-x 50=24 解得AD=50- ∴抛物线的解析式为 2 y=立+8 y=0-)总 (2)根据题意， 12)2+300. 把x=±4代入解析式 25 少动+8 :-吕<0当x=2时y的 最大值为300，即矩形的最大面 得y=7.5m 积是300m2. 7.5m>7m, 3.解：如图，以水面所在的直线为x “.货运卡车能通过. 轴，以这座抛物线型拱桥的对称 新课标、新题型特训 轴为y轴，建立直角坐标系， 实验、探究与活动 1.解：(I)如图，四边形ABCD是 圆盟学墓数学九年级全一册BS版40课堂本参考答案 设抛物线的函数关系式为 y=ax +k, :抛物线过点(0,2)，(2,0)， a=-2 k=2. y=-2+2当水面下降1m, 即-+2=-1时。 解得x=√6或x=-√6 ∴.水面宽度是 6-(-6)=4.9(m). 4.解：任务1：如图2，以D为原点， AB所在直线为x轴建立直角坐 标系， (0)D B 图2 AB=24,CD=4,∴.点B的坐标 为(120)，顶点C的坐标为(0,4) 设抛物线的解析式为y=ax2+4, 把点B(12,0)代入得 144a+4=0,解得a=-36 1 “这条抛物线的函数表达式为 y=+4 任务2：如图3，过点E作EM⊥ FK于点M, 图3 EF EK =1.7 m,FK =3 m, .FM =1.5 m. .EM EF*-FM2 =0.8(m). 依题意，得点E的纵坐标为 0.8+1.26=2.06. 当载重最少通过时，游船顶部E 与拱桥的竖直距离至少为0.5m, 在=石+4中， 令y=2.06+0.5=2.56, 得-石+4=256， 解得x=7.2或x=-7.2. FG=JK =0.4 m,FM =1.5 m, ∴.MG=M=1.1m. :游船底部Ⅲ在点P,Q之间通 行，.PQ的最大值为(7.2+1.1)× 2=16.6(m)