4.第四章 图形的相似（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

第9课 相似三角形的周长和面积 新课学习》 相似三角形的性质： 1.如图，已知△ABC∽△A'B'C',对应边的比为 (1)对应角 对应边的比 (2)相似比k=对应边的比 则， 的比 相似比= ,对应高的比= 的比 周长比= ,对应中线的比= 的比 面积比= ,对应角平分线的比= 10 3 (3)面积比= B 4C B 8 2.已知△ABC△DEF,周长比为2：3，则下3.已知△ABC∽△DEF,面积比为9：1，则下列 列说法错误的是 ( 说法正确的是 ( A.相似比为2：3 B.面积比为2：3 A.相似比为9：1 B.周长比为9：1 C.对应中线的比为2：3D.对应高的比为2：3 C.对应中线的比为9：1D.对应角的比为1：1 4.如图，在△ABC中，已知DB=2AD,EC=2AE. 5.【教材改编】(BS九下P120)如图，已知DE∥ (1)求证：△ADE△ABC; c.p2.S8cm (2)若CABc=27cm,求CAADE: (1)求证：△ADE∽△ABC: D (2)求S四边形BCED B 6.@[教材改编】(BS九上P107)如图，AD是7.【教材改编】(RU九下P58)如图，△ABC是一 △ABC的高，AD=6,EF⊥AD,垂足为G,若 块锐角三角形余料，边BC=120mm,高 影-片则0c- AD=80mm,要把它加工成正方形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB,AC上，这个正方形零件 的边长是 mm. 94 BSSX 过天检测粉 丛是础温练 8.两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它9.[跨学科融合]如图是小孔成像原理的示意 们对应的中线之比为 图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:8 度为36cm,那么它在暗 -45cm 盒中所成的像CD的高 度应为 cm 20 cm 经能力训线 10.【原创题】如图，若BE=2AE,AC∥BD,则下 11.如图，将一副三角板如图叠放，BC=1,则 列结论错误的是 ( △AOB与△COD的面积比为 A.CD=3EC 30 B CABED 2 45 C.5AnE 2 D.4C、1 BD=2 多拓展训缘 12.【中考改编】如图，在口ABCD中，E为BC的13.【原创题】如图，将△ABC沿BC方向平移得 中点，连接AE交对角线BD于点F, 到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中 (1)△ADF与△EBF的面积比为 阴影部分)的面积是△ABC面积的一半.已 (2)若△ADF的周长为24，求△EBF的周长 知BC=2,求△ABC平移的距离. 14.【易错题】如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸每隔5米有一棵树，在北岸每隔 50米有一根电线杆，小丽站在离岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰 好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽多少米？ 北岸 南岸 小丽 BSSX 95第10课 位似 新课学习谢 知识点1位似的概念 如果两个图形不仅 ,而且 1.如图，△ABC在灯泡O的照射下，在地上形 的连线都相交于一点，那么称这两个图形位 成相似的影子△A'B'C', 灯泡0 似；这个点叫做 ,位似的相似比叫做 (1)这种特殊的相似叫做 位似比 (2)若AB=3,A'B=6,则 △A'B'C'与△ABC的位似 比为 2.@如图，点O是△ABC与△A'B'C'的位似中3.如图，△ABC与△A'B'C位似. 心，位似比为1：2，若△ABC的面积为6，则 (1)位似中心是点 △A'B'C的面积为 2者绍 ,△ABC的周 B = 长为6，则△AB'C的周 B 长为 知识点2位似作图：可将一个图形放大或缩小 4.如图，以点0为位似中心，画出将四边形 5.如图，以点0为位似中 ABCD缩小成原来的一半的图形. 心在y轴右边作出 △AOB的位似图形，使 新图形与原图形的位 似比为1：2. 6.如图，以点0为位似中心，在点0右侧作出7.【原创题】如图，在第一象限内，以原点0为 △ABC的位似图形△A'B'C',使得△A'B'C 位似中心 与△ABC的位似比为2：1. (1)将△ABC放大到原来的2倍得到 △AB,C1,画出图形； (2)将△ABC放大到原来的3倍得到 △A2B2C2,画出图形 012345678 96 BSSX 过天检测粉 丛是础温练 8.如图，AB∥CD,A0=3C0,则△A0B和△C0D9.【原创题】如图，△A,BC,与△ABC是位似图形 的位似中心为 ,位似比为 且面积比为4：9，则下列结论错误的是( A.点0为位似中心，位似比为2：3 B.A:B//AB,A B:AB=2:3 C.△AB,C1与△ABC 的周长比为2：3 D.0A1:AA=2:3 0 马能力训缓 10.【原创题】如图，△ABC与△A'BC是位似11.【原创题】如图，△DEF是由△ABC经过位似 图形，且位似比是1：2. 变换得到的，点O是位似中心，D,E,F分别 (1)请在图中画出位似中心O; 是OA,OB,OC的中点，若△DEF与△ABC所 (2)若AB=2cm,则A'B'= cm; 围的图形（阴影部分）的面积为30cm2,则 (3)AC:A'C'= △DEF的面积为. (4)AB与A'B的位置关系为 多拓展训练 12.【易错题】如图，在平面直角坐标系中： 13.【核心素养】如图，△ABC与△DOE是位似图 (1)画出一个以点B为位似中心的图形 形，A(0,3),B(-2,0),C(1,0),E(6,0), △A1B,C1,使△AB,C1与△ABC的位似 △ABC与△DOE的位似中心为点M. 比为2：1； (1)写出点D的坐标； (2)在第三象限内，以原点0为位似中心， (2)在图中画出点M,并求点M的坐标. 画出△A,B2C2,使△A,B2C2与△ABC的 位似比为1：2； (3)SAAB,G:S△AG,= BSSX 97第2课 平行线分线段成比例 新课学习 1.探究：如图，小方格的边长为1，山∥2∥儿3，则 2.探究：将2向下平移至如图所示的位置，则 A142 B,B2 A14 BB2 A2A3 B2B3 A2A 'B2B3 发现： 发现： 、B B 知识点1平行线分线段成比例定理 知识点2推论 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 成比例. 得的对应线段成比例. 几何语言：如图， 几何语言：如图， 43l∥L, ·DE∥BC, 3.如图，l1∥L2∥L3,其中a=2,b=3,c=4,则4.如图，直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行 d= 线分别交于点A,B,C和点D,E,F.若ABBC= 1:2,EF=6,则DE的长为 5.如图，若l1∥12∥L3,则下列各式不一定成立6.(2023·深圳期中)如图，已知AB∥CD∥EF, 的是 若AC=2CE,BD=8,则DF的长为 ( A.AC、BD A.4 CEDF B.5 D B.AE、BF C.6 CEDF D.7 c-0 D.AE、BF AC DF 76 BSSX 7.④如图，DE∥BC 8.如图，直线l1∥l2∥3，直线AC和DF被1， (1)若AD=BD=2,AE=3,则CE= 2,l所截，AB=4,BC=6,EF=9,求DE (2)若AD=3,AB=5,AE=4,求CE的长. 的长 D 9.①如图，EG∥BC,GF∥DC,AE=3,EB=2,10.【教材改编】(BS九上P85)(2023·深圳坪 AF=6,求AD的值. 山区校级月考)如图，在△ABC中，点D,E,F 分别在BC,AB,AC上，EF∥BC,FD∥AB,设 AE=3.6,BE=2.4,CD=2.8,求BD的长 过天检测 火县础训孩 之能打训线 11.(2023·深圳龙华区校级月考)如图，AD∥12.【教材改编】(BS九上P84)(2023·佛山南 BE∥FC,它们依次交直线l1,2于点A,B,C 海区期中)如图，在△ABC中，DE∥AB,且 和点DB,P,如果AB=4,AC=9,那么2 品哈 D/1 马拓展训缤 13.【原创题】如图，用三个全等的菱形ABGH,BCFG,CDEF拼成平行四边形ADEH,连接AE,AE 与BG,CF分别交于点P,Q.若AB=9,求BP及CQ的长. BSSX 77第5课相似三角形的判定(1)》 知识储备房 相似三角形的性质：相似三角形的对应角 ,对应边成比例，对应边的比叫做 新课学习 判定：两角分别相等的两个三角形相似， 几何语言：如图， 知识点1利用平行或公共角证角相等 L.例如图，在△ABC中，DE∥BC 2.如图，∠B=∠ADE,指出图中一对相似三角 求证：△ADE∽△ABC. 形并证明. 知识点2双垂直模型 3.例如图，CD是Rt△ABC的高，∠ACB=90 4.【教材改编】(R九下P36)如图，CD是 求证：(1)△ACD∽△CBD: Rt△ABC的高，∠ACB=90. (2)CD2=AD·BD (1)求证：△ACD△ABC: (2)若AD=4,AC=6,求AB的长. D 82 BSSX 知识点3一线三等角模型 5.如图，在等边三角形ABC中，D为BC上一6.【原创题】如图，在矩形ABCD中，E为BC上 点，∠EDF=60°，证明图中一对相似三角形. 的一点，作∠AEF=90°，EF交CD于点F,指 出图中一对相似三角形并证明. D 609 过天检测影 是础训练 7.如图，根据条件证明两个三角形相似 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,则 图中相似三角形共有 70 A.1对 B.2对 70 B C.3对 50 D.4对 马能力训练 区拓最训线 9.如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接10.如图，在△PAB中，点C,D在AB上，PC= BD,已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4. PD=CD,∠A=∠BPD.求证： (1)证明：△ABD∽△ACB: (1)△APC∽△PBD; (2)求线段CD的长 (2)CD=AC·BD. BSSX 83第8课 利用相似三角形测高 新课学习 1.如图，为了估计河的宽度，我们可以在河2.如图，A,B两点间有一湖泊，无法直接测量两 对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,使AB 点间的距离，已知CA=60m,CD=20m, 与河岸垂直，在近岸取点C,E,使BC⊥AB, DE=15m,DE∥AB,求AB的长 CE⊥BC,AE与BC交于点D,已测得BD= 40m,DC=20m,EC=24m,求河宽AB. 3.如图，小强在地面E处放一面镜子，当他4.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量 垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从 建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m,测得 镜子中看到教学楼的顶端B,法线FE⊥AC, AB=1.2m,BC=12.8m,求建筑物CD 根据光的反射定律有∠FEB=∠FED,此时 的高。 0 EA=20m,CE=2.5m.已知小强眼睛距离地 面的高度DC=1.6m,请计算出教学楼的 高度 AB 0000 92 BSSX 过天检测粉 丛是础温练 5.[跨学科融合]学校门口的栏杆如图，栏杆从6.在同一时刻，物体的高度与它的影长成正 水平位置BD绕点O旋转到AC位置.已知 比，在某一时刻，有人测得一高为1.8m的 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为点B,D,AO= 竹竿的影长为3m,某一高楼的影长为90m, 4m,AB=1.6m,C0=1m,则栏杆C端应下 那么高楼的高度是 m. 降的垂直距离CD为 A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m 经能力训练 马币展训碳 7.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框8.(2023·深圳宝安区校级月考)如图，小明同 AB在地上的影长DE=1.8m,窗户下檐与地 学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的 面的距离BC=1m,EC=1.2m,求窗户的 高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF 高AB 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上， 已知纸板的两条边DF=0.5m,EF=0.3m, 测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD= 10m,求树高AB, BSSX 93第3课相似多边形的性质与判定 新课学习谢 全等 相似 定义 形状和大小都相同的图形 形状 的图形 图例 。 符号表示 △ABC≌△A'B'C' △ABC △ 相同点 ①形状相同；②全等是特殊的相似；③对应的字母要写在对应位置上 不同点 把一个图形按m:n放大（或缩小），就可得到它的相似图形，当m:n=1:1时全等 知识点1相似多边形的性质 知识点2相似多边形的判定 对应角 ,对应边的比 如果两个多边形的对应角 ,且 几何语言：如图， 成比例，那么这两个多边形相似 几何语言：如图， 相似图形 的比叫做相似比，记作k. 且 D 1.④如图，已知四边形ABCD∽四边形A'B'CD'. 2.如图，已知△ABCn△DEF. (1)求∠A,∠D'的度数和x,y的长； (1)求x,y的值； (2)相似比k= (2)相似比k= B∠6080 F∠ A6 0 130 12 3.④如图，求证：矩形ABCD∽矩形A'B'C'D. 4.如图，求证：菱形ABCD∽菱形A'B'CD' D 2 B 3C B<0° C A' B'<Q50 78 BSSX 过天检测粉 丛是础温练 5.(2023·茂名茂南区二模)下列任意两个图6.(2023·深圳福田区校级月考)如图有三个 形不一定相似的是 ( 矩形，其中是相似图形的是 ( A.正方形 B.等腰直角三角形 C.矩形 D.等边三角形 2.5 甲 乙 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 马能力训练 7.如图，△ABC与△DEF相似，∠C=∠F,∠B=8.【核心素养】如图，在四边形ABCD中，EF∥ LE,求未知边x,y的长度. AB∥DC,AB=9,DC=4,若用EF把原四边 形分成两个相似的小四边形，则EF的长为 (3拓展训练 9.(2023·佛山禅城区校级月考)如图，四边形10.【易错题】如图，在矩形草坪ABCD中，AD= ABCD是边长为2的正方形，在它的左侧补 5m,AB=3m,沿草坪四周外围有1m宽的 一个矩形ABFE,使得新矩形EFCD∽矩形 环形小路，小路内外边缘所成的两个矩形 AEFB,求AE的长 相似吗？为什么？ BSSX 792号 小亮胜的概率是号 &解：1)片 :是号游戏不公平 (2)画树状图如图： (2)游戏不公平.理由：由(1)中 开始 表格得：共有25种等可能情况， 其中和为偶数的有12种，和为奇 B 数的有13种， 共有6种等可能的结果，其中小华 所以小明胜的概率是 25 两段路程都选省级公路的结果有 1种， 小亮胜的概率是号 ∴·小华两段路程都选省级公路的 概率为行 是号游戏不公平 核心素养专练 9. 2 1.解：(1)从A,D,E,F四个点中任 3 10 11. 6 12.25 意取一点，一共有4种可能，只有 13. 4日 3 选取D点时，所画三角形是等腰 三角形， 教材母题回归 故P(所画三角形是等腰三角 1.解：画树状图如下： 开始 形)=4 上农红 (2)画树状图如下： 裤子白黑白 :共有4种等可能的结果，恰好是 :共有12种等可能结果，以点 白色上衣和白色裤子的有1种 A,E,B,C为顶点及以D,F,B,C 情况， 为顶点所画的四边形是平行四 ∴恰好是白色上衣和白色裤子的 边形，共4种。 概率是子 “.所画的四边形是平行四边形的概 41 2.解：由题意可知： 摸到红球的概率为 率P=3 2.C3.3 6 10×100%≈70%， .10×70%=7(个)， 4.解：(1)画树状图如下： 开 10-7=3(个)， 故这个口袋中有红球7个，白球 红 3个 黄绿蓝黄蜂蓝 3.解：画树状图如下 所有可能结果：（红、黄），（红、 绿)，（红、蓝），（白、黄），（白 2-1012-2-10 绿)，（白，蓝） (2)分析可得，共有6种等可能 -10 -10 的情况，游戏者获胜的有1种情 共有25种等可能的结果数，其中 两数和的绝对值是1的结果数 况P(获雕)=石 为8， 新课标、新题型特训— 所以和的绝对值是1的概率=25 8 实验、探究与活动 1.解：(1)依题意，得 4.解：(1)游戏不公平理由：列表为 a=30.93÷300≈0.103 b=39.24÷400=0.098. A转盘 2 3 c=51.54÷500=0.103, 5 转 和 故答案分别为0.103,0.098,0.103. (2)0.1 2 (3)设每千克大约定价为x元比 3 较合适，依题意，得 4 10000(1-0.1)x-2×10000= 5000. 5 解得x≈2.8. 6 1011 答：每千克大约定价为2.8元比 共有25种等可能情况，其中和为 较合适， 6,7,8的有13种， 2.解：(1)将杨树叶的长宽比的数 所以小明胜的概率是号。 据从小到大排列后，第5和6个 数据是2.1和2.2，则杨树叶的 阅盟学堂数学九年级全一册BS版15课堂本参考答案 长宽比的中位数为2.1+2.2 2 2.15,即m=2.15. 柳树叶的长宽比的众数为1.5， 即n=1.5. 故答案分别为2.15,1.5； (2)①柳 ②长为11.5cm、宽为5cm的树 叶的长宽比为2.3，而样本中柳 树叶的长宽比都小于2.3，杨树 叶的长宽比的众数为2.4，所以 这片树叶来自杨树的可能性大 故答案为杨； (3)四位同学分别用A、B、C、D 表示，其中A代表小颗，B代表 小娜，画树状图如图： 开始 B CD A B D B 共有12种等可能的结果，其中成 员小颖和小娜同时被选中的结 果有2种， ∴成员小颗和小娜同时被选中 的薇率=品行 第四章图形的相似 第1课成比例线段 1.2:32.1:1503.C4.C 5.(1)V(2)×(3)V(4)V 6.C7.B 知识点3 （d)ad=c(2号=分 &(1)B(2)号 9.解：根据题意可知，AB=am, AB=了am,AD=1m 1 蜡0 1 a 即了 ∴a2=3.开平方，得a=5(a= -√5舍去) 10.解：根据题意知，AB=2AE :小矩形长边与短边的比等于 原来矩形长边与短边的比， 怨怨即 4-24 4 AE=22(AE=-22舍去)， .AB=4√2 11.C12.800m 13.解：依题意，设AB=3cm(k≠0)， BC=3mcm(m≠0)， AC=3ncm(n≠0)，则A'B'= 8k cm, B'C'=8m cm,A'C'=8n cm. 由8k+8m+8n=24 得k+m+n=3, ∴.AB+BC+AC=3(k+m+n) =3×3=9(cm). 14解：设号=冬=后=6(k≠0)。 则a=5k,b=4k,c=6k (1)2a+b_2x5h+4 3c 3×6k 10k+4k7 18k 9 (2)由5k+4k+6k=90, 解得k=6, a=5×6=30,b=4×6=24, c=6×6=36. 1)号(2c 第2课平行线分线段成比例 11 1.44 A:A2 BB2 发现：A,AB,B 2 A:A2 BB2 发现A,A,B,B 知识点1 AB DE AB DE BC EF BCEF AC=DF AC DF 知识点2 ADAE ADAE DBEC ABAC 3.64.35.D6.A 7.解：(1)3 (2):DE∥BC, 小品能即房-花 &ac=9 又.·AC=AE+CE, GB=AC-AE=9-4=号 3 8.解：4∥213， …能器 AB=4,BC=6,EF=9, 解得DE=6. 9解：Bc/BC,C=5=3 CG-EB=2 又：GF/Dc瓷-0 AGAF D=号4F=号x6=4 ∴.AD=AF+FD=6+4=10. 10.解：EF∥BC,FD∥AB, ∴，四边形BEFD为平行四边形. ∴.DF=BE=2.4 :a品-张 AE=3.6,BE=2.4, CD=2.8, ∴.AB=6,BC=2.8+BD 2.8_2.4 六2.8+BD6' 解得BD=4.2. 阅盟学堂数学才 .∠A=∠A',∠B=∠B, ∠C=∠C',∠D=∠D'. 13.解：，四边形ABGH,BCFG, 又：菱形的四条边均相等， CDEF是三个全等的菱形， AB AD BC CD 2 且AB=9,∴.BC=CD=DE=9. AB-ADB元-CD-4, BP∥DE, BPAB ∴.菱形ABCD∽菱形A'BCD DEAD 5.C6.B 9 99+9+9BP=3. 7.解：'△ABC∽△DEF, ABAC BC 又o0/mE器-%， ·DE-DF-EF 吗g252g00=6 解得x=6,y=3.5. 第3课相似多边形的性质与判定 8.6 9.解：·四边形ABCD是边长为2 新课学习 相同一 的正方形， A'B'C .AB=AD=2. 知识点1 四边形EFBA是矩形， 相等相等 .EF =AB=2. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D :矩形EFCD∽矩形AEFB, ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C, DE EF ∠D=∠D ·EF=AE AB BC CD AD ABBCCDA'D 2+AE=2 2 E' 对应边 解得AE=5-1或AE=-5-1 知识点2 (舍去) 相等对应边 ,AE的长为5-1. ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', ∠D=∠D 10.解：不相似.理由如下： 由题意得AB=CD=3m, AB BC CD AD A'BB'CCDA'D AD=BC=5 m, :小路宽1m, 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D .'A'B'=5 m,A'D'=7 m. 1.解：(1)∠A=∠A'=130°， AB 3 AD 5 ∠D=360°-60°-80°-130°=90°， 六AB=5AD=7 AB AD “8MD x=10,2=名y=3 ∴不相似 第4课相似三角形的定义及性质 (2号 新课学习 3 相等。相等 2解：1音号 ∠A=∠A',LB=∠B',∠C=∠C ∴.x=4, AB BCAC A'BB'CA'C =号…y=3 1.(1)HF HE E(2)2 (2)3:1 2.(1)AEED(2)2:1 3.证明：四边形ABCD,A'B'CD 3.(1)FH(2)3:1 是矩形， 4.35.9 ∴.AD=BC=3,CD=AB=2 A'D'=B'C=9,CD'=A'B=6. 6.解：(1)B (2):△ADE△ABC, AB-2-1BC-3-1 六8-6=3g元9=了 = "荒瓷 AD 3 1 CD 2 AD=9=3CD=6=3 AE=2,AD=3, DE=4,BC=12. AB BC AD CD 1 ∴A8 BC-AD-CD3 3.24 六AB-AC=12 又：两个矩形所有内角均为90°， ,矩形ABCD∽矩形A'BC'D AB=3×2=9, 4 4.证明：在菱形ABCD中，∠B=50° .∠D=50°，∠A=130°， AC=2×12=6 4 ∠C=130°. 7.解：(1)60 在菱形A'B'CD中，∠B=50° (2)△ABC∽△DEC, .∠D'=50°，∠A'=130°， ∠C'=130°. 小品器 年级全一册BS版16课堂本参考答聚 BC=3,AC=4,CD=6, CE=CD·BC-6x39 AC 4=2 8.23 9.D OB DB 10.解：△ADE∽△ABC, .∠C=∠AED=40°. 、g=,即3=2 AC=BC,即3+6BC ∴.BC=6cm. 11.解：△ABE∽△DEF, ABAE ·DE-DF 68 ·3DF ∴.DF=4 四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=6. ∴.FC=CD-DF=6-4=2. 12.解：△ABD∽△CAD, BD AD AD-CD 9 AD AD4 .AD2=9×4. ∴.AD=±6. AD>0, ..AD=6. 第5课相似三角形的判定(1) 知识储备 相等相似比 新课学习 ∠A=∠A',∠B=∠B △ABC∽△A'B'C 1.证明：，DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴.△ADE∽△ABC. 2.解：△AED和△ACB相似.证明 如下： ∠A=∠A,∠B=∠ADE, ..△AED∽△ACB. 3.证明：(1)：∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， ∴.∠A=∠BCD. 又，：CD是Rt△ABC的高， .∠ADC=∠CDB=90. ÷△ACD△CBD. (2):△ACD∽△CBD, ·品品 ..CD=AD·BD 4.(1)证明：：CD是Rt△ABC的高 .∠ADC=∠ACB=90. 又，∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC (2)解：，△ACD∽△ABC. 40=4C ·ACAB' .AB =4C 6' =AD=4=9 5.解：△EBD∽△DCF 证明如下：，△ABC是等边三 角形， ∴.∠B=∠C=60 阅盟学星数学， ∠2=60°+∠1-∠B=∠1. AD=AE=1 .△EBD∽△DCF. “B-AC= 6.解：△ABE∽△ECF, 又.·∠A=∠A, 证明如下：∠B=∠C ∴.△ADE△ABC. ∠BAE+∠AEB= 知识点3 ∠FEC+∠AEB=90, AB AC BC .∠BAE=∠FEC, 相等8=C=BC .△ABEM△ECF △ABC∽△A'B'C' 7.证明：∠C=180°-∠A-∠B 5证明： 2 1 =180°-70°-60°=50°， =4=2 .∠C=∠E,∠A=∠D. AC3 1 BC4 1 ,.△ABC△DFE. AC=6=2BC=8=2, 8.C AB AC BC 1 9.(1)证明：∠A=∠A, “AB-℃C2 ∠ABD=∠C, △ABC∽△A'B'C ∴△ABD∽△ACB 6.证明：AB=2, (2)解：△ABD∽△ACB, BC=√22+2=22， 小怨品即4而合 AC=√22+4=25， 解得CD=5. DE=√+1=2，EF=2, 10.证明：(1)：PC=PD ∴.∠PCD=∠PDC, DF=√32+1=√10 ,∠A+∠APC=∠PCD, ∠B+∠BPD=∠PDC, 提器器a 又∠A=∠BPD ,∴.△ABC∽△DEF ∴.∠B=∠APC, 7.解：相似.理由如下 ∴.△APC∽△PBD. AB=12+22=√5，BC=5, (2):△APC∽△PBD, AC=√12+3=/10，DE=1, 品品 EF=T+22=5,DF=√2， ∴.PC·PD=AC·BD, PC=PD=CD. 提5兽着 CD2=AC·BD 第6课 相似三角形的判定(2) AC-=5, DF 知识点1 ∠A=∠A',∠B=∠B 能器品 △ABC∽△A'B'C .∴.△ABC∽△DEF 1.证明：BC∥DE, 8.证明：：D,E,F分别是△ABC三 ∴∠ABC=∠ADE. 边的中点， ∠A=∠A, ∴.DE,DF,EF分别是△ABC的 .△ADE∽△ABC. 中位线， 知识点2 相等相等 DE-BC,DF-TAC, AB AC ABAC ∠A=∠A' BE球=2A8. △ABC∽△A'B'C 2.证明：∠A=∠D=70°， 恶 AB 5 1 AC 6 1 ∴.△ABC∽△FED. DE=5=3Dn-18=3 8=4C1 9.解：相似.理由如下： AC2=AD·AB, DEDF3 AD AC .△ABC∽△DEF. 3证明脱-碧-号 ·ACB 又，∠A=∠A, ∴.△ACDM△ABC. 能碧 号蜡 10. BC AC2 ·D元元=3 微专题3 相似的模型 又，∠ACB=∠ECD(对顶角相 等)， 1号 ∴.△ABC∽△EDC. 2.解：∠CAD=∠BAC, 4证明品品分 ∠1=∠ACB, AE_31 △4C△MBc6-0 AC=3+6-3 .AC=AD·AB=2×(2+1)=6, 年级全一册BS版17课堂本参考答案 .AC=6 :∠BAF+∠AFB=90°， 3.(1)证明：AD⊥BC, ∠EFC+∠AFB=90°， ∠ADB=∠BAC=90°， .∠BAF=∠EFC. .∠B+∠BAD=90° ∴.△MBF∽△FCE. 又：∠B+∠C=90°， .∠C=∠BAD, a29 ∴△ABC△DBA 微专题4相似三角形的判定与 (2)解：，BD=4,DC=5, 性质综合 ∴.BC=BD+DC=4+5=9, L.(1)解：△ADE∽△BEF △MBC△DBA,6-品 证明如下： .AB2=BD·BC=4×9=36, E为AB中点，∴.AE=BE=2. ..AB=6 4.解：四边形ABCD是菱形， 祭异品含品 .AD=AB=BC,AD∥BC, :ADEF△BCF,票-， 祭-0-2叉LA=4, EF DE ·.△ADE∽△BEF .AE:AB=1:3,..AE:AD =1:3, (2)证明：△ADE∽△BEF, .DE:AD=2:3. .∠ADE=∠BEF, ∴DE:BC=2:3, ·.∠DEF=180°-∠AED-∠BEF 即EF:FC=2:3. =180°-∠AED-∠ADE 5.证明：∠A=∠E, =∠A=90° ..DE⊥EF ∠ACB=∠ECD, .△ABC∽△EDC, 2.证明：(1)AD=4,BD=5, 品器 AC=6, ∴AB=AD+BD=4+5=9, .∴.CA·CD=CB·CE AD-4-2AC-6-2 AC=6=3,AB=9=3 6.解：∠1=∠2 ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC, 光始号 又：∠A=∠A, :·AD61AE4=1 AB=2=2AC=8=2 ∴.△ABC∽△ACD .ADAE (2)由(1)知△ABC∽△ACD, AB AC' CD-AD BCAC △ADE△ABC,. BC 即BC·AD=AC·CD. 即品 3.(1)证明：DE⊥BC, CF⊥AB, .BC=18. ∴.∠DEC=∠F=90°， 7.7 ,四边形ABCD是平行四边形 8.(1)证明：：∠BAC=90°， ∴.AB∥CD,AB=CD,AD=BC, AB=AC,∴.∠B=∠C=45°， ∴.∠DCE=∠CBF, ·.LADB=∠DAC+∠C ,.△CBF∽△DCE: =∠DAC+45°. (2)解：：点E为BC的中点， :∠ADE=45° AB=6,BF=4, '∠DEC=∠DAC+∠ADE =∠DAC+45°， ∴CE=2BC,DC=AB=6. ∴∠ADB=∠DEC. △ABD∽△DCE. 设AD=BC=x,则CE= 2x,由 (2)解：在Rt△ABC中， (1)得△CBF△DCE, BC (42)2 AB=2=√2 =4, 2* BC=42,BD=√2， x=45(负值舍去)， .'CD BC BD =32. .AD=45. △ABD∽△DCE,DC AB BD =CE 4.(1)证明：在平行四边形 ABCD中，AB∥DC, 即42 即2品c=是 ∴.∠C+∠B=180° ∠AFD+∠AFE=180°. 9.(1)证明：：四边形ABCD是 ∠AFE=∠B,∴.∠AFD=∠C. 矩形， AD∥BC,∴.∠ADF=∠DEC, ∴.∠B=∠C=∠D=90 .△ADF∽△DEC: 又：△ADE沿AE翻折得到 (2)解：：四边形ABCD是平行 △AFE,.∠D=∠AFE=90°， 四边形， 阅盟学星数学九年级全一册BS版18课堂本参考答案 .AD∥BC,AB=CD=7. AE⊥BC,∴.AE⊥AD. .DE=AE2+AD=√6+82 =10, 由(1)可知△ADF∽△DEC, 能品 即4F8 7=10 ·AF=28 5.C 6.证明：PA·PB=PC·PD 隐册 .∠P=∠P ∴.△PAD∽△PCB. 7.(1)证明：∠ABC+∠C=180°- ∠A=120° ∠ABC+∠DBE=18O°-∠CBE =120°， .∠C=∠DBE 又.∠A=∠D ∴.△ABC∽△DEB. (2)解：在△ABC中. ∠A=a, ∴.∠C+∠ABC=180°-a. .∠CBE=a, ∴.∠EBD+∠ABC=180°-a, ∴.∠C=∠EBD. 又∠A=∠D=a, △ABC△DEB, ACAB 设AB=x,则BD=5-x, 4=5x-x2 x2-5x+4=0,.x1=1,x2=4. ,∴.AB=1或4. 8.(1)证明：.·∠ACB=90°， CA=CB, ∠A=∠B =2(1809-90）=450 又，∠CDB=∠A+∠ACD =45°+∠ACD =∠ACE, ∴.△ACE∽△BDC; (2)解：由勾股定理，得 AB=√/(22)2+(22)2=4. 设DE的长为x, AD=1,∴.BD=3,AE=1+x △ACEn△BDC, .BDBC' ACAE 即22=1+x 322 解得x=号，即DB=子 第7课黄金分割 1.C2.C3.C4.B 5.证明：：AB=AC,∠A=36°， .∠ABC=∠C= ×(180° .'AB =45 m. .CAANC:CAADE=3:1. 3.解：根据题意得∠AEB=∠CED, 'C△Bc=27cm,.C△ADs=9cm 36)=72° ∠BAE=∠DCE=90°， 5.(1)证明：DE∥BC, BD平分∠ABC ,△AEB△CED, ∴.∠ADE=∠B. .∠ABD=LCBD=2 AB=A5,即AB=20 又·∠A=∠A, ∠ABC CDCE即1.62.51 ∴.△ADE∽△ABC. =36° 解得AB=12.8. .'DA=DB 答：教学楼AB的高度为12.8m 品-2…船-号 (2)解： .:∠BDC=∠A+∠ABD=72° 4.解：EB⊥AC, ,BD=BC,∴AD=BC DC⊥AC, :LA=∠CBD,∠C=∠C, .EB∥DC .'SAunC =18 cm2, .△ABC∽△BDC, .△ABE∽△ACD Sg达活BCD=SAABG-SAADE=18-8 .BC:DC =AC:BC, ABBE AD:DC =AC:AD. ·AcGD =10(cm2). 6.47.488.A9.1610.C 点D为AC的黄金分割点， BE=1.5m,AB=1.2m, 11.1:3 …25…脂-5 BC=12.8m, 提示：由∠ABC+∠BCD= 2AB 21 .AC=AB+BC =14 m, 90°+90°=180°得AB∥CD, 6.36°7.(1)25-2(2)D 是-是解得Dc=1n5, ∴，△AB0∽△CD0. 8.A ∠A=∠ACB=45 9.解：留下的矩形CDFE是黄金 即建筑物CD的高是17.5m. ∴.AB=BC=1. 5.C6.54 矩形. .·∠D=30°，∠BCD=90° 证明如下：：四边形ABEF是正 7.解：太阳光是平行的， .BD=2BC=2, ∴AD∥BE, 方形， △BCE∽△ACD. ÷DC=√22-1下=5. .AB=DC=AF. BC CE :.△AB0与△CD0的相似比= 又8…"- AC-CD 2 1 1.2 万心面积比= 即点F是线段AD的黄金分 1+AB1.8+1.21 12. 解：(1)4：1 割点， ∴AB=1.5m (2):四边形ABCD是平行四 FD AF5-1 答：窗户的高AB为1.5m. 边形，.AD∥BC,AD=BC. AF-AD2 8. 解：.∠DEF=∠DCB=90°， .△ADF∽△EBF 即"-5-1 ∠EDF=∠CDB, .AD 2 .△DEF∽△DCB. E为BC的中点，心B距=i, ∴矩形CDFE是黄金矩形 EF DE ∴.CAADF:CAEBF=2:1. 10.解：(1)在Rt△APD中， ·BCDC CAAr=24,.C△r=12. 在Rt△DEF中 13. AP=1 cm,AD =2 cm, 解：：△ABC沿BC边平移到 由勾股定理知 DF=0.5m,EF=0.3m,由勾股 △DEF的位置， ∴.AB∥EG,∴.△ABC∽△GEC. PD =AD +AP2=4+1 定理，得 /CE21 =5(cm). DE=√DF-EF=0.4(m). S CD=10 m, SAABC (BC=2 ∴，AM=AF=PF-AP=PD-AP .EC:BC=1:2. =(5-1)(cm), 品 BC=2,∴EC=√2， DM=AD-AM=(3-√5)cm. 解得BC=7.5. ∴.△ABC平移的距离为 (2)AM2=(5-1)2 .AB=AC+BC=1.5+7.5 BE=BC-EC=2-√J2. =6-25, =9(m). 14. 解：根据题意可知 答：树高AB是9m AD·DM=2×(3-5) CD PE 第9课相似三角形的周长和面积 △PDC∽△PBA, ABPF =6-25, ∴.AM=AD·DM. 新课学习 20 15 点M是线段AD的黄金分 (1)相等相等 设河宽x米，…05+x (2)对应边上高对应边上中线 解得x=22.5, 割点 对应角的角平分线对应周长的比 河宽为22.5米 第8课利用相似三角形测高 (3)相似比的平方 第10课位似 1.解：AB⊥BC,CE⊥BC 1 11111 1.222 新课学习 ∴.∠ABD=∠ECD=90° 242 相似对应点位似中心 又·∠ADB=∠EDC, 2.B3.D 1.(1)位似(2)2：1 ∴△ABD△ECD. 4. (1)证明：DB=2AD, 2.24 2-品即尝-8。 EC =2AE. 3.(1)0(2)9 24=20 AD 1 AE 1 解得AB=48. 六AB=3AC=3 4.解：如图，四边形A'B'C'D'即为所 求 答：河的宽度AB为48m AD AE1 2.解：DE∥AB, ÷AB-AC=3 .△CDE∽△CAB. 又，∠A=∠A, 岩脂品 ∴.△ADE∽△ABC (2)解：，△ADE∽△ABC, 阅盟学皇数学九年级全一册BS版19课堂本参考答案 5.解：如图，△A'OB即为所求 (2)2x2y-2x-2y 2.(1)2412-1-22 010-10 2号-受 课堂总结： hex hy -kx -ky 3.36634.D5.D6.D 6.解：如图，△A'B'C'即为所求 7.解：(1)如图所示： 7.解：(1)如图，△ABC即为 (2)B'(-6,2),C(-4,-2). 所求； 8.解：(1)如图所示： (2)如图，△AB2C2即为所求 YA 012345678 8.点03：19.D (2)4'(3,6),B(5,2),C(11,4). 10.解：(1)如图所示 9.C10.(22,2) 第12课 图形的相似单元复习 C2B3.D4分 5.c (2)4(3)1:2(4)平行 6.B79 11.10cm 8.(8,4)或(-8，-4) 12.解：(1)如图，△41BC1即为所求； 9.解：如图，△A1BC1为所求 YA (2)如图，△A2B2C2即为所求. B(B,) (3)16：1 10.D 13.解：(1)如图，过点D作DH⊥x 11.解：(1)BC=2CG,且点G是 轴，垂足为H, BC延长线上的一点， 能芳 四边形ABCD是平行四边形， FC//ABAB-BG3 CF CG 1 :△ABC与△DOE位似， AB-6..CF-jAB-2. 位似比长=能-名-子 (2)CD=AB=6, .∴.OH=2B0=4,DH=2A0=6. 由(1)知需号照=号 DF 2 .D(4,6) (2)如图，连接DA并延长DA交 :四边形ABCD是平行四边形， ∴.DF∥AB. x轴于点M,则M为位似中心， ∴.△FDE∽△ABE 则MO:MH=12. 设M0=x,则MH=x+4, x:(x+4)=1:2. SbD呢 12.(1)证明：Rt△ABC∽RL△EFG, .x=4. .M(-4,0). 小品-%-品.46=4C 第11课位似与坐标变换 而AC=2DC,EG=2GH, 1.(1)24 -2-440 BC DC -40 ·.FGcH 阅盟学皇数学九年级全一册BS版20课堂本参考答案 ∴.△BDC∽△FHG; (2)解：由(1)知△BDC∽△FHG, EF=24B9%-7 .S△Dc:SAFNG=1:4 S△mc=5, ·Sac=20. 13.解：设PB=x, 则PD=BD-PB=14-x, 当△PCDAPAR时，品 CD=4,AB=614-=6 解得x=8.4. 经检验x=8.4是原方程的解， PB=8.4. 当△PGD△APB时，治品 :CD=4,AB=6,14-x-4 6 解得x1=2,2=12 经检验x1=2,x2=12是原方程 的解. ∴PB=2或12或8.4 14.解：(1)如图，点E即为所求 D (2)四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， BM =CM=3,AB=4, .AM=√JAB+BM =√4+32=5， △M0E△M0-品 B=号故答案为贤 教材母题回归 1.解：SAADE=S边无BCDE, SAADE:S△MBc=1:2. .DE∥BC, .△ADE△ACB. 2 AE 1 62 AE=32 2.证明：：AD⊥BC,∠BAC=90°， ∴.∠ADB=∠BAC=90°， 又∠B=∠B, ∴.△ABD△CBA, AB_BD ·BCAB ∴.AB=BD·BC 3.解：由题意可知BD=2x,则 AD=AB-BD=8-2x, DE/Bc…胎- g= 9， 4x+9(0≤x≤4)， y=- BC=EG=CE, AB=5,BC=1, 其图象如图所示： FG=3,BC=EG=CE=1, c3%清6， 器-5a 4.解：直角边AB长为1.5m,面 %器 积为1.5m2, ÷SAAe=ZAB·BCy LBGF=LFGE FG=EG BG_FG ∴.△BFG∽△FEG: 即x1.5×BC=1.5, (2)解：：△ABC≌△FEG, ∴.∠ACB=∠G, .'BC=2 m .AC∥FG,∴.∠BPC=∠BFG, .在△ABC中，根据勾股定理得 ·.△BPC△BFG, AC=√AB2+BC=√1.52+2 PC BC 1 -√厚-， ·FBG3 FG=B,.PC=1 在甲的方法中，如图，过点B作 53, BM⊥AC,交DE于点H,交AC于 点M,设正方形DEFG的边长为 .PC= 3 x m, MP=AC-PC=5-5_23 3=3 APPC255=2:1 33 新课标、新题型特训一 .在Rt△ABC中，根据等面 实验、探究与活动 积法： 1.解：方案一：如图1，过点C作CH∥ 2AB·BC=2ACBM, BD交EF于点Q,交AB于点H, 即7×15x2=3 2 ·BM. .BM=1.2m, ?四边形DEFC是正方形， .DE∥AC, 图1 .△BDE∽△BAC, 易证四边形CDFQ、四边形CDBH DE=B盟BM-x 都是矩形， AC=BM=BM ∴.CQ=DF=1.35m, 即冬-22，解得x 30 CH=BD=16.8m,QF∥HB. 5 1.2 37 EQ∥AH..△CEQ∽△CAH. 2 在乙的方法中，设正方形BDEF 器器 的边长为ym, 解得AB=12.9. BC =2 m,AB =1.5 m, .旗杆AB的高度为12.9m. DE∥AB,.∴.△CDE∽△CBA. 方案二：依题意，得 CDDE ∠ACG=∠FCE, CB BA' ∠CGA=∠CEF=90° ∴，△CEF∽△CGM. 即=六解得y=号 2 306 器-能即8=B7 0.5 37<7, 解得AB=12.9. ∴甲的方法符合要求 .旗杆AB的高度为12.9m. 2.解：(1)设正方形的边长EH为 核心素养专练 xcm,AD是△ABC的高， 1.602.30 ∴∠ADB=90 3)片(2号号4号 ,四边形EFGH是正方形， ∴.EH∥BC. 5.(1)证明：△ABC,△DCE, .∠AKE=∠ADB=90 △FEG是三个全等的等腰三 :EH∥BC,∴.△AEH∽△ABC 角形， ∴，AB=AC=EF=FG, 品箭品90，解得 EH_AK 阅盟学星数学九年级全一册BS版21课堂本参考答聚 x=60. 答：这个正方形的边长为60cm (2)设正方形的边长MWN为acm, AD为△ABC的高， .∠ADB=90° .·MN∥BC, .∠APM=∠ADB=90. :MN∥BC,∴.△AMN△ABC. C品品290，解 得a=24. .6a2=6×242=3456(cm2). 答：正方体的表面积为3456cm2 解：(1)设正方形的边长是xcm, AD是△ABC的高， ,∴.∠ADB=90 四边形PQMN是正方形， ∴.PN∥BC. ∴.∠ADB=∠AEP=90 'PN∥BC,∴.△APN∽△ABC, 院品赜。 解得x=36. ∴.加工成的正方形零件的边长 是36cm. (2)存在，理由如下： 设PN=acm,矩形PQMW的面 积为8由()可蜘器品。 ,a=60-P .90 60 解得P0=60-子0 s=Pm·P0=a(0-子知 -0+60a=-号(a-45)y2+ 1350. <0, .当a=45时，S最大=1350. .'PN =45 cm, 2 PQ=60-3a=30(cm）, ∴矩形的面积存在最大值，面积 达到最大时，矩形零件的两条边 长分别为45cm,30cm. (3)设PN=acm, 由(1)可知P0=(60-子m :所要加工成的零件是一个黄 金矩形 长 60 2 =，即 -30 5,展得067 PQ=60-号×46,7= 28.9(cm). 这个黄金矩形的长约为 46.7cm,宽约为28.9cm.第四章 图形的相似 第1课 成比例线段 新课学习》 知识点1两条线段的比（长度比） 1.④已知线段a=4cm,b=6cm,a与b的比为2.已知线段a=4cm,b=6m,则a与b的比为 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°， 则BC与AC的比为 则BC与AB的比为 A.1:2 B.2:1 A.1:2 B.2:1 C.1:3 D.3:1 C.1:2 D.2:1 知识点2成比例线段 在四条线段，6c,d中，如果号=台，那么这四条5.@判断下列各组线段是不是比例线段？（是 线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段. 的打“V”,不是的打“×”) (1)1,2,4,8( (2)1,2,3,4( 例如分-名则12,36成比例 (3)3,1,6,2( (4)1,2,2,2( 6.(2023·佛山南海区期中)下列四组线段中，7.(2023·深圳光明区校级月考)已知线段α， 不成比例的是 ( b,c,d是成比例线段，如果a=1,b=2,c=3, A.3,9,2,6 B.1,5,2,6 那么d的值是 ( C.1,2,3,9 D.1,2,4,8 A.8 B.6 C.4 D.1 知识点3比例的性质 (1)如果号=分，那么 8.(1)(2023·佛山三水区开学)已知3x=5y (x≠0，y≠0)，下列变形错误的是( (2)如果ad=bc(a,b,c,d都不为0)，那 A.￥= B.Y=5 么 x3 (3)如果号=后=…=只(6+d+…+n≠0)， C.2-3 ”x5 D旁=青 那++-号 (2)(2023·深别期中)如果号-号那么 y+2x 3x-y 74 BSSX 9.如图，一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=10.【教材改编】(BS九上P79)如图，将一张矩 1m,按照如图所示的方式将它裁成相同的三 形纸片沿它的长边对折(EF为折痕)，得到 面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长 两个全等的小矩形.如果小矩形长边与短 的此与原绸布的宽与长的比相同，即 边的比等于原来矩形长边与短边的比，若 D AD=4,求AB的长. 侣那么。的值应当是多少 D 过天检测器 (凸县础训练 11.(2023·深圳龙岗区校级期中)下列各组中 12.【原创题】在地理学上，比例尺= 图上距离 的四条线段成比例的是 实际距离’ 在比例尺为1：10000的地图上，相距8cm A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm 的两地A,B的实际距离为 C.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm D.3 cm,4 cm,6 cm,9 cm 马能力调练 1B.【载材改编】(BS九上80)在△MBC和14.已知a6,e是△ABC的三边长，且号=冬 △48G中，已知格-%-%-，且 后0.求：(1)29。的值： △A'B'C'的周长为24cm,求△ABC的周长， (2)若△ABC的周长为90，求各边的长 还拓展训孩 15.(1)(2023·佛山顺德区期中)已知贤-号，则n? n 则m+n (2)等边三角形的一边与这条边上的高的比是 A.3:2 B.3:1 C.2:3 D.1:5 BSSX 75第11课 位似与坐标变换 新课学习影 1.©（原创题】如图，以原点0为位似中心，位2.【原创题】如图，以原点0为位似中心，位似 似比为2：1，把线段AB放大得到A,B,A,B2, 比为)，把线段AB缩小得到A,B1,A,B,填 填空并总结规律： 空并总结规律： (1)4(1,2),A(,）,A2(, (1)A( B(2,0),B(,),B2(,); ,),A( A(,),B(,), (2)若P(x,y)是AB上一点，则其对应点的坐 标为P(,),P( B,(,）,B2( (2)若P(x,y)是AB上一点，则其对应点的 坐标为P（,),P2(,). 2 -2 O B.B 课堂总结： 如果以原点O为位似中心，位似比为k,画一个图形的位似图形，那么原图上的点P(x,y)对应的 位似图形上的点的坐标为P( )或P2( 3.④如图，在平面直角坐标系中有两点A(1,2),4.如图，线段AB两个端点的坐标分别为 B(2,1),以原点O为位似中心，在第一象限 A(6,6),B(8,2),以原点0为位似中心，在 内，将AB放大为原来的3倍得到A'B',则 第一象限内将线段AB缩小为原来的)后得 点A'的坐标为( ),点B'的坐标 为( A 到线段CD,则端点D的坐标为 A.(3,3) B.(4,3) B C.(3,1) D D.(4,1) 98 BSSX 5.如图，已知点B(6,4),矩形OA,B,C1与矩形6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3, OABC关于点O位似，且矩形OAB,C1的面 6),B(-9,-3),以原点0为位似中心，相 积等于矩形0ABC面积的4，则点B,的坐 似比写，把△AB0缩小，则点B的对应点B 标是 的坐标是 A.(3,2) A.(-3,-1) B.(-2,-3) B.（-1,2) C.(2,3)或(-2，-3) C.(-9,1)或(9，-1) D.(3,2)或(-3，-2) D.(-3,-1)或(3,1) 7.如图，B,C两点的坐标分别为(3，-1)，8.如图，已知△ABC和M(1,2) (2,1) (1)以点M为位似中心，使△A'BC'与 (1)以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OBC △ABC的相似比为2，在第一象限内画 放大至两倍得到△OB'C',画出图形： 出△ABC的位似图形△A'B'C'; (2)分别写出B,C两点的对应点B',C的坐标 (2)写出△A'B'C'的各顶点坐标 过天检测 9.【原创题】如图，以某点为位似中心，将10.如图，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且点 △AOB进行位似变换得到△CDE,则位似中 0为位似中心，相似比为1：√2.若点A(0,1), 心的坐标为 B(2,0),则点F的坐标为 A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D.(3,3) BSSX 99第12课 图形的相似单元复习 县础练习 1.(2023·佛山顺德区期中)两个相似三角形 2.(2023·深圳福田区校级期未)已知+3y= 的相似比为1：2，较小的三角形的面积为4， 则另一个三角形的面积为 ( ，则的值为 A.2 B.8 C.16 D.1 7 > A.3 B.- C.- D.1 3.(2023·深圳宝安区校级期中)已知线段m, 4.如图，直线，∥12∥1，直线AC分别交1,2， n,P,9的长度满足等式mn=pg,将它改写成 1于点A,B,C,直线DF分别交11，l2,l于点 比例式的形式，错误的是 A.m=4 B.P=n P n m q C.9=n D.m=2 m p 5.如图，在△ABC中，已知点D,E分别是边6.下列命题中，是真命题的是 AC,BC上的点，DE∥AB.且CE:EB=2:3, A.一条线段上只有一个黄金分割点 DE=4,则AB等于 B.各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似 A.6 C.两条直线被一组平行线所截，所得的线段 B.8 成比例 C.10 D.若2x=3y,则x D.12 y-3 7.如图，已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上8.△AOB的点坐标分别为A(4,2),B(3,0), 的高，AC=4,BC=3,则 O(0,0).若以原点0为位似中心将图形放 AD= 大2倍，则点A的对应点的坐标为 9.如图，△4BC三个顶点的坐标分别是A(-1,0),10.如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴 B(-3,-1),C(-2,-3).以原点为位似中 于点A,交y轴于点B,点P在线段AB上 心，在第一象限内把△ABC放大2倍，得到 (不与点A,B重合)，过点P分别作OA和 △AB,C.请画出△A,B,C OB的垂线，垂足为C,D.若矩形OCPD的 面积为1，则点P的坐标为 ) YA A(日3) B(22 c(分2和1， 3x4 D(兮3到和1，) 100 BSSX 提升练习 11.如图，在口ABCD中，点G是BC延长线上一 12.如图，Rt△ABCRt△EFG,EF=2AB,BD和 点，AG与BD交于点E,与DC交于点F,且 FH分别是它们的中线， BC =2CG. (1)求证：△BDC∽△FHG: (1)若AB=6,求CF的长度； (2)若△BCD的面积为5，求△FHG的 (2)求△ABE与△FDE的面积之比 面积 13.【易错题】如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,14.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点M CD=4,BD=14,点P在BD上移动，当以 是BC的中点 P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时， (1)在AM上求作一点E,使△ADE∽ 求PB的长 △MAB(尺规作图，不要求写作法)： (2)在(1)的条件下，可求得AE的长 为 D BSSX 101教材母题回归 L.(U九下P43改编)如图，△ABC中，DE∥ 4.(BS九上P122)一块直角三角形木板的面积 BC,AB=6,若SAAE=S四边形BGDE,求AE的长， 为1.5m2,一条直角边AB为1.5m,怎样才 能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形 桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请 D 你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求 (不计加工损耗，计算结果中的分数可保留). 2.(BS九上P90改编)如图，AD是RL△ABC斜 边上的高，求证：AB2=BD·BC 3.(RJ九下P44)如图，△ABC中，AB=8,AC=6, BC=9,如果动点D以每秒2个单位长度的 速度从点B出发沿边BA向点A运动，直线 DE∥BC,交AC于点E.记x秒时DE=y,写 出y关于x的函数关系式，并画出它的图象。 102 BSSX核心素养专练 1.[跨学科融合](BS九上P108)如图，小强自4.如图，DA⊥AC,BC⊥AC,AB与CD相交于点 制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 E,过点E作EF⊥AC交AC于点F,且BC=2, 15cm.他准备了一支长为20cm的蜡烛，想 AD=3.则EF的长为 要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸 筒 cm的地方. 5.[相似综合](BS九上P122)如图，已知 2.[相似与尺规作图]如图，在Rt△ABC中， △ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角 ∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径 形，底边BC,CE,EG在同一直线上，且AB=√5， 画弧，分别交AB,AC于点M,N,再分别以点 BC=1,BF分别交AC,DC,DE于点P,Q,R. M,N为圆心，大于之MW长为半径画弧，两孤交 (1)求证：△BFG∽△FEG; (2)求AP:PC 于点P,射线AP交边BC于点D.若△DAC △ABC,则∠B= / D 3.[相似与平行四边形综合](SK九下P74)如 图，在口ABCD中，E是BC上的三等分点， BE<CE,AE交BD于点F 部 (2)△BEF与△DAF的周长比为 面积比为 BSSX 103新课标、新题型特训一实验、探究与活动 1.【利用相似测量旗杆高度】(BS九上P103改编)(2023·济南长清区期中)某校项目式学习小 组开展项目活动，过程如下： 【项目主题】测量旗杆的高度. 【问题驱动】能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 【组内探究】由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、标杆、 镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得 到具体数据，从而计算旗杆的高度. 方案一 方案二 测量工具 标杆、皮尺 自制直角三角形硬纸板、皮尺 图1说明：线段AB表示学校旗杆，小明的 图2说明：线段AB表示旗杆，小明的眼睛 眼睛到地面的距离CD=1.7m,测点F与 到地面的距离CD=1.7m,点D与点B在 点B,D在同一水平直线上，点D,F,B之间 同一水平直线上，点D,B之间的距离可以 的距离都可以直接测得，且点A,B,C,D, 直接测得，且点A,B,C,D,E,F,G都在同 E,F都在同一竖直平面内，A,C,E三点在 一竖直平面内，A,E,C三点在同一直线 同一直线上 上，C,F,G三点在同一直线上 图 图1 图2 点B,D之间的距离 16.8m 点B,D之间的距离 16.8m 量数据 点D,F之间的距离 1.35m EF的长度 0.50m EF的长度 2.60m CE的长度 0.75m 根据上述方案及数据，请你选择其中一个方案，求出旗杆AB的高度、 104 BSSX 2.(BS九上PI22改编)(2023·台州椒江区期末)有一块形状是等腰三角形的材料△ABC,底 边BC=120cm,高AD=120cm. (1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC 上（如图1），则这个正方形的边长为多少？ (2)若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积 为多少？ ) D 图1 图2 3.【变式练习】(2023·梧州期中)有一块三角形余料ABC,它的边BC=90cm,高AD=60cm,要 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上， (1)如图1，请问加工成的正方形零件的边长是多少厘米？ (2)如图2，如果所要加工成的零件是矩形，其他条件不变，请问矩形的面积是否存在最大值？ 如果存在，请求出满足最大值时矩形零件的两条边长；如果不存在，请说明理由 (3)如图3，如果所要加工成的零件是一个黄金矩形 ,请直接写出这个黄金矩形 的长和宽.（结果精确到0.1，√5≈2.236） DM D 图1 图2 图3 BSSX 105第4课相似三角形的定义及性质 新课学习 (一)相似三角形的定义：三个角分别相等、三 1.④如图，△ABC与△EFH相似，则： 条边成比例的两个三角形叫做相似三角形， (1)AB的对应边为 (二)相似三角形的性质：对应角 ,对 AC的对应边为 应边的比 BC的对应边为 几何语言：如图， (2)相似比k= ,△ABC∽△A'B'C', 找对应边的方法1：最长边与最长边是对应 边，最短边与最短边是对应边 2.如图，△ABC与△ADE相似，则： 3.已知△ABC∽△EFH,AB=3,BC=2,EF= (1)AB的对应边为， 1,则： BC的对应边为. 30 (1)BC的对应边为 (2)相似比k= 60 D (2)相似比k= 找对应边的方法2：相等的角 找对应边的方法3：若△ABC∽△EFH,则相 所对的边是对应边， 60>B 2cm 同位置上的字母一定是对应字母 4.④若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF最长 5.已知△ABC∽△DEF,相似比为 若r 的边分别为4和6，△ABC的最短边为2，则 △DEF的最短边为 15,则BC= 6.①如图，△ADE△ABC,AE=2,AD=3,7.如图，△ABC△DEC,∠D=40°，∠ACB= DE=4,BC=12,则： 80°，BC=3,AC=4,CD=6. (1)∠ADE=∠ ； (1)∠B= D (2)求AB,AC的长 (2)求CE的长. 80 BSSX 过天检测粉 丛是础训练 8.如图，△ADC△ACB,AD=2,AB=6,则AC=9.如图，AB与CD交于点O,△0AC△0DB, ∠C=∠B,则∠A=∠ ,OC的对应 边是 ,AC的对应边是 马能力训缤 10.如图，△ADE∽△ABC,AE=3cm,EC=6cm, 11.【原创题】如图，在矩形ABCD中，点E,F分 DE=2cm,∠AED=40°.求∠C的度数和 别在AD,CD上，△ABE△DEF,AB=6, BC的长 AE=8,ED=3,求FC的长. 多拓展训练 12.【双垂直模型】如图，AD是直角三角形ABC斜边上的高，△ABD∽△CAD,BD=9,CD=4,求 AD的长 BSSX 81第6课 相似三角形的判定(2)》 知识储备房 知识点1相似三角形的判定1 两角分别相等的两个三角形相似， 1.如图，已知BC∥DE,求证：△ADE∽△ABC 几何语言：如图， 新课学习务 知识点2相似三角形的判定2 若两个三角形的两组对应边的比 ,并且2.④如图，根据条件证明图中两个三角形相似 这两边的夹角 则这两个三角形相似 几何语言：如图， B 3.如图，AE与BD交于点C,根据条件证明图中4.如图，根据条件证明两个三角形相似 两个三角形相似. 20 .40 30 60 D 知识点3相似三角形的判定3 若两个三角形的三组对应边的比 ,则5.如图，根据条件证明：△ABC△A'B'C. 这两个三角形相似， 2 几何语言：如图， 84 BSSX 6.侧(2023·佛山南海区期中)如图，在4×47.如图，在网格中，试判断△ABC与△DEF是 的正方形网格纸中，△ABC和△DEF的顶点 否相似，并说明理由. 都在边长为1的小正方形的格点上，求证： △ABC∽△DEF. 过天检测路 马县础训练 之能力训缘 8.【教材改编】(BS九上PI102)如图，点D,E,F9.【易错题】如图，点D在AB上，如果AC=AD· 分别是△ABC三边的中点. AB,那么△ACD与△ABC相似吗？为什么？ 求证：△ABC∽△FED. (马拓展训缓 10.【教材改编】(BS九上P102)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm,AC=6cm,点Q从点B 出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动， 若点Q,P分别同时从点B,C出发，一点到达终点时，另一点停止移动，则 经过 秒后，以点C,P,Q为顶点的三角形与△CBA相似 BSSX 85微专题3 模型 模型一：A字形 (1) 条件：DE∥BC(如图)， D 结论0 2) 条件：∠1=∠2（如图）， D 结论：△ABC∽△AED. 3 D 条件：∠1=∠2（如图） 结论：△ABC△ACD. 模型二：双垂直型 条件：LBAC=∠1=90（如图）， 结论：①AB=BD·BC; ②AC2=CD·BC; ③AD2=BD·CD. D 模型三：8字形、反8字形 (1)8字形 A 条件：AB∥CD(如图)， AO BO AB 结论：C0D0-cD D (2)反8字形 条件：∠A=∠D(如图)， AO BO AB 0 结论：D0c0DC 注意隐含条件：对顶角相等 86 BSSX 相似的模型 训练 1.如图，在△ABC中，DE∥BC, AE=2,8c=1,则能 2.如图，已知∠1=∠ACB,AD=2, BD=1,求AC的长 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC. (1)求证：△ABC∽△DBA; (2)若BD=4,DC=5,求AB的长 D 4.如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，若 AE:AB=1:3,求EF:FC的值 5.如图，AD与BE交于点C,∠A=∠E. 求证：CA·CD=CB·CE. 模型四：旋转型 (1)旋转不相交型 条件：∠BAC=∠B'AC', ∠B=∠B'(如图)， 结论：△ABC∽△AB'C'. (2)旋转相交型 条件：∠1=∠2， ∠B=∠B(如图)， C 结论：△ABC∽△AB'C 模型五：K字形（一线三等角型）】 1.特征：两个三角形的一条边在一条直线上， 并且有一个顶点重合，且满足∠1=∠2= ∠3（如图）. 3 2.结论： (1)一线三垂直型 已知：∠1=∠2=∠3=90 (如图). 结论：①△ABC∽△CDE; ②AB·DE=BC·CD; ③当点C为BD边的中点时 △ABC∽△CDE∽△ACE. (2)一线三等角型 已知：∠B=∠ACE=∠D=a(如图). 结论：①△ABC∽△CDE; ②AB·DE=BC·CD; ③当点C为BD边的中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE. D 6.如图，∠1=∠2，AD=6,AE=4,DE=9,AB= 12,AC=8,求BC的长 7.如图，在边长为9的等边△ABC 中，BD=3,∠ADE=60°，则 AE= 8.如图，在△ABC中，∠BAC= B 90°，AB=AC,点D是BC边上 的一个动点（不与点B,C重合），∠ADE=45° (1)求证：△ABD∽△DCE; (2)若BC=42,BD=√2，求EC的长 9.如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，将 △ADE翻折，使点D恰好落在BC边上的点 F处，AE为折痕 (1)求证：△ABF∽△FCE; (2)若AB=23,AD=4,则CE= BSSX 87微专题4相似三角形的判定与性质综合 新课学习 1.④如图，正方形ABCD的边长为4，BF=1,E2.如图，在△ABC中，点D为AB上一点，AD= 为AB的中点. 4,BD=5,AC=6.求证： (1)证明图中一对相似三角形； (1)△ABC∽△ACD; (2)求证：DE⊥EF (2)BC·AD=AC·CD. 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作 BC于点E,CF⊥AB交AB的延长线于点F AE⊥BC,垂足为E,连接DE,点F为DE上一 (1)求证：△CBF∽△DCE; 点，且∠AFE=∠B. (2)若点E为BC的中点，AB=6,BF=4,求 (1)求证：△ADF∽△DEC; AD的长 (2)若AE=6,AD=8,AB=7,求AF的长 88 BSSX 过天检测粉 丛是础温练 5.(2023·深圳宝安区校级月考)如图，D是6.如图，AD,BC交于点O,P为AB,CD延长线 △ABC边AB上的一点，添加一个条件后，仍 的交点，且PA·PB=PC·PD 不能使△ACD∽△ABC的是 求证：△PAD∽△PCB. A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB c2品 D.AC2=AD·AB 经能力训练 还拓展训线 7.【原创题】如图，∠A=∠D=∠CBE=,点8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB= A,B,D在同一直线上 2√2.点D,E为AB上两点，且∠DCE=45° (1)若=60°，求证：图中两个三角形相似； (1)求证：△ACE∽△BDC; (2)若AC=DE=2,AD=5,求AB的长 (2)若AD=1,求DE的长 B BSSX 89第7课 黄金分割 新课学习器 ①黄金分割的定义： ②计算黄金比： 如图，点C把线段AB分成两条线段AC,BC,若 如图，点C为线段AB的黄金分割点，求AC与 6-C则称线段B被点C黄金分刻，点C AB的黄金比. 解：设AB=1,AC=x, 叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄 金比 因为6肥即片 所以x2+x-1=0 解得x=1± 2 ,合去x=15 2 所以贵企比治-51-0618 1.如图，点B是线段AC的黄金分割点(AB>2.点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下 BC),则下列结论中，正确的是 ( 列各式中不正确的是 ( A B A.AM:BM =AB:AM B.AM=5-1AB A.AC2=AB2 +BC2 B.BC2=AC·AB c8-5 D.BC-5-1 D.AM≈0.618AB 2 AC 2 C.m 3.如果点C是线段AB的黄金分割点，并且4.我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄 AC>CB,AB=1,那么AC的长度为( 金矩形.已知矩形ABCD是黄金矩形且长 A号 B.2 c.5-1 D.3-15 AB=10,则宽BC为 ) 2 2 A.25 B.5W5-5 C.15-55 D.0.618 5.@如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD6.如图，在△ABC中，AC=BC,在边AB上截取 平分Lc试证明船-5 AD=AC,连接CD,若点D恰好是线段AB的 2 一个黄金分割点，则∠A的度数是 90 BSSX 过天检测 专基础训练 7.(1)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>8.在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的 PB,AB=4cm,则PA= cm. 高度比等于下部与全身的高度比，可以增加 (2)若点C为线段AB的黄金分割点，AB= 视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m, 8,则AC的长是 ( 设它的下部的高度应设计为xm,则x满足 A.45-4 的关系为 A.(2-x):x=x:2 B.9-35 B.x:(2-x)=(2-x):2 C.35-3或9-35 C.(1-x):x=x:1 D.45-4或12-4W5 D.(1-x):x=1:x 马能力训练 还拓最通练 9.【教材改编】(BS九上96)宽与长之比为10.如图，以长为2cm的线段AB为边作正方形 5,1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令 ABCD,取AB的中点P,在BA的延长线上取点 F,使PF=PD,以AF为边作正方形AFEM,点 人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感. M落在AD上. 如图，如果在一个黄金矩形里面画一个正方 (1)试求AM,DM的长： 形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证 (2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请 明你的结论 说明理由， BSSX 91