2.第二章 一元二次方程（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

第12课 一元二次方程的应用(3)（增长率问题）》 新课学习 1.猪肉一月份每斤10元，若猪肉价格每个月增2.某人去年的年薪为8万元，若每年年薪增长 长10%，则： 率为x,则： (1)二月份猪肉价格每斤为 元 (1)今年年薪为 万元 (2)三月份猪肉价格每斤为 元 (2)明年年薪为 万元 知识点1增长率、下降率问题 3.例图书馆去年有图书5万册，预计到明年增 4.(2023·佛山南海区期中)某公司今年1月 加到7.2万册，求这两年图书的年平均增 份生产成本是400万元，由于技术改进，生产 长率 成本逐月下降，3月份生产成本是361万元， 已知该公司每月的生产成本下降率相同，求 每个月生产成本的下降率 5.侧两年前生产1吨甲药品的成本是10006.某商品原价100元，连续两次降价后的价格 元，随着生产技术的进步，现生产1吨甲药品 为64元，若每次降价的百分率相同，求每次 的成本是810元，若每年下降的百分率相同， 降价的百分率.设每次降价的百分率为x,则 则药品成本年平均下降率为 列方程为 知识点2病毒传染问题 7.©有一人患了流感，经过两轮传染后共有8有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播 121人患了流感.问： 后共有25台电脑感染， (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (1)求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； (2)三轮感染后共有多少人患了流感？ (2)若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染 的电脑是否超过100台？ 48 BSSX 课堂总结： (1)连续增长两次问题、病毒传染两轮问题：原量·(1+x)2=新量； (2)连续下降两次问题：原量·(1-x)2=新量。 注意：①增长率问题通常涉及“三个时间，两次变化（增长或下降）”，要分清“原量”和“新量”： ②解方程时用直接开方法；③有时“原量”和“新量”不直接给出，如本课的第9题， 9.©某拆迁队原计划每天拆迁1250m2危房，10.某出口公司今年计划每月平均盈利125万 因为下雨，第一天少拆迁了250m2,从第二 元，由于原料成本上升，二月份比计划盈利 天开始，该拆迁队加快了速度，第三天拆迁 减少20%，从三月份开始，公司采用新技术， 了1440m2. 盈利不断上升，四月份盈利达到121万元 (1)第一天拆迁的面积为 m2; (1)二月份实际盈利 万元； (2)若第二天、第三天每天拆迁的面积与前 (2)求二月份到四月份盈利的月平均增长率， 一天增长的百分率相同，求这个百分率 过天检测务 马县础训练 11.某服装厂10月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生 产成本是405万元.假设该厂从11月起连续4个月的生产成本的下降率都是相同的， (1)求每个月生产成本的下降率： (2)该服装厂的厂长计划次年1月份的生产成本能低于365万元，请你通过计算说明该厂 长的目标能否实现. 径能力训练 还拓最训缘 12.【易错题】(2023·深圳月考)某电影上映后13.【易错题】某种植物的主干长出x个枝干，每 第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票 个枝干又长出x个小分支，主干、枝干和小分 房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若 支的总数是91，则可列方程为 第二、三天单日票房增长率相同，设平均每 天票房的增长率为x,则根据题意，可列方 程为 BSSX 49第14课 一元二次方程的应用(5)（营销问题） 增新课学习粉 1.(1)某件商品的进价是100元，售价是150元，则该商品的单件利润为 元； (2)某件商品的利润为5元/件，销售量为100件，则该商品总利润为 元； (3)某件商品每涨价1元，销量就会减少10件，则涨价2元，销量会减少 件；涨价 5元，销量会减少 件：涨价x元，销量会减少 件 2.老板发现：如果每斤高档苹果盈利10元，3.(2023·佛山顺德区校级月考)某商场服装 每天可售出500斤：若每斤涨价1元，日销售 部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30 量将减少20斤.设每斤涨价x元： 件，每件盈利40元.为了扩大销售，减少库 (1)填下表（用含有x的代数式表示）： 存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1 每斤利润/元销售量/斤 总利润/元 元时，平均每天可多卖出2件.若商场要求该 涨价前 10 500 5000 服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价 涨价后 多少元？ (2)若每天盈利6000元，则每斤应涨价多 少元？ 4.某商店经销一种商品，若按每件盈利2元5.【易错题】(BS九上P54)某商店将进价为 销售，每天可售出200件.如果每件商品涨价 2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能 0.5元，则销售量就减少10件.问每件应涨 售出8台.这种冰箱的售价每降低25元，平 价多少元，才能使每天获得的利润为640元？ 均每天就能多售出2台.商场要想在这种冰 箱的销售中每天盈利4800元，每台冰箱应 降价多少元？设每台冰箱降价x元，由题意， 可列方程为 52 BSSX 6.④某商场将进价为每件8元的某种商品按7.(2023·河源连平县期中)某商场销售一批名 每件18元出售，每天可卖500件.调查发现， 牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44 若每件涨价1元，日销售量将减少20件.现 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 该商场要保证每天盈利6000元，且售价不 商场决定采取适当的降价措施，经调查发现， 能超过25元/件，每件应定价多少元？ 每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5 件.若商场平均每天要盈利1600元： (1)每件衬衫应降价多少元？ (2)这时应进货多少件？ 课堂总结： ①关系式：单位利润×销售量=总利润； ②如第4题，10是0.5的20倍，故当涨价x元时，销售量就减少20x件； ③一般都是设涨价（或降价）x元，然后间接求定价或进货量. 过天检测粉 8.【原创题】商人将进价为每件8元的某种商9.【教材母题】(BS九上P57)某果园原计划种 品按10元出售，每天可卖100件，这种商品 100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子， 每件每提价1元，每天的销售量就会减少10 现准备多种一些桃树以提高产量.试验发 件.现要保证每天盈利350元，那么： 现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减 (1)每件应涨价多少元？ 少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果 (2)每件应定价多少元？ 要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵 (3)每天应进货多少件？ 桃树？ BSSX 53第2课 一元二次方程的解 新课学习》 知识点1一元二次方程的根（解）：能使方程左右两边相等的未知数的值 1.方程x2-3x=4的根是 ( 2.一元二次方程x(x+1)=12的解为() A.0,3 B.1,-4 A.3,4 B.3,-4 C.-1,4 D.-2,3 C.-3,4 D.-3,-4 3.若关于x的一元二次方程x2+2x+m+1=04.(2023·佛山南海区期中)若x=2是方程 有一个解为-1，则m的值为 x2-x+m=0的一个根，则m= 5.已知m是一元二次方程x2+x-6=0的一个6.(2023·深圳龙岗区期中)若x=-1是关于 根，则代数式m2+m的值为 x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一个根， 则a-b= 知识点2一元二次方程的近似解 7.观察下表，探索x2=5的正数解的大致范围： 8.下表是某同学求代数式x2-x的值的情况， 1 2 3 4 根据表格可知方程x2-x=2的解是( 9 16 -2-1 123 因为4<5<9，所以 x2-x62 0 02 6 A.x=-1 B.x=0 C.x=2 D.x1=-1,x2=2 9.侧下面用“夹逼法”探索x2-x=3的正数解 10.一块矩形铁片的面积是1m2,长比宽多 的取值范围： 3m,求铁片的长.小明的解题过程如下：设 第一步： 铁片的长为xm,列方程为x(x-3)=1,整 理得x2-3x-1=0.小明列方程后，想知道 x 0 1 2 3 4 x2-x 0 0 2 6 12 铁片的长是多少，下面是他的探索过程： 第一步： 故 <x< 1 2 3 第二步： x2-3x-1 -3 -3 x 2.1 2.22.32.42.5 故 <x< x2-x2.312.642.993.363.75 第二步： 故 <x< 3.1 3.2 3.3 3.4 利用这种方法继续往下探索，可以得到方程 x2-3x-1 -0.69-0.36-0.01 x2一x=3更加精确的正数解。 故 <x< (1)请你帮小明填表，完成他未完成的部分； (2)通过以上探索，估计出矩形铁片长的整 数部分为 一，十分位为 26 BSSX 过天检测粉 凸是础训练 11.关于x的方程x-kx-12=0的一个根为3,12.在数1,2,3,4中，是方程x2+x-20=0的 则k的值为 根的为 A.1 B.2 C.3 D.4 13.若关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a≠ 14.(2023·深圳南山区校级期中)根据下列表 0)有一个根为1，则下列结论正确的是（ 格的对应值： A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 x 1 1.1 1.2 1.3 C.a+b+c=0 D.a-b+c=1 x2+12x-15 -2 -0.59 0.84 2.29 由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个 根满足 ( A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.x>1.3 马能力训缓 15.(2023·深圳模拟)x=1是关于x的一元二 16.(2023·佛山南海区模拟)已知a是方程 次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b= x2-2x-2023=0的根，则代数式2a2-4a-2 ( 的值为 ( A.-2 B.-3 C.4 D.-6 A.4044 B.-4044 C.2024 D.-2024 17.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,18.已知x=1是一元二次方程ax2+bx-60=0 可列表如下： 00.511.11.21.3 的个潮，且a≠6，求号：公的值 x2+px+g-15-8.75-2-0.590.842.29 则方程x2+px+g=0的正数解满足( A.解的整数部分是0，十分位是5 B.解的整数部分是0，十分位是8 C.解的整数部分是1，十分位是1 D.解的整数部分是1，十分位是2 3拓展训练 19.若1和2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根，求mn的值. BSSX 27第8课 一元二次方程根的判别式 知识储备影 新课学习影 1.(1)Wa有意义的条件是a 0; 2.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 (2)9 意义；而 意义；√-9 求根公式为 ； 意义（填“有”或“无”） (2)根的判别式为 ,记作4= b2-4ac. 探究一元二次方程的根与判别式的关系 方程 公式法解方程 △的值 结论 x2+x-2=0 x1= x2= ①4>0一方程有 实数根 x2+2x+1=0 ②A 0白方程有 实数根 2x2+x+1=0 ③4 0一方程 实数根 注意：4 0一方程有实数根 知识点1计算判别式的值，判断方程根的情况 3.不解方程，判断方程x2-2x-5=0根的4.不解方程，判断方程2x2-4x+2=0根的 情况. 情况. 解：a= C 4=b2-4ac= 因为△ 0, 所以方程 实数根 5.(2023·深圳罗湖区期中)下列对一元二次6.不解方程，判断方程2x2+3x-4=0根的 方程x2+2x+3=0根的情况的判断，正确 情况. 的是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 知识点2根据方程根的情况，计算字母系数的取值范围 7.@若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有8.若关于x的一元二次方程x2+3x-m=0没 两个不相等的实数根，求m的取值范围 有实数根，求m的取值范围. 9.(2023·深圳光明区校级开学考)已知关于x10.(2023·河源紫金县期中)若关于x的一元 的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0有两 二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数 个不相等的实数根，则k的取值范围是 根，则实数m的值为 ) A.-9 A.k>1 B.k≠2 B- c D.9 C.k<3且k≠2 D.k>1且k≠2 38 BSSX 知识点3计算判别式，证明方程根的情况 11.已知关于x的一元二次方程x2+mx-1=0, 12.【教材改编】(RJ九上PI7)已知关于x的 求证：无论m取何值，方程总有两个不相等 元二次方程(x-3)(x-2)-m2=0,求证： 的实数根。 无论m取何值，方程总有两个不相等的实 数根.（提示：先化为一般形式，c=6-m2.) 课堂总结： 常考证明类型： (1)4=m2+正数>0→方程有两个不相等的实数根； (2)4=m2≥0→方程有两个实数根， 过天检测》 马县础训练 马能力训线 13.(2023·佛山南海区月考)若关于x的一元14.直线y=x+a不经过第四象限，则关于x的 二次方程：-2：+=0无实数根，则实 方程ax2-2x-1=0的实数解的个数是 数k的取值范围是 ( A.0个 B.1个 A.k<2 B.k>2 C.2个 D.1个或2个 C.k<2且k≠0 D.k≤2且k≠0 马拓展训缤 15.【核心素养】已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当方程根的判别式等于5时，求m的值 BSSX 39第9课※（选学） 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 知识储备 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 1.探究两根和、两根积与a,b,c的关系： x=-b±△(4≥0)，根的判别式：4=6-4ac 2a (1)%+%=b+6+-6-么 2a 2a (2)%=66×62五 2a 2a 新课学习 一元二次方程根与系数的关系： 2.例如：x2+3x+2=0. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)有两根分别为x1,x2,则： a=,b= ,C=; 两根和+%=-；两根积：名·名= x1+x2=- a a a 该关系使用的前提条件是 3.(2023·河源连平县期中)已知x1,x2是一元 4.(2023·化州期中)已知m,n是一元二次方 二次方程x2+2x-3=0的两根，则x1+x2, 程x2+x-2023=0的两个实数根，则代数 xx2的值分别为 ( 式m2+2m+n的值等于 () A.-2,3 B.2,3 A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 C.3,-2 D.-2,-3 5.若x1,x2是方程2x2+6x-8=0的两个根，6.若x1,k2是方程22-4x-6=0的两个根，求下列 求下列各式的值：(1)x+好：(2)上+1 各式的值：(1)(x1-3)(x-3):(2)(x1-x)2 课堂总结： 要熟练掌握以下变形： (1)x+x好=(1+x2)2-2x1x2; (2)x1x+xx2=x1x2(x1+x2); (3)(x1-x2)2=(x+x2)2-4x1x2; (4)x1-x2=√(x1+x2)2-4xx2; (5)1+1=西+3」 x1 x2 x1X2 (6)(x1+a)(x2+a)=x12+a(x1+x2)+a2. 40 BSSX 7.(2023·深圳龙岗区校级月考)已知关于x8.(2023·佛山顺德区月考)已知关于x的 的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个 元二次方程x2+6x-m2=0. 实数根， (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根x1,x2满足x1+ (2)若x,x2是该方程的两个根，且满足 2x2=-5,求m的值， x1x2+x1+x2=m2+6,求m的值. 过天检测 女县础训缘 9.(2023·深圳福田区校级期末)若x1,x2是方 10.(2023·佛山二模)若矩形的长和宽是关于 程x2-6x-7=0的两个根，则 x的方程2x2-8x+m=0的两个根，则矩形 A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6 的周长为 ( C.x= 7 A.8 B.4 C.2 D.6 6 D.x1x2=7 马能力训练 11.已知方程x2-x-3=0的两个根为x1,2,12.【教材改编】(BS九上P57)已知关于x的一 若方程的两个根互为相反数，则k= 元二次方程x2-10x+k=0的一个根为5+√5， ,x1x2曰 则方程的另一个根为 k= 色苑展训练 13.(2023·深圳福田区月考)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x-2(m+3)=0. (1)求证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设x1,x2为方程的两个实数根，且(x1+x2)2-2xx2=16,求m的值. BSSX 41第二章一元二次方程 第1课 一元二次方程 新课学习》 知识点1一元二次方程的定义 只含有 个未知数，且未知数的最高次1.下列方程中，一元二次方程共有( )个 数是 的整式方程 -2x-1=0:②a+:+6=0:® 例如：5x2+3x=4是关于x的一元二次方程. 3x-5=0;④-x2=0:⑤(x-1)2+y2=2; ⑥(x-1)(x-3)=x2. A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2023·深圳福田区期中)下列关于x的方3.若方程(a-1)x2+x-9=0是关于x的一元 程中，一定是一元二次方程的是 ( 二次方程，则a的取值范围是 A.x-1=0 B.x3+x=3 A.a≠0 B.a≠1 C.x2+3x-5=0 D.ax2+bx+c=0 C.a≠-1 D.a>1 知识点2一元二次方程的一般形式 等号左边按未知数降幂排列，且右边为0的一 4.【原创题】下列符合一元二次方程一般形式 元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中， 的是 ( 二次项： ;一次项： A.4+3x+x2=0 B.3x+4+x2=0 常数项： ;二次项系数： C.x2+4+3x=0 D.x2+3x+4=0 一次项系数： 5.填下表： 6.填下表： 一元二次方程 般形式 b 元二次方程 一般形式 二次项 次项 4x2=5-x -3+4x=-7x 4=x(x-5) x(x+2)=1 (x+2)(x-2)=0 (x+1)2=x 知识点3列一元二次方程 7.如图，一个直角三角形的斜边长为10，两8.如图，学校要对校园内一块长50m、宽40m 条直角边的长相差2，设较长的直角边长为x, 的矩形空地进行绿化，计划中间的地种花， 根据题意，列方程得 四周留出宽度相同的地用来铺草坪，且种花 化为一元二次方程的一般形式为 面积为600m2.求草坪的宽.设草坪的宽为 xm,根据题意，列方程得 ,化为一元二次方程的一般形式 为 种花 24 BSSX 过天检测 丛是础温练 9.(2023·佛山南海区校级月考)下列方程是 10.下列不是一元二次方程的一般形式的是 一元二次方程的是 ( A.x2-4y=0 B.x2+x+3=0 A.x2+3x=0 B.x2+3=0 C.2x=5 D.2+1-2=0 C.3x2=0 D.x2+3x=4 11.关于x的方程(a2+1)x2+2ax-6=0是 12.(2023·佛山禅城区校级月考)一元二次方 元二次方程，则a的取值范围是( 程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系 A.a≠±1 B.a≠0 数、常数项分别是 ( C.a为任何实数 D.不存在 A.2,1,5 B.2,1,-5 C.2,0,-5 D.2,0,5 马能力训线 13.【易错题】方程(m-1)xm1-3x=7是关14.【教材改编】(RU九上P4)一个长方形的面 于x的一元二次方程，则 ( 积为9m2,并且长比宽多8m,设长方形的 A.m=1 B.m=-1 宽为xm,则可列方程为 ( C.m=±1 D.m≠±1 A.2x(x+8)=9 B.2[x+(x+8)]=9 C.x(x-8)=9 D.x(x+8)=9 15.【教材母题】(BS九上P32)根据题意，列出16.结合题意列出方程，并将其转化成一元二 一元二次方程： 次方程的一般形式（不用求解）： 有一个面积为54m2的长方形，将它的一边 用一条长40cm的绳子围成一个面积为 剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正 64cm的矩形，求矩形的长 方形，则这个正方形的边长是多少？ 马拓展训缓 17.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=18.【原创题】已知关于x的方程(m2-1)x2+ 9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的 (m-1)x-2=0. 值为 ( (1)当m 时，该方程为一元二次 A.0 B.±3 C.3 D.-3 方程； (2)当m 时，该方程为一元一次 方程。 BSSX 25微专题2 一元二次方程阶段复习 县础练习器 知识点1一元二次方程的相关概念 1.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx- 2.一元二次方程x2-x=6的解为 3=0的一个根，则m的值是 ( A.2,3 B.2,-3 A.-2 B.-1 C.1 D.2 C.-2,-3 D.-2,3 3.若(a+1)x2+x-9=0是关于x的一元二次4.将方程x(x+4)=-5化成一元二次方程的 方程，则a的取值范围是 般形式为 知识点2一元二次方程的解法 5.分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-826=06.(2023·深圳龙岗区校级期中)若x=3是关 的一个正数解x的大致范围为 于x的方程ax2-bx=6的解，则2023-6a+ x 20.6 20.7 20.8 20.9 2b的值为 (x+8)2-826 -8.04 -2.31 3.44 9.21 A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 C.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9 7.选择适当的方法解方程： 8.选择适当的方法解方程：x2+23x-1=0. (1)2x2-16=0: (2)2x2-16x=0. 9.选择适当的方法解方程：(2x-1)2=(5-x)2. 10.选择适当的方法解方程：3x(x-2)=10-5x 知识点3根的判别式 11.(2023·深圳宝安区月考)下列方程中，有 12.(2023·深圳福田区校级期末)若关于x的 两个相等的实数根的是 ( 元二次方程x2-x+1=0有实数根，则k A.x2-2x-1=0 B.x2-x+ 1 可取的最大整数值为 ( =0 4 A.1 B.0 C.-1 D.-2 C.x2+3x+5=0 D.2x2-3x+1=0 42 BSSX 知识点4韦达定理 13.若x,x2是方程-3x2+3x+5=0的两个根，14.已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相 则x1+2= ，X1·X2= 等的实数根x2,则 A.x1+x2<0 B.x1x2<0 C.xx2>-1 D.x< 提升练习器 15.【原创题】已知一个直角三角形的两边的长 16.已知关于x的一元二次方程x2-3x+1=0 恰好是方程 2+6=0的两个根，则 有两个不相等的实数根x,七2，则x+号的 值是 此三角形的周长为 17.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. 18.【易错题】已知关于x的一元二次方程x2- (1)若该方程的一个根为1，求a的值； (2k+1)x+k2+k=0. (2)若a的值为3，请解这个方程. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若等腰三角形ABC的两边AB,AC的长 是上述方程的两个根，当BC为5时，求 k的值， BSSX 43第10课 一元二次方程的应用(1)（面积问题）》 知识储备 长方形的面积= 十 列方程解应用题步骤：①审；②设；③列：④解；⑤验：⑥答 新课学习 1.一个长方形的面积为8m2,长是宽的2倍，设长方形的宽为xm,由题意，列方程 为 知识点1加框减框问题 2.如图，从一块长8m、宽6m的长方形中间3.如图，在一幅长8dm、宽6dm的矩形风景画 截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周 的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩 的宽度一样，且小长方形的面积为24m2,求 形挂画，使整个挂画的面积是80dm2,求金 这个长方形框的宽度. 色纸边的宽度 知识点2矩形修小路问题 4.如图，有一块长8m、宽6m的矩形试验5.【教材改编】(BS九上P38)如图，有一块长 地，准备从横、竖修两条等宽的小路，要使空 8m、宽6m的矩形试验地，要开辟3条等宽 白部分的面积为35m2,求小路的宽度， 小路，要使试验地中除小路外的种植面积为 30m2,求小路的宽度 知识点3无盖长方体问题 6.侧(2023·佛山南海区校级月考)如图，将一块长50cm、宽40cm的铁皮剪去四个正方形的 角，就可以折成一个长方体无盖盒子.如果盒子的底面积为600cm2,求盒子的高度. 44 BSSX 过天检测 丛是础温练 7.【教材改编】(BS九上P48)如图，将一块正8.(2023·深圳福田区校级月考)如图，在长为 方形空地划出部分区域进行绿化，原空地 32m、宽为20m的长方形地面上修筑同样宽 边减少了2m,另一边减少了3m,剩余一块 的小路（图中阴影部分），剩余部分种植草 面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地 坪，要使小路的面积为100m2,设小路的宽 的边长.设原正方形空地的边长为xm,则列 为xm,则下面所列方程正确的是 32m 方程为 A.32×20-32x-20x=100 20m B.32x+20x-x2=100 20n C.(32-x)(20-x)+x2=100 D.(32-x)(20-x)=100 马能力训练 9.【教材改编】(BS九上P51)如果一个三角形 10.【教材改编】(BS九上P45)如图，由点 两边的长分别等于一元二次方程x2-17x+ P(14,1),A(a,0),B(0,a)(0<a<14)确 66=0的两个实数根，设这个三角形的第三 定的△PAB的面积为18，则a= 边的长为m,则m的取值范围是 色拓展训练 11.(2023·深圳福田区校级月考)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=6cm,点P从点 A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点 C以2cm/s的速度移动，如果点P,Q分别从点A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停 止运动，设运动时间为ts (1)填空：BQ= cm,PB= cm(用含t的代数式表示). (2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由， BSSX 45第11课一元二次方程的应用(2)（面积问题） 和识储备务 1.矩形周长=2（长+宽）：矩形面积=长×宽 (1)若矩形的长为3，宽为1，则周长= ,面积= D (2)如图，若矩形ABCD的周长为20. ①若AB=4,则BC= ;②若AB=x,则BC= 新课学习 2.④如图，用长20m的铁丝围成一个面积为3.【教材母题】(BS九上P35)如图，用长16m 24m2的长方形，长与宽各为多少米？ 的绳子围成一个面积为15m2的长方形，如 何围这个长方形？ B 4.如图，用长28m的铁丝围成一个面积为5.④(2023·佛山南海区校级月考)如图，某中 32m2,形如“日”字的矩形，设AB为xm,可 学准备建一个面积为150m2的矩形花园，它 列方程为 的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的 栅栏的总长度是40m,求垂直于墙的边AB 的长度.（后墙MN最长可利用25m) 25m 6.(2023·佛山南海区校级月考)如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙 围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD的面积为150m2,求AB的长. 25m 46 BSSX 课堂总结： ①矩形面积=长×宽：②正确写出长和宽（用x表达）；③全封闭：某条边-周长-另一边： 2 ④一边靠墙（如第5题）：平行于墙的BC=砌墙材料总长-2AB(AB垂直墙)：当靠墙用材料围 矩形菜园时，平行于墙的边不超过墙长， 渴过天检测 凸县础训练 色能力训丝 7.(2023·河源龙川县校级开学考)如图，利用8.【易错题】(2023·梅州丰顺县期中)如图，若 一面墙（墙的长度不限），另外三边用58m 要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另 长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场 外三边用竹篱笆围成，篱笆总长为33m,墙 地，求矩形的长和宽. 对面有一个2m宽的门，围成的长方形鸡场 除门之外四周不能有空隙 (1)若墙长为18m,要围成鸡场的面积为 150m2,则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)能围成面积为200m2的鸡场吗？ 18m 2m 色拓展训练 9.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每10.现有可建造50m围墙的材料，准备围成如 一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，要 图所示的仓库，有一面墙要开三扇宽均为 使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那 2m的门.如何才能围成总面积为80m2的 么这条铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 仓库？ BSSX 47第13课 一元二次方程的应用(4)（互赠、握手问题） 新课学习 1.(1)2人互赠礼物，每人要送 份礼物，共2.(1)2人两两握手，每人和他人握手 次， 赠出 份礼物； 共握手次； (2)3人互赠礼物，每人要送 份礼物，共 (2)3人两两握手，每人和他人握手 次， 赠出 份礼物； 共握手 次； (3)4人互赠礼物，每人要送 份礼物，共 (3)4人两两握手，每人和他人握手 次， 赠出 份礼物； 共握手 次； (4)x人互赠礼物，每人要送 份 (4)x人两两握手，每人和他人握手 礼物，共赠出 份礼物。 次，共握手 次. 课堂总结： ①互赠问题（特征：甲二乙）：每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x(x-1)次活动； ②握手问题（特征：甲一乙）：每两人之间进行1次活动，则*人共进行了2(x-1)次活动： ③x人握手总次数=x人互赠总次数×2 3.网毕业晚会上同学们互相送照片，每人给每4.(2023·深圳福田区校级月考)元旦当天，在 个同学一张照片，一共送出90张照片，问毕 某交流群里，每两个成员之间都单独互发一 业晚会上一共有多少个同学？ 条祝福信息，共发出72条信息，求这个群的 人数 5.(2023·深圳南山区校级月考)一次会议6.参加毕业典礼的老师见面两两握手，共握15 上，每两个参加会议的人都要相互握一次 次手，求参加毕业典礼的老师的人数 手，有人统计一共握了66次手，这次会议到 会的人数是多少？ 50 BSSX 7.侧在一次商品交易会上，每两家公司之间都8.(2023·佛山南海区期中)参加夏季篮球联 签订了两份合同，所有公司共签订了20份合 赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共 同.问共有多少家公司参加商品交易会？ 要比赛28场.参加比赛的球队有多少支？ 过天检测光 凸县础训练 马能力训线 9.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之10.【原创题】赣深高铁（赣州西站一深圳北站） 间要比赛两场.根据场地和时间等条件，赛 沿途有多个火车停靠站，能产生182种不同 程计划安排7天，每天安排8场比赛，设比赛 行程的火车票，则沿途共有 个停 组织者应邀请x个队参赛，则列方程 靠站。 为 多拓展训练 11.【原创题】如图，两条直线相交最多有1个 12.探究多边形的对角线条数： 交点，3条直线两两相交最多有3个交点 (1)四边形有 条对角线，五边形有 (1)4条直线两两相交最多有 K 条对角线： 交点； (2)n边形有 条对角线； (2)若n条直线两两相交最多有10个交 (3)若一个多边形有14条对角线，求它的 点，求n的值 边数 BSSX 51第15课 一元二次方程的应用复习 一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率（病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股 定理问题等。 里础练习 知识点1互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共 同学送一张照片，一共送出90张照片，设会上 赛了15场，参加比赛的队伍有 支 有x人，根据题意，可列方程为 知识点2增长率（病毒传染）问题 3.(2023·深圳期中)某品牌新能源汽车20204.有一人患流感，经两轮传染后共有49人患流 年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断 感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递 根据题意，可列方程为 增，2022年的销售量比2020年增加了31.2 万辆.如果设从2020年到2022年该品牌新 能源汽车销售量的平均年增长率为x,那么 可列出方程 知识点3面积问题 5.一个三角形的底是高的3倍，面积为6cm2,若 6.一个梯形的面积为6，上底为x,高比上底多1， 设高为xcm,根据题意，可列方程为 下底比上底多4，则可列方程为 7.一个长方形的面积为8m2,长比宽多2m,设8.用长8m的绳子围成一个面积为4m2的长 长方形的宽为xm,根据题意，可列方程 方形，设长方形一边为xm,根据题意，可列 为 方程为 9.(2023·深圳龙华区月考)如图，学校课外生物10.如图，有一张矩形纸片，长10cm,宽6cm,在 小组试验园地的形状是长40m、宽34m的矩 它的四角各剪去一个同样大小的小正方形， 形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条 然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒 等宽的小道，使种植面积为960m,则小道的宽 的底面（图中阴影部分）面积是32cm2,求 为多少米？若设小道的宽为xm,则根据题意， 剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形 可列方程 的边长为xcm,根据题意，可列方程为 知识点4营销问题 知识点5勾股定理问题 11.某种服装平均每天可销售20件，每件盈利：12.一个直角三角形的斜边长为10cm,一条直 44元.在每件降价幅度不超过10元的情况 角边比另一条直角边长2cm,则该直角三 下，若每件降价1元，则每天可多销售5件 角形的周长为 cm. 如果每天要盈利1600元，那么每件应降价 元 54 BSSX 提升练习 13.【教材母题】(BS九上P58)如图，一次函数 14.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的矩 y=-2x+3的图象交x轴于点A,交y轴于 形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩 点B,点P在线段AB上（不与点A,B重 条的宽度比为2：3.如果要使所有彩条所占 合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足 面积为原矩形图案面积的三分之一，应如 分别为点C,D.点P在何处时，矩形OCPD 何设计每个彩条的宽度？ 的面积为1？ 30 cm 20cm- 15.(2023·深圳光明区校级月考)2023年杭州16.(2023·梅州平远县一模)某超市以每千克 亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱， 40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60 某商店以每件35元的价格购进某款亚运会 元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决 吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4 定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(千 月份的销售量为256件，6月份的销售量为 克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间 400件. 满足一次函数关系，其图象如图所示 (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量 (1)求y与x之间的函数关系式 的月平均增长率 (2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利 (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的 多少元？ 方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物 (3)若超市要想获利2400元，且让顾客获 每降价1元，月销售量就会增加20件. 得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价 当该吉祥物售价为多少元时，月销售利 多少元？ 润达8400元？ 160 100 BSSX 55第4课 解一元二次方程（配方法）》 和识储备 1.用直接开方法解方程： (1)(x+3)2=4; (2)x2+6x+9=1. 新课学习 2.根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,填空： (1)x2+6x+9=(x+)2: (2)x2-8x+=(x-)2; (3)x2-10x+ =(x )2: (4)x2+5x+ =(x+ )2 知识点1“a=1,b为偶数”型 3.用配方法解方程：x2+6x+5=0. 4.解方程：x2-4x+3=0. 5.(2023·深圳期中)解方程：x2-6x-6=0. 6.解方程：x2+8x=1. 知识点2“a=1,b为奇数”型 7.用配方法解方程：x2-5x+4=0. 8.【教材改编】(BS九上37)用配方法解方 程：x2+3x+2=0. 30 BSSX 知识点3“a≠1”型 9.(2023·深圳期中)用配方法解方程： 10.解方程：3x2-8x+3=0. 2x2=3x-1. 过天检测》 马县础训缤 11.(2023· 梅州大埔县一模)一元二次方程12.(2023·深圳宝安区校级月考)用配方法解 x2+4x-8=0的解是 一元二次方程x2-6x=1时，可将原方程配 方成(x-m)2=n,则m+n的值是 马能力训缘 13.解方程：x2-4x-96=0. 14.(2023·深圳光明区校级月考)解方程： 2x2-4x+1=0(用配方法) 马拓展训练 15.【核心素养】求证：无论x取任何实数，代数16.阅读材料： 式x2+8x+18的值总大于0.[提示：用配 若m2+2m+2n2-6n+9=0,求m和n的值. 方法配成(x+a)2+k的形式] 解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0, 所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0. (m+n)2+(n-3)2=0, m+n=0且n-3=0. m=-3,n=3. 根据你的观察，解答下列问题： (1)若x2+2xy+2y2-2y+1=0,则x+y= (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足 a2+b=10a+12b-61,且△ABC是等 腰三角形，则c= BSSX 31第5课解一元二次方程（公式法） 和识储备 一元二次方程的一般形式为a2+bx+c=0(a≠0). 1.将x2+4=5x化为一元二次方程的一般形式： ;其中a=,b= c= 塔新课字习 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x= (其中b2-4ac≥0). 知识点14>0→x1≠x2 2.@用公式法解一元二次方程：x2-3x=4. 3.(2023·深圳福田区校级开学考)解方程： 3x2-2=2x 知识点24=0→x1=x,=-2 4.用公式法解方程：x2+1=-2x. 5.用公式法解方程：x2=6x-9. 知识点34<0一方程无实根 6.用公式法解方程：2x(x-1)+1=0. 7.解方程：x(x-3)+5=0. 32 BSSX 课堂总结： (1)公式法解一元二次方程的步骤：①化成一般式，确定a,b,c的值；②计算△；③当△≥0，代入 求根公式求解：当4<0，无实数解 (2)公式法也叫做“万能法”，能解所有一元二次方程，△有三种情况：4>0,4=0，△<0. 过天检测器 丛昌础训练 8.解方程：3x2+5(2x+1)=0 9.【易错题】(2023·佛山南海区校级月考)解 方程：x2+2=4√2x. 马能力训练 10.方程x2+x-1=0的根是 ()11.用公式法解一元二次方程，得x= A.1-5 B.1,5 -5±52-4×3×1 2×3 ,则该一元二次方程 C.-1+W5 D.-1±5 是 2 包拓展训家 12.【教材改编】(BS九上P57)阅读材料： 为了解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y,那么 原方程可化为y2-5y+4=0①解得y1=1,y2=4.当y=1时，x2-1=1,所以x2=2,x=±2；当 y=4时，x2-1=4,所以x2=5,x=±V5.故原方程的解为1=2，x2=-2,x1=√5，x4=-5. (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体 现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程(x2+x)2+(x2+x)-6=0. BSSX 33第6课解一元二次方程（因式分解法）》 知识储备》 1.分解因式（和差形式→乘积形式）： 2.若A·B=0,则A=或B= (1)ax+bx= x2-5x= (2)x(x-1)+2(x-1)= 新课学习 3.用因式分解法解方程：(x+2)(x-1)=0. 4.解方程： 5.用因式分解法解方程： (1)(2023·佛山顺德区月考)(x-2)(x+3)=0: (1)x2-5x=0: (2)(2023·佛山三水区开学考)x(x+6)=0. (2)x(x-1)+2(x-1)=0. 6.解方程：x(x-5)=7(x-5) 7.④用因式分解法解方程：(x+1)2=3x+3. 8.(2023·深圳龙岗区期中)解方程： 9.（2023·深圳龙岗区校级月考)解方程： 3x(x-1)=2x-2. 9x2-(x-3)2=0. 34 BSSX 过天检测 专是础训练 10.(2023· 佛山南海区模拟)一元二次方程11.(2023·深圳龙岗区期中)一元二次方程 x2=2023x的解是 (2x+4)(x-3)=0的两个根分别为() A.x1=2,x2=3 B.x1=-4,x2=-3 C.x1=-4,x2=3 D.x1=-2,x2=3 12.解方程： 13.解方程：4x(2x+1)=3(2x+1). (1)x2-23x=0: (2)4x=x2. 马能力训线 14.(2023·深圳福田区校级期末)解方程： 15.解方程：(y+3)(y-3)=1. 3(x-5)2=2(5-x) 16.【原创题】若分式+2x的值为0，则x的17.【原创题】如果x(x-1)与2(x-1)互为相 值为 ( 反数，则x的值为 A.2或0 B.2 C.-2或0 D.-2 色拓展训孩 18.【核心素养】如果x=-2是关于x的一元19.若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常 二次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根 数)的两根x1,2满足-3<x1<-1, 求c及另一个根. 1<x2<3,则符合条件的一个方程为 BSSX 35教材母题回归 1.(BS九上P47、P48)解下列方程： 2.(BS九上P50改编)不解方程，判断下列方 (1)5x2=4x; 程的根的情况.若方程有实根，求x1+:2与 xx2的值。 (1)2x2-3x+1=0: (2)(x-2)(x-3)=12; (2)5x2+x=7; (3)(x-2)2=(2x+3)2; (3)x(x+1)+1=0. (4)2y2+4y=y+2. 3.(BS九上P51)已知方程5x2+x-6=0的一 个根是2，求它的另一个根及k的值. 56 BSSX 4.(RU九上P17改编)(1)求证：无论p取何6.(BS九上P31)如图，一个长为10m的梯子 值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离 相等的实数根；(2)当p=√6时，求(1)中方 为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子 程的根。 的底端滑动多少米？ 7.(J九上P23)如图是一个三角点阵，从上 向下数有无数多行，其中第一行有1个点， 第二行有2个点…第n行有n个点. (1)容易发现，10是三角点阵中前4行的点 5.(RJ九上P22)一个菱形两条对角线长的和 数的和.你能发现300是前多少行的点 数的和吗？ 是10cm,面积是12cm2,求菱形的周长. (2)三角点阵前n行的点数的和能是600 吗？如果能，求出n;如果不能，试用一 元二次方程说明理由. BSSX 57核心素养专练 1.[转化思想](BS九上P55改编)某市20204.[换元思想](BS九上P57)解方程(x-1)2- 年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面 5(x-1)+4=0时，我们可以将x-1看成 积占全市土地面积的百分比)仅为4.85%， 个整体，设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+ 经过两年努力，该市2022年年底自然保护区 4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时，即x-1=1, 覆盖率达到8%.设该市这两年自然保护区 解得x=2;当y=4时，即x-1=4,解得x=5. 面积的年均增长率为x,则可列方程 所以原方程的解为x1=2,名2=5.请利用这种 为 方法解方程(3x+5)2-4(3x+5)+3=0. 2.[数据分析观念、模型思想、应用意识]某厂 家2022年1一5月份的口罩产量统计如图 所示.设从2月份到4月份，该厂家口罩产 量的平均月增长率为x,根据题意可得方程 ( 2022年1一5月份某厂家的口罩产量统计图 A产量/万只 500 461 400- 368 +442 300 200 137 180 100 2 3 45 月份 A.180(1-x)2=461B.180(1+x)2=461 C.368(1-x)2=442D.368(1+x)2=442 5.[韦达定理]已知2+3是方程x2-4x+c= 3.[一元二次方程与勾股定理](BS九上P43) 0的一个根，求方程的另一个根及c的值. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多 于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广 各几何？”大意：已知长方形门的高比宽多 6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽 各是多少？（注：“丈”“尺”“寸”都是我国传 统长度单位，其中1丈=10尺，1尺=10寸， 1寸≈3.33厘米) 58 BSSX 6.[方程的生活应用](BS九上P57)某剧场共8.[数学模型]某风景区的旅游信息如图所示， 有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付 每行的座位数比总行数少16，求每行的座 给旅行社28000元，你能确定参加这次旅 位数 游的人数吗？ 某风景区旅游信息 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 每增加1人，人均收费降低10 超过30人 元，但人均收费不低于550元 7.[动点与方程](SK九上P28)如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A 出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同 时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度 向点C移动.几秒钟后△DPQ的面积等于 28cm2? BSSX 59新课标、新题型特训一实验、探究与活动 1.(BS九上P38改编)【问题情境】 如图1所示，在宽为20m、长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路，把耕地分成大 小相等的六块作为实验田，要使实验田面积为504m2,每条道路的宽度为多少米？ 【建立模型】 为了解决这个问题，小颖将图1中的道路平移得到图2，这时，实验田的面积就等于图2中的 矩形的面积（图中的空白部分） 设每条道路的宽度为xm,则该矩形的长为 m,宽为 m,根据题意可列方程： 【解决问题】 (1)x可能小于0吗？可能大于20吗？可能大于16吗？说明理由. (2)请你确定x的大致范围 (3)填表： 1 2 3 (32-2x)(20-x)-504 (4)由表可知，每条道路的宽度为 m. 图1 图2 60 BSSX 2.(BS九上P39改编)【综合与实践】阅读材料，并解决以下问题 【学习研究】北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方 图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x-35=0为例，构造方法如下：首先将方程 x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x+2、宽为x的矩形，按图1所示的方式 拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩 形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+2=4×35+4,因此，可得新方程： (x+x+2)2=144,因为x表示边长，所以2x+2=12,即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到 方程的其中一个正根 【类比迁移】小明根据赵爽的办法解方程x2+3x-4=0,请你帮忙画出相应的图形，将其解答 过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x( )=4; 第二步：利用四个面积可用x表示为 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画 图区画出示意图，标明各边长)，并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4 个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4.那么此方程的系数α= b= ,求得方程的一个正根为 r+2 x+2 x+2 x+2 图1 画图区 图2 BSSX 61第3课解一元二次方程（直接开方法） 新课学习 知识点1若x2=a(a≥0)，则x=±a 1.④用直接开方法解一元二次方程： 2.用直接开方法解一元二次方程： (1)x2=9; (2)x2=3. (1)x2=25; (2)x2=12. 3.用直接开方法解一元二次方程： 4.用直接开方法解一元二次方程： a9 (2)x2+4=0. (f-号=0： (2)e=2 5.@用直接开方法解一元二次方程： 6.用直接开方法解一元二次方程： (1)2=8: (2)0.1x2-6.4=0. (1)2x2=32; (22x-3=0 知识点2若(x+b)2=a(a≥0)，则x+b=±a 7.©(2023·深圳龙岗区月考)用直接开方法8.用直接开方法解一元二次方程： 解一元二次方程：4(x+1)2=25 7(x-4)2=28. 28 BSSX 过天检测粉 丛是础温练 9.(2023·佛山南海区月考)方程(x-3)2=110.(2023·佛山顺德区校级月考)若方程(x- 的根为 1)2=m有解，则m的取值范围是 ( A.m≤0 B.m≥0 C.m<0 D.m>0 11.一元二次方程(x-1)2=25可转化为两个12.【教材改编】(RU九上6)解方程： 一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ()2= (2)9x2-5=3. x-1=5,则另一个一元一次方程是( ) A.x+1=-5 B.x+1=5 C.x-1=-5 D.x-1=5 马能力训练 13.(2023·佛山南海区校级期末)解方程： 14.【易错题】解方程：100(1-x)2=64. (2x+1)2-81=0. 15.【核心素养】已知一元二次方程(x-3)2=116.【易错题】若0是关于x的一元二次方程(m- 的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底 2)x2+x+m2-4=0的解，则m= 边长和腰长，则△ABC的周长为 ( A.10 B.10或8C.9 D.8 马苑最训练 17.已知2是方程x2-c=0的一个根，求常数c18.【原创题】若一元二次方程ax2=b(ab>0) 的值及该方程的另一根 的两个根分别是m+1与2m-4,求的值 BSSX 29第7课十字相乘法、解法综合 新课学习 知识点1十字相乘法 1.④（※选学）用十字相乘法解方程： 2.用十字相乘法解方程： (1)x2-8x+12=0;(2)x2+7x+12=0. (1)x2-4x-12=0;(2)x2+x-12=0. 3.解方程：2x2-5x-3=0. 4.解方程：3x2+2x-1=0. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 5.用直接开方法解方程：x2-4=0. 6.用因式分解法解方程：x2=2x. 7.用公式法解方程：x2-3x-1=0. 8.用配方法解方程：x2-2x=3. 36 BSSX 课堂总结： 解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的方法选择： (1)当b=0,即a2+c=0,用直接开方法； (2)当c=0,即ax2+bx=0,用因式分解法； (3)当a=1,b为偶数，用配方法； (4)十字相乘法（多数题不适用）； (5)公式法(“万能法”，可解所有一元二次方程). 华县础训练 9.解方程：48x-4x2=44 10.解方程：200(1-x)2=162 经能力训线 11.(2023·梅州丰顺县校级开学)已知等腰三12.已知一元二次方程x2-10x+24=0的两个 角形的腰长是方程x2-7x+12=0的一个 根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的 根，其底边长为6，则底边上的高为 面积为 A.6 B.10 C.12 D.24 马拓展训缤 13.解方程：2(x-1)=15. 14.解方程：(8-2x)(6-2x)=24. 15. 若(a2+b2)2-2(a2+b2)-3=0,则代数式a2+b2的值为 A.-1或3 B.1或-3 C.-1 D.3 BSSX 37r∠EBQ=∠ABP, r∠ENC=∠EDG, BE =BA. NE =DE, L∠BEQ=∠BAP L∠NEC=∠DEG, ∴.△BEQ≌△BAP(ASA). ∴.△CNE≌△GDE(ASA). ∴.PA=OE,OB=PB. ∴.CE=EG,GD=CN=1. ,△PBQ是等腰直角三角形. ∴.PQ=√2PB. 又MF=CR,EF=2MG 84.P2-器=2 :正方形的边长为4，BM=DC=1, PB PB ∴.AM=AG=3. 新课标、新题型特训 在Rt△AGM中，由勾股定理，得 实验、探究与活动 GM=√AM+AG=3 1.解：四边形ABCD是矩形， .AE EC,BE ED,AC=BD. EF=32 2 ∴.BE是Rt△ABC的中线， (3)如图3，过点B作BH⊥CM B=280=24c 于点H, 由此可以得到：直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半 2.证明：证法一：D是AB的中点， .AD=DB. .四边形ACBE是平行四边形. 又cD=24B,cD=c, 图3 .CM=BC2 +BM2 .AB=CE. CM=√+4=17 .四边形ACBE是矩形. ·.∠ACB=90° .△ABC为直角三角形. 证法二：DE,DF,EF为△ABC BMH=4回 的中位线， 17 DE∥BC,DF∥AC,EF=2AB. 六CH=V√BC-BF=167 17 ∴，四边形CFDE是平行四边形 .:∠BPC=45°， CD-AB.EF-CD. PH=BH=417 17 ∴.四边形CFDE是矩形. .∠ECF=90°.∴.∠ACB=90° PC=PH+CH=20/17 17 ∴.△ABC为直角三角形. 3.解：(1)CM=DN,且DN⊥CM,理 PM=PC-CM=3/17 17 由如下： ,四边形ABCD是正方形， 第二章 一元二次方程 '.BC=CD,∠B=∠NCD 第1课 一元二次方程 在△BCM和△CDN中， 知识点1 rBC=CD, 12 ∠B=∠NCD 1.B2.C3.B BM=CN. 知识点2 '△BCM≌△CDN(SAS). ax'bx c a b .∴.CM=DN,∠BCM=∠CDN. 4.D .·∠BCM+∠MCD=90°， 5.4x2+x-5=041-5 ÷∠CDN+∠MCD=90. x2-5x-4=01-5-4 ∴∠COD=90°.DN⊥CM. x2-4=010-4 .线段DN与CM的关系为 6.7x2+4x-3=07x24x CM=DN,且DN⊥CM. x2+2x-1=0x22x (2)如图2，连接CE并延长交AD x2+x+1=0x2 于点G,连接GM 7.x2+(x-2)2=102x2-2x-48=0 8.(50-2x)(40-2x)=600x2- 45x+350=0 9.B10.D11.C12.B 13.B14.D 15.解：设这个正方形的边长为xm, 图2 根据题意，得 :四边形ABCD是正方形， (x+2)(x+5)=54 .AD=AB,∠A=90°，BC∥AD. 16.解：设矩形的长为xcm, ∴.∠ENC=LEDG. 则宽为 ∴·.在△CNE和△GDE中， (40-2x)÷2=(20-x)cm. 阅盟学星数学九年级全一册BS版6课堂本参考答案 由题意，得x(20-x)=64, 化为一元二次方程的一般形 式，得 x2-20x+64=0. 17.D 18.(1)≠±1(2)=-1 第2课一元二次方程的解 1.C2.B 3.04.-25.66.1 7.23 8.D9.232.32.4 10.(1)-13340.36 3.33.4 (2)33 11.-1 12.D13.C14.B15.A 16.A17.C 18.解：将x=1代入ax2+bx-60=0, 得a+b-60=0, .a+b=60, a2-62 ÷2a-2b= (a+b)(a-b2= 2(a-b) a+b6 2 2=30. 19.解：：1和2是关于x的一元二 次方程x2+mx+n=0的两个实 数根 208 由①得：n=-m-1,③ 将③代入②，得 4+2m-m-1=0, m=-3. 将m=-3代入③，得 n=-(-3)-1=2, .mn=-3×2=-6. 第3课解一元二次方程 (直接开方法) 1.(1)解：x=±9， x1=3,2=-3. (2)解：x=±3， 为=5，x2=-5. 2.(1)解：x=±√25. 名=5， x2=-5. (2)解：x=±√12. x1=23, x2=-25 3.(1)解：x=±√25 16 4 4 (2)解：方程无实数根。 4.(1)解：x=±√9 名号 2 1 (2)解：x=±√2 名1= 21 5.(1)解：x2=16. x=±√/16. 名1=4，x2=-4 (2)解：0.1x2=6.4. x2=64. x=±√64 名1=8，为2=-8. 6.(1)解：x2=16. x=±4. 1=4,2=-4. (2)解：2=分 1 1 1 名=2=-2 7.解：(x+1)2=100. x+1=±10. x+1=10或x+1=-10, x1=9,x2=-11. 8.解：(x-4)2=4. x-4=±4 x-4=±2. x=4±2. 名1=6，x2=2. 9.x1=4,x1=2 10.B11.C 1 12.(1)解：x=±√3， 3 x1= 、 3 (2)解：9x2=8,2=8 /8 x=±√9' 两22 22 3 13.解：(2x+1)2=81. 2x+1=±9. 2x+1=9或2x+1=-9, 1=4,x2=-5. 14.解：(1-x)2=0.64. 1-x=±0.64. 1-x=±0.8. x=1±0.8. 1=1.8,x2=0.2. 15.A16.-2 17.解：将x=2代入x2-c=0, 得4-c=0. 解得c=4, ∴.方程为x2-4=0, 则x2=4. 名1=2，x3=-2, ∴c=4,另一根为-2. 18解：a2=6=合 :m+1与2m-4为一元二次 方程ax2=b(ab>0)的两个根， ∴m+1+2m-4=0,∴.m=1. ÷点=(1+1)2=4. a 阅盟学堂数学 3 第4课解一元二次方程（配方法） 3 1 x- 年=±4 1.（1)解：x+3=±√4. x+3=±2 x=31 ±4 x=-3±2. 1=-5,x2=-1. 名=7%=1 (2)解：(x+3)2=1. 10.解：3x2-8x=-3 x+3=±1. x=-3±1 2-1 1=-4,x2=-2. 2.(1)3 骨+1+(} (2)164 (3)255 空多 3.解：x2+6x=-5. x2+6x+32=-5+32 (x+3)2=4. 2南4迈 心名=4+万 3 x+3=±4 11.名1=-2+25，x2=-2-25 x=-3±2. 12.13 六x1=-5,x2=-1. 13.解：x2-4x=96. 4.解：x2-4x+4=1. x2-4x+22=96+22】 (x-2)2=1. (x-2)2=100. x-2=±1. x-2=±10. x=2±1. x=2±10. 名1=3,2=1， x1=12,x2=-8 5.解：x2-6x=6. =0 14.解：2-2x+2 x2-6x+9=6+9, 即(x-3)2=15. 2-2x=-2 x-3=±15. 1 x=3±15. -2x+1=-2+1. .x1=3+√15，x2=3-√15. 6.解：x2+8x+42=1+4. x-12=2 (x+4)2=17. x+4=±17. -1号 x=-4±17. x1=-4+17, 1 22-2 2+ x2=-4-17 ∴x1= 2 7.解：x2-5x=-4 15.证明： -5+ 4+( x2+8x+18=x2+8x+16+2 =(x+4)2+2. x-5)29 5 (x-2)=4x =±4 :(x+4)2≥0， 2 .(x+4)2+2>0 5 3 53 ￥-2 2 =±2x= 即x2+8x+18的值总大于0. 16.(1)0(2)5或6 .x1=4,x2=1. 第5课解一元二次方程（公式法） 8.解：x2+3x=-2. 1.x2-5x+4=01-54 -2+( 新课学习 (+2=+ 1 3 -b±0-4ac 2=±2 2a 3 2.解：方程化为x2-3x-4=0. x=2±2 a=1,b=-3,c=-4. x1=-2,x2=-1. 4=b2-4ac=(-3)2-4×1× (-4)=25>0. ∴x=-6±VBF-4ac 、3 2a x=-2 =-(-3)±25 -++( 2×1 即名1=4，x2=-1. 年级全一册BS版7课堂本参考答案 3.解：方程化为3x2-2x-2=0 a=3,b=-2,c=-2, 4=b2-4ac=(-2)2-4×3× (-2)=28>0, x=-b±B-4ac 2a -2±28 6 3 4.解：方程化为x2+2x+1=0, a=1,b=2,c=1, 4=b2-4ac=22-4×1×1=0, b 2 六名=场=品2次-1 5.解：方程化为x2-6x+9=0. a=1,b=-6,c=9. 4=b2-4ac=(-6)2-4×1×9 =0. 高=瑞=名2片3 b 6.解：方程化为2x2-2x+1=0. a=2,b=-2,c=1. △=b2-4ac=(-2)2-4×2× 1=-4<0. .方程无实数根. 7.解：方程化为x2-3x+5=0. a=1,b=-3,c=5. △=b2-4ac=(-3)2-4×1× 5=-11<0. 方程无实数根。 8.解：原方程可变形为 3x2+10x+5=0. a=3,b=10,c=5, 4=b2-4ac=102-4×3×5 =40>0, x=-b±yB-4ac 2a =-10±40 2×3 =-10±210 6 即名=7￥0 5 3 6亭 3 9.解：原方程可变形为 x2-42x+2=0. a=1,b=-42,c=2, △=b2-4ac =(-42)2-4×1×2=24>0, 六x=-b±B-4ac 2a _42±26=22±6. 2 名1=22+6，x2=22-6. 10.D 11.3x2+5x+1=0 12.解：(1)换元 (2)设x2+x=y,则原方程可化 为y2+y-6=0, 阅盟学堂数学力 解得y1=-3,y2=2. 15.解：y2-9=1. 当y=-3时，x2+x=-3, y2=10. 即x2+x+3=0. y=±10. 4=b2-4ac =1-4×1×3=-11<0, y1=√10，y2=-√10. x2+x+3=0无实数根. 16.D 当y=2时，x2+x=2,即x2+x- 17.-2或1 2=0.解得x1=-2,x2=1 18.解：把x=-2代入方程得 ∴原方程的解为x1=-2,名=1 c2-8c=0,c1=0,c2=8. 把c=0或8代人方程得 第6课解一元二次方程 x2+x-2=0. (因式分解法)】 x1=-2,x2=1. 1.(1)(a+b)xx(x-5) “c的值为0或8，另一个根 (2)(x+2)(x-1) 为1. 2.00 19.x2-4=0 3.解：x+2=0,或x-1=0, 第7课十字相乘法、解法综合 1=-2,x2=1. 4.(1)解：x-2=0,或x+3=0, 新课学习 .x1=2,x2=-3. 1.(1)解：(x-2)(x-6)=0. (2)解：x=0,或x+6=0. x1=2,x2=6. x1=0,x2=-6. (2)解：(x+3)(x+4)=0 5.(1)解：x(x-5)=0, x1=-3,2=-4 x=0,或x-5=0. 2.(1)解：(x-6)(x+2)=0. x1=0,x2=5. x1=6,x2=-2. (2)解：(x+2)(x-1)=0, (2)解：(x+4)(x-3)=0, x+2=0,或x-1=0. 1=-4,2=3. x1=-2,x2=1. 3.解：(2x+1)(x-3)=0. 6.解：原方程可变形为 2x+1=0或x-3=0. (x-7)(x-5)=0, 1 ∴.x-7=0或x-5=0. 名=-2西=3. .x1=7,2=5. 4.解：(x+1)(3x-1)=0. 7.解：(x+1)2-3(x+1)=0 x+1=0或3x-1=0. (x+1)(x+1-3)=0, 1 x+1=0,或x-2=0, x1=-1,为=3 x1=-1,x2=2. 5.解：x2=4. 8.解：3x(x-1)-2(x-1)=0. x=±4 (x-1)(3x-2)=0. 名1=2，x2=-2 x-1=0,或3x-2=0. 6.解：原方程可变形为 2 x=1,名=3 x(x-2)=0, x1=0,x2=2 9.解： 7.解：a=1,b=-3,c=-1, [3x-(x-3)][3x+(x-3)]=0. .4=b2-4ac=(-3)2-4×1× 3x-(x-3)=0. (-1)=13>0. 或3x+(x-3)=0. 3 3 “=3±g 名=-2西=4 2×1· 10.x1=0,x2=2023 313.313 11.D 即%=2+2%=22 8.解：x2-2x+1=3+1. 12.(1)解：x(x-25)=0. (x-1)2=4. x=0,或x-25=0. x-1=±4 x1=0,x2=23 x=1±2. (2)解：x2-4x=0. x1=3,2=-1. x(x-4)=0. 9.解：方程化为4x2-48x+44=0. x=0,或x-4=0. x2-12x+11=0 .x1=0,x2=4. (x-1)(x-11)=0. 13.解：原方程可变形为 (4x-3)(2x+1)=0, 1=1,x2=11. .4x-3=0或2x+1=0. 10.解：(1-x)2=0.81. 3 1 1-x=±0.81. 名=4名=-2 1-x=±0.9. 14.解：3(x-5)2+2(x-5)=0. x=1±0.9. (x-5)(3x-15+2)=0. x1=0.1,x2=1.9. x-5=0,或3x-15+2=0. 11.712.C -13 %1=5,x=号 13.解：x(x-1)=30. x2-x=30. 年级全一册BS版8课堂本参考答聚 x2-x-30=0. 15.(1)证明：4=[-(m+3)]- (x+5)(x-6)=0. 4(m+1)=m2+2m+5=m2+ x+5=0或x-6=0. 2m+1-1+5=(m+1)2+4. 1=-5,x2=6. (m+1)2≥0， 14.解：原方程可化为 .4=(m+1)2+4>0, x2-7x+6=0, “,方程有两个不相等的实数根 则(x-1)(x-6)=0, (2)解：4=5， 六x-1=0或x-6=0, ,(m+1)2+4=5, 名1=1，x2=6 (m+1)2=1, 15.D ∴m1=0,m2=-2. 第8课一元二次方程根的判别式 第9课※（选学）一元二次方程 1.(1)≥(2)有有无 根与系数的关系（韦达定理） 2.(1)x=-b±VB-4ac 2a 1.1)-(2)9 a a (2)b2-4ac 新课学习 探究一元二次方程的根与判别式的 4≥0 关系 2.132-32 1-29两个不相等的 3.D4.D x1=-1,x2=-10= 两个相 5.解：a=2,b=6,c=-8, 等的 无实数根-7<无 名+场=-号-3 ≥ 3.1-2-5(-2)2-4×1× 名%=284 (-5)24>有两个不相 (1)x+号=(x1+x2)2-2x1x 等的 =(-3)2-2×(-4) 4.解：a=2,b=-4,c=2, =17: △=b2-4ac=(-4)2-4×2×2 (2)1+1+=-3-3 =0, 12x2 -4=4 二方程有两个相等的实数根。 6.解：a=2,b=-4,c=-6, 5.D 6.解：a=2,b=3,c=-4, 4=62-4ac=32-4×2×(-4) =41. 名2-3 :△>0，∴，方程有两个不相等的 (1)(x1-3)(名2-3)=xx2- 实数根 3(x1+x2)+9=-3-3×2+9=0: 7.解：a=1,b=1,c=m, (2)(名-x3)2=(1+名2)2- 4=b2-4ac 4x1x2=22-4×(-3)=16. =12-4×1×m 7.解：(1)x2-4x-2m+5=0有 =1-4m 两个实数根， :方程有两个不相等的实数根， .4=（-4)2-4×1×(-2m+ 4>0,即1-4m>0m<分 5)≥0. 1 8.解：4=32-4×1×(-m) m≥2 =9+4m<0. (2),1,,2是该方程的两个根， m<-4 .x1+x2=4,x12=-2m+5. 名x2+名1+x2=m2+6, 9.D10.C .-2m+5+4=m2+6. 11.证明：a=1,b=m,c=-1. .m1=-3,m2=1. 4=b62-4ac =m2-4×1×(-1) m≥2m=1 =m2+4, 8.(1)证明：依题意，得 :m2≥0，.4=m2+4>0. 4=62-4×1×(-m2)=36+ ∴无论m取何值，方程总有两 4m2>0, 个不相等的实数根 ·,该方程有两个不相等的实数根， 12.证明：原方程化为一般式为 (2)解：依题意，得x1+x2=-6, x2-5x+6-m2=0. 又x1+2x2=-5,x2=1. 4=(-5)2-4×1×(6-m2) .12+6×1-m2=0, =25-24+4m2 解得m=±√万. =1+4m2. 9.A10.A m2≥0，.4=1+4m2>0, 11.0-312.5-522 无论m取何值，方程总有两 13.(1)证明：依题意，得 个不相等的实数根 4=[-(m-1)]2-4×1×[- 13.B14.D 2(m+3)]=(m+3)2+16, 阅盟学堂数学九年级全一册BS版9课堂本参考答案 :(m+3)2≥0，∴.(m+3)2+16 >0,即4>0. “无论m取任何实数，方程都 有两个不相等的实数根. (2)解：依题意，得x1+x2=m- 1,x1x2=-2(m+3), (x1+x2)2-2xx1=16, ∴(m-1)2-2[-2(m+3)]=16 ∴m1=-3,m2=1. 微专题2一元二次方程阶段复习 1.D2.D 3.a≠-14.x2+4x+5=0 5.C6.2019 7.(1)解：2x2=16. x2=8. x=±⑧. x1=22,x2=-22. (2)解：x2-8x=0. x(x-8)=0. x=0或x-8=0. x1=0,32=8. 8.解：x2+25x+3-3-1=0. (x+3)2-4=0. (x+3)2=4 x+3=±2 x1=2-3,x2=-2-5 9.解：(2x-1)2-(5-x)2=0. (2x-1+5-x)(2x-1-5+x) =0. (x+4)(3x-6)=0. x+4=0或3x-6=0. x1=-4,x2=2. 10.解：3x(x-2)+5x-10=0. 3x(x-2)+5(x-2)=0. (x-2)(3x+5)=0. x-2=0或3x+5=0. x1=2,西=-3 5 11.B12.C 1B1-号14D 15.7+√7或1216.7 17.解：(1)将x=1代入原方程，得 1+a+a-2=0, 1 解得a=2j (2)把a=3代入原方程得 x2+3x+1=0, ÷4=32-4×1×1=5. x=3±5--3±5 2×1 2 六=3+5 2南=-3-5 2 18.(1)证明：4=[-(2k+1)]2- 4(k2+k)=1>0, “所给方程有两个不相等的实 数根. (2)解：①当BC=5为底时， AB=AC,△=0， 由(1)得△=1≠0，无解； ②当BC=5为腰时，则AB,AC中 必有一边为5，把x=5代入方 程得 10x-x2=24,x2-10x+24=0. 9. 解：设这条铁丝剪成两段的其中 k2-9k+20=0. (x-6)(x-4)=0,1=6,x2=4 一段长度为xcm,则 解得k1=4,k2=5. (舍去). 当k=4时 (+(到 =17 10-6=4(m), 原方程为x2-9x+20=0, .长为6m,宽为4m. x1=4,x2=16. ∴，x1=4,x2=5, 3.解：设这个长方形的长为xm,则 ∴.剪成的两段长度分别为4cm, :4,5,5能围成等腰三角形， ∴.k=4符合题意； 宽为2(16-2)=(8-)m, 16cm. 10.解：设AB=xm 当k=5时， 依题意，得x(8-x)=15, 原方程为x2-11x+30=0, 则AD=50+2×3-4x 解得x1=5,2=3(不合题意，舍 ∴x1=5,x2=6 去) =(28-2x)m. :5,5,6能围成等腰三角形， 宽为8-x=3(m). .x(28-2x)=80,解得x1=4, ∴k=5符合题意 ∴这个长方形的长为5m,宽为 x2=10. 综合①②得k=4或5， 3 m. .当AB=4m,AD=20m 第10课一元二次方程的应用(1) 4x.28,3x=32 当AB=10m,AD=8m (面积问题) 2 第12课一元二次方程的应用(3) 知识储备 5.解：设AB为xm, (增长率问题) 长宽 则BC为(40-2x)m, 1.(1)11(2)12.1 1.2x·x=8 依题意，得x(40-2x)=150, 2.(1)8(1+x)(2)8(1+x)2 2.解：设这个宽度为x米 解得x1=15,x3=5, 3. 解：设这两年图书的年平均增长 列方程得(8-2x)(6-2x)=24. 40-2x≤25，解得x≥ 率为x, 解得x1=1,x2=6（舍去） 2 则5(1+x)2=7.2, 答：这个宽度为1米 .x=15. 解得x1=0.2,2=-2.2(舍去) 3.解：设金色纸边的宽为xdm, 答：垂直于墙的边AB的长度为 所以这两年图书的年平均增长 列方程得(8+2x)(6+2x)=80. 15m 率为20%. 解得x1=1,x2=-8(舍去) 6.解：设AB=xm, 4. 解：设每个月生产成本的下降率 答：金色纸边的宽度为1dm. 则BC=(50-4x)m, 是x, 4.解：设小路的宽为xm 依题意，得x(50-4x)=150,解得 依题意，得400(1-x)2=361, 依题意，得(8-x)(6-x)=35. 5 解得x1=0.05=5%, 解得x1=1,2=13(不合实际， =5为=2 x2=1.95(不合题意，舍去). 舍去) 当x=5时，50-4x=30(m)> 答：每个月生产成本的下降率 x=1 25m,不合题意，舍去； 是5%. 答：小路的宽为1m 5.解：设小路的宽为xm 当=空时，50-4k=20(m)< 5.10 6.100(1-x)2=64 依题意，得(8-2x)(6-x)=30. 25m,符合题意 7.解：(1)设每轮传染中平均一个 解得名1=1，x2=9(不合实际，舍 答：4B的长为2m 人传染了x个人， 去). 依题意，得 .x=1 7.解：设垂直于墙的一边长为xm, 1+x+x(x+1)=121 答：小路的宽为1m 依题意，得 解得x1=10,x2=-12(舍去) 6.解：设剪去的小正方形的边长为 x(58-2x)=200. 答：每轮传染中平均一个人传染 xcm,即盒子的高度为xcm,则 解得x1=25,x2=4. 了10个人. (50-2x)(40-2x)=600. ∴.另一边长为8m或50m (2)121+10×121=1331(人). 解得x1=10,x2=35(不合题意， 答：当矩形长为25m时，宽为 答：三轮感染后共有1331人患 舍去) 8m,当矩形长为50m时，宽为 了流感 答：盒子的高度为10cm 4 m. 8.解：(1)设每轮传播中平均一台 7.(x-3)(x-2)=20 8.解：(1)设鸡场的宽为xm, 电脑会感染x台电脑， 8.B 依题意，得 依题意，得1+x+x(x+1)=25, 9.5<m<17 x(33-2x+2)=150, 解得x1=4,x2=-6(舍去). 10.3或12 解得x1=7.5,2=10. 答：每轮传播中平均一台电脑会 11.解：(1)2(5-t) 当x=7.5时， 感染4台电脑。 (2)存在，理由如下： 33-2x+2=20(m)>18m, (2)第三轮感染总数： 依题意，得 不符合题意，舍去； 25+25×4=125(台)>100台， 2×21×(5-)=4, 当x=10时，33-2x+2=15(m), 所以被感染的电脑会超过100台. 符合题意 9.解：(1)1000 解得41=1,62=4（不符合题意， 答：鸡场的宽为10m,长为15m; (2)设这个百分率为x,依题 舍去)， (2)设鸡场的宽为xm,依题 意，得 ∴.存在t的值，使得△PBQ的面 意，得 1000(1+x)2=1440, 积等于4cm2,t=1. x(33-2x+2)=200, 解得x1=0.2, 第11课一元二次方程的应用(2) 整理得2x2-35x+200=0. x2=-2.2(舍去) (面积问题) 4=(-35)2-4×2×200 所以这个百分率为20%， 1.(1)83(2)①6②10-x =-375<0, 10.解：(1)100 2.解：设长为xm, ∴方程没有实数根 (2)设二月份到四月份盈利的 则宽为(10-x)m. 答：不能围成面积为200m2的 月平均增长率为x, 依题意得x(10-x)=24. 鸡场. 依题意，得100(1+x)2=121, 阅盟学皇数学九年级全一册BS版10课堂本参考答案 解得x1=0.1,x2=-21(舍去). 所以二月份到四月份盈利的月 12.解：(1)25(2)m(n-3) 平均增长率为10%. (3)依题意，得 11.解：(1)设每个月生产成本的下 n(n-3】=14, 降率为x,依题意，得 2 500(1-x)2=405, 解得n=7. 解得x1=0.1=10% 第14课一元二次方程的应用(5) x2=1.9(不符合题意，舍去) (营销问题)】 答：每个月生产成本的下降率 1.(1)50(2)500 为10% (2)405×(1-10%)=364.5 (3)205010x 2.解：(1)10+x500-20x (万元) (10+x)(500-20x) 364.5<365,∴该厂长的目标 能实现. (2)设每斤涨价x元，则 (10+x)(500-20x)=6000. 12.3+3(1+x)+3(1+x)2=10.82 解得x1=5,x2=10. 13.1+x+x=91 答：每斤苹果应涨价5元或 第13课一元二次方程的应用(4) 10元. (互赠、握手问题)】 3.解：设每件衬衫降价x元，依题 1.(1)12(2)26(3)312 意，得 (4)(x-1)x(x-1) (40-x)(30+2x)=1200 2.(1)11(2)23(3)36 解得x1=0,x2=25, (4)(x-1) 2(x-1) 要减少库存，在获利相同的情 况下，降价越多，销售越快， 3.解：设毕业晚会上一共有x位同 .每件衬衫应降25元. 学，依题意得x(x-1)=90 4.解：设涨价x元，则 解这个方程x2-x-90=0, (2+x)(200-20x)=640, x1=10,x=-9(舍去) 解得x1=2,x2=6. 所以毕业晚会上一共有10位 答：每件涨价2元或6元 同学 4.解：设这个交流群的人数为x人， 五(40-8+会-4800 依题意，得x(x-1)=72, 6.解：设每件涨价x元，依题意，得 解得x1=9,2=-8(不符合题 (18+x-8)(500-20x)=6000, 意，舍去) 整理得x2-15x+50=0. ·.这个交流群的人数为9人 解得名1=5，x2=10 5.解：设共有n个人， 售价不能超过25元/件 依题意，得(n-l) =66, .x=10舍去 2 ∴.18+5=23（元） 解得n1=12,n2=-11(不符合 答：每件应定价23元 题意，舍去) 7. 解：（1)设每件衬衫应降价x元， 答：这次会议到会的人数是 依题意，得 12人. (20+5x)(44-x)=1600 6.解：设参加毕业典礼的老师有 解得x=36或x=4(为了减少库 x人. 存，不符合题意，舍去) 依题意 2x(x-1)=15, 答：每件衬衫应降价36元 (2)20+5×36=200(件). 解得名1=6，x1=-5(舍去). 答：这时应进货200件。 所以参加毕业典礼的老师有6人 8.解：(1)设每件应涨价x元，则每 7.解：设有x家公司参加商品交 天的销售量为(100-10x)件，依 易会， 题意，得 依题意得x(x-1)=20, (10+x-8)(100-10x)=350, 解得名1=5，x2=-4(舍去) 整理得x2-8x+15=0, ∴共有5家公司参加商品交易会 解得x1=3,x2=5. 8.解：设参加比赛的球队有x支， .涨价3元或5元 依题意，得之(x-1)=28, (2)定价13元或15元. (3)当涨价3元时，即x=3, 解得名1=8，x2=-7(不符合题 100-10x=100-30=70, 意，舍去) .进货70件； 答：参加比赛的球队有8支. 当涨价5元时，即x=5, 9.x(x-1)=7×810.14 100-10x=100-50=50 11.解：(1)6 .进货50件. (2)依题意，得 9。解：设应多种x棵桃树，依题 2n(n-1)=10, 意，得 (100+x)(1000-2x)=100× 解得n=5. 1000×(1+15.2%), 阅盟学星数学九年级全一册BS版11课堂本参考答案 整理得x2-400x+7600=0, 解得x1=20,2=380. ,多种的桃树不能超过100棵， ∴2=380不合题意，舍去， .x=20. 即应多种20棵桃树 第15课一元二次方程的应用复习 1.x(x-1)=902.6 3.20(1+x)2-20=31.2 4.(1+x)=49 5.7×3x·x=6 62(x+g+4)(x+1)=6 7.x(x+2)=8 8.x(4-x)=4 9.(40-2x)(34-x)=960 10.(10-2x)(6-2x)=32 11.412.24 13.解：，点P在一次函数y=-2x+ 3的图象上， .P(a,-2a+3)(a>0), 由题意得a·（-2a+3)=1, 整理得2a2-3a+1=0, 1 解得a1=1,4=2, ∴.-2a+3=1或-2a+3=2. 综上所述，当P(1,1)或 (分，2)时，矩形0CPD的面积 为1. 14.解：设横、竖彩条的宽度分别为 2xcm,3xcm,则(20-6x)(30- 4)=20×30×1-3）: 解得x= 6,32=10 当1= 6 横彩条宽度为名×2=子(am), 竖彩条宽度为×3=(am) 当x2=10,10×2=20,不符合题 意，舍去 15.解：(1)设该款吉祥物4月份到 6月份销售量的月平均增长率 为x, 依题意，得256(1+x)2=400, 解得x1=0.25=25%,2=- 2.25(不符合题意，舍去). 答：该款吉祥物4月份到6月份 销售量的月平均增长率 为25%： (2)设该吉样物售价为y元，则 每件的销售利润为(y-35)元， 月销售量为 400+20(58-y)=(1560- 20y)(件)， 依题意，得 (y-35)(1560-20y)=8400, 整理得y-113y+3150=0, 解得y1=50,2=63(不符合题 意，舍去) 答：该款吉样物售价为50元时， b 1 ,.x1+x2=- 月销售利润达8400元： a 5； 16.解：(1)设y与x之间的函数关 7 系式为y=kx+b(k≠0)， 本书= 5 a 将点(2,100)，(5,160)代入 (3)解：方程可化为x2+x+1=0, y=hx+b,得 ∴a=1,b=1,c=1, 政61：解得化0 .△=b2-4ac=12-4×1×1 1b=60. =-3<0. ,y与x之间的函数关系式为 ,方程无实数根 y=20x+60(0<x<20). 3.解：设它的另一根为x, (2)依题意，得(60-4-40)× 根据题意得 (20×4+60)=2240(元). 答：当每千克菠萝蜜降价4元 名+2=- 5出×2=-6 时，超市获利2240元. (3)依题意，得(60-x-40) 解得名=-号k=-7 (20x+60)=2400. 4.(1)证明：(x-3)(x-2)-p2=0 整理得x2-17x+60=0, .x-5x+6-p2=0, 解得x1=5,2=12. .4=(-5)2-4(6-p2) :要让顾客获得更大实惠， =25-24+4p .x=12. =4p2+1>0恒成立， 答：这种菠萝蜜每千克应降价 ∴无论p取何值，方程(x-3)(x- 12元. 2)-p2=0总有两个不等的实 教材母题回归 数根。 1.(1)解：5x2-4x=0, (2)解：当p=√6时， a=5,b=-4,c=0 方程为x2-5x+6-6=0, 4=b2-4ac=(-4)2-4×5×0 即x2-5x=0, =16>0. ∴.x(x-5)=0, x=-b±E_4±16 x1=0,x2=5. 2a 2×5’ 5.解：设其中一条对角线为xcm, 则另一条对角线为(10-x)cm, 4 名=5出=0. 依题意得2x(10-x)=12, (2)解：方程可化为 x2-5x-6=0, 解得x1=4,x2=6。 (x+1)(x-6)=0, ∴菱形的对角线一条为4cm,另 x+1=0或x-6=0, 条为6cm, x1=-1,2=6. :菱形的对角线相互垂直且 (3)解：(x-2)2-(2x+3)2=0, 平分， (x-2+2x+3)(x-2-2x-3) ∴菱形的边长为 =0. √22+3=13(cm), (3x+1)(-x-5)=0, “菱形的周长为 3x+1=0或-x-5=0. /13×4=4√13(cm. 1 6.解：设梯子的底端滑动xm 6=-3西=-5 由题意，得滑动前梯子底端离墙 (4)解：2y(y+2)-(y+2)=0, /103-82=6(m), (2y-1)(y+2)=0, 则(6+x)2+(8-1)2=102, 2y-1=0或y+2=0, 解得x1=√5I-6, 方=2h=-2 ,2=-5-6(不合题意，舍去). 2.(1)解：：a=2,b=-3,c=1, 答：梯子的底端滑动（√51-6）m 4=b2-4ac =(-3)2-4×2×1 7.解：(1)1+m=300. 2 =1>0 整理得n2+n-600=0, ∴方程有两个不相等的实数根。 解得n1=-25,n2=24, n为正整数，∴.n=24. 心1+名=-6=2， a ∴.300是前24行的点数和。 (2)三角点阵前n行的点数和不 能为600.理由如下：设行数为n, (2)解：方程可化为 n(1+n=600, 5x+x-7=0 2 a=5,b=1,c=-7. 整理得n2+n-1200=0, ∴.4=b2-4ac 4=1-4×1×(-1200)= =12-4×5×(-7) 4801, =141>0, “方程有两个不相等的实数根， ∴n=-1±4801 2 阅盟学星数学九年级全一册BS版12课堂本参考答案 .n为无理数， ∴.三角点阵前n行的点数和不 能为600. 核心素养专练 1.4.85%(1+x)2=8% 2.B 3.解：设长方形门的宽为x尺， 则高为(x+6.8)尺， 根据题意得 x2+(x+6.8)2=102 解得x=2.8或-9.6（舍去）. 则高是6.8+2.8=9.6（尺） 答：门的高是9.6尺，宽是 2.8尺. 4.解：设t=3x+5,则原方程可化为 2-4+3=0,即(t-1)(t-3)=0, .t=1或t=3. 当t=1时，3x+5=1, 解得x=-了 4 当1=3时，3x+5=3, 解得x=一了 2 综上所述，原方程的解是 4 2 x=-3西=-分 5.解：设方程x2-4x+c=0的两实 根分别为名，， 则x1+2=4,名1·2=C 设x1=2+3,则 x2=4-x1=4-(2+3) =2-3, ∴c=x2=(2+3)×(2-5) =1. 另一个实根是2-5，c的值 为1. 6.解：设每行有座位x个，则共有 (x+16)行， 根据题意得 x(x+16)=1161, 解得x=27或x=-43(舍去)， 答：每行共有27个座位. 7.解：设xs后△DPQ的面积等于 28cm, 则△DAP,△PBQ,△QCD的面积 分别为7×12,7x2x(6-), 2×6x(2-2s. 根据题意，得6×12-子×12x- x2(6-)-7x6×(12- 1 2x)=28, 即x2-6x+8=0, 解得x1=2,x2=4 ∴.2s或4s后△DPQ的面积等 于28cm2. 8.解：设有x人参加这次旅游。 .30×800=24000(元)， 24000<28000. ∴.x>30. (800-550)÷10+30=55(人). 当30<x<55时，由题意，得 第三章概率的进一步认识 x[800-10(x-30)]=28000, 整理，得x2-110x+2800=0, 第1课用树状图或表格求概率(1)】 解得x1=40,x2=70(不合题意， (放回型或独立型)】 舍去)； 1. 解：(1)画树状图如下： 当x≥55时，28000÷550≈51 (人)，不合题意，舍去 第一枚正 答：参加这次旅游的人数为40人 新课标、新题型特训 共有4种等可能性的结果； 实验、探究与活动 (2)P(两枚硬币都是正面朝上) 1.解：【建立模型】(32-2x) (20 1 x)(32-2x)(20-x)=504 = 4 【解决问题】(1)：x表示每条道 2.解：列表如下： 路的宽，∴.x不可能小于0. 第1盒 ,20-x>0,解得x<20, 第2盒 白 黑 ∴.x不可能大于20. 32-2x>0,解得x<16, 白 白、白 黑、白 ∴.x不可能大于16. 黑 白、黑黑、黑 (2)由(1)可知0<x<16. 黑2 白、黑2黑、黑2 (3)660-62 所有等可能结果共有6种，其中 (4)2 两球都是白球的有1种，所以取 2.解：【类比迁移】第一步：将原方 出的2个球都是白球的概率 程变形为x(x+3)=4: 第二步：利用四个面积可用x表 为行 示为x(x+3)的全等矩形构造 3.解：列表如下： “空心”大正方形，画四个长为 x+3、宽为x的矩形，按如图所示 红 绿 的方式拼成一个“空心”大正方 红 （红，红) （绿，红) 形，则图中大正方形的面积可表 绿 （红，绿)（绿，绿） 示为(x+x+3)2,还可表示为四 所有等可能的结果有4种，其中 个矩形与一个边长为3的小正方 第一次摸到红球、第二次摸到绿 形面积之和，即4x(x+3)+32= 球的结果有1种，所以第一次摸 4×4+9,因此，可得新方程： 到红球、第二次摸到绿球的概率 (x+x+3)2=25 ~x表示边长， 为 .2x+3=5,即x=1. 第三步：方程的一个正根为x=1 4(1)分(2)星 故答案分别为x+3,x(x+3) 5.解：列表如下： 9 A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B)(B,B)(C,B) (A,C)(B,C)(C,C) D (A,D)(B,D)(C,D) 画周区 【拓展应用】小x2+ax=b,∴，x(x+ 由表可知，共有12种等可能的结 a)=b,∴四个小矩形的面积各为 果，其中被分配到不同项目工作 b,“空心”大正方形的面积表示 的结果有9种，.被分配到不同 为(x+x+a)2,还可以表示为四 个矩形与一个边长为|a的小正 项目工作的概率为吕-子 方形的面积之和，即4b+a2. 6.解：(1)画树状图如下： 开始 :图2是由4个面积为3的相同 矩形构成，中间围成的正方形面 石头 剪刀 积为4，.b=3,a2=4, 解得b=3,a=±2. 石头剪刀布石头剪刀布石共剪刀布 当a=2时，(x+x+2)2=4×3+4, (2)P(游戏双方出不同手势)= .2x+2=4,即x=1 62 “.方程的一个正根为1. =3 9 当a=-2时，(x+x-2)2=4×3+ 7.C8.A 4,.2x-2=4,即x=3. ·方程的一个正根为3 9解：1号 综上所述，方程的一个正根为1 (2)画树状图如图： 或3. 故答案分别为±2,3,1或3. 阅盟学星数学九年级全一册BS版13课堂本参考答案 开始 ARCARCAR C 共有9种等可能的结果，小明两 次抽取的邮票中至少有一张是 “雨水”的结果有5种，则小明两 次抽取的邮票中至少有一张是 “雨水”的概率为 5 10.解：依题意 画树状图如图： 乙ABCDABCDABCDABCD 由树状图可知，共有16种等可 能的结果，其中甲、乙两名乘客 选择相同闸口通过的结果有 4种， “,甲、乙两名乘客选择相同闸 口通过的概率为气日 11. 解：设两把锁分别为锁1，锁2，四 把钥匙分别为钥，钥2，钥3 钥4，其中钥只能打开锁1，钥只 能打开锁2.画树状图如图： 则可得8种等可能的结果 :一次打开锁有2种情况， P(一次打开债)=名=子 12.解：(1)依题意，画树状图如图： 左直 共有9种等可能的结果，其中两 人都左拐的结果有1种， 则两人都左拐的概率是)， (2)由(1)可知，恰好有一人直 行，另一人左拐的结果有2种， 恰好有一人直行，另一人左 拐的概率是号 (3)由(1)可知，至少有一人直 行的结果有5种，.至少有一人 直行的概率为} 2课用树状图或表格求概率(2) (不放回型) 解：画树状图如图： 开始 红2 红3 个 红2红3白缸1红3白红口红2白红1缸2红3 共有12种等可能的结果，其中摸 出两球是一红一白的结果有6种， ∴摸出两球是一红一白的概率 为品