1.第一章 特殊平行四边形（课堂本）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年九年级全一册数学（北师大版）

上册 第一章 特殊平行四边形 第1课菱形的性质 新课学习修 菱形的定义：有一组邻边 的 叫做菱形 图示 菱形的性质 几何语言 :四边形ABCD是菱形， (1)菱形具有平行四边形的所有性质. (2)菱形不同于一般平行四边形的性质： ·(边) ①四条边都 (角) ②两条对角线 ,并且每条对 (对角线) 角线 ③是 图形，有 条对 称轴 菱形的周长：C=4AB:菱形的面积：S=底·高或S= 2AC·BD 知识点1利用菱形的性质进行计算 1.④如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O. 2.【教材改编】(BS九上P5)如图所示为菱形ABCD (1)若AB=3cm,则菱形周长为 (1)图中有 个直角三角形，有 (2)若∠BAD=80°，则∠BAC= 个等腰三角形： ∠ABD= (2)当∠BAD= °时，△ABC是等边 三角形. 3.(2023·丽水改编)如图，菱形ABCD的边长4.【教材改编】(BS九上P8)如图，菱形ABCD 为6cm,对角线AC,BD交于点O,∠BAD=60° 的周长为52cm,对角线BD长10cm,求： (1)求对角线AC,BD的长； D (1)对角线AC的长度； (2)求菱形的面积 (2)菱形ABCD的面积 2 BSSX 知识点2利用菱形的性质进行证明 5.④如图，点E是菱形ABCD对角线上的一6.(2023·浙江)如图，在菱形ABCD中，AE⊥ 点.求证：AE=CE. BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF (1)求证：AE=AF; (2)若∠B=60°，求∠AEF的度数. 过天检测 凸昌础训练 7.【易错题】如图，在菱形ABCD中，下列结论 8.(2023·湘潭)如图，在菱形ABCD中，连接 错误的是 AC,BD,若∠1=20°，则∠2的度数为( A.BO=DO A.20 2 B.AC⊥BD B.60° C.∠DAC=∠BAC C.70° D.AB=AC D.80° 马能力训练 9.(2023·甘孜州)如图，在平面直角坐标系10.（1)菱形的边长为5，则它的周长是 xOy中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半 轴上，点A的坐标为(1，√3)，则点C的坐标 (2)(2023·临沂)若菱形的两条对角 为 线长分别为6和8，则该菱形的面 积为 还拓展训练 11.【教材改编】(BS九上P9)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AC=16, BD=12,则： (1)菱形的面积为 (2)菱形ABCD的高DH为 BSSX 3第2课 菱形的判定 新课学习器 图示 菱形的判定(1)》 菱形的判定(2) 菱形的判定(3) 有一组邻边 的 对角线互相 的 四边 的 形是菱形 形是菱形 形是菱形 几何语言： 几何语言： D 几何语言： :.四边形ABCD是菱形 .四边形ABCD是菱形 ∴.四边形ABCD是菱形 知识点1利用“菱形的判定(1)”证明菱形 1.侧(2023·信宜校级开学)如图，在平行四边2.(2023·河源连平县期中)如图所示，四边形 形ABCD中，∠1=∠2.求证：平行四边形 ABCD是平行四边形，AE⊥BC,AF⊥CD,垂足 ABCD是菱形 分别为E,F,且BE=DF 求证：四边形ABCD是菱形. 知识点2利用“菱形的判定(2)”证明菱形 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD4.(2023·佛山顺德区校级月考)如图，平行四 于点O,AB∥CD,点O为BD的中点.求证： 边形ABCD的对角线相交于点O,且AB= 四边形ABCD是菱形 13,AC=24,BD=10.求证：四边形ABCD是 菱形. 4 BSSX 知识点3利用“菱形的判定(3)”证明菱形 5.④[教材母题】(BS九上P6)如图，分别以点6.如图，两个等边三角形拼在一起.求证：四边 A,C为圆心，以大于4C的长为半径作弧。 形ABCD是菱形 两条弧分别相交于点B,D,依次连接A,B, C,D,证明：四边形ABCD是菱形 过天检测影 凸县础训练 马能力训线 7.(1)(2023·深圳福田区校级期中)下列平行8.如图，已知平行四边形ABCD,AC是它的对 四边形中，根据图中所标出的数据，不一 角线。 定是菱形的是 (1)用尺规作AC的垂直平分线EF,垂足为 30 60 O,EF交AB于点E,交CD于点F(不写 309 30 作法，但要保留作图痕迹)； B (2)连接AF,CE,求证：四边形AFCE是菱形 120° X609 60 人60 C (2)(2023·深圳月考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,AO=C0, B0=D0.添加下列条件，不能判定四边 形ABCD是菱形的是 ( A.AB=AD B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 马拓展训孩 9.【教材母题】(BS九上P9)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC, 垂足为D,交AB于点E,点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形CAFE是菱形 BSSX 5第6课 正方形的判定 新课学习捌 图形 正方形的判定(1)》 正方形的判定(2)》 正方形的判定(3) 正方形的判定(4) 0 有一组邻边 对角线 的 有一个角是 对角线 的 的矩形是正方形 矩形是正方形 的菱形是正方形 菱形是正方形 1.④已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= 2.已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD, 90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形 如果添加一个条件，即可推出该四边形是正 是正方形，那么这个条件可以是 ( 方形，那么这个条件可以是 ( A.∠D=90° B.AB=CD A.AB∥CD B.∠A=90° C.AD=BC D.BC=CD C.AD∥BC D.∠A=∠C 3.⑩(2023·信宜月考)如图所示，在△ABC4.【教材母题】(BS九上P23)如图，在矩形 中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,DE⊥AC于 ABCD中，BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, 点E,DF⊥BC于点F,求证：四边形CEDF是 BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正 正方形. 方形 正方形判定的方法小结： 组邻边相等→正方形 矩形+ 对角线互相垂直→正方形 四边形 矩形+菱形→正方形) 一个角是直角→正方形 菱形+ 对角线相等一→正方形 12 BSSX 过天检测 丛是础温练 5.(2023·深圳坪山区一模)如图，在菱形ABCD6.(2023·佛山顺德区校级开学)如图，已知四 中，对角线AC,BD相交于点O,添加下列条 边形ABCD是平行四边形，从下列四个条件： 件，能使菱形ABCD成为正方形的是( ①AB=BC;②∠ABC=90°；③AC=BD: A.AC=BD ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，不能确 B.AC⊥BD 定平行四边形ABCD为正方形的是( ) C.AD=AB A.①② B.②③ D.AC平分∠DAB C.①③ D.②④ 马能打训缘 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，D,E,8.【教材改编】(BS九上P25)如图，E,F,P,Q分 F分别是BC,AB,AC边上的中点.求证：四边 别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF= 形AEDF是正方形 BP=CQ=DE.求证： (1)EF=FP=PQ=QE; (2)四边形EFPQ是正方形 马拓展训缤 9.(2023·佛山顺德区校级开学)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为 边AB上一点，过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD. (2)当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由. (3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你 的理由。 BSSX 13教材母题回归 1.(BS九上P26)如图，四边形ABCD是一个正4.(SK八下P94)如图，点C在线段AB上，分 方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,则 别以AC,BC为边在线段AB的同侧作正方 ∠DAE= 形ACDE和BCFG,连接AF,BD D (1)AF与BD是否相等？为什么？ (2)如果点C在线段AB的延长线上，(1)中所 B 得的结论是否成立？请画出图形并证明， 2.(J入下P61)如图，把一张长方形纸片对 折两次，然后剪下一个角.要想得到一个正 方形，剪口与折痕所成的角度= 3.(BS九上P9)如图，在四边形ABCD中， AD=BC,点E,F,G,H分别是边AB,CD, AC,BD的中点·求证：四边形EGFH是 菱形 18 BSSX 5.(SK八下P95)在矩形纸片ABCD中，AB=6,6.(BS九上P27)如图，在矩形ABCD中，AB= BC=8. 20cm.动点P从点A开始沿AB边以 (1)将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E 4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿 处（如图1），设DE与BC相交于点F, CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q同 求BF的长； (2)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合 时出发，当其中一点到达终点时，另一点也 (如图2)，求折痕GH的长。 随之停止运动.设动点的运动时间为‘s,则 当t为何值时，四边形APQD是矩形？ A 0 图1 图2 BSSX 19核心素养专练 L.[推理能力、模型思想]【新考法】如图，正方 中考热点1矩形的判定与性质 形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE=4.(BS九上PI9改编)(2023·西藏)如图，在 1,F为对角线AC上一动点，则△BFE周长 矩形ABCD中，AC和BD相交于点O,AD= 的最小值为 3,AB=4,E是边CD上一点，过点E作EH⊥ BD于点H,EG⊥AC于点G,则EH+EG的 值是 A.2.4 B.2.5 A.5 B.6 C.7 D.8 C.3 2.[模型思想、应用意识]如图，一根木棍斜靠 D.4 在与地面(OM)垂直的墙(OW)上，设木棍中 5.(2023·白山抚松县期中)如图，在△ABC 点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面 中，D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点，当 ∠BAC=90°时，想一想，四边形AEDF是什 向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的 么特殊的四边形？证明你的结论. 距离 B A.不变 B.变小 C.变大 D.无法判断 3.[猜想与证明，想象能力](BS九上P26) (1)如果一个菱形绕对角线的交点旋转90 后，所得图形与原来的图形重合，那么这 个菱形是正方形吗？为什么？ (2)如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那 这个四边形是正方形吗？为什么？ 20 BSSX 中考热点2正方形与图形变换的综合 中考热点3与正方形有关的动态探究题 6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边7.(2023·佛山南海区校级月考)如图1，在正 CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE, 方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且 延长EF交边BC于点G,连接AG BE=AB,M,N分别为AE,BC的中点，连接 (1)求证：△ABG≌△AFG: DE交AB于点O,交MN于点H. (2)求AG的长. (1)求证：A0=B0; (2)求证：∠HEB=∠HNB; E (3)如图2，过点A作AP⊥ED于点P,连接 B B即，则P的值 图1 图2 BSSX 21新课标、新题型特训一实验、探究与活动 L.(BS九上PI2)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE 是Rt△ABC中的一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此 你能得到定理： 2.小明在学习“矩形”这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的 思考：这个定理的逆命题成立吗？他猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形为直角三角形”.通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程： 已知：如图1，在△ABC中，D是边AB上的中点，连接CD,且CD=AB, 求证：△ABC为直角三角形 证明：由条件可知，AD=BD=CD,则∠A=∠DCA,∠B=∠DCB. 又因为∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°，所以∠DCA+∠DCB=∠ACB=90°，即△ABC为直 角三角形 爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了如图2、图3两种不同的 证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整 证法一：如图2，延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE 证法二：如图3，分别取边AC,BC的中点E,F,连接DE,DF,EF,则DE,DF,EF为△ABC的 中位线 图2 图3 22 BSSX 3.(BS九上P21改编)如图，正方形ABCD的边长为4，M,N是边AB,BC上两点，且BM= CN=1,连接CM,DN,CM与DN相交于点O. (1)【探索发现】如图1，探索线段DN与CM的关系，并说明理由； (2)【探索发现】如图2，若E,F分别是DN,CM的中点，计算EF的长； (3)【拓展提高】如图3，延长CM至点P,连接BP,若∠BPC=45°，请直接写出线段PM的长. 度这 图3 BSSX 23第4课 矩形的判定 新课学习》 图示 矩形的判定(1) 矩形的判定(2) 矩形的判定(3) 有 是 有一个角是 对角线 的 的 的 形是矩形 形是矩形 C 形是矩形 0 几何语言： 几何语言： 几何语言： ∴.四边形ABCD是矩形 ∴.四边形ABCD是矩形 :,四边形ABCD是矩形 知识点1利用“矩形的判定(1)”证明矩形 1.④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，EG∥CB,2.【教材改编】(BS九上PI6)如图，在□ABCD FG∥CA.求证：四边形EGFC是矩形. 中，E为CD的中点，AE=BE.求证：四边形 ABCD是矩形， 知识点2利用“矩形的判定(2)”证明矩形 3.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点4.【教材改编】(BS九上PI5)如图，在口ABCD O,且∠1=∠2.求证：口ABCD是矩形 中，对角线AC,BD相交于点O,且△AOB是 等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形 8 BSSX 知识点3利用“矩形的判定(3)”证明矩形 5.④（教材母题】(BS九上P28)如图，口ABCD6.【教材改编】(BS九上PI6)如图，直线MW与 的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G, AC交于点A,AP,AQ分别是∠NAC和∠MAC H.求证：四边形EFGH是矩形 的平分线，CB⊥AQ于点B,CD⊥AP于点D. 求证：四边形ADCB是矩形 过天检测影 凸县础训练 马能力训孩 7.下列命题正确的是 ( )8.下列关于矩形的说法，正确的是 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 A.对角线相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 C.矩形的对角线互相垂直平分 D.对角线相等的四边形是矩形 D.矩形的对角线相等且互相平分 (多范展训雀 9.(2023·佛山月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE∥BD,过 点D作DE∥AC交AE于点E. (1)求证：四边形AODE是矩形； (2)若AB=2,∠ABC=60°，求四边形AODE的面积 BSSX 9课堂本参考答案 上册 r∠AEB=∠AFD, .AC⊥BD, 第一章特殊平行四边形 ∠B=∠D, ∴四边形ABCD是菱形 LAB =AD, 4.证明：四边形ABCD是平行四 第1课菱形的性质 ·△ABE≌△ADF(AAS). 边形， 新课学习 .AE =AF (2)解：四边形ABCD是菱形， ∴0A=74C=2,0B=2BD=5. 相等平行四边形 (2)①相等②互相垂直 平分一 .AD∥BC. ·042+0B2=122+52=169, 组对角③轴对称2 .∠B+∠BAD=180 4B2=132=169, AB=BC=CD=AD. ∠B=60°，.∠BAD=120° .0A2 +OB2 =AB2 AB∥CD,BC∥AD 又，∠AEB=90°，∠B=60°， .∠A0B=90°，即AC⊥BD. ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC .∠BAE=30. .平行四边形ABCD是菱形 A0=C0,B0=D0,AC⊥BD, 由(1)知△ABE≌△ADF, 5.证明：由作图可知 ∠BAO=∠DAO,∠ABO=∠CBO. .∠BAE=∠DAF=30. AB=BC=CD=AD ∠ADO=∠CD0,∠BCO=∠DCO .∠EAF=120°-30°-30°=60°. ∴.四边形ABCD是菱形 1.(1)12cm(2)4050 又，AE=AF, 6. 证明：，△ABC和△ADC是等边 2.(1)44(2)120 .△AEF是等边三角形. 三角形， 3.解：(1)，四边形ABCD是菱形， .∠AEF=60. .AB=AC=BC. .'AB=BC CD=AD =6 cm, 7.D8.C AD=DC=AC. AC⊥BD,OB=OD,0A=OC, 9.(3,5) ∴.AB=BC=CD=AD. ∠BAD=60° 10.(1)20(2)24 .四边形ABCD为菱形 .△ABD是等边三角形， 11.(1)96(2)9.6 7.(1)C(2)B 第2课菱形的判定 8. .'BD=AB=6 cm,..OB=3 cm. 解：(1)如图，EF为所作； 在Rt△AOB中，OA=√AB-OB= 新课学习 √6-3=35(cm), (1)相等平行四边四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD AC=20A=2×35 (2)垂直平行四边四边形ABCD =6√5(cm). 是平行四边形，AC⊥BD (2=0.AC (3)相等四边 (2)证明：如图，：四边形ABCD AB=BC=CD=AD 是平行四边形，∴.FC∥AE, =分×6x65 1.证明：：四边形ABCD是平行四 .∴.∠FCO=∠EAO 边形， ∠CFO=∠AEO EF是AC的垂直平分线， =185(cm2). .CD∥AB. .C0=A0 4.解：(1)：四边形ABCD是菱形， .∠3=∠2. 在△FOC和△EOA中， .AC⊥BD,AE=CE,BE=DE= ∠1=∠2， ∠1=∠3 r∠CF0=∠AE0, 0=7×10=5(em. ∴.AD=CD ∠FC0=∠EA0 0C=0A. MB=x52=15(m）. ∴平行四边形ABCD是菱形 2.证明：：四边形ABCD是平行四 ·△FOC≌△EOA(AAS). 边形，.∠B=∠D. .OF =OE. .在Rt△ABE中， AE⊥BC,AF⊥CD, .EF与AC互相垂直平分 AE=√AB2-BE=√132-5= ∴.∠AEB=∠AFD=90, ∴.四边形AFCE是菱形. 12(cm), 在△AEB和△AFD中， 9.证明：DE垂直平分BC, .AC=2AE=2×12=24(cm). T∠AEB=∠AFD, ∠ACB=90°， 2)Sew-74c,BD= BE =DF, .BD=CD,ED∥CA 2 L∠B=∠D .点E是BA中点. 24×10=120(cm2). ∴.△AEB≌△AFD(ASA). ∴.CE=BE=AE 5.证明：四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD. 又：∠BAC=60° ∴AD=CD,∠ADE=∠CDE. ∴.平行四边形ABCD是菱形 .△ACE是等边三角形 在△ADE和△CDE中， 3.证明：点O为BD的中点， .AC=CE=AE. AD =CD, .OB=OD. 又：AF=CE,AF=AE ∠ADE=∠CDE, 又，AB∥CD 又：DF∥AC, DEDE, ∴.∠ABO=∠CDO ∴.∠FEA=∠CAE=60. .△ADE≌△CDE(SAS), ∠BAO=∠DCO. ,△AEF为等边三角形， .AE CE. 在△AOB和△COD中， .EF =AF. 6.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， r∠BAO=∠DCO, .CE =AC=AF=EF .AB=AD,∠B=∠D. ∠ABO=∠CDO ,四边形CAFE是菱形 又：AE⊥BC于点E, OB=OD. 第3课矩形的性质 AF⊥CD于点F, ∴.△AOB≌△COD(AAS), 新课学习 ∴∠AEB=∠AFD=90° ∴.AB=CD 直角平行四边形 在△ABE和△ADF中， .四边形ABCD是平行四边形 (2)①直角②相等 阅盟学皇数学九年级全一册BS版】●课堂本参考答案 ABILDC,AD ILBC∠DAB=∠ABC= AD DE, ∴.∠G=90 ∠BCD=∠ADC=90°AC=BD, ∠ADF=∠DEC, 同理：∠E=90°，∠DHC=90° A0=BO=CO=DO DF=EC, ∴.∠GHE=90. 1.1082848 ·.△ADF≌△DEC(SAS) .四边形EFGH是矩形 2.827 .∠AFD=∠C=90° 6.证明：：AQ,AP分别平分∠MAC 3.C .AF⊥DE 和∠NAC, 4.430 (2)解：，△ADF≌△DEC. ∴.∠BAC= 5.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AF=DC=AB=2 2∠MAC, .BD=AC. 在Rt△AFD中， .B0=C0. AD=√AF+DF=2√5， ∠PHC=MC BE⊥AC,CF⊥BD, .BC=AD=25. 又：∠MAC+∠NAC=180°， .∠BE0=∠CF0=90°. .∠BAC+∠PAC=90°， 在△BOE和△COF中， .S时边形AB=S矩形ABCD-SAADF ∠BEO=LCFO, SADEC 即∠BAP=90°. 又：CB⊥AQ,CD⊥AP, ∠EOB=∠FOC. 、1 =2×25-2×2×4-2 .∠CBA=90°，∠CDA=90° B0=C0. .四边形ADCB是矩形. 2×4 .△BOE≌△COF(AAS). 7.A8.D ,∴，BE=CF =45-8. 9.(1)证明：AE∥BD,DE∥AC 6.证明：四边形ABCD是矩形， 第4课 矩形的判定 .四边形AODE是平行四边形 ∴AB=CD,AB∥CD. 新课学习 ,四边形ABCD是菱形， ,点E,F分别是边AB,CD的 (1)直角平行四边 .AC⊥BD..∠AOD=909 中点， ▣ABCD,∠BAD=90 ∴.四边形AODE是矩形 ∴BE=DF (2)相等平行四边 (2)解：：四边形ABCD是菱形， 又BE∥DF □ABCD,AC=BD ∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, .四边形BEDF是平行四边形， (3)三个角直角四边 AB BC. .DE BF. ∠A=∠B=∠C=90° .:∠ABC=60° 几何语言： 1. 证明：EG∥CB,FG∥CA, .△ABC是等边三角形. CD是斜边AB上的中线 :四边形EGFC是平行四边形 .'.AC=AB=2. CD-TAB 又.∠C=90°. 1 .口EGFC是矩形 0M=2AC=1 7.48.89.4.8 2.证明：四边形ABCD是平行四 .OD=OB=AB-OA=√5. 10.D11.C 边形， 由(1)可知，四边形AODE是矩 12.(1)证明：在矩形ABCD中， AD=BC,AD∥BC. 形，∴.矩形AODE的面积=OA· AD∥BC,AC=BD, 在△ADE和△BCE中， AD∥CE. 0D=1×5=5. AD=BC. AC∥DE,.四边形ACED是 DE=CE 第5课 正方形的性质 平行四边形. LAE BE, 新课学习 .AC=DE.∴.BD=DE. ∴.△ADE≌△BCE(SSS), (2)相等是直角 相等且互相垂 (2)解：如图，过点0作0H⊥ ∠D=∠C. 直平分对角 BE于点H, 又：AD∥BC 几何语言：AB=BC=CD=AD,AB∥ .∠D+∠C=180° CD,AD∥BC∠BAD=∠ABC= ∴.∠D=90°，.□ABCD是矩形. ∠BCD=∠ADC=90°AC=BD,AC 3.证明：∠1=∠2， ⊥BD,AO=C0,B0=D0,∠BAC= 在矩形ABCD中，AC=BD,且 0B=0C ∠DAC=∠ADB=∠BDC=∠ACD AC与BD相交于点O, 又：四边形ABCD是平行四边形， =∠ACB=∠CBD=∠ABD ∴.OB=OC=OA..∴.BH=HC 1.(1)21(2)8 .OH=2 AB. 六0B=2Bn,0c=4c 2. 139 ∴.BD=AC,∴.口ABCD是矩形 证明：(1)在正方形ABCD中， .AB=2,BC=4 4.证明：△AOB是等边三角形， AB=DA,∠B=∠DAF=90°， .0H=1,HC=2. ..AO=OB. 在△DAF和△ABE中， 在平行四边形ACED中， 又：在口ABCD中， AF BE. AD=CE, 0A=24C,0B=28D, ∠DAF=∠B, .CE =BC=4. DA =AB. ∴.HE=6. AC=BD,.口ABCD是矩形 ∴.△DAF≌△ABE(SAS). 在Rt△OHE中， 5.证明：，BG,CG是角平分线， ∴.DF=AE 0E=√OH+HE2=√37 (2)由(1)得△DAF≌△ABE, 13.(1)证明：四边形ABCD是 LGBCAC .∠DFA=∠AEB. 矩形， ∴.AD∥BC,AD=BC,∠C=90. ∠BG=3LD0a ∴.∠DFA+∠EAB=∠AEB+ ∠EAB=90° .∠ADF=∠DEC. 又：四边形ABCD是平行四 即DF⊥AE. BC=DE,∴.AD=DE 边形， 4.(1)证明：四边形ABCD是正方 在△ADF和△DEC中， .AB∥CD ∠ABC+∠DCB=180° △EBC是等边三角形， ∴.∠GBC+∠BCG=90°， .'BA =BC=CD=BE=CE. 阅盟学星数学九年级全一册BS版2课堂本参考答案 ∠ABC=∠BCD=90°， 即OE=OF ∴.∠BEC=90 ∠EBC=∠ECB=60°， ∴.四边形AECF是平行四边形 ,.菱形BECF是正方形 .∠ABE=∠ECD=30°， .'AC⊥EF 5.A6.B 在△ABE和△DCE中， ∴.四边形AECF是菱形 7.证明：D,E,F分别是BC,AB, AB DC. (2)解：由(1)知四边形AECF是 AC的中点， ∠ABE=∠DCE, 菱形， .AE∥DF,DE∥AF BE =CE AB=3万， 又.∠BAC=90° .△ABE≌△DCE(SAS); AC=BD =2AB=6. ∴，四边形AEDF是矩形 (2)解：BA=BE,∠ABE=30°， .BE =DF=2, D,E,F分别是BC,AB,AC的 ∠BME=2(180-30)=75 .EF BD BE DF =2. 中点， .·∠BAD=90° 菱形ABCF的面积=子AC· .DE-TAC.DF-TAB. ∠EAD=90°-75°=15°， 又，AB=AC,.DE=DF 同理可得∠ADE=15°， 1 EF=2×6×2=6, ∴.矩形AEDF是正方形. .∠AED=180°-15°-15°=150%. 10.（1)证明：如图，连接AE, 8.证明：(1)：四边形ABCD是正方 5.B6.A 形， 7.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由 ·.AB=AD.∠A=∠D=90°. 如下： AP=AB-BP,DF AD-AF, :四边形ABCD是正方形， .AP=DF ∴.BC=DC,∠BCE=90°. 在△APF和△DFE中， ∴.∠DCF=180°-∠BCE B AF DE, =180°-90°=90°. 四边形ABCD是正方形， ∠A=∠D, .∠BCE=∠DCF .AF =AD. LAP=DF. 又CE=CF, ∠D=∠B=∠AFE=90 ∴.△APF≌△DFE(SAS) .△BCE≌△DCF 在Rt△AFE和Rt△ADE中， ,FP=EF,同理PF=PQ=QE. .BE=DF. 「AE=AE, .EF=FP=PQ=QE; 如图所示，延长BE交DF于点M. LAF AD. (2)由(1)知四边形EFPQ是 .Rt△AFE≌Rt△ADE(HL) 菱形. ∴DE=EF: △APF≌△DFE, (2)解：设DE=x, ·∠AFP=∠DEF 点G是BC的中点，AB=6, ∠DEF+∠DFE=90° .∠AFP+∠DFE=90. :△BCE≌△DCF .GC=GB=GF=3. 在Rt△GCE中， ∠PFE=90° .∠CBE=∠CDF GE2=GC2+CE, ∴.菱形EFPQ是正方形. ,∠DCF=90° ∴.∠CDF+∠F=90° 即(3+x)2=32+(6-x)2, 9.(1)证明：.·DE⊥BC, 解得x=2. ∴.∠DFB=90°.：∠ACB=90°， .∠CBE+∠F=90 .∠BMF=90°.∴.BE⊥DF .DE=2. .∠ACB=∠DFB..AC∥DE. 又MN∥AB,即CE∥AD, 8.证明：DE⊥AG, 第6课 正方形的判定 ∴.四边形ADEC是平行四边形 ∠ADE+∠EAD=90°， 新课学习 ∴.CE=AD. ,四边形ABCD是正方形， (1)相等 (2)互相垂直 (3)直角 (2)解：四边形BECD是菱形. ∴.∠DAB=90°，AB=DA, (4)相等 理由如下：D为AB的中点， ∠BAF+∠EAD=90°， 1.D2.B ∴.AD=BD.由(I)得CE=AD, ∴∠ADE=∠BAF 3. 证明：CD平分∠ACB,DE⊥AC, ∴BD=CE BF⊥AG,.∠AFB=90°， DF⊥BC, 又BD∥CE, ·∠AFB=∠DEA. .DE =DF .四边形BECD是平行四边形. 在△ABF和△DAE中， ∠DFC=∠DEC=90°. ∠ACB=90°，D为AB的中点， ∠AFB=∠DEA, 又：∠ACB=90° ∴.CD=BD ∠BAF=∠ADE, ·.四边形CEDF是矩形 ∴.四边形BECD是菱形 LAB =DA DE =DF (3)解：当∠A=45°时，四边形 ·.△ABF≌△DAE(AAS). .矩形CEDF是正方形 BECD是正方形. ..AE BF. 4.证明：BF∥CE,CF∥BE, 理由如下：：∠ACB=90°， 又AF-AE=EF ∴.四边形BECF是平行四边形 ∠A=45°，.∠ABC=∠A=45° .AF-BF EF. :四边形ABCD是矩形， AC=BC.D为AB的中点， 9.(1)证明：如图，连接AC,交BD ∴.∠ABC=90°，∠DCB=90 .CD⊥AB..∠CDB=90°. 于点0， 又，BE平分∠ABC, 又，四边形BECD是菱形， CE平分∠DCB, .四边形BECD是正方形，即当 六∠Bc=3∠Ac=45, ∠A=45时，四边形BECD是正 方形. LECB-LDCB-45 微专题1中点四边形 四边形ABCD是正方形， ∠EBC=∠ECB,EB=EC 1. 证明：如图，连接BD .AC⊥BD,A0=C0.D0=BO. .口BECF是菱形. BE DF 在△EBC中，·∠EBC=45°， ∴.OB-BE=OD-DF, ∠ECB=45°， 阅盟学量数学九年级全一册BS版3课堂本参考答案 :E,H是中点EBD. ∴.四边形EFGH是平行四边形. ,四边形ABCD是菱形， G,F是中点，.GF∥DB .AC⊥BD. 同理FGL,BD,EHLFG. 又.AC⊥BD,.∠D0C=90°， ∴.∠C0D=90 ∴∠HGF=90°， .平行四边形CODE是矩形. .四边形EFGH是平行四边形. .口EFGH是矩形. (2)14 2.解：四边形EFGH是平行四边形， 课堂总结：平行四边形 平行四边 7.D 证明如下：如图，连接BD. 形菱形矩形正方形 8.3-5 7.D8.D 9.(1)证明：四边形ABCD是 9.AB=CD 矩形， 10.解：(1)AD=2AB. ..AC BD,OA =OC,OB =OD. 证明如下：：四边形ABCD是 ∴.OA=OB. E,H是中点EHL2BD, 矩形， DE =3BE,.'.DE +BE =3BE +BE, .AD BC,AB=CD. 同理FGLZBD,EHLFG. E是BC的中点， BE=BDBE=之0B .'AB BE EC=CD. AE⊥BD,AB=AO, :.四边形EFGH是平行四边形 则△ABE,△DCE是等腰直角三 ∴，△AOB为等边三角形 3.证明：如图，连接BD,AC 角形， (2)解：由(1)知△AOB是等边 .∠AEB=∠DEC=45°， 三角形，∴.AC=2AB. ∴.∠AED=90° ∴BC2=(2AB)2-AB2 ,PF⊥AE,PH⊥DE, ∴.∠PFE=90°，∠PHE=90. BC=8AB=号5， ,四边形PFEH是矩形 E,H是中点EHL2BD, (2)点P是AD的中点时，矩形 E=24B=子瓦 同理FCL2BD,EFL2AC PFEH变为正方形.理由如下： .AE=AB2-BE=√16=4. 由(1)可得∠BAE=∠CDE=45 10.解：(1)：在矩形ABCD中， .EH/LFG. ∴.∠FAP=∠HDP=45 ∠ABC=90° ·.四边形EFGH是平行四边形 又.∠AFP=∠PHD=90°， 在Rt△ABC中， 又.·四边形ABCD是矩形 AP =PD, ∠ACB=30°，AB=2, .AC =BD ∴.Rt△AFP≌Rt△DHP ,∴.AC=2AB=4: .EH=EF,∴.□EFGH是菱形. .PF PH. (2)在矩形ABCD中， 4.解：四边形EFGH是菱形 在矩形PFEH中，PF=PH. A0=OB=2. 证明如下：E,H是中点， 此时四边形为正方形 又：AB=2, :EH4号m 故当点P是AD中点时，矩形 :,△AOB是等边三角形. PFEH变为正方形. LAOB=60°； 同理FGLBD.EHLFC. 第7课特殊平行四边形单元复习 (3)由勾股定理，得 复习 BC=√4-2=25， .四边形EFCH是平行四边形 矩形：(1)直角(2)相等 1 E,F是中点EF=之AC, 判定：(1)有一个角是直角 Sac=2×2x25=25 (2)对角线相等 (3)三个角都是 1 又.·AC=BD,.EH=EF 直角 SANoc=7SAANC=3, .口EFGH是菱形. 菱形：(1)相等(2)互相垂直平分 ∴菱形OBEC的面积是23 5.证明：如图，连接BD,AC交于 并且每条对角线平分一组对角 11.(1)证明：四边形ABCD, 点0. 判定：(1)一组邻边相等(2)对角 AGFE是正方形， 线互相垂直(3)四条边都相等 ·AB=AD,AE=AG, 正方形：(1)相等(2)直角 ∠DAB=∠EAG, (3)互相垂直平分且相等，并且每 .∠EAB=∠GAD, 条对角线平分一组对角 在△AEB和△AGD中， H,G是中点， 判定：(1)有一组邻边相等 rAE=AG, HGAAC. (2)有一个角是直角 ∠EAB=∠GAD 1.215 LAB=AD. 同理EFL宁4C, 2.60°85325 ∴.△EAB≌△GAD(SAS) 3.18 (2)证明：由(1)得△EAB≌ .HGLEF. 4.54 △GAD,∴.∠AEB=∠AGD ∴.四边形EFGH是平行四边形 5.证明：由折叠可知 ,∠EMH=∠AMG, :四边形ABCD是菱形 ∠EAB'=∠EAB,AB=AB' .∠EHG=∠EAG=90°， ∴，∠A0D=90° 又：AB∥BE .EB⊥GD. 又.HG∥AC,HIE∥DB, ∴.∠EAB'=∠AEB. (3)解：'△EAB≌△GAD, ∴.∠EHG=90° ∴.∠EAB=∠AEB,∴.AB=BE ∴，EB=GD ∴口EFGH是矩形 .AB'LLBE, :四边形ABCD是正方形， 6.证明：H,G是中点， ∴.四边形ABEB'是平行四边形 AB=32,.BD⊥AC, .HGAC. 又AB=BE, AC=BD=2AB=6, ∴口ABEB'是菱形 ∴∠D0G=90°， 同理EFL4AC,HGLEF. 6.证明：(1)：CE∥BD,DE∥AC, ∴.四边形CODE是平行四边形 0A=0D=2BD=3, 阅盟学星数学九年级全一册BS版4课堂本参考答案 :AG=3,.0G=0A+AG=6, 如图2，连接BD,BG,由翻折的性 GD=√0D2+0G=35, 质可得，BG=DG, 中，6=AC ∴EB=35. .Rt△ABG≌Rt△AFG(HL); (2)解：.·△ABG≌△AFG. 教材母题回归 ,∴.BG=FG. 1.22.52.45 设BG=FG=x,则GC=6-x, 3.证明：点E,F,G,H分别是AB, E为CD的中点， CD,AC,BD的中点， 图2 .CE =EF=DE =3, ∴GF是△ADC的中位线，GE是 ∠BHG=∠DHG, .EG=3+x, △ABC的中位线，EH是△ABD 在矩形ABCD中，AD∥BC, 在Rt△CEG中， 的中位线， .∠BHG=∠DGH CE+CG2=EG2, .GF∥AD, ∴∠DHG=∠DGH, 32+(6-x)2=(3+x)2, .DH=DG, 解得x=2, ∴.BH=DH=DG=BG. ∴.BG=2. GE-BC. ∴.四边形BHDG是菱形， .在Rt△ABG中， 在Rt△BCD中， AG2 =AB2 BG. EH∥AD, BD=√BC+CD=√82+6 .AG=√6+2=2√10 EH=TAD, =10, 7.(1)证明：：四边形ABCD是正方 .GF∥EH,GF=EH, Sac=号D·G以 形， :四边形EGFH是平行四边形， .AD∥BC,AD=AB. 又AD=BC, =BH·CD, ∴.∠DAB=∠ABE, .CE EH, 即7×106m-2×6 ∠ADO=∠BEO. ·四边形EGFH是菱形 AB=BE,∴AD=BE. 4.解：(1)AF=BD. 证明如下： 解得6M:空 ∴.△ADO≌△BEO(ASA). .A0=B0. :四边形ACDE和四边形BCFG 6.解：由题意得AP=4, (2)证明：如图1，延长BC至点 都为正方形， DQ=20-t; F,且使CF=BE,连接AF, .AC=DC ,四边形APQD是矩形， ∠ACD=∠BCD=90°，BC=CF, .AP =DO, ∴.△AFC≌△DBC(SAS), 即4t=20-t,解得t=4. .AF=BD. 即当1=4时， (2)成立，证明如下： 四边形APQD是矩形. 所画图形如图所示： 核心素养专练 图1 1.B2.A 则BF=CE. 3.解：(1)是正方形 :四边形ABCD是正方形， 理由：因为菱形对角线互相平 ∴.AB=DC,AD∥BC,∠BAD= 分，绕着它的对角线的交点旋转 ∠ABC=∠DCB=90°. :在Rt△ACF和Rt△DCB中， 90°，能够与它本身重合，说明对 在△ABF和△DCE中， rAC=DC, 角线互相垂直平分且相等，所以 rAB=DC, ∠ACF=∠DCB, 该四边形是正方形 ∠ABC=∠DCB CF CB. (2)是正方形. BF=CE, .Rt△ACF≌Rt△DCB(SAS), 理由：因为四边形绕着它的对角 ∴.△ABF≌△DCE(SAS). 六AF=BD 线的交点旋转90°，能够与它本 .∠DEC=∠AFB. 5.解：(1)由折叠得 身重合，说明对角线互相垂直平 .EB CF,BN CN. ∠ADB=∠EDB, 分且相等，所以该四边形是正 N为EF的中点 AD=DE.AB=BE 方形 ∴.MN为△AEF的中位线 :在矩形ABCD中，AD∥BC, 4.A ∴.MN∥AF .∠ADB=∠DBC 5.解：四边形AEDF是矩形.证明 ∴.∠HNB=∠AFB=∠HEB. .∠BDE=∠DBC, 如下： (3)解：如图2，过点B作BQ⊥BP .BF=DF,.AB=6,BC=8. D,E,F分别是边BC,AB,AC 交DE于点Q,则∠PBQ=90° .DC=6, 的中点， 设BF=DF=x,∴.FC=8-x, ∴.DE∥AC,DF∥AB. 在Rt△DCF中， .四边形AEDF是平行四边形 DF2 DC2+FC2 又：∠BAC=90 x2=62+(8-x)2, .四边形AEDF是矩形 解得=草，BF的长为经 6.(1)证明：在正方形ABCD中， 图2 AD=AB=BC=CD. :∠ABE=180°-∠ABC=90°， (2)由折叠得DH=BH, ∠D=∠B=∠BCD=90°， ∴.∠EBQ=∠ABP 设BH=DH=y,则CH=8-y, ,将△ADE沿AE对折至△AFE, ,AD∥BC,.∠ADP=∠BEQ. 在Rt△CDH中， ∴.AD=AF,DE=EF,∠D= :AP⊥DE,∠BAD=90°， DH DC2 CH, ∠AFE=90°， ∴.∠BAP=∠ADP 即y2=6+(8-y)2, ·.AB=AF,∠B=∠AFG=90°， ,∴.∠BEQ=∠BAP 解得y=草， 在Rt△ABG和Rt△AFG 在△BEQ和△BAP中， 阅盟学堂数学九年级全一册BS版5课堂本参考答案 r∠EBQ=∠ABP, r∠ENC=∠EDG, 由题意，得x(20-x)=64, BE=BA, NE =DE, 化为一元二次方程的一般形 ∠BEQ=∠BAP L∠NEC=∠DEG, 式，得 .△BEQ≌△BAP(ASA) ∴.△CNE≌△GDE(ASA). x2-20x+64=0. ∴.PA=OE,OB=PB. ∴.CE=EG,GD=CN=1. 17.D ∴，△PBQ是等腰直角三角形 又：Mr=CP,BF=MG 18.(1)≠±1(2)=-1 :PO =2PB. 第2课一元二次方程的解 .PE-PA-PE-OE-PO-. :正方形的边长为4，BM=DG=1, PB 1.C2.B PB PB ..AM=AG=3. 3.04.-25.66.1 新课标、新题型特训一 在Rt△AGM中，由勾股定理，得 7.23 实验、探究与活动 GM=√AM+AG=32. 8.D9.232.32.4 1.解：四边形ABCD是矩形， B即3 10.(1)-13340.36 ∴，AE=EC,BE=ED,AC=BD. 3.33.4 ∴BE是Rt△ABC的中线， (3)如图3，过点B作BH⊥CM (2)33 BE-7BD-2AC 于点H, 11.-1 12.D13.C14.B15.A 由此可以得到：直角三角形斜边 16.A17.C 上的中线等于斜边的一半. 18.解：将x=1代入ax2+bx-60=0, 2.证明：证法一：D是AB的中点， 得a+b-60=0, ∴.AD=DB ∴.a+b=60, ∴四边形ACBE是平行四边形 a2-b2 ·2a-2b =a+b)(a-b) 又：cD=4B,D=cE, 图3 2(a-b) .CM BC2 BM2, a+b60 ∴.AB=CE .CM=√+4=17. 2 -2 =30. .四边形ACBE是矩形 1 19.解：1和2是关于x的一元二 .∠ACB=90°. :Ssam=2CW·Bm= 次方程x2+mx+n=0的两个实 △ABC为直角三角形. 证法二：DE,DF,EF为△ABC BMB服=4 数根 的中位线， 17. 1+m+n=0,① DE∥BC,DF∥AC,BF=AB .CH=BC BBF =16/17 ÷4+2m+n=0.② 17 由①得：n=-m-1,③ 将③代入②，得 ,四边形CFDE是平行四边形. ∠BPC=45°， 4+2m-m-1=0, CD-7AB.EF-CD. PH=BH=4回 m=-3. 17 将m=-3代入③，得 ,四边形CFDE是矩形. .∠ECF=90°.∴.∠ACB=90° .PC=PH+CH=20/17 n=-(-3)-1=2, 17 ∴.mn=-3×2=-6 .△ABC为直角三角形. 3.解：(1)CM=DN,且DN⊥CM,理 PM=PC-CM=317 第3课解一元二次方程 17 由如下： (直接开方法) ,四边形ABCD是正方形， 第二章 一元二次方程 1.(1)解：x=±9， .BC=CD,∠B=∠NCD. 第1课 一元二次方程 x1=3,2=-3. 在△BCM和△CDN中， 知识点1 (2)解：x=±5， rBC CD, 12 x1=5,x2=-5 ∠B=∠NCD, 1.B2.C3.B BM=CN, 2.(1)解：x=±√25. 知识点2 .△BCM≌△CDW(SAS). ax'bx c a b x=5, ∴.CM=DN,∠BCM=∠CDN 4.D 书2=-5. .:∠BCM+∠MCD=90°. 5.4x2+x-5=041-5 (2)解：x=±√12. ÷.∠CDN+∠MCD=90. x2-5x-4=01-5-4 x1=23, .∴∠COD=90°..∴.DN⊥CM. x2-4=010-4 x2=-23 ∴线段DN与CM的关系为 6.7x2+4x-3=07x24x CM=DN.且DN⊥CM. /16 x2+2x-1=0x22x 3.(1)解：x=±√25 (2)如图2，连接CE并延长交AD x2+x+1=0x2 4 于点G,连接GM 7.x2+(x-2)2=102x2-2x-48=0 为=5名=- 5 8.(50-2x)(40-2x)=600x2- (2)解：方程无实数根. 45x+350=0 9.B10.D11.C12.B 4.(1)解：x=±√9 13.B14.D 2 15.解：设这个正方形的边长为xm, 2 3 图2 根据题意，得 :四边形ABCD是正方形， (x+2)(x+5)=54 AD=AB,∠A=90°，BC∥AD. 16.解：设矩形的长为xcm, (2)解：x=±√2 ∴，∠ENC=∠EDG 则宽为 ∴在△CNE和△GDE中， (40-2x)÷2=(20-x)cm. 2、 阅盟学堂数学九年级全一册BS版6课堂本参考答案第3课 矩形的性质 新课学习谢 矩形的定义：有一个角是 的 是矩形 图示 矩形的性质 几何语言 四边形ABCD是矩形， D (1)矩形具有平行四边形的所有性质； (边) (2)矩形不同于一般平行四边形的性质： (角) ①矩形的四个角都是 ②矩形的对角线 (对角线) 知识点1矩形的性质 L.④如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相 0,若AD=6,BD=10,则AC= .AB= 交于点0，AB=6,0A=4,则BD= ,矩形ABCD的周长为. ,面积 AD= 为 0 3.(2023·邯郸馆陶县期末)矩形具有而菱形 4.(2023·南宁期末)如图，在矩形ABCD中， 不一定具有的性质是 ( 对角线AC,BD相交于点O,若∠A0B=60°， A.对角相等 B.对边相等 BD=8,则AB的长为 ,∠ACB= C.对角线相等 D.对角线互相平分 D 知识点2利用矩形的性质证明 5.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,6.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是边AB, BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F求证：BE=CF CD的中点.求证：DE=BF D 6 BSSX 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 :7.(2023·梅州五华县校级开学)如图，在△ABC 几何语言：如图，在Rt△ABC中， 中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=2,则 AB= 8.(2023·佛山顺德区期中)如 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 图，在△ABC中，∠ABC=90°， AC=6,BC=8,则CD= D是边AC的中点，若BD=5, BC=6,则AB= 过天榆测器 县佛训缤 10.(2023·深圳南山区期中)如图，四边形 11.（2023·梅州大埔县开学)如图，在Rt△ABC 0ABC是矩形，A(2,1),B(0,5),点C在第 中，∠ACB=90°，D,E,F分别为AB,AC,BC 二象限，则点C的坐标为 的中点，则DC和EF的大小关系是( A.(-1,3) A.DC>EF B.（-1,2) B.DC<EF C.(-2,3) C.DC=EF D.(-2,4) D.无法比较 经能力训线 色拓展训线 12.(2023·深圳宝安区月考)如图，矩形ABCD13.(2023·高州期中)如图，在矩形ABCD中，点 的对角线AC,BD相交于点O,过点D作AC E,F分别在BC,DE上，DF=CE,BC=DE. 的平行线交BC的延长线于点E. (1)求证：AF⊥DE; (1)求证：BD=DE; (2)若AB=2,DF=4,求四边形ABEF的 (2)连接OE,若AB=2,BC=4,求OE的长. 面积 BSSX 7第5课 正方形的性质 8新课学习为 图示 正方形的性质 几何语言 :四边形ABCD是正方形， (1)正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形、菱 .(边) 形的所有性质： 0 (角)】 (2)正方形的四边都 ,四角都 (对角线) 对角线 ,且对角线平分 每一组 1.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O. 2.(2023·深圳福田区校级期中)如图，点E在 (1)若周长为4，则对角线长为 ,面积 正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=5, 为 0 BE=12,则阴影部分的面 (2)图中共有 个等腰直 积是 角三角形 课堂总结：已知正方形的边长、对角线、周长、面积中任意一项，可求出另外三项， 3.(2023·河源源城区开学考)如图，在正方4.【教材改编】(BS九上P22)如图，四边形 形ABCD中，已知AE,DF相交于点O,若 ABCD是正方形，△EBC是等边三角形. BE=AF.求证：(1)DF=AE:(2)DF⊥AE. (1)求证：△ABE≌△DCE; E (2)求∠AED的度数 0 5.(2023·佛山南海区校级月考)矩形、菱形、6.(2023·深圳宝安区校级期中)如图，在正方 正方形都具有的性质是 ( 形ABCD外侧作等边△ADE,则∠AEB的度 A.对角线相等 数为 B.对角线互相平分 A.15 C.对角线互相垂直 B.22.5° D.对角线互相垂直且相等 C.20° D.10° 10 BSSX 过天检测 专基础训练 7.【教材母题】(BS九上P21)如图，在正方形8.【教材改编】(RU八下P62)如图，在正方形 ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线 ABCD中，点G是BC上的任意一点，连接 上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的 AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. 关系？请说明理由。 求证：AF-BF=EF 马能力训练 3拓最训练 9.(2023·梅州梅江区校级月考)如图，已知：10.如图，正方形纸片ABCD中，AB=6,点G是 E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两 BC的中点，将△ABG沿AG翻折至△AFG, 点，且BE=DF 延长GF交DC于点E. (1)求证：四边形AECF是菱形： (1)求证：DE=EF; (2)若AB=32,BE=2,求四边形AECF的 (2)求DE的长 面积 BSSX 11微专题1中点四边形 新课学习》 中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形， 1.如图，顺次连接四边形ABCD的各边中点.2.如图，点E,F,G,H分别是口ABCD各边中 求证：所得的四边形EFGH是平行四边形. 点，四边形EFGH是什么特殊的四边形？请 证明。 3.④如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边中4.如图，在四边形ABCD中，AC=BD,点E,F, 点.求证：四边形EFGH是菱形 G,H分别是各边的中点.四边形EFGH是什 么特殊的四边形？请证明 5.④如图，点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相 中点.求证：四边形EFGH是矩形 交于点O,且AC⊥BD,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH 是矩形 14 BSSX 课堂总结： 四边形 般四边形 平行四边形 矩形或对角线 菱形或对角线 正方形或对角线 相等的四边形 垂直的四边形 相等且垂直的四边形 其中点四边形的形状 过天检测 少县础训缤 7.若正方形ABCD各边的中点依次为E,F,G,H,8.(2023·佛山南海区校级月考)E,F,G,H是四 则四边形EFGH是 ( 边形ABCD四条边的中点，若四边形EFGH为 A.平行四边形 B.矩形 菱形，则四边形ABCD应具备的条件是() C.菱形 D.正方形 A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 马能力训练 还拓展训线 9.(2023·佛山南海区校级月考)如图，在四边10.如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是边 形ABCD中，E,F分别是线段AD,BC的中 AD上一动点，PF⊥AE,PH⊥DE,垂足分别 点，G,H分别是线段BD,AC的中点，当四边 为F,H. 形ABCD的边满足 时，四边形 (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件 EGFH是菱形 时，四边形PFEH是矩形？请予以 证明. (2)在(1)中，动点P运动到什么位置时，矩 形PFEH变为正方形？为什么？ BSSX 15第7课特殊平行四边形单元复习 复习 图形 不同于一般平行四边形的性质 判定 D (1)平行四边形+ →矩形： (1)四个角都是 矩形 (2)平行四边形+ →矩形： (2)对角线 (3)四边形+ →矩形 (1)四条边都 (1)平行四边形+ →菱形： 菱形 (2)对角线 (2)平行四边形+ →菱形； (3)四边形+ →菱形 (1)四条边都 (2)四个角都是 (1)矩形+ →正方形： 正方形 (3)对角线 (2)菱形+ →正方形 甚础练习 知识点1特殊平行四边形的性质 1.如图，矩形的对角线AC与BD相交于点O,2.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角 若A0=1,∠A0B=60°，则BD= 线的交点，A0=4,∠BAD=120°，则∠BA0= AB= BC= BD= 面积为 3.(2023·深圳宝安区校级 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 开学)如图，AC为正方形 CD为中线，CD=2.5,BC=3,则 ABCD的对角线，E为AC AB= ,AC= 上的一点，连接EB,ED, 当∠BED=126°时，∠EDA= 知识点2特殊平行四边形的判定 5.如图，将□ABCD折叠，使顶点B落在AD边上的6.(2023·深圳龙岗区校级月考)如图，在菱形 B'处，AE为折痕，求证：四边形ABEB是菱形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点C 作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE与DE相 交于点E (1)求证：四边形C0DE是矩形； (2)若AB=5,AC=6,则四边形CODE的周 长为 16 BSSX 提升练习 7.【易错题】将一张矩形纸片对折再对折（如8.(2023·佛山南海区期中）如图，在边长为2 图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两 的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长 部分，将①展开后得到的平面图形是（ MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方 A.矩形 形DEFG,点G在边CD上， B.三角形 G 则CG= C.梯形 D.菱形 9.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点 10.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于 O,AE⊥BD于点E,DE=3BE. 点0，∠ACB=30°，AB=2. (1)求证：△AOB为等边三角形； (1)求AC的长； (2)若BC=8,求AE的长 (2)求∠AOB的度数； (3)以OB,OC为邻边作菱形OBEC,求菱形 OBEC的面积 11.【核心素养】如图，点G是正方形ABCD对角线CA延长线上的任意一点，以AG为边作一个 正方形AEFG,连接EB,GD,EB和GD相交于点H,GD和AE相交于点M. (1)求证：△EAB≌△GAD; (2)求证：BE⊥DG: (3)若AB=3√2，AG=3,求EB的长. BSSX 17