2025年浙教版数学中考考点课堂限时训练《练习四 整式、整式的运算、因式分解》

浙教版数学中考考点课堂限时训练 练习四 整式、整式的运算、因式分解 一.选择题(每题3分,共30分) 1.[2024·丽水模拟]下列计算结果为a5的是 (　 　) A.a10÷a2 B.a2·a3 C.a3+a2 D.(a2)3 2.[2024·淳安模拟]买一个足球需m元,买一个篮球需n元,则买3个足球和2个篮球共需 (　 　) A.5mn元 B.6mn元 C.(3m+2n)元 D.(2m+3n)元 3.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 (　 　) A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2 4.[2024·富阳区模拟改编]下列计算正确的是(　 　) A.+= B.-= C.(-2a)3=-8a3 D.(2a+1)(2a-1)=2a2-1 5.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式a+1的是 (　 　) A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 6.[2023·西湖区模拟改编]设M=2x+y,N=2x-y,P=xy.若M=4,N=2,则P= (　 　) A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 7.已知M=a-1,N=a2-a(a为任意实数),则M,N的大小关系为 (　 　) A.M<N B.M=N C.M>N D.不能确定 8.若代数式“4x2+1”可以变形为(a+b)2的形式,则式子中被墨迹覆盖的部分可能是①+4x;②-4x;③+4x4;④+中的 (　 　) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 9.观察下列各式及其展开式: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5; … 请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是(　 　) A.36 B.45 C.55 D.66 10.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　 　) 第10题图 A.正方形纸片的面积 B.四边形EFGH的面积 C.△BEF的面积 D.△AEH的面积 二.填空题(每题4分,共24分) 11.[2024·嘉兴模拟]用代数式表示:x的2倍与y的差　 　.  12.[2024·台州模拟]因式分解:x2-4x=　 　.  13.[2024·嘉兴模拟]若多项式a2+2k(k为不等于0的常数)能在有理数范围内因式分解,则k的值可以是　 　(写出一个即可).  14.已知a,b,c分别为三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,则三角形的形状是　 　.  15.已知实数m,n满足m+n=3,m2n+mn2=-30. (1)若m>n,则m-n=　 　.  (2)若n+p=-5,则m2p-n2p+m3-mn2=　 　.  16.[2024·丽水模拟]如图,已知正方形ABCD,点M,N在BC上且点M在点N的左侧,在BC的同侧以BM,MN,NC为一边,另一边分别为5,10,4在正方形内部作三个矩形,其面积分别为S1,S2,S3.若S3=2S2,S1+S2+S3=100,则阴影部分图形的周长为　 　.  第16题图 三.解答题(共46分) 17.(10分)[2024·余姚模拟]小明在计算a(2+a)-(a-2)2时,解答过程如下: a(2+a)-(a-2)2 =2a+a2-(a2-4)……第一步 =2a+a2-a2-4……第二步 =2a-4.……第三步 小明的解答从第　 　步开始出错,请写出正确的解答过程.  18.(10分)设y=ax,若代数式(x+y)(x-2y)+3y(x+y)化简的结果为x2,请你求出满足条件的a值. 19.(12分)如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形. (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长. (2)当a=3时,该小正方形的面积为多少? 图1　　　图2 第19题图 20.(14分)[2024·鄞州区模拟]观察前后两个差为4的整数的平方差: ①52-12=8×3;②62-22=8×4;③72-32=8×5…… (1)写出第n个等式,并进行证明. (2)问2 024是否可以写成两个差为4的整数的平方差?如果能,请写出这两个整数;如果不能,请说明理由. 【答案解析】 一.选择题(每题3分,共30分) 1.[2024·丽水模拟]下列计算结果为a5的是 (　B　) A.a10÷a2 B.a2·a3 C.a3+a2 D.(a2)3 2.[2024·淳安模拟]买一个足球需m元,买一个篮球需n元,则买3个足球和2个篮球共需 (　C　) A.5mn元 B.6mn元 C.(3m+2n)元 D.(2m+3n)元 3.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 (　C　) A.a2+b2 B.2a-b2 C.a2-b2 D.-a2-b2 4.[2024·富阳区模拟改编]下列计算正确的是(　C　) A.+= B.-= C.(-2a)3=-8a3 D.(2a+1)(2a-1)=2a2-1 5.将下列多项式分解因式,结果中不含有因式a+1的是 (　C　) A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 【解析】 A.原式=(a+1)(a-1),不符合题意; B.原式=a(a+1),不符合题意; C.原式=(a+2)(a-1),符合题意; D.原式=(a+2-1)2=(a+1)2,不符合题意.故选C. 6.[2023·西湖区模拟改编]设M=2x+y,N=2x-y,P=xy.若M=4,N=2,则P= (　C　) A.2.5 B.2 C.1.5 D.1 7.已知M=a-1,N=a2-a(a为任意实数),则M,N的大小关系为 (　A　) A.M<N B.M=N C.M>N D.不能确定 【解析】 ∵N-M=a2-a+1=>0, ∴M<N. 8.若代数式“4x2+1”可以变形为(a+b)2的形式,则式子中被墨迹覆盖的部分可能是①+4x;②-4x;③+4x4;④+中的 (　D　) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 9.观察下列各式及其展开式: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5; … 请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是(　B　) A.36 B.45 C.55 D.66 【解析】 由几个等式可看出,每个展开式第三项系数为1,3,6,10,…, ∴(a+b)10的展开式第三项的系数是1+2+3+…+9=45.故选B. 10.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图所示的方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　C　) 第10题图 A.正方形纸片的面积 B.四边形EFGH的面积 C.△BEF的面积 D.△AEH的面积 【解析】 ∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等, ∴易得四边形EFGH为正方形. 设正方形EFGH的边长为a,矩形纸片的宽为b,则正方形纸片的边长为a+b, ∴S阴影部分=a2+2×a(a+b)+2×ab=2a2+2ab=2a(a+b). 又∵S正方形纸片=(a+b)2,S四边形EFGH=a2,S△BEF=a(a+b),S△AEH=ab, ∴若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出△BEF的面积.故选C. 二.填空题(每题4分,共24分) 11.[2024·嘉兴模拟]用代数式表示:x的2倍与y的差　2x-y　.  12.[2024·台州模拟]因式分解:x2-4x=　x(x-4)　.  13.[2024·嘉兴模拟]若多项式a2+2k(k为不等于0的常数)能在有理数范围内因式分解,则k的值可以是　-2(答案不唯一)　(写出一个即可).  14.已知a,b,c分别为三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ac,则三角形的形状是　等边三角形　.  【解析】 ∵a2+b2+c2=ab+bc+ac, ∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0, ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0, ∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, ∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,即a=b=c, ∴△ABC为等边三角形. 15.已知实数m,n满足m+n=3,m2n+mn2=-30. (1)若m>n,则m-n=　7　.  (2)若n+p=-5,则m2p-n2p+m3-mn2=　42或252　.  【解析】 (1)∵m2n+mn2=mn(m+n)=-30,m+n=3, ∴mn=-10,∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=49. 又∵m>n,∴m-n=7. (2)m2p-n2p+m3-mn2=p(m2-n2)+m(m2-n2)=(p+m)(m+n)(m-n). 由(1)得,当m>n时,m-n=7,∴m=n+7, ∴p+m=p+n+7=2,此时原式=2×3×7=42; 当m<n时,m-n=-7,∴m=n-7, ∴p+m=p+n-7=-12,此时原式=-12×3×(-7)=252. 综上所述,m2p-n2p+m3-mn2=42或252. 16.[2024·丽水模拟]如图,已知正方形ABCD,点M,N在BC上且点M在点N的左侧,在BC的同侧以BM,MN,NC为一边,另一边分别为5,10,4在正方形内部作三个矩形,其面积分别为S1,S2,S3.若S3=2S2,S1+S2+S3=100,则阴影部分图形的周长为　82　.  第16题图 第16题答图 【解析】 标注如答图,作PQ∥BC. 由题意可得,S4=S1,S5=S3, S矩形BCQP=S1+S2+S3+S4+S5=S1+S2+S3+S1+S3=2S1+S2+S3. ∵S3=2S2, ∴S2=S3, ∴S矩形BCQP=2S1+S2+S3=2S1+S3+S3=2S1+3S3. ∵S1+S2+S3=100, ∴S1+S3+S3=S1+S3=100, ∴S矩形BCQP=2S1+3S3=2=200. ∵S矩形BCQP=PB·BC=10BC, ∴10BC=200, ∴BC=20, ∴阴影部分图形的周长=20×4+(10-5)+(10-4)-5-4=82. 三.解答题(共46分) 17.(10分)[2024·余姚模拟]小明在计算a(2+a)-(a-2)2时,解答过程如下: a(2+a)-(a-2)2 =2a+a2-(a2-4)……第一步 =2a+a2-a2-4……第二步 =2a-4.……第三步 小明的解答从第　一　步开始出错,请写出正确的解答过程.  解:小明的解答从第一步开始出错,正确的解答过程如下: a(2+a)-(a-2)2 =2a+a2-(a2-4a+4) =2a+a2-a2+4a-4 =6a-4. 18.(10分)设y=ax,若代数式(x+y)(x-2y)+3y(x+y)化简的结果为x2,请你求出满足条件的a值. 解:(x+y)(x-2y)+3y(x+y)=(x+y)2. 将y=ax代入,得(1+a)2x2=x2,即(1+a)2=1, 解得a=-2或a=0. 19.(12分)如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形. (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长. (2)当a=3时,该小正方形的面积为多少? 图1　　　图2 第19题图 解:(1)∵直角三角形较短的直角边长为2a÷2=a, 较长的直角边长为2a+3, ∴图2中小正方形的边长为2a+3-a=a+3. (2)当a=3时,S小正方形=(a+3)2=(3+3)2=36. 20.(14分)[2024·鄞州区模拟]观察前后两个差为4的整数的平方差: ①52-12=8×3;②62-22=8×4;③72-32=8×5…… (1)写出第n个等式,并进行证明. (2)问2 024是否可以写成两个差为4的整数的平方差?如果能,请写出这两个整数;如果不能,请说明理由. 解:(1)第n个等式为(n+4)2-n2=8(n+2).证明如下: ∵左边=n2+8n+16-n2=8n+16=8(n+2)=右边, ∴等式成立. (2)能. 当8(n+2)=2 024时,n=251, ∴2 024=2552-2512, ∴255和251的平方差为2 024. 学科网（北京）股份有限公司 $$