专题15 比例线段（5知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题15 比例线段 （5知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）点在线段上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比，解题关键是根据题意作出图形，结合比例的性质求解．根据题意，可设，则，进而即可求解． 【详解】解：如下图， ∵， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点2：比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 【即时训练】 4．（2024九年级上·浙江绍兴·专题练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例性质，根据比例性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024九年级上·浙江金华·专题练习）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键．设，利用比例的性质可得出，，，再代入求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由，得，然后代入化简即可． 【详解】由，得， ∴． 知识点3：比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 【即时训练】 7．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）线段2和3的比例中项是 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可． 本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设线段c是2、3的比例中项， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例中项的性质是解题的关键． 设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【详解】解：设线段a、b的比例中项为x， 则， ∴， 即， 解得或（舍去）． 故答案为：3． 9．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 知识点4：黄金分割 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 【即时训练】 10．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故选：A． 11．（2024九年级上·浙江宁波·专题练习）大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【详解】解：由题意知：N是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 知识点5：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 【即时训练】 13．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】9 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．由平行得比例，求出的长即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 解得：， ∴， 故答案为：9． 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，先求出，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 15．（2024九年级上·浙江杭州·专题练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 【题型1 比例尺】 1．东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 2．在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺的应用；根据图上距离：实际距离=比例尺，建立方程即可求解． 【详解】解：设A，B两地的实际距离是，， 由题意得： 解得： 即A，B两地的实际距离是； 故选：C． 3．在比例尺为的地图上，A，B 两城市之间的距离为，则这两城市之间的 实际距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：， ， A、B两城市之间的实际距离是， 故选：D． 4．在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 【答案】 【分析】此题考查比例尺，根据“实际距离纸上距离比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：两个城市的实际距离是， 故答案为：． 5．在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离cm，则、两地的实际距离为 km． 【答案】1.5 【分析】本题主要考查了比例尺，根据可得答案． 【详解】∵比例尺为，图上距离是， ∴A，B两地的实际距离是． 故答案为：1.5． 【题型2 成比例线段】 6．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：C． 7．已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段成比例的计算，掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，代入计算即可求解． 【详解】解：已知是成比例线段， ∴， 其中，，， ∴， 解得，， 故选：B ． 8．若4个成比例的数满足，则这个数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质得到，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6． 9．已知线段是成比例线段，其中，，，则 cm． 【答案】2 【分析】本题考查线段成比例计算．根据题意列式计算即可． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 10．已知线段满足，且．求线段的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查线段成比例，线段和差的计算，掌握比例的性质，线段和差计算的方法是解题的关键． 根据线段的比例，设，可，由解出的值，由此即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 【题型3 比例中项】 11．已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 12．已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 13．已知是和的比例中项，则= ． 【答案】18 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是理解两个数的比例中项，然后列出比例式进一步解答． 根据题意，2与x的比例中项为6，也就是，然后再进一步解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， 故答案为：18． 14．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，注意线段不能是负数是解题关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质， 得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积．则， 解得 (线段是正数，负值舍去)， 所以． 故答案为：3． 15．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)6；4；12 (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵， 所以， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段x是线段、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 【题型4 比例的性质】 16．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 17．若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行变形求解即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 18．已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．根据比例的基本性质，可分别设出x、y、z，再代入进行计算即可得出结果． 【详解】解：已知，可设， 即，，， ∴ 故答案为：1． 19．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是掌握设法求解．设，将三个字母都用表示出来，再代入代数式求值． 【详解】解：设， 则，，，， 所以， 故答案为：． 20．已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 【题型5 黄金分割的定义】 21．上海东方明珠电视塔的塔高为，上球体到底部的距离约为，二者之比约为，因此显得格外挺拔．这体现了数学中的（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．利用黄金分割比的定义解答即可． 【详解】解：∵上球体到底部的距离与塔高之比约为， 又∵黄金分割比为：， ∴体现了数学中的黄金分割， 故选：D． 22．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴选项C是正确的，其他选项都无法得到． 故选：C． 23．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A． 24．若线段，点C是线段的一个黄金分割点（），则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的概念求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题关键． 25．如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了黄金分割，勾股定理，如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求． 【详解】解：如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求； 由勾股定理易得，则， 则，则． 【题型6 黄金分割的应用】 26．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割、无理数的估算，掌握估算无理数大小的非负数解题的关键． 根据，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 27．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点 ∴ ∴ 故答案为：C． 28．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 29．鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 30．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 【题型7 平行线分线段成比例】 31．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：， ，即，故A选项错误；B选项正确； ，故选项D错误； ，故选项C错误； 故选B． 32．如图，在中，点D、点E分别在边，上，，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理，找准对应关系 是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】 ，A正确； ，B正确； ，C不正确，应该为； ，D正确； 故选：C． 33．如图，在中，是的中线，E为上一点，连接交于点F，且，若，，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边．延长到，使，连接，证明，推出，，推出，设，根据平行线分线段成比例定理列式计算即可求解． 【详解】解：延长到，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 34．如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质及应用．过作于，交的延长线于点，交于点，由为的中点，证明是的中位线，求得，，可得，从而． 【详解】解：过作于，交的延长线于点，交于点，如图： 四边形，四边形是正方形， ，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴ ， ； 故答案为：． 35．如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得： 【题型8 平行线分线段成比例求比值】 36．如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据了平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作最下面那条网格线的垂线，垂足为H，设与从下往上数的第二条网格线交于E， 四线格是由等距离的四条平行横线组成的， ． ， ， 故选：C． 37．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 38．如图，，若，．则 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，，交于点M，已知，，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，平行线分线段成比例，根据平行四边形的性质，结合平行线分线段成比例，推出点为的中点，勾股定理逆定理，求出，斜边上的中线求出，再根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：9． 40．如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 【拓展训练一 设k法】 41．按要求进行计算 (1)已知，求的值． (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】本题考查了比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行化简，即可作答． （2）先设，则得，再代入，解出，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：依题意，设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 42．已知，求： (1)代数式的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)18 【分析】本题考查了比例的性质、分式的求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，，，代入原式化简即可； （2）同（1）中设法，代入求出k的值，即可得出a的值． 【详解】（1）解：设，则，，， ． 代数式的值为1． （2）同（1）中设法，则：， 解得：， 则， 的值为18． 43．已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）由已知得到，进而代值求解即可； （2）由已知设，，，然后列方程解得，进而求得a、b、c，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴ ． 【拓展训练二 比例的性质综合】 44．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 45．阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．   黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）    (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．      【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，黄金分割，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；由等边对等角可得，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，则可得到； （2）求出，由角平分线的定义可得，则，则可证明和是黄金三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；    ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的两个底角为，顶角为 ∴为黄金三角形； （2）∵正十边形的中心角，， ． ∵平分， ， ∴． 和是黄金三角形． ，． ， ． ． 46．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 【拓展训练三 平行线分线段成比例综合】 47．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 48．新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，则，由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例定理可得，即可得解； （2）在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形，同（1）证明即可． 【详解】（1）解：因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”； （2）解：如图，在上急缺，过点作于，连接，即为所求的图形， ， 因为是“型三角形”， 所以． 设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 所以， 所以， 所以是“型三角形”． 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，平行线分线成比例定理，二次根式的化简，新定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 49．矩形中，（为常数，），点为边上一动点（点与不重合），连接，以为直角边作等腰直角，． (1)如图1，过点作交的延长线于点，求证：； (2)当时： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，求的长； (3)当，为的中点时，交于点，取线段的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）首先得到，等量代换得到，然后证明出，即可得到； （2）①由得到，即可证明四边形是正方形； ②同（1）可得，，得到，，然后求出，利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，过点F作交延长线于点G，设，则，表示出，，，，然后证明出是的中位线，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵矩形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵以为直角边作等腰直角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）①四边形是正方形，理由如下： ∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； ②如图所示，过点F作交延长线于点G 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，过点F作交延长线于点G ∵为的中点 ∴设，则 ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵线段的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵，， ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了矩形和正方形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1．若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接计算即可，熟练掌握比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 2．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 3．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 4．黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点定义，利用黄金分割数解答即可． 【详解】解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形， 故选：A． 5．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：D． 6．已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 8．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，等腰三角形的性质和判定，黄金分割，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键． 根据点为线段的黄金分割点，设，则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， ， ，， ， ∵点为线段的黄金分割点， 设， 则， ， 化简得，， ， ， ， ． 故选：A． 9．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 10．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，或，即可求解． 【详解】解：依题意，或 故答案为：或． 11．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：． 12．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为 m（结果保留小数点后两位） 【答案】1.24 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 故答案为： 13．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故答案为： 14．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 15．如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质以及概率公式，设，由黄金分割点的定义得，，再由概率公式和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形， 设， ∵点E是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键． （1）将代入，结合分式的性质化简计算即可； （2）将代入，结合分式的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴． 17．已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【分析】本题考查了比例的性质，比例中项的定义．熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质求解即可； （2）根据比例中项的定义，即可得到，再根据即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则原式． （2）解：当时，， ∵是线段，的比例中项， ∴ ∵线段， ∴． 18．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 19．阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ________．（第二步） (1)回答下列问题： 第二步的结果是____________，由求得结果利用了________的基本性质； (2)模仿材料解题： 已知，求的值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第二步的结果是，由求得结果利用了比例的基本性质； 故答案为：，比例； （2）解：设， ， ． 20．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 比例线段 （5知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2024九年级上·浙江·专题练习）点在线段上，若，则 ． 知识点2：比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 【即时训练】 4．（2024九年级上·浙江绍兴·专题练习）已知，则的值是 ． 5．（2024九年级上·浙江金华·专题练习）若，则 ． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知，求的值． 知识点3：比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 【即时训练】 7．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）线段2和3的比例中项是 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是 ． 9．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 知识点4：黄金分割 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 【即时训练】 10．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 11．（2024九年级上·浙江宁波·专题练习）大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ． 知识点5：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 【即时训练】 13．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为 ． 15．（2024九年级上·浙江杭州·专题练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【题型1 比例尺】 1．东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 2．在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 3．在比例尺为的地图上，A，B 两城市之间的距离为，则这两城市之间的 实际距离为（　　） A． B． C． D． 4．在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 5．在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离cm，则、两地的实际距离为 km． 【题型2 成比例线段】 6．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．若4个成比例的数满足，则这个数是 ． 9．已知线段是成比例线段，其中，，，则 cm． 10．已知线段满足，且．求线段的值． 【题型3 比例中项】 11．已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A． B． C． D． 12．已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 13．已知是和的比例中项，则= ． 14．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 15．已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【题型4 比例的性质】 16．若，则（　　） A． B． C． D． 17．若，则的值为（　　） A． B．4 C． D． 18．已知，则 ． 19．若，则 ． 20．已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【题型5 黄金分割的定义】 21．上海东方明珠电视塔的塔高为，上球体到底部的距离约为，二者之比约为，因此显得格外挺拔．这体现了数学中的（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 22．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 23．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 24．若线段，点C是线段的一个黄金分割点（），则的长为 （结果保留根号）． 25．如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 【题型6 黄金分割的应用】 26．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（    ） A．和之间 B． 和之间 C．和之间 D． 和之间 27．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 28．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 29．鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 30．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【题型7 平行线分线段成比例】 31．如图，，下列比例式中正确的是（　　） A． B． C． D． 32．如图，在中，点D、点E分别在边，上，，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，是的中线，E为上一点，连接交于点F，且，若，，，则的长度为 ． 34．如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ． 35．如图，直线，直线和被，，所截．如果，，，求的长．    【题型8 平行线分线段成比例求比值】 36．如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 37．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 38．如图，，若，．则 39．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，，交于点M，已知，，，则的周长为 ． 40．如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【拓展训练一 设k法】 41．按要求进行计算 (1)已知，求的值． (2)已知，且，求的值． 42．已知，求： (1)代数式的值； (2)若，求a的值． 43．已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 【拓展训练二 比例的性质综合】 44．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 45．阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．   黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）    (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．      46．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【拓展训练三 平行线分线段成比例综合】 47．定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 48．新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 49．矩形中，（为常数，），点为边上一动点（点与不重合），连接，以为直角边作等腰直角，． (1)如图1，过点作交的延长线于点，求证：； (2)当时： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，求的长； (3)当，为的中点时，交于点，取线段的中点，连接．若，求的长． 1．若，则的值是（   ） A． B． C．20 D． 2．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 4．黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 5．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 8．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，正五边形的边长为2，则正五边形的对角线长度为（　　） A． B． C． D． 9．若，则 ． 10．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 11．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 12．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为 m（结果保留小数点后两位） 13．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 ． 14．若，则的值为 ． 15．如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则 ． 16．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 17．已知线段，，满足． (1)求的值． (2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值． 18．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 19．阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ________．（第二步） (1)回答下列问题： 第二步的结果是____________，由求得结果利用了________的基本性质； (2)模仿材料解题： 已知，求的值： 20．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 11 / 11 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