第15章 专题6 构造等腰三角形的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）

[答案　P16] 构造“三线合一”图形　　 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF. 求证：(1)ED＝DF；(2)ED⊥DF. 1题图 证明：(1)如答图，连接AD． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∠B＝∠C． 又∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， 1题答图 ∴AD＝BD． 在△BED和△AFD中， ∴△BED≌△AFD(SAS)， ∴ED＝FD． (2)∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF. 如图，在△ABC中AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC．求证：EB⊥AB． 2题图 证明：如答图，作EF⊥AC于点F. ∵EA＝EC， ∴AF＝FC． ∵AC＝2AB， ∴AF＋FC＝2AF＝2AB， ∴AF＝AB． 2题答图 ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE. 又∵AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°， ∴EB⊥AB． 作平行线构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 3题图 证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，如答图所示， ∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠DMB， 3题答图 ∴BD＝MD． ∵BD＝CE， ∴MD＝CE. 在△DMF和△ECF中， ∴△DMF≌△ECF(AAS)， ∴DF＝EF. 如图，在△ABC中，CA＝CB，D在AC延长线上，E在BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB． 4题图 证明：如答图，过点D作DM∥AB，交BC的延长线于点M， ∴∠MDC＝∠A，∠M＝∠B． ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∴∠M＝∠MDC． ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED． ∵∠M＋∠MDE＋∠CED＝180°， ∴∠M＋∠MDC＋∠CDE＋∠CED＝180°， ∴∠MDC＋∠CDE＝90°， 4题答图 即∠MDE＝90°，DE⊥DM. ∵MD∥AB， ∴DE⊥AB． “倍长中线法”构造等腰三角形　　 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 5题图 解：如答图，延长GE交CB的延长线于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M. ∵E为AB边的中点， ∴AE＝BE. 5题答图 在△AEG和△BEM中， ∴△AEG≌△BEM(AAS)， ∴GE＝ME，AG＝BM＝2. 又∵EF⊥MG，∴FG＝FM. ∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝4＋2＝6， ∴GF＝FM＝6. 如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF. 6题图 证明：如答图，延长AD到点G使DG＝AD，连接CG. ∵AD为中线， ∴BD＝CD． 又∵∠ADB＝∠CDG，AD＝GD， ∴△ADB≌△GDC， 6题答图 ∴AB＝GC，∠EAF＝∠G. ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA． ∵∠EFA＝∠CFG， ∴∠G＝∠CFG， ∴CF＝CG， ∴AB＝CF. “截长补短法”构造等腰三角形　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB． 7题图 证明：如答图，延长BD到点F，使BF＝BA，连接AF，CF. ∵∠ABD＝60°，∴△ABF为等边三角形， ∴AF＝AB＝BF，∠AFB＝60°. 又∵AB＝AC， ∴AC＝AF， ∴∠ACF＝∠AFC． 7题答图 又∵∠ACD＝60°， ∴∠AFB＝∠ACD＝60°， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴DC＝DF. ∴BD＋DC＝BD＋DF＝BF＝AB， 即BD＋DC＝AB． 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数． 8题图 解：如答图，在DC上截取DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. 在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB． 又∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，CD＝DE＋EC， ∴AB＋DE＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC． 设∠EAC＝∠C＝x， ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x. 在△ABC中，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 即2x＋120°＋x＝180°，解得x＝20°，∴∠C＝20°. 8题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$