15.3.2 课时1 等边三角形的性质和判定-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）

15．3.2　等边三角形 课时1　等边三角形的性质和判定 等边三角形的性质　　 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于(C) A．10° B．15° C．20° D．25° 1题图 　　　 已知直线l1∥l2，将等边三角形按如图所示的方式放置，若∠α＝40°，则∠β等于(A) 2题图 A．20° B．30° C．40° D．50° 如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE＝75°． 3题图 　　　 如图，在等边△ABC中，BE，CF是△ABC的中线，BE，CF交于点O，则∠EOF的度数为120°． 4题图 (云南保山期中)如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使DB＝DE. (1)求∠BDE的度数； (2)求证：△CED为等腰三角形． 5题图 (1)解：∵DB＝DE， ∴∠E＝∠DBE. ∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴∠DBC＝30°， ∴∠E＝∠DBE＝30°， ∴∠BDE＝180°－30°－30°＝120°. (2)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°， ∴∠CDE＝∠E， ∴CD＝CE， ∴△CED是等腰三角形． 等边三角形的判定　　 下列三角形中，不一定是等边三角形的是(C) A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，分别交两直角边于A，B两点，再以点A为圆心，以OA的长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点C，连接OC，则∠AOC的度数为60°． 7题图 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在边AB上，连接CD．给出下列四种说法： ①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形； ②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形； ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形； ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形． 其中正确的说法是①②④．(请填写序号) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形． 9题图 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°. 在Rt△AED和Rt△CFD中， AD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△AED≌Rt△CFD， ∴∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． (益阳中考)如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于(C) A．40° B．30° C．20° D．15° 1题图 　　　 (常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°. 2题图 (宜昌中考)如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝48米． 3题图 　　　 如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠ADB的度数为30°． 4题图 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠A＝60°，BD＝4，求△ABC的周长． 5题图 (1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD． 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE＝DF. (2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2BD＝8， ∴△ABC的周长为24. [核心素养]【问题发现】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：对于不在同一条直线上的三个点A，B，C，存在一点P，它到这三个点的距离之和最小，这个点后来被称为“费马点”． 【问题解决】如图，△ABC三个内角均小于120°，点P是△ABC内部一点，当PA＋PB＋PC取得最小值时，请分别求∠APB，∠APC，∠CPB的度数． 解：如图，分别以AP，AC为边作等边△APD，等边△ACE…… 请将上述解题过程补充完整． 6题图 解：如答图，分别以AP，AC为边作等边△APD，等边△ACE，连接DE， ∴∠PAD＝∠CAE＝60°， ∴∠PAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD， 即∠PAC＝∠DAE. 在△PAC和△DAE中， ∴△PAC≌△DAE(SAS)， ∴PC＝DE，故PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE. 当B，P，D，E在同一条直线上时， PA＋PB＋PC取得最小值． ∵△APD为等边三角形， ∴∠APD＝∠ADP＝60°， ∴∠APB＝180°－60°＝120°. ∵△PAC≌△DAE， ∴∠APC＝∠ADE＝180°－∠ADP＝180°－60°＝120°， ∴∠BPC＝360°－∠APB－∠APC＝360°－120°－120°＝120°. 6题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$