15.3.1 课时1 等腰三角形的性质-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）

15．3　等腰三角形 15．3.1　等腰三角形 课时1　等腰三角形的性质 等腰三角形的性质：等边对等角　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B的度数为(A) A．40° B．50° C．60° D．80° 1题图 　 　　 若一个等腰三角形的底角为55°，则它的顶角的度数为(C) A．55° B．60° C．70° D．80° (教材母题变式)如图，AB∥CD，点E在线段AD上，AB＝AE，连接BE，若∠ADC＝20°，则∠B的度数为80°． 3题图 如图，在△ABC中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为67.5°. 4题图 如图，在△ABC中，点D在BC上AB＝AC＝CD，且AD＝BD．求△ABC的三个内角的度数． 5题图 解：设∠B＝x， ∵AB＝AC， ∴∠C＝x. ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝x. 由三角形的外角性质，得∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2x， ∴∠CAD＝2x. 在△ACD中，∠C＋∠CAD＋∠CDA＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°， ∴∠B＝∠C＝36°，∠BAC＝180°－36°－36°＝108°， ∴△ABC的三个内角的度数分别是108°，36°，36°. 等腰三角形的性质：三线合一　　 (台州中考)如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB且同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是(D) 6题图 A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B) A．10 B．5 C．4 D．3 7题图 　　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在边AB上，且BD＝BE.若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为20°． 8题图 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数． 9题图 (1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD． 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF. (2)解：连接AD．由(1)可知AD平分∠BAC． 由“AAS”可证△ABD≌△ACD，∴AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠B＝∠BDE＋∠B＝90°， ∴∠BAD＝∠BDE＝40°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝80°. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为(A) A．18° B．20° C．30° D．36° 　 1题图 　　　　 (湖南长沙期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为(D) 2题图 A．5 B．6 C．7 D．8 如图，在△ABC中，∠C＝40°，点D在BC上，且AB＝AD＝DC，则∠B的度数为80°． 3题图 　　　　 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是45°． 4题图 (黄石中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于F. (1)求证：∠C＝∠BAD； (2)求证：AC＝EF. 5题图 证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC，∴∠C＋∠DAC＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°， ∴∠C＝∠BAD． (2)∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB． ∵AB＝AE， ∴∠B＝AEB，∴∠B＝∠EAF. 又∵AB＝EA，∠BAC＝∠AEF＝90°， ∴△BAC≌△AEF， ∴AC＝EF. [核心素养]如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，BE. (1)若BE⊥AC，∠ACB＝66°，则∠ABE的度数为42°； (2)若D是BC的中点，∠CBE＝∠CAD，求证：BE⊥AC； (3)若AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，∠CAD＝20°，求∠CBE的度数； (4)连接DE，若AD＝AE， ①当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，则∠EDC的度数为15°； ②当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的数量关系，并加以证明． 6题图 (2)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠CAD＋∠C＝90°. 又∵∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＋∠C＝90°， ∴BE⊥AC． (3)解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝×(180°－40°)＝70°. ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠CBE＝∠ABC＝35°. (4)解：②∠BAD＝2∠EDC．证明如下： ∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠ABC＝∠C，∠ADE＝∠AED． ∵∠ADC＝∠ABC＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠ABC＋∠BAD＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝∠C＋2∠EDC， ∴∠BAD＝2∠EDC． 学科网（北京）股份有限公司 $$