14.3 课时2 角的平分线的判定-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024）

课时2　角的平分线的判定 角的平分线的判定　　 如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD，BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(A) A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 1题图 　 　 (大庆中考)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B) 2题图 A．30° B．35° C．45° D．60° 如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝5 cm，当PD＝5 cm时，点P在∠AOB的平分线上． 3题图 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为 E，F，AE＝AF.求证： (1)PE＝PF； (2)点P在∠BAC的平分线上． 4题图 证明：(1)连接AP. ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴△AEP和△AFP都是直角三角形． ∵AE＝AF，AP＝AP， ∴Rt△AEP≌Rt△AFP， ∴PE＝PF. (2)∵PE⊥AB，PF⊥AC，且PE＝PF， ∴点P在∠BAC的平分线上． 三角形的角平分线　　 在三角形中，到三边距离相等的点是(B) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等，若∠BOC＝108°，则∠OCB的度数为(B) A．22.5° B．27° C．30° D．35° 6题图 　　　　 如图，D是△ABC的三个内角的平分线的交点，已知AB∶BC∶AC＝4∶3∶5，则 S△ABD∶S△BCD∶S△ACD＝4∶3∶5． 7题图 角平分线的实际应用　　 如图，铁路OA和铁路OB相交于点O处，河道AB与两条铁路分别交于A处和B处，试在河道AB(线段AB)上修一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，作出水厂M在图中的位置．(不必写作法，保留作图痕迹) 8题图 　　 解：如答图，作∠AOB的平分线交AB于点M，则点M即为水厂的位置． 8题答图 如图是某校的局部平面图，学校有三条小路MN，PQ和AB，已知MN∥PQ，AB与MN，PQ相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路MN，PQ，AB的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有(C) A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 1题图 　　　 2题图 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有(D) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 (江西新余期中)如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝150°． 3题图 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H. (1)若PH＝8 cm，求点P到直线BC的距离； (2)求证：点P在∠HAC的平分线上． 4题图 (1)解：作PQ⊥BE于Q，如答图． ∵BP平分∠ABC， ∴PQ＝PH＝8 cm， 即点P到直线BC的距离为8 cm. (2)证明：∵CP平分∠ACE，PQ⊥BE，PD⊥AC， ∴PD＝PQ. 4题答图 而PH＝PQ， ∴PD＝PH. ∵PD⊥AC，PH⊥BA， ∴点P在∠HAC的平分线上． 　与角平分线有关的面积计算 【结论1】如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC． 图①　　　　　　　　图② 【结论2】如图②，当点E在△ABC角平分线AD上的任意位置(不与点A重合)时，都有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC． 【例】如图，O是到△ABC的三条边距离相等的点，连接OA，OB，OC．若AB＝6 cm，BC＝7 cm，AC＝5 cm，△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝6∶7∶5． 【变式训练】 1．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3 cm，则AB＝6_cm． 1题图 2．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是△ABC的中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为2． 2题图 学科网（北京）股份有限公司 $$