周测10 圆的综合应用 用坐标方法解决几何问题-【蓝海启航·启航金卷周周测】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

周测10 圆的综合应用用坐标方法解决几何问题 (时属：40分钟满分：80分》 一、法择题本整共4个小题，每题后分，共20分，在每小赠给出的四个选项中，只有一项是符合题 日要求的 山卫知过点P经，小的直线1与国C:十y一2》=受于，：档点，则当弦AB量虹时，直线 /的方程为 h.2-4y十8-0 Br-4y+3-0 C2x+4y+3a0 D2r+4y+1=0 2.设P为直线：a十y十1-非上的动点，PA为国C,(一2》'十y'一1的一条切线，A为切点，期 △PAC的面机的最个值列 40 2 而 c四 D.T 3.已知点P在直线y=+3上，若4(1,0)，4(3,0)，则PA十1PB的最小算为 A而 且5 C.2 D.218 4,十九世记著名德国霜北太人数学家基尔曼闪可大斯甚给也了两点P(1·y》,Q(=:y:》的坠陷 银距肉为D(P,Q)一1一十y,一y:.我们把到三角形三个度点的经婚钢慰离相等的点 码“芽点“，已年△A的三个顶点坐标为1(2,41，H(8,2).C(12.10),则△AC的好友的坐 标为 A.(2,4) 孔(8,87 D.(5.10 二，多项选择置本置共2个小题，每题年分，共2分，在每小蓝给出的四个选项中，有多项是转合 愿日要求的.全部选对得6分，第分湛对得部分分，锈选或多选得0分 五.设点A在国Ox+y-1上，点B在圆C+(y-3)-2上.期 L可O与割心外切 弘存在点A.B,情是A=号 C.存在点A,B,满足∠BC一n D.当直线AB与解C相到，AB的最小值为园 若实数y情是户十十x-0,则下列关于产的列断正确的是 人产的银火值为后 且石的最小值为一厅 C产与的最大值为号 B产的是本值为-得 选择题答题栏 亚号 答案 三，填空题1本题共2个小题，每题5分，共10分) 7.若直线y一十。和我线x一√1一y没有公共点，则实数。的取值范用为 8已加A,B分例是x轴和y轴上的两个动点，A一2若动点P情延PA1P:,Q后，)，期 PQ的取值范用为 四.解菩量（本显共3个小盟，共38分，解答应写出文字说明，证明过程和演算香覆） 9.〔本小题满分0分》 在以O为原点的直角坐标系中.点A(4,一5)为△01B的直角期点，已知A:-20i.且点 B的织单标大于零 1)求AB的半标： )设点C8,一2》，求以OC为直径的圆M关于直线B对%的测的方程， 州两0国的等合战用用生标友去解决几阿问思 10,(本小题满分13分1 1L,「本小题横分15分》 已知三条直线一y+州-0,1+my一m(w+1)=0,4+1z一y十(w+1)-0, 已知国f的方程为十(y一2)-4，设B(0,4),D(0,1》.过点D作直级11，交属M于P.Q 它门围战△A 两点.点P,Q不在y射上 《1求任：不论m取问值，△A巾总有一个顶点为定点： 1)若过点D作与直，垂直的直视：，交同剂于E,两点，记国边形PQ的面积为5， 《2)当m取射直时，△AC的面阳取得最值？并求出最值. 求S的量大值！ (?)若直线P,BQ相交干点N,试计晚点N悬否在定直就上，若是，求出该直线疗程：若不 是，说明理由 州倒测数学及择性必餐第一青X灯 ·0·周测10圆的综合应用用坐标方法 4,B解析：对A选项，设P(2,4), 则D(P,A)=12-2|+14-41=0,D(P,B)=12一8|+ 解决几何问题 14-2=8≠0， ·点(2,4)不是△ABC的“好点”，A错误： 1.A解析：周为直线1过定点P(侵)： 对B选项，设P(6,8), 由x2+(y-2)=4,得心C(0,2),半径r-2, 则D(P,A)=16-2+18-4=8, 当AB⊥PC时，获AB最短，此时直线CP的针率 D(P,B)=6-81+|8-21=8, 12=一2 D(P,C)=|6-12|+8-101=8, ..D(P.A)=D(P.B)=D(P.C). ∴点(6,8)是△ABC的“好点”，.B正确： 两以直线1的针养仙一宁 对C速项，设P(0,0), 故直线1的方程为y-1-6-》对2红-十3=0， 则D(P,A)=10-2|+0-4=6,D(P,B)=10-8+ 10-2=10≠6， 故选A. ,∴，点(0,0)不是△ABC的“好点”，.C错误 2.C解析：由回的标准方程(r一2)十y2=1, 时于D,设P(5,1), 得圆心坐标为C(2,0),半径R=1, 则D(P,A)=15-2|+1-4|=6.D(P,B)=15-81+ 则△PAC的面积S=之PA1·AC=PA, 11-21=4≠6， 点(5,1)不是△ABC的“好点”..D错误，故选B. .要使△PAC的面积最小，则1PA|最小，又「PA|= 5.BD解析：设两圆司心距为d,则d=3,又两图半径分别为 √PC-AC平=√PC-I, 1w2,划d>1十√2，.两国相离，故A错误： 即|PC引最小即可，此时最小值为盟心C到直线的距离d 由题可知，d-1-√2≤AB引≤d+1十√区， 12+0+113区 2 即2E≤AB1≤4+E,而2-E<多≤4+vE. 9 2 六存在点A,B,满足AB=三，故B正麻 对任意的点A,当AB与图C相切时，∠BAC最大，此时 、即△PAC的雨飘的最小值为S二之×生=敢选C 24 in∠BAC是·当点A在圆O上适动时.AC小为2， 3.D解析：设点A关于直线y=x十3的对称点C(ry) 任取直线y=T+3上一点P,连接PA,PB,PC, 血∠BAC最大为号从而∠BAC兼大为行，收C错民 连接BC交y=x十3于点P,,连接AP,,P,C,如图所示： 当直线AB与图C相切时，AB=√AC一2，又点A在 园O上运动时，|AC引最小为2， ∴.AB的最小值为√2，故D正确，故选BD r+3 6.CD解析：由题意可得，方程x2十y十2r=D是圆心为 C(一1,0)，半径为1的圆， x+1 别六为园上的动点)与龙点P1,0)的连我的件车 +3 2 则有 的值， 设过点P(1.0)的直线为y=k(x十1)，即kr一y+k=0, 别萄心到直线红一y十=0的距离4=2 =1,整理 即C(-3,4), √1+k y=4, 因为PA=|PC,刚IPA+IPBI=PC+PB≥BC. 可得3=1，解得k=± 3· 当且仪当点P运动到P,处时，|P:C|十P,B引=|BC, 所以∈[]六的美大维为停小位 所以(PA1+1PB|)=|BC1=√(3+3)+(0-4)于= 2√13.故选D. 为、 3故选CD 周周测数学选择性必修第一册X ·54· 7,(bb<一2或b>1 2(x。-3)+(y。+1)=0, /1, 解析：曲线x=√1-y变形为x2十y2=1(0≤r≤1)， y。=3 2 因为直线y=x十b和面线r=√一y没有公共点， .所求圆的方程为(x一1)2+(y一3)2=10. 当直线过(0,1)时，h=1, 10.解：(1)证明：设直线1与直线11的交点为A. b 当直线与圆相切时，可得 =1,即b=-2成b=2(会). mx一y十m=0, =-1, 解得 (m+1)x一y+(m十1)=0， y=0, 结合图象可知，b<一√2或b>1. .点A的坐标为（一1,0）， 不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(一1,0》为 定点 x十my一m(m+1)=0, (2)由 (m+1)x-y十(m十1)=0， {r=0, 解得 y=m+1, 故答案为：{b<-√2或>1 即L:与1，的交点为B(0,m十1). 8.[0,3] m.x一y十m=0, x十my一m(m+1)=0, 解析：设AB的中点为C,由AB=2,可得1OC=1 “点C的轨迹是以原点O为园心，1为半径的圆， = m+1 ,PA⊥PB,.动点P在以AB为直径的圆上，即在以C为 解得 m十n十m y= 圆心，以1为半径的图上，如图， m十1 身与防变点为C”计） m2+1 设造AB上的高为：又直线A裙的方粒为号十加品= 即(m+1)一y十m+1=0, 点C到直线AB的距离即为h, SAA= A=号中m+. 动点P在以原，点O为司心，半径为2的圆面上，又 m(m+1) (倍) m2十1 m3十m+雅十m十1 m3十1 √(m+1)+1 ∴.当P,Q重合时，PQ=0, .m十m+1 当P,O,Q共践，O在线段PQ上时，1PQ最大，此时 2 m十1 1Q=2+√g）+(g)= 1,m+m十11 2 + ∴1PQ的取值范围是[0,3]. 当m=0时，S= 故答案为：[0,3]. 9.解：(1)设AB=(xy).又OA=(4.-3).OA⊥AB. 函数f(x)=x十 上的值城为(-0，一2]U[2,+o∞) 4r-3y=0, =6, r=-6, 或 √+y=2×√3+下-10y=8y=-8, 1 1 -2 0或0< 1 12 :B成的织坐标大于零，Ai=(6,8), (2)由Ai=(6,8)可得，B(10.5). 1 :直线OB的方程为y=2: 当m=1时，△AC的面软取得录大值，为子 图M的方程为(r-3)+(y+1)2=10, 设M(3,一1)关于克线OB的对称点为N(x。,y), 当m=一1时，△ABC的面积取得最小值，为 ·55· 答案全解全析 11.解：(1)易知，直线 $$l _ { 1 }$$ 的斜率存在，设直线 $$l _ { 1 }$$ 的方程为 y= 周测11 椭圆 kx+1， ，即 kx-y+1=0， (0，2) 到直线 $$l _ { 1 }$$ 的距离 $$d _ { 1 } = \frac { | - 2 + 1 | } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } = \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } ，$$ 1.B 解析：由题意可得 $$a ^ { 2 } = 9 ， b ^ { 2 } = k + 2 \in \left( 0 ， 9 \right) ，$$ $$\therefore 9 - \left( k + 2 \right) = 2 ^ { 2 } ， \therefore k = 3 ，$$ 故选 B. $$则 z | P Q | = 2 \sqrt { 4 - \frac { 1 } { k ^ { 2 } + 1 } } = 2 \sqrt { \frac { 4 k ^ { 2 } + 3 } { k ^ { 2 } + 1 } } ，$$ 2.D 解析：由题意可得 ， $$\frac { c } { a } = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ $$\left\{ \begin{array}{l} a = 2 ， \\ b = 1 . \end{array} \right.$$ ①若 k=0， ，则直线 $$l _ { 2 }$$ 斜率不存在，则 $$| P Q | = 2 \sqrt 3 ，$$ a $$a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ，$$ |EF|=4，则2k $$S = \frac { 1 } { 2 } | E F | \cdot | P Q | = 4 \sqrt 3 ，$$ ：C的方程为 $$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 .$$ =1.故选D. 3.A 解析：设以 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 ② 若 k≠0， ，则直线 $$l _ { 2 }$$ 的方程为 $$y = - \frac { 1 } { k } x + 1 ，$$ x+ky- $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) ，$$ ，斜率为k，则 $$4 x _ { 1 } ^ { 2 } + 9 y _ { 1 } ^ { 2 } = 1 4 4 ， 4 x _ { 2 } ^ { 2 } + 9 y _ { 2 } ^ { 2 } =$$ k=0， 因为圆 A(0，2) 到直线 $$l _ { 2 }$$ 的距离d $$d _ { 1 } = \frac { k } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } ， 则 v _ { 1 }$$ 144， ，两式相减得 $$4 \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \right) \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) + 9 \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) \left( y _ { 1 } - y _ { 2 } \right) = 0 .$$ x $$x _ { 1 } + x _ { 2 } = 6 ， y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 ， 且 \frac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = k ， 则 W _ { 1 } k$$ $$k = - \frac { 2 } { 3 } ，$$ $$| E F | = 2 \sqrt { 4 - \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + 1 } } = 2 \sqrt { \frac { 3 k ^ { 2 } + 4 } { k ^ { 2 } + 1 } } ，$$ $$且 S = \frac { 1 } { 2 } | E F | \cdot | P Q | = 2 \sqrt { \frac { \left( 4 k ^ { 2 } + 3 \right) \left( 3 k ^ { 2 } + 4 \right) } { \left( k ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } } = }$$ 4.C解析：由题可得 $$\frac { 2 ^ { 2 } } { m } + \frac { \left( \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { 1 5 } = 1 ，$$ ∴m=16， $$C ： \frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 5 } = 1 ，$$ $$2 \sqrt { \frac { 1 2 \left( k ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } { \left( k ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 1 2 + \frac { k ^ { 2 } } { \left( k ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } } } =$$ ∴F(1，0)， ，直线 AF 方程为 $$y = \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } \left( x - 1 \right) .$$ $$2 \sqrt { 1 2 + \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \frac { 1 } { k ^ { 2 } } + 2 } } \le 2 \sqrt { 1 2 + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 4 ^ { 2 } - \frac { 1 } { k ^ { 2 } } + 2 } } } = 7 ，$$ 7， $$\therefore B \left( 0 ， - \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } \right) ， \lambda A \left( 2 ， \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } \right) ，$$ 当且仅当 $$k ^ { 2 } = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } ， 1$$ 则k=±1 时，取等号 $$P \left( x _ { 0 } ， y _ { 0 } \right) ， 则 \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 5 } = 1 ， \overrightarrow { P A } = \left( 2 - x _ { 0 } ， \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } - y _ { 0 } \right) ，$$ $$7 = \sqrt { 4 9 } > 4 \sqrt 3 = \sqrt { 4 8 } ，$$ ，所以 S 的最大值为7. $$\overrightarrow { P B } = \left( - x _ { 0 } ， - \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } - y _ { 0 } \right) ，$$ +(y-2)=4， (2) 设Pry：) .Q xy：) ， 联立 $$P \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， Q \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) ，$$ $$\therefore \overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P B } = \left( 2 - x _ { 0 } \right) \left( - x _ { 0 } \right) + \left( \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } - y _ { 0 } \right) \left( - \frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } - y _ { 0 } \right) =$$ y=kx+1. 消 y 得 $$\left( k ^ { 2 } + 1 \right) x ^ { 2 } - 2 k x - 3 = 0 .$$ $$x _ { 0 } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } + y _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 4 5 } { 4 } = x _ { 0 } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } + 1 5 - \frac { 1 5 } { 1 6 } x _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 4 5 } { 4 } = \frac { 1 } { 1 6 } \left( x _ { 0 } - 1$$ $$则 x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { 2 k } { k ^ { 2 } + 1 } ， x _ { 1 } ， x _ { 2 } = \frac { - 3 } { k ^ { 2 } + 1 } ，$$ $$\frac { 4 9 } { 4 } ， x - 4 \le x _ { 0 } \le 4 ，$$ ∴ 当 $$x _ { 0 } = 4$$ 时 $$， \overrightarrow { P A } \cdot \overrightarrow { P B }$$ P有最小值为 $$- \frac { 1 3 } { 4 } .$$ 故 C. 又直线 OP 的方程为 $$y = \frac { y _ { 1 } } { x _ { 1 } } x ，$$ ，直线BQ的方程为 y= 直线BQ 5.ABD 解析：由椭的方程可得， $$， a = \sqrt 6 ， b = \sqrt 3 ，$$ 可得 $$\frac { y _ { 2 } - 4 } { x _ { 2 } } x + 4 .$$ $$\sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = \sqrt 3 ，$$ ，所以离心率 $$e = \frac { c } { a } = \frac { \sqrt 3 } { \sqrt 6 } = \frac { \sqrt 2 } { 2 } ，$$ ，所以 正确； $$y = \frac { y _ { 1 } } { x _ { 1 } } x ，$$ (y=x+1， 联立 $$x = \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 1 } } { 3 x _ { 1 } + x _ { 2 } } ，$$ $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 1 } ， y _ { 2 } \right) ，$$ 设A(ry)，B(x，y)，联点 ++2y=6， $$y = \frac { y _ { 2 } - 4 } { x _ { 2 } } x + 4 ，$$ 整理可得， $$3 x ^ { 2 } + 4 x - 4 = 0 ，$$ ，可得 $$x = \frac { 2 } { 3 } 或 x = - 2 ，$$ $$y = \frac { y _ { 1 } } { x _ { 1 } } \times \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } { 3 x _ { 1 } + x _ { 2 } } = \frac { 4 y _ { 1 } x _ { 2 } } { 3 x _ { 1 } + x _ { 2 } } = \frac { 4 \left( k x _ { 1 } + 1 \right) x _ { 2 } } { 3 x _ {$$ $$\frac { 4 k x _ { 1 } x _ { 2 } + 4 x _ { 2 } } { 3 x _ { 1 } + x _ { 2 } } = \frac { - 6 x _ { 1 } - 2 x _ { 1 } } { 3 x _ { 1 } + x _ { 2 } } = - 2 ，$$ 可得 或 $$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac { 2 } { 3 } ， \\ y = \frac { 5 } { 3 } \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} x = - 2 ， \\ y = - 1 ， \end{array} \right.$$ $$N \left( \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } { 3 x _ { 1 } + x _ { 2 } } ， - 2 \right)$$ ，所以点N在定直线 y=-2 上. $$A \left( \frac { 2 } { 3 } ， \frac { 5 } { 3 } \right) ， B \left( - 2 ， - 1 \right) ，$$ 周周测 数学选择性必修第一册X · 56·