模块综合检测2-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

模块综合检测二 1时间：120分钟分值15静分》 一、法择要（本幕共8小瑟，每小围5分，共0分，在每小丽给出的四个选项中，只有一项是有合圆 日要求的) 眼上h1,3,,2a-1,…将成数到，，数列h,清足-2，当2时b.严4…则6，的值延 A.9 队17 C.33 D.65 瓷物之药煮一r的图象在点，》处的切线为整为 L￥=-2xr十x 孔y=2一8x C.y--x D.￥=xx一2m 3,已知数列u.}是等比数列5。为其衡g项和，若4，十4，十4：=44，十4十44=8，则S A.40 民O 32 几50 4,已知后数f(r)x3十5十w可在x=一3处数得极值，制4= A.4 13 C.2 D,-3 五，“中国剩余定理”又称“孙子定理”，害的是一个美于整意的慎些，现有这样·个整除问题：算1到 20四这22个数中，能被3限余2且黄5整隆余2的数按从小到大的顺序排成一列：构成数 列{：。，则此数列所有项中，中间项的植为 A.992 k1022 C,107 D.1037 6.若雨数f山)一r一n上与g(-上e一lnrr的最小值分别为2，b,则 A.4-6 B. C.a<6 D.4,b的大小不能角定 7,九连环是我国从古系今广泛瓷传的一种益智游戏，它用九个医环相连载串，以解开为题.明代 杨慎：丹铅总承)记镜：两环互相贯为，得其关换，解之为二，义合童为一“在某种玩法中，用 4。表示解下w(目名9：N∈N)个两环所需的最少移动次散，若4：一1：且， a。一1，n为锅位·明解下5个环所若约最少移局次数为 20,1+g,n为叠数， A.? B13 C,16 D.22 8.若实数仙≥2，期下联不等式中一定遗立的是 八w+n(e+>2 且lag(a+e“t C.lg,ta +13(x +2) D.《u+1t>{a+2 二，选择题（本题共3小驱，每小愿6分，共1分.在每小题给出的选项中，有多项杆合题日要求 全郎速对的得6分，银分速对的得第分分，有选精的得0分) 9.已知S。是数列州a。的用划面和，且a一a.一1，a。一a.,十2a。(x33),则下到结论正端的是 八数列1a,,十，为等比数列 且数列4.1一2，为等比数列 C4.-2+-1 n5-4-D m.已知雨数y一了r在R上可导，且f0)一1.其导雨登rx澳足二田0，对于希敢 一1 gr)=),下列结论正确的是 A满数E(》在区间1，十○)上单满潘减品，=1是满数g()的级小值友 C两数g(x》至多有两个零点 Q当10时，不等式f(x恒成这 山.在无穷数列，中，若，一a,(gEN.绵有，1一1此时定又u.为“阶梯数列”边 。)为”胶绿数列“，且g1=4:=1,1=5,年a6=25,划 A.a;-I 围.44=2 C,s.=10+a .d1g=2 选择题客孤栏 1 1 4 6 7 10 11 答案 三，填空题（本题共3小题，每小整5分，共15分） 12.若两数的导数为'11，且f《a)=2(2).x十￥'，则(2)= 3.在等系数列u.)中.的m(m为态数)模和为135.龙中氧散项之和为的.且“。一u,一14，则41- 的值为 4,已知税数)=an十上a>0,当=1时，：)的能小值为 若fr3时在 (,十四》上恒成立，期实数的取值范得为 四，解答猫（本题共5小题，共7了分，解答应写出文字说用，证用过程或演算步骤） 5.(木小题满分13分》设数列{u}的前。项和为S.a,一1，点(S。,心，，)在直线y=十1上， 1)求数列ù.的通项公式， (2)设6，g.十1，若6，中去掉u.的项后会下的项搜，来的序组发数到，小求{，) 的前30项和T。. 风块等合校周 16,(本小清分15分已知函数1(g)=r十2a临7 山若函数1的闲象在(2，/《2：处的切线斜率为1，求实数。的值：并求函数/：的单调 闻， (2若希数g工-兰+)在[12]上是减而数求实数1的取值范佩。 17,《木小题清分15分)已知数列a,中4：=14，=7，且41=a.十w 《1求1的值及数列4.}的通明公式： 1 《②投6，。，一数到，的前项和为T…任明T.<之 8.木小愿清分17分将用学家牛顿用“作初线”的方法求函数零点时，希出了牛慎数列”，它在 航空航天中应用丰膏广泛.其定文是：对于埔数了《x》,若满足(x,一1，》(x,)十《工，)一0： 喇称数判。1为牛顿数列.已年「《立)一，如图，在横坐标为2：一1的点处作了《11的切线 切线与？轴交点的横坐标为：，用：代替，重复上违过程得到x1·一直下去，得到散列 tz.l 《1求数列山，的通项公式： (2)若数列，的黄：项和为S.·且对任意的长N”,满足5≥6一日，求整致入的最小 值14参考数据：0,9少-，6561,0，行w0.50存，0.9学.5314.8,90,47831 州倒测数学，及择性必修第二青A餐 得)在2)的黄装下，设e红一费，直线-面十6>)与共线y一g有且其有两个 公共点Ae,Bh,D,其中e<有，求停的值。 19.(本小题调分1？分)1W世纪早期，英国牛铜学限最优秀代表人物之一的监学家秦霜Beock Thglor) 发观的泰粉公式（又称麦克劳林公式）有如下将殊彩式：当f(r)在x一g处的m《meN”)阶导 数都存时r=0+fro小0+20.+我3 中，(x)表层/《x的二称导数，围为了'(x)的导数，f(x)(n3)表示《x)的w阶导数. )履据公式估计。的值（结果保留位有效登字） r 保)由公式阿得血了一3引司一音十+一1》'一m+.当r>0时，请比较 于与于一言的大小，并给曲证明： )Ea∈N,证明，空 in mw十k+1业一lu十表) >we一1>0，而h(x)在(x,十o0)单调造增，且h'(x,)=0,而 18.解：)由fr)=ln(r+1),gr)=十，有f(0= h(e一1)>0， g(0), 所以e一1>工，，所以h(r)在(x:,十∞)上存在1个零点. 可知f'(x)= 1 a+1),g'(r)= 从而h()在（一1，十∞）上存在3个零，点 一2m理 (1)Cr)-(m) 蜂上所是，当a≤2时，方程fx)-受)=0有1个解： 由题意，得f'(0)=g'(0),(0)=g(0), 当a>2时，方程f(x)-号g(x)=0有3个解 所以/m=1, m=1, 模块综合检测二 -2mn=-1, 解得 n=2 1,C解析：因为{a,}的通项公式为a.=2n一1，而当n≥2时， (2)证明：由1)知，gr)一x十2 2.x b,o。-,又b=2 所以b,=4w=a:=3,b=4%=aa=5,b,=a6,=41=9, ()=f(r)-g(r)-In(r+1)- 2+2r≥0). b=a4=a,=17,b。=a4,=a1=33, 4 r 2.A解析：因为f'(r)=2 rcos r一r'sin r, 对p'r)=z市+27-+1)r+2≥0， 所以切线钟率k='(x)=一2r,而「(x)=一x, 所以(x)在其定义域（一1，+o)内为增函数， 所以所求初线方程为y十π=一2x(x一π)，即y=一2xx十 又9(0)=f(0)-g(0)=0, π2.故选A. 所以当x≥0时，华(x)=(x)一g(x)≥g(0)=0,得证. 3,B解析：由等比数列的性质可知，数列S,,S。一S,,S, (3)◆6)=f)-受g)=ln(r+1D- +2则其定 5,5:-S,是等比数列.即数列4,8，S。-56.5:一S,是等 比数列，周北Su=4+8+16+32=60,救选B 义城是（一1，十∞）， 4.B解析：周为f(r)=x+5r°十ar,所以f'(x)=3x”+ 1 2a r+(4-2a)(.x+1) (x)-+市x+2)r+1)x+2) 10xr十a 由条件知，x=一3是方程f'(x》=0的实数根，所以a=3. ①当a≤2时，h'(r)≥0，所以h(x)在（一1，十∞）上单调递 所以f(x)=x+5x2+3r,f(x)=3x2+10x十3=(3r+ 增，且h(0)=0, 所以h(r)在（一1，+o)上存在1个零点： Dx+3.令f>0,解得>-言或r<-3:即f ②当a>2时，令1(x)=x2+(4-2a)(x+1)=x+(1 2a)x+(4-2a). 在(3，十∞）和(-∞，-3)上单调逅增：◆f广(r)K0.解 由1(x)=0,得x1=(a-2)-√a一2a<0,x1=(a-2)1 得-3<r<-了，即f)在(-3，-司）上单调递减，所以 √a-2a>0, ∫(x》在x=一3取得极大值，满足条件. 又因为t(一1)=1>0,1(0)=4-2a<0,所以存在x1∈(-1. 5.C解析：由题意可知，a。一2既是3的倍数，又是5的倍数， 0),r,∈(0，+0 所以是15的倍数，即a,-2=15(n一1)，所以a,=15m一13. 当x变化时，'(x)与(x)变化情况如下表： 当n=135时，a=15×135-13=2012<2021: (-1,x1） (r1r》 (rg十】 当程=136时，41=15×136一13=2027>2021， h'(x) 0 0 所以n=1,2,3,…,135,数列{4.1共有135项，因此数列中 可项为第68项，且44=15×68一13=1007，所以中间项的 单调 极大值 极小值 单调 h(x) 单调递诚 位为1007.故选C 道增 h(x1) 递增 6.A解析：画数「(x)的定义城是(0，十⊙)，(x)=1一 当x∈(x1x,)时，因为h(0》=0,所以h(x)在(x1:xg)上 1=x-1 存在1个零点， 且h(x,)>h(0)=0,h(x:)<h(0)=0: 令(x)<0,解探0<x<1:令f'(x)>0,解得x>1, 当x∈（一1，x1)时，因为h(e一1）=ne· 所以函数f(r)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 a(e--1)-2ac-" 递增， +1 e+70, 所以函数f(x)的最小值是f(1)=1,所以=1. 一1<e一1<0，而h(x)在（一1，x1)单调递增，且 函数g(x)=re一lnr-x的定义城是(0，十o∞)， h'(x1)=0, g'z)+1e-11=xe 而h(e一1》<0，所以-1<e一1<x1·所以h(x)在 令h(x)=xe-1,则h'(x)=(r十1)e>0,r∈(0，十o∞)， (一1，x1)上存在1个零点： 则可得h(x)在(0，十⊙)上单调递增，且h(0)=一1<0， 当r∈(r+eo)时，周为h(e-1D=lne-a(g-》 e+1 h(1)=e-1>0, >0 所以存在x。∈(0,1)，使得h(x。)=0,即rue4=1,卿x。十 In ro=0. ·57· 答案全解全析 喜：0防0，品单10D解折：周为发)-，则g)- 当x∈(xu,十oo)时，h(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)单词 递增， -f当r>1时，由)=f >0,可得 所以当工=x4时，函数g(x)取得最小值g(x)=正e0 e x-1 lnr。一xo=1-lnx。一xa=1.即h=1,所以a=b. (r)一f(x)>0,则g(r)>0,故西数(x)在区间(1， 7.C解析：数列{a,)满足a1=1. +o∞)上单调递增，故A错误：当r<1时，由)二 且4.= 2a-1一1，n为偶数， 0,可得f广(x)-f(r)<0,则g'(x)<0,故函数g(r)在区 2a。-,十2.n为奇数， 间（一6©，1）上单调逆减，故x=1是函数g(x)的极小值点， 所以a,=2a1-1=1,a1=2a,十2=4，a,=2a1-1=7,a1= 故B正确：若g(1)<0,则函数g(r)有1个或2个零点，若 2a,+2=16, g(1)=0,别画数g(x)有1个零点，若g(1)>0,则函数 所以解下5个环所寓的最少移动次数为16.故选C 8.D解析：对子A.设f()-二，则r)=h工，音 g(x)没有零点，故C正确：因为画致g(x)在区间(-，1) 上单调递减，所以函数g(x)在区间（一○，0）上单调递减， 0<x<e时，f(x》>0,班x>e时，f'(x)<0,所以f(x》在 周为g(0)=0=1,所以当r≤0时，g(x)≥g0),中 (0.e)上单满递增，在（心，十o∞）上单满递减：而a+2>a十 1>e,所以ln(a+2)ln(a+1) ln(a+2)a+2 a+1,期na+<a+行，由换 f≥1，故fr)≥e,放D正确， a十2 11ACD解析：图为{a。)为“阶林数列”，由a1■a,=1,可得 底公式得lg+n(a+2)<0十名 4+1故婚误， 4:=4n,41=4:,a1=a:,a:=4g,a:=4a,…,观张可得 对于B.图为log9>og:8,所以2log3>3,即1og:(2+1)> a1=a1=4,=…=a1。-t=…(n∈N”）,0,=dg=a4=…= ,即当a=2时，不等式log(a+1D<“十不成主，故 2+1 am-1=…(n∈N”)d=a,=a,=…=1,=…(n∈N), 所以数列{a。1以3为周期，又a,=3,a。a。=2√3，所以 错误： 对于C.周为(a十1)炉>a十2a,所以lg(a十1)产>lg(a+ 3a。=23,所以a。=2. 2a),所以gu+1D>ga+ga+2>√g·gu+2可， 综上a1=a4=a,=…=a3,-3=1(n∈N”).a:=a:= 2 ug■…■a.-i=3(n∈N),a,=aa-a,=…=aa, 所以[lg(a+1D]>[ga+lga+2)7 >lga·lg(a十2)， 2(m∈N”),故A正确，B错误： 2 所以ga十)ga+2) Sw=(a,十a,十a,+aio)+(a:十a:+a,)+(ay十a4十 lg a >g(a+,由换底公式得，log(a+1)> a,)=10十3v3,故C正确：ag=a1=2,故D正确. og+(a十2)，故错误： 12.一12解析：由题意得(x)=2f(2)+3x2,.(2) 对于D.设fx)n,财广x)=1-工，当0r<e时， 2f‘(2)+12,,f(2)=-12. x x 13.101解析：：在前m项中偶数项之和为S属=3。 f广(x)>0,当x>e时，f广(x)<0,所以f(x)在(0，e)上单调 ,.奇数项之和为S,=135一63=72，设等差数列{a的公 递增，在(e,十o∞)上单调追减，而4+2>4十1>e,所以 差为d, In(a+2)In(a+1) a+2 a+1,则(a+2)n(a+1D>(a十1Dln(a+ 期S4-Sw=24:+(m-1d =72-63=9。 2 2),即ln(a+1)>n(a+2),所以(a+1)->(a+ 2),故正确：故选D 又a=a1+d(m-1).a1a-=9. 2 9.ABD解析：因为a。=a.1十2a,:(n≥3).所以a。十 :4.-a,=14,∴.a1=2,4.=16. a。-1=2a,1十2d。-1=2(a。-1十a.-2), 又a1+Q:=2≠0.所以《a,十a,+1}是等比数列，A正确： ma+an2=135,m=15, 2 同理an-2a。-1=a,1十24-x-2a。-3=-8w-1+ 2a。t=-(a.1一2a.-z）,而a:-2a1=一1， m--1…ama,+99d-101. 14 d- 所以(a+1-2a.}是等比数列，B正确： 若a.-21+(-1 .则，-2+（-D-3,包a4=1≠3， 14.1(o,是]解折：青a=1时)=nr+>0 3 3 C错误 f)=hr+1-子◆Ax-fx,别A)= 由A知，{4。十4,1}是等比数列，且公比为2， 因此数列41十42，心：十4：d:十d6·…仍然是等比数列，公比 为4， 所以(r)在(0，十6∞)上单洞递增，而'(1)=0， 所以S=(a1+a:)十(a:+a1)+…+(am+a)= 所以当xE(0,1)时，f(x)<0,f(x)单调递减：当x =3(4"-1),D正确，故话ABD 2(1-49)2 (1,十∞)时，厂(x)>0,f(x)单调逆增，所以f(.x)极小值 1-4。 为f(1)=1. 周周测数学选择性必修第二册A版 ·58· 若fr≥ar在0.+o∞上恒成立，脚a1-nr)在 0在1.2]上成立，即-号+2+红<0在 (0,十)上慢成立， [1,2上恒成立 ①当1-nr≤0，脚r≥e时，又因为u>0,7>0 <}-x在[1,2]上越成立 即a 所以a1-h)≤在0，+o四上拉成。 令A()=-r∈[1.2，A'()=-当 2x 1 ②当1-lnx>0,种0<1<e时，期a≤r0-nn在 -(片+2a)<0… (0,十∞)上恒成主， 1 六hx)在[1,2]上为减画数，h(x)=h(2)=-子 即a≤(1-lnr= ,只需求出g(x)=x(1一lnx》在 (0,e)上的最大值即可. g'(x)=x(1-2nr),令g'(r)>0,解得0<r<E:令 中实数u的取位范国远(0，一号] g'(x)<0,解保e<r<e, 17.解：(1)由题意知，41=1，a:=41十，4a=d:+2以，a4=a:+ 所以g《x)在(0，wE)上单调递增，在(WE,e)上单调递减，所 3x,.a,=a1+6以，即7=1+6a,.A=1 以gr)-g6)=,所以a≤是-名 e e a,+1一4.=i, u1=1ag-a1=1,a1-a2=2,,a,-a,1=n-1, 上：来a∈(o,] a,=a,+0,-a1+a,-ag十…+4.-a.-1=1+1+ 15.解：(1)点(S。ar1)在直线y=r十1上 2+…+w-1=1+n-1)1+m-D_2-0+2 2 2 ∴a.+1=S,+1,又an=S,-1十1(m≥2，n∈N),两式相减 有a.t1=2a,(m≥2)， 0,-”2-n+2 2 又a1=1,a:=S,十1=2，也适合上式，故a+1=2a。n∈ n一n+2 N°，a1=1, (2)证明：由(1)知，a, 2 山=2，故数到(a,)为首项是1，公比是2的等此数列， 4+1=0a+)°-(n+1D+2 2 即a.=a191=2. an-(日》 1 2 b= (2)b.=log2-1+1=2m,其中(.)的前30项脚6.)的前 36项去掉6个{&，}中的项，有b1=a:,b:=a,b,=41 b。=aa,bg=ag…bt=dt+ .T0=(b1+b1+…+bm)-(a,+a,+…十a,)= 36×(2+72)_2x(1-21206. 品 2 1-2 T.2 16.解：(1)：函数f(x)的定义城为(0，十0)，f'(x)=2x+ 18.解：(1)函数f(x)=xr,求导得f(x)=4r, 24-2x+24 别函数f(x)的图象在点(，y,)处的切线方程为y一y,= 4x(x-x,） 由已知(2)=1，解得4=一3。.f(r) 3 2r+3)(x-3) 令y=0,得，1=工，…周此数列2，是首项为1.公比为 r 当工变化时，广(x),f(x)的变化情况如下： 的等比数到， (0w3) 5 3+o0) 所以工=（受） f(r) 0 f(x) 极小值 ②◆，==n·(径） 由表可知，函数「(x)的单词递减区间是(0w3),单调递增 期5.-1·()+2·（经）+3…（任）+… 区问是(3，+0 (2)南g(x)=2 …() +x2+2alnx得，g'(x)= 2 2+ 于是5.=1…()）广+2…（任）+3…()'+…+ 由已知得函数g(x)为[1,2]上的单调递诚函数， w-w()+…(保)广 ·59· 答案全解全析 两式相减得5，=1+（任）广+()++（民） 是搭，音=吉时，关于用的画数0)- (2n)1 单调递域， 1. 1 1-8 国地5.=16-16+4m)…()广 (2)当>0时，sinr>x- 6 由16-(16+4m)(经)）广≥16-（倍）广，释x≥16+m)… 证明如下： () 令ga)=m-(e-若)e>0.则gx)=o0s一1+ 令d,=(16十4n)· 号rg(x)=-inr+xg(x)=1-cos“g“(r)≥0 =2+0.()广 恒成立，g”(x)在(0，+0)上单词递塘，六g”(x)> 5 g"(0)=0,g'(x)在(0，十∞)上单调递增，g'(x)> 当n≤5时，d+1-d,≥0，即d=d>d,>d>d:>di: g'(0)=0.g(x)在(0，十0）上单调递增.∴g(x)= 当n≥6时，d.-d.<0,即d。>d,>dg>…,划 smx-(-)>go)=0. d,)m=d=d=36·(偏）21.26， 即sinr>x一 所以整数入的最小值为22 (3)由(2)知，g(x)=r°，依题意，方程x1-ar-b=0(b> （3)运明：由超意：m∈N.1<k≤n:得0<十<1，则 0)有且只有两个根e,h(c<h). 令h(x)=x1一ar一B,则函教h(x)有且只有两个零点 c,h(e<h). 1 求导得b'(x)=3x一a,当a≤0时，'(x)≥0恒成立， ◆er)=lhr+1)-9'(r)=市-1= h(x)在R上单调递增，h(x)最多有1个零点，不符合题意， 易得9(x)在（一10）上单调适增，在(0，十©)上单调造减， 从而g(x)≤g(0)=0, >0时>，得<>√ 即ln(x十1)≤x(当且仅当x=0时取等号). )<0,得-√<r<V .0<(++-I(+k-I( 1 尉高量()在(，√侣)(W层+)上单满遍 脚n(m十+)-n(n十)≥”+>0， #:在(-√侣侣)上单满连戏 sin n w+中+百>a+[名（点）] 1 1 当=一√侣时，A()取得机大值（入√侣） 1 6X (n+k) √后-6，当x-√层时，)取得教小值 =1- 2,2,≥1二5×(2m+27=1、 1 (层)-V号-@ 3×(2m+2k-1D·(2m+2k+1) 1/ 函数h(x)有且只有两个零，点，则h(x)的图象与x轴有且 -1-5(2+22n+2业市》 1 只有两个公共点，必有（√号）=0， sinn十k >m-吉( 1n(n十k十1)一ln(n+) 北时6-√写c=√层方程-r-台√层=0， 1 *+√日)(-2√)-0，得=2后所以 1(1 3（2m+百4n+1) =-2.f(）=(-2=16, 1 2n =n一3×(2+1(4m+ 19,解：1)记f(x)=cosx,则f(x)=-sinx,f(x)= 1 2n -cos r.f (r)=sin.f(cos r,.'.cos x =1- 1× 2n 1 >-3×8n十6m= 12n+9得证。 周周测数学选择性必修第二册A版 ·60·