模块综合检测1-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

模块综合检测一 (时间：120分种分值：150分》 一，透择是本恩其8小题，每小题后分，共40分，在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合愿 日要求的 1,设盐线y=一x十1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,期g= A.0 弘1 ,2 ,3 2.已知正项等比数列{a.}的公比为g,若aa:=4@i,群公比2 x诗 C.厘 D,2 1,出线「x1=脑x+2在点0，f(0)处的切线方程为 ,￥=2 且y=一x+2 C,y=十2 0,x=0 4在等差数列{4.}中，若4，-84,4，一，周使1.0，且，1的n为 A.21 L22 C.23 D.2 五，已知州数fr)=r”一：，若「(e)在区间(2w:碳十1)上单褐强减，期实数m的取值范国是 A一1花M≤1 孔一1<w C.一1<w<1 D.-1m<1 成一质点敏直线写动，登过秒后的位移为5一宁一十，测造度为零的时刻是 A.1秒未 队4秒末 ,1秒与4秒末 ,日秒与4秒末 ?.【周解原经是中国最古老的天文学和数学看作，它揭示日月是辰的运行规律.其记载”团阳之 数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，那七十六岁，二十都为一遂，递千百五二十岁”，现恰 有3人，使门的年静（霉为正整数）之餐恰好为一邃(150》，北中军长者年险介于的至100， 儿余29人的年龄然次相整一岁，则最年轻者的年龄为 A.32 C.8 D.35 8.若希数f一信不一r在(0，十o)上有两个零点，增实数：的取值范期是 o c位 片引 二，选择瑟（本恩共3小露，每小盟6分，共门书分.在每小恩给出的选项中.有备项蒋合罩日要术 全都选对的得后分，部分遮对的得部分分，有选蜡的得心分) 经板复巴知正实数m:情是。严=云则下对不整式可能版立的有 A.解mC1 且nw<1 C,】用 D.I<nm 10,在公比为聚数的等比数列.中，S。量数.》的《n项和，若十g,=18,w:十，■1？ 刚下列说法正确的是 A.g=2 B数列g。I是公差为2的等差数列 C查列品的钱：项和的最大直为 D数列15.十2引是等比数列 1L,已知商数了(x》是奇用数，当x之0时，（于一《x)>1,(1)=3,则 Af641>ef(31 ,-4)>f(-2) Cf841>4e-1 0-4)<-12-1 透择题苦题栏 赠号 2 1 8 10 苦常 三，填空题（本题共3小题，每小驱5分，共15分】 t2.已知等差数列4。调是a1一2，a:一5.则a. 3.一面幕墙，三面用栏杆围的一个距基场地，如果栏杆长40m,要使围成的场地面积最大，则常 墙的边应该是 m. 14若一个等比数列{。)有无穷多项，并且它的公比g调品g<1.称.为无第递留等比数列， 规定，无穷缝第等比数到a0《,…听有项的和5一气司∈N任子：天 下面中写道一尺之楼，日取其牛，万能不写，其中题务了关系：号+片官十十+…一 类似可以将一个无限新乐小数表示为分数，即0,151515… 国，解答题（本是共8小题，共？分，解苦应写出文字说阴，证阴过程或演短步骤） 15.(木小题调分13分》设雨数/(：)一r一6z+5,x∈N. (1)求了()的单到区间和极植： (2)若关干：的方程/（工）-a有3个不同的宴根，求实数u的取值葱属 风块等合校到 16,《本小避清分1面分)某学习批件以数学▣为题目设置了一项模关游戏，共有15关.每过一美 可以得到一定的供分，现有三种积分方案保风关者选箱。方案一：每国过一关均可张很和积 分：方案二：候过第一关可获得五积分，后面每美的积分都比的一关多在：方案三：闻过第+关可 获得0,5积分，后面每关的积分都是偷+关积分的2倍，若某关阳关失取填停止曾戍，量终积 分为闻过的各关的低分之和，授三种方睾风过w(1n15且n∈N”》关后的祖分之和分别为 A-B,,C.,要求四关青在开始的要透桥分方案， 求出A。,B.C.的表达式 《2)发获得尽量多的积分，如果保是一个佩关青，试分析这几种积分方案孩如何这样草小明通 过试验后觉得白己至多能阀过15关，则他皮该达师第儿补积分方案1 .木小题满分15分已知函敢-鱼3+(1一兰+导 《1山当M-0时，求由线y=fx)在点1，f《1)》处的切线方程： (2)若对任意上∈(0,1)，不等式f()>0恒载文，承正整数“的量个值 州风周数学，及择性必修第二贡A餐 18,「本小题端分17分已知数列{a.的前n项和S。=▣，等比数列16，}的前n项和为T,公比 灯41且6.-26=4，-264.=30， 1)求数列{a。],b}的通项公式： (2)记Q.=46,+“b,十…十ub.,是否存在正整数m,1<m<卡)，使得Q。是Q:与Q 的等差中项？若存在，求出所有m,的值：若不存在，请说明里. 座 19.【本小延黄分17分》帕德近红是达同数学案享利·帕德发明的用有理多项式近红转定函数的 方法给定两个正整数w,探，风数了(r)在？一0处的[对，n1阶轴能近红定义为：取（于》一 1中+十.元且躺足/01=0fo1=R'0广0)=R(0的，一，t0)= 4十1十十4于 R04生：f（x)=广r]',广》=[广《r),f"a=[f严)]'，mr)= r“),,x)为“r1的导数.已知fr=+1在r=0处的[1，l阶 近似为(r-干后 (1)求实数m,w的值： 12)证明，当30时，/（±)3x(x2: a)设。为实数，讨论方程了1一受4：)=0的新的个数19.解：1)易知单位圈上圆心角为60的圈孩△9=3，△= 晋×1=号， (2)由fx)=1(x>0)可得，f'x)=- 1 又x)=f(x)可择，(x)=昌 所以K= 'x) 1+[(xF) [+(2灯 2 r(+)+)(+) 时等号成立； 所以K 22=2 2222 申曲线y=)的曲单的菜大值为号 (3)证明：由g(x)=6x1nx-2ax-9x2可得，g'(r)= 12rIn x-6ar-12+. 记g:(x)=g'(x),则g(x)=12lnx-12ax: 同理由h(x)=2xe一4e+ar2可得，h'(x)=2(x+1)e 4e'+2ar, 记h,(x)=h'(x),则h(x)=2xe十2a,当g(x),h(x)曲 奉为0时，即g'(x)=0,h'(x)=0,可得lnx一ar=xe十 a=0, 化简可得= ,d=一xe。 令(x)=血二，x>0,别px)=1h上，由x)=0可 得，x=e, 则当x∈(0，c)时，g(x)>0,此时p(x)单调道增，且 s(r)<p(e)= e 当x∈(e,十∞)时，g(x)<0,此时9(x)单调递减，且0< 所以如(x)的图象如图所示。 又a∈(0，），结合gx)的围象可得a=gx)有两解。 设这两解分别为x1,工1，且1<x1<c<x· 周周测数学选择性必修第二册A版 5 又a-_-c心he 因为工1x:最小，所以工1=e Inxi-axi=0 nx=,te(01, lInr,-ar=0 可设t一nx1 In z In(tr,) In r =t,In t+in =tin) In t 化药可得1n工二则n工，一气 要运>，啤证,>， 中如+h>营色野+ F= (2:+1)nt、8 1-1 ->3 8(-1) 即证ht一32+元<0. 令m)=h1品1e0D,则m')= 8(1-1) 8 (2t+1)2-8t(21-1)1 21+1)t2+1)-2+1720, 所以m()在区间(0,1)上单调递增， 故mt)<m小)=0，故<e克 模块综合检测一 1.D解析：令f(x)=ax-ln(x十10f(x)=a市 .f(0)=2,解得a=3. 2,B将折：由a,=a=,得对-兰=又>0，片以 1 g=2 3.C解析：：f(x)=sinx+2的导数为f'(x)=cosx, ∴f'(0)=1. :f(0)=2,∴.曲线f(x)=sinx+2在点(0，f(0)处的切 线方程为y一2=r,即y=x+2,故这C, 4.B解析：公差d=a2一a1=一4， .a.=a1+(m-1)d=84+(n-1)(-4)=88-4n. 令≥0，中 88-4n≥0， la1<0, 88-4(n+1)<0 →21<n≤22.又：n∈ N,.n=22. 5,D解析：因为(x)=3x-12=3(x+2)(x-2),令 f(x)<0→-2<x<2,所以函数f(x)=r1一12x的单调 违诚区间为（一2,2），要使f(x)在区间(2m,m十1)上单调递 减，别区间(2m,m十1)是区间（一2,2）的子区间，所以 2m≥一2， m十1≤2，解得一1≤m<1,故透D. m十1>2m, 1 5 6.C解桥：因为S=3-2t+1,所以S”=1-5十4 令2一5t十4=0.解得=1或t=4, 所以追度为零的时刻是1秒术或4秒末，故选C, 7.D解析：狼据题意可知，这30个人年龄之和为1520，设年 纪最小者年龄为n,年纪景大者为川，m∈[90,100]，则有 n+(n+1)+(n+2)十…十(m十28)+m=29n+406+m= 1520. 则有29n十m=1114,别m=1114一29n,所以90≤1114 29m≤100， 解得34.966≤N≤35.31，因为年龄为整数，所以n■35.故 选D. 8.B解析：函数的定义战为(0，十∞)， 由fr)=lnx-ar=0,得a-山工】 ,别g'(x)1-ax 设gx)=lnx x 今g'(x)=0得，x=e 当x∈(0，e)时，g(r)>0,g(r)单调递增： 当z∈(e,十oo)时，g'(r)<0g(x)单调递减， 故当工=e时，g)取板大位@)=合 又事x→0时，g(x)→-o;当x→+oo时，g(x)→0， 六要使画数fx)=n上一ar=0有两个零，点，即方程血上 a有两个不同的根，如图， 2 即画数R(x)与y=a困泉有两个不同交点，即aE(0,。）】 具ACD解析：由”2-=二，可得m十2如m=十h元 f(r)=r+2n)=x+4ln. 由于函数y=x,y=lnr,y=x均在(0，十o∞)上单调递增， 故f(x)=r2+2nx·g(r)=r+lnx均在(0，十o∞)上单 调递增， 记h(x》=f(x)一g(r)=x-2lnr-r,则h(x)=2x 2-12红2 令（)=2012>0，得x>±厘，故(x)在 4 (仕严，+一)上举祸选瑞。 令)-212<0，得0<工<1+厘，故hx)在 (,中严)上米调是减：对=+严是()报小 值点。 而h(1)=0,h(10)=90-21n10>0,故存在xm∈(1,10)，使 得h(x。)=0, 故当x>r。时，h(x)>0,即f(x)>g(x): 当1<x<x时，h(x)<0,f(x)<g(x): 当x<1时，f(x)>g(x), 故作出f(x),g(x)的大致图象如图. ·5 =) 由图可知，当f(m)=g(n)时， 由f(m)=g(n》>f(x。),可得1<m<n: 由f(1)<f(m)=g(n)<f(x,),可得1<n<m: 由f(m)=g(n)<f(1),可得m<n<1.故这ACD 10,AD解析：由等比数列的通项公式得 fa1十a,=a1(1+g)=18, a2+a1=a,(g+g)=12, 解得/1-2， a1=16, 1 g=2 q= 又公比9为整纸，所以二2·所以a.=41·g=,故 9=2. A选项正确 又gam=lg2”=mlg2,所以数列{lga。}是公差为g2的等 差数列，故B这项错误： 数列日}是以宁为首境，号为公比的等比截列，所以臂刀 la. 项和为T。= 1-立 错误 因为5，十2■21，所以{S,十2》为等比数到，故D选项正 确.故选AD. 11,ACD解析：图为当x>0时，'(r)一f(x)>1,所以 f(x)-fx)-1>0,即)-[f)+山>0，所以 rx+1>0, 令g(x)=fx)+ 。,则当>0时，g'()>0,通数g(x) 单调递增， 所以g)>g3,即/)+3)1，化简得0> e ef(3)十e-1>ef(3),故A正确： 里x)>g(2,即)+中>2)中，化简得f4> e e e2f(2)+c-1>ef(2), 所以-f(4)<一心2f(2),又f(x)是奇函数，所以f(一4)< e2f(一2)，故B不正确： 又g40>g1),即4)+111)+1 又f(1)=3,化商 e 得f(4)>4e-1,故C正确： 由C选项的分新得了(4)>4e一1>4e十1，所以 -f(4)<-4e-1.又f(x)是奇函数， 以f(-4)<-4e-1,故D正确，敌选ACD. 号 解析：设等差数列{a,的公差为d,又a1=2,a=5, 3 ÷a,=a1十2d=2+2d=5,解得d=2 故a,=a1+5d=2+5x2=2 319 答案全解全析 13.20解析：设靠墙的边长为x(0<x<40),则矩形的面积为 5(x)=r(40-x),则S'(x)=20-x.令8'(x)=20 x=0,得x=20.当x∈(0,20)时，5'(x)>0,肿5(x》在(0， 20)上单调递增：当x∈(20,40)时，S'(x)<0,即S(x)在 (20,40)上单调递减，所以当x=20时，S(x)取得是大值， 所以靠墙的一边长为20m时，面积最大】 14.133 11 …++= 2(号)+（份）广++（分》+=三 1一2 0.51515…=品+品()+品()广+…+ 15 )+…= 1005 1=33 一100 15.解：(1)f(x)■3(x-2). 令f(x)=0,解得x1=一E,x:=E. 当x<一√2我x>√2时，f'(x)>0: 当一√2<x<2时，f'(x)<0, .虽数f(x)的单调递增区间是（一∞，一√2），(2，十∞)， 单调遥减区间是（一2√2）， .者x=一√2时，f(x)取得极大值为f(一√2)=5十4巨： 当x=√2时，f(x)取得极小值为「(2)=5一42 (2)令g《x)=f(x)一4+则g'(x)=f'(x). 由(1)可科g(x)的规大值为5+4√2一a,根小值为5 4/2-a. ”g)=0有3个不同的实根，故5+42-u>0, 5-42-a<0, 解将5-42<a<5十42， .当5-42<a<5十4E时，直线y=a与y=f(r)的图 象有3个不同交点， ,实数a的取值范围是(5一4√E,5十42). 16,解：(1)控方爱一间过各关所得积分构成常数数列，故 A.=40n: 按方案二同过各关所得积分构成着项为5，公差为5的等差 数列，故B,=5m+nn,一D×5=5n十5m, 2 2 接方蜜三闲过各关所得积分构成首项为？，公比为2的等 1 1-2)1 比数列，数C。= 1-2=22”-1). （2)令A.>B.,牌40m>n十，解得0<n<15, 2 而当N=15时，A.=B., 又国为n≤15且r6N”,故A.≥B。恒成主， 故方策二不予考虑： 令A,>C.,即40m>之(2-1D,解释0Cm<10, 故当0<2<10时，A.>C。: 周周测数学选择性必修第二册A版 ·5 当10n15时，A.<C., 故当能间过的关数小于10时，应选择方案一： 当能阅过的关数大于等于10时，应选择方案三： 小明应这法择方堂三。 17,解：(1)当a=0时，f(x)=xlnx十x,别(x)=1nx十2， .切线的斜率为k=了(1)=2，又f(1)=1, .所求切线的方程为y1=2(x-1),即为2x一y一1=0. (2)当0<<1时，fx)>0.整理可得u>1xnx十2 x-1 ◆g(x)=lnx十x 1-1,xe(0,1),则g'(x)=nx-3 (x-1) 令h(x)=r-nx-2,则h'G)=1- 由h'(x)=0,解得x■1， 当0<x<1时，h'(x)0,函数h(x)单调递减. a=-1<0h(付）--h吉-2-吉>0， 1 1 h(x)在区间(0,1)上存在一个零点xa, 北时h(ra)=r。一nx。一2=0，聊lnx。=x。一2. 当0<x<x。时，h(x)>0.则g'(r)>0,函数g(r)单调 递增； 当x。<x<1时，h(x)<0,则g'(x)<0,函数g(x)单阀 递减， 六gx)有极大值，脚最夫值为g()=血十工 x。一1 xa(xa-2)十x6 =上a” 则a>4x。恒成立， ,x。∈(0,1)，，正整数a的最小值是4. 18.解：1)当n=1时41=S:=1: 当#≥2时，4.=S。一S。1=n一(n一1)=2m一1， 当n=1时，等式也成立， .级列{a.}的通项公式为a.=2n一1. 在等比数列{6.}中，b,一2b=b1一2b:, 肿b:(g-2)(g-1)=0,义b:*0且g1. b1(1-2) ∴g=2,T,= =30. 1一2 b1=2,.b.=b1g=2". (2)Q.=1×2+3×2+5×22++(2n-1)·2”①， ①×2得，2Q.=1×2+3×2'+5×21+…+(2n-3)· 2”十(2m-1)·2+②. ②-①得.Q=-2-2×2-2×2-…-2×2+(2m-1)· 2*1=(2m-3)·2+1+6. 3Q,=3×2=6,Q=(2k-3)·2+1+6,Q=(2m-3)· 21十6， 若2Q=3Q,+Q,别2(2m-3)·2++12=6+(2k-3)· 2+1十6， ∴.2(2m-3)·2+t=(2k-3)·2+1, 2- ③， .4m一64k-6 又1<m<k2一≥2，然而2-3<2k-3=2 .③式不成立，故不存在这样的正整数m,k,使Q.是3Q 与Q,的等差中项. 19.解：(1)由f(x)=ln(x+1),g(x)= mx,有f(0)= 1十n,x g(0), 可知了'(x)= 1 f（x)=+DR)= 一2mn 1十gx)-+ 由题意，得'(0)=g'(0),f"(0)=g"(0): 所以/m1, m=1, 解得 1 -2mn=-1, （2)证明：由(1)知g（r)=十2 2x ()-f(r)-g(r)-In(+1)-r +2r≥0)， 别9'x)=r中x+27-上+1)0x+2T≥0， 所以9(x)在其定义城（一1，十©）内为增画数， 又e(0)=f(0)一g(0)=0, 所以当r≥0时，g(x)=f(x)一g(x)≥g(0)=0,得证， （8)◆Ax)=x)-号x)=lnG+D-f 十2财其定 义城是（一1，十∞）， 12a x2+(4-2a)(x+1) Mx)=+市x+2y=+1)x+2 ①当a≤2时，h'(x)≥0，所以h(士)在（一1，十o)上单调逆 增，且h(0=0, 所以h(x)在（一1，十©）上存在1个零点： ②当a>2时，令t(x)=x2十(4-2a)(x十1)=x十(4 2a)r+(4-2a), 由t(x)=0,得x1=(a-2)-/a-2a<0,x:=(a-2)十 a-2a>0. 又图为t(-1)=1>0,t(0)=4-2<0,所以存在∈(-1， 0),x∈(0，+o). 当x变化时，h'(x)与h(x)变化情况如下表： (-1,x1) (1x） T: (x:,十c) h'(x) 0 0 单调 极大值 极小值 单调 h(x》 单调遁减 遥增 h(x:) h(x,) 递增 当x∈(x1,x:)时，因为h(0)■0，所以h(x)在(x1,x》上 存在1个零，点， 且h(x:)>h(0)=0,h(x:)<h(0)=0: 当x∈（一1，r1)时，图为h(e“一1）=lne· 4(e7-1)-2ae e十1 +1<0, 一1<e·一1<0，而h(x)在（一1，x1)单调递增，且 h'(x:)=0 而h(e“一1)<0，所以一1<e·一1<x1,所以h(x)在 (一1，x1)上存在1个零点： 当x(红十o∞)时，因为h(e-1)=lne-a(c- c+1 年>0 ·5 e-1>0,而h(x)在(x:,十oo)单满遁增，且h'(x:)=0,而 h(e-1)>0. 所以c心一1>r2,所以h(x)在(x:,十o)上存在1个零点， 从而h(x)在（一1，十©）上存在3个零点. 综上所建，当a≤2时，方程fx)-受r)=0有1个解： 当a>2时，方程fx)-受gx)=0有3个解. 模块综合检测二 1.C解析：国为{a.}的通项公式为a.=2n一1，而当n≥2时， b。=a4-,又b=2, 所以b=a%,=a1=3,b=a=a=5,b=a,=a1=9, b:=ak,=a,=17,b,=a.=an=33, 2.A解析：周为(x)=2 rcos x一'sin r 所以切线斜牵k=f'(π)=一2π，而f()=一π2， 所以所求切线方程为y十r=一2：《x一π》，即y=一2rx十 π，故选A. 3,B解析：由等比数列的性质可知，数列S,S,一S,S, 5,S:-S,是等比数列，即数列4,8，S,-S,S4-S,是等 比数列，因北S:■4十8十16十32-60，枚选B. 4.B解析：因为f(x)=r3+5r十ar,所以f(x)=3x十 10r+a. 由条件知，x=一3是方柱(x)=0的实数根，所以=3. 所以f(x)=x'+5r+3x,f'(r)=3r2+10r+3=(3x+ 1D+3我.◆f>0.解释>-或<-3年/ 在（子十）和(-，-3)上举捐递增：令f)0,解 得-3<<-了，甲fx)在(-3，-号)上单调递减，所以 ∫(x)在x=一3取得极大值，满足条件. 5,C解析：由题意可知，4。一2既是3的倍数，又是5的倍数， 所以是15的倍数，即a。-2=15(m一1)，所以a.=15H一13. 当#=135时，a10=15×135-13=2012<2021: 当#=136时，a13=15×136-13=2027>2021, 所以m=1,2,3,…,135,数列{a.}共有135项，因北数列中 间项为第68项，且4：=15×68一13=1007，所以中间项的 值为1007.故选C. 6,A解析：函数f(x)的定义裁是(0，十o∞)，f'(x)=1一 上=-1 令f'(x)<0,解得0<x<1:今(x)>0,解得x>1, 所以虽数(x)在(0,1)上单湖递域，在(1，十∞)上单调 递增， 所以函数「(x)的最小值是了(1)=1，所以a=1, 函数g(x)=xe-lnr一x的定义域是(0，+∞)， g'e)-+1e-士-1-e-. 令h(x)=re-1,则h'(x)=(x十1)e>0,x∈(0，十oo): 则可得h(x)在(0，十∞)上单调递增，且h(0)=一1<0， 4(1)=e-1>0, 所以存在士，∈(0,1)，使得h(xn)=0,即x6e0=1,即x1十 In r=0. 答案全解全析