周测9 导数在研究函数的极值中的应用-【蓝海启航·启航金卷周周测】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

周测9导数在研究函数的极值中的应用 (时同.0分钟分佳00分》 一、法择瑟（本器共5小器，每小题5分，共5分.在每小留给出的四个头项中，只有一项最杯合置 日要求的》 。所数一号的极小镇为 A.0 C.2 D.4 餐郑2.雨数-上+2s在0专上的极大值点为 A.0 3.雨数Cr1=(x一2re的图象大致是 中和 4,若x=1是两数《于)e一F的楼植点，方程/x1=在，十4)上的不可实个的数为 A.I 肽2 C.8 D.0 1.已知雨数「：1 一宁一子+有多个不用的零点，则：的取值意阳是 e言ol B.(-]Ut0.+a 二，达择题（本题共3小题，每小题6分，共1B分.在每小哑输出的国个选项中，有多项是杆合题日 要求的，全韩进对的得5分，选对但不全的得2分，有选精的不得分) 8,已知函数f(r1-1n十4)十r一10x,下列说法王确的是 A.了一8是两数《x)的极值点 板 我雨数f《rJ的单码避错区司为（一，1）U《3,+=) 二f(x)在1，》上单运减 D,直线y一16引b8一16与f(x)的图象有子个父点 了.设f广)为两数f的导数，已每rf小+/红》=血1，=了粥下增结觉正确的是 A士f(x)在(1，十o单调通增 且/（年》在(1，+o)单褐强减 Cf:在0，+四上有极大值亏 Df)在0，+=)上有极小值写 8,已知函数(x》=十mx,则下列说达证确的是 Af《x)有且只有一个极值点 民设g(x》-f(r)·/一x),则g《a)与了(x>韵单到性相同 C/(士)有且只有两个零点 业)在6]上单调道 选择题箐愿栏 显号 7 苦率 三、，填空题本题共4小题.每小蓝5分，共0分) 9.已如了一2是《x)一x一34x中2的极小雀点，则雨数.r)的板大值为 10.若函数了《x》=2:一B上+1在其定义城内的-一个子区同(a-1山十1)内存在慢值.则实数。 的取值范用是 L.若函数f(x》=x3十2十z+a在1=1处取司极催10，则a= 已.当：>0时，两数《)=2-一心十m有两个极值点，则实数m的取值他用为 四，解答霜{本题共3小题，共37分，解答应写出文字说用.证用过程发演算香骤) 13.(本小题满分12分)在f(一1》--4，(1)-0：②1)-0，/'(0)=10f(r)在一上，f一1》》 处的切线方显为y一&+4这三个条件中任选一个，补充在下面问思中求解. 已知南数f(r》=十r十r,且 1)求4,6的值： (2求雨数了(：》的极小值. 往，若透择多个条作分别解答，，按第一个解答计分， 9 阔测导数在所究函数的极值中的应用 1.《本小避表分2分已知函整f)一n十x(g+x十山， 《1当a=用时，R由线y=(在点(，/《2》处的切线方程： (?)若函数f:1在x=1处数得极小值，求实数“的取值蔻国 州风测数学及择性必修第二青A餐 15.「本小题满分13分已知m数/(F》=(x一2》e一g(x一1)，aE鼠 (1)付论f(x约单到性： (2)若了（上》有两个零点：求a的取值急围 多 ·0·周测9导数在研究函数的极值中的应用 1A期折：由f)=子释了)-产 (e)2 -x(a-2) e 当0<x<2时，f(x)>0,f(x)单调递增：当x<0或x>2 时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当工=0时，品数f八)=号取得机小位，技小位为 0 0)==0.故透A 2.C解析：函数y=r十2cosx的导数为y'=1-2sin工， 因为x∈[0，受]由y=1-20=0,可得血=分解 得r=若 当xe[,）时>0：当x(倍]时y<0, 所以画量y=江十200工在0，晋)上单调递增，在 (后受]上单调递减， 所以使得面处y-r十20sr在[0，受]处取得板大位的： 的值为，故选C 3,B解析：f(r)=(2x-2)e十(x2-2r)e=(x2-2)e. 今'(x)>0,解得x>√2成r<一√2 令f(x)<0,解得-E<x<√2， 所以f(x)=(x-2x)c在（一∞，一反）上单调通道增，在 (一厄，2)上单谓通减，在（厄，十∞）上单调递增，所以 「《x)的两个极值点为士√厄，排除选项A和选项D, 当x<0时，r-2x>0,e>0,所以f(x)=(x一2x)e恒 为正，排除选项C,即只有选项B符合要求，故选B. 4.A解析：由(x)=e-a,得f'(1)=e-a=0,所以a=e, f(x)me'-ex. 当x>2时，f'(x)>0,所以函数f(x)在(2，十o)上单调 递增， 又f(2)=e-2e<e,所以函数y=f(x)与y=a的交点的 个数为1.故选A. 5.A解析：由条件得f'(x)mr2十3x■x(x十3). 令f(x)>0,可得解集为(-0，-3)U(0,+o∞)： 令'(x)<0,可得解集为（一3,0）， 时f(x)在（一9，一3）和(0，十o》上单调递增，在（一3,0》上 9 单满递减，又f(-3)=2十c,/0)=,要使fx)有3个不 9 同的套点则c<0<三+c,所以-号<c<0.故话A 6,ACD解析：由f(x)=16ln(1十x)十r-10x(x>-1) 可得， 5 f)=片+2-10=+》0t》+6 r十1 (x-3)(2r-2) +1 南f红)=红一32-2>0可得，-11<1或x>3: x十1 由(x)=3》2-2<0可祥，11<3. x十1 所以f(x)在（一1,1）和(3，十上单调递增，在(1,3)上单 调递减， 所以工=3是函数f(x)的极小值，点，故选项A正确： 单调逅增区间为（一1,1）和(3，十)，不能写成并纂，故选项 B不正确： f(x)在(1,3)上单调递减，所以「(x)在(1,2)上单调递减， 故选项C正确： 图为(x)的极大值f(1)=16ln2十1-10=16ln2-9, f(x)的极小值f(3)■16ln4十9-30=16n4-21, 因为f(2)=161n3-16, 且f(x》在(1.3)上单调递减，所以f(3)<f(2)<f(1), 所以直线y=16ln3一16与f(r)的图象有三个交点，故选项 D正确。 7,AD解析：因为r>0,故由xf(r)+xf(x)=lnx可得 x(x)+f()=nx,所以[xfx]=h三 In 令g(x)=xf(x),其中x>0,别g'(x)= 当0<x<1时，g'(x)<0,此时画数g(r)=xf(r)单词 递减； 当x>1时·g'(x)>0,光时品数g(x)=xf(r)单调递增， 所以函数g(x)=xf(x)在(0，十o∞)上有极小值g(1)= f0)=分故选AD, 8.ACD解析：由题知，f'(x)=2x十cosx,令h(x)=f(x), 则h'(x)=2一inx>0,所以(x)=2x十cosx在R上单 调递增，当：=0时，∫(x)=1>0:当x=-是时 f)=-1+o<0,所以存在，∈(）使得 f'(x)=0,所以函数f(x)=x2+sinx在(-o0,x,)上单 调递减，在(x,十©)上单调远增，所以f(x)有且只有一个 板值点，故A正确： 周为f(一x)=x2-sinr,所以g(x)=f(r)·f(一r)= x一sinx,易知g(x)为偶函数，而f(x)为非奇非偶函数， 所以g《r)与f(x)的单调性不相问，故B错溪： 因为f(x)有且只有一个机小值点，，∈（是0小且 f0)=0,所以f(x)在(-0，x)和(x。·十©)上各有一个零点. 所以x)有且只有两个零点，故C正确： 因为y='与y=n于在[0，受]上都单调遂增，所以 f=细在[]上华调睡增，收D医真 答案全解全析 9.18解析：因为f'(x)=3x2-3a, 由题弦可得°(2)=12一3=0，所以a=4,(x)= 3x1-12. 当x>2或x<一2时，'(x)>0,西数f(x)单词递增：当 一2<x<2时，f(x)<0,西数「(x)单调递减，故当x=一2 时，虽数取得极大值「（一2）=18. 10.山，）解析：由题意知，画数的定义城为(0，十∞， fx)=红--二在区间(a-1a+1)上有零点， 所以x=2∈(a-1a十)， 所以a-1<宁a十1，解得-宁<a<号， 3 又a-1≥0，所以1≤a<2: 11.4一11解析：f(x》=3x十2ax十b,依题嘉得 f(10=10,a+a+b=9, 即 f'(1)=0,2a+b=-3, 好公4s 当a=-3,b=3时，f(x)=3x2-6r+3=3(r-1)≥0， 故f(r)在R上单调递增，不可能在x=1处取得极值，所 a=-3. 以{6=3不排合题意，应合去 当/0， 当公-一11时，经检龄持合婚念，故a6的值分别为 4.-11. 12.(贷，十）解析：国为f(x)=2-e+mr有两个极 值底， 所以了'(x)=一e十2mx=0有两个不同的实数根， 即m一云有两个不间的实数根， 等价于y=加与y一云的因象有两个不同的文点 设A)-2c>0),附6✉)x>0. 2x2 当x∈(0,1)，h'(x)<0,h(x)单调逆减： 当x∈(1，十o),h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以6)=h()=受 当x→0，h(x)+十co:x+十oo,h(x)→十o, 所以y=阳与y=云的国象卖有两个不同的交点，只 需m>台 13.解：(1)远捧①，：f(x)=x3十ar十hx 则f'(x)=3z+2ar十b, 南已知可得一D=-1+a-6=-4. f'(1)=3+2a+b=0. 解得/0=2 lb=1. 周周测数学选择性必修第二册A版 ·46 遮释②，f(x）=x+ar2十br, 则'(x)=3x+2ar十b. f(1)=1+a+b=0, 由已知可得广(o)=b=1: 解得加一2， lb=1. 速择③，：f(x)=x3十ax2+r, 则f'(x)=3x+2ar+b :函数f(x)在（一1，f(一1）)处的切线方程为y=8r十4， 解得/一2， b=1. (2)由(1)得f(x)=x-2x+x,.(x)=3x-4x十1， 由f'x)=0,得x=3x=1. 当x变化时，f'(x),f(x)变化情况如下： 1 3 1 3 (1,+0∞) f'(r) 0 0 f(r) 极大值 板小值 六函数f(x)的凝小值为f(1)=0 14.解：)当a=0时，/x)=立x-x十1. 所以(x》=x一1， 所以切线的钟率长=(2)=1， 因为f2)-号×2-2+11 所以切线方程为y=x一1， (2)最数f(x)的定又城为(0，十0∞). 周为f)=alhr+名-a+iDr1. 所以fx=是+x-a-1a+r+ 令了(x)=0,即x-(a十1)x十a=0,解得r=1成x=a. ①当a≤0时，若x或化，则了'(r),f(x)的变化情况如 下表： (0,1) 1 (1,十∞) f(x) 0 + f(x) 极小值 所以当x=1时，f(x)取得极小值， 所以a≤0成立。 ②当0<a<1时，若x变化，则f(x),f(x)的变化情况知 下表： (0,a) (a,1) 1 (1.+o) '(x》 0 0 f() 板大值 城小值 所以当r=1时，∫(x)取得校小值， 所以04<1成立 ③当a=1时，f(x)0在(0，十o)上恒成立， 所以函数「(x)在(0，十©)上单调遂增，凌有极小值，不 成主 ①当a>1时，若x变化，则f(r),f(x)的变化情况如 下表： x (0,1) 1 (1,a) d (a,十oo) (x) 0 0 + f(z) 极大佳 极小值 所以当r=1时，厂(x)取得极大值，所以a>1不成立. 综上所述，a<1. 15.解：(1)f'(x)=(x-1)e-2a(x-1)=(x-1)·(-2a). ①当a0时，由f(x)=0将，x=1. 当x∈(-0,1)时，f广(x)<0:当x∈(1，十o∞)时， (x)>0, 所以∫(x)在（一oo,1)上单调递减，在(1，十c)上单调 瑾增。 ②当a>0时，由(x)=0,得x=1或x=ln(2a). (1)当lh(2a)<1,甲0<a<号时，x∈(-0，ln(2a)和 (1,十oo),f'(x)>0,f(r)单谓递增：x∈(1n(2a),1), f'(x)<0,f(x)单调逆减. (I)当1n2a)=1,即a=号时，fr)=(红-10…(e- e)≥0恒成立，所以f(x)在（一o0,十∞）上单调递增， ()当ln(2a)>1.即a>乞时，x∈(-∞，1)和(n(2a). +oo),(x)>0,f(x)单调递增tr∈(1，ln(2a),f'(x)< 0,f(x)单调遁减. 综上可得， 当a≤0时，f(x)在（一o,1)上单调递减，在(1，十o)上单 调递增： 当0<a<受时，r)在(-m,lh(2a).,+o)上单调递 增，在(n(2a),1)上单调递减： 当a=三时x)在（一0，十o©）止单调递增： 当a>2时，f(r)在(-o,1D,(ln(2a),十oo)上单递增， 在(1，n(2a))上单调遥减. (2)①当a=0时，f(x)=(x一2)，所以f(x)只有一个零 点，不特合题意： ②当4>0时，由(1)知 (1)者a=受时，fx)在(-0，十o∞)上单调递增，f(r)不 存在两个零，点，不特合题意： （)当0<a<之，f(x)在(1，十∞)上单调造增，又当x≤1 时，f(x)<0,故f(x)不存在两个客点，不符合题意： ()当a>2时，f(x)在(-，1)上单调递增，在(1， ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),十oo)上单调遂增， f(x)tka■f(1)■一e<0, 故∫()不存在两个零，点，不特合题意： ③当a<0时，由(1)知，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在 (1,十)上单调递增， 又f(1)=一e<0,f(2)=一a>0.所以f(x》在(1,2)上存 在一个零点 取6满足6<0，且6<1n(-受） 则f(6)=(6-2)-a(6-1)>- 6-2) a6-1r=-ab-）>0, 所以f(r)在(b,1)上也存在一个零，点， 所以当a<0时，f(x)有两个零点. 棕上可得，的取值范围为（一∞，0）。 周测10导数在研究函数 的最大（小）值中的应用 1.B解析：由f(x)=6F-x'十6，x∈[0,4]得f(x)= -3x-31-xF) 3 由f'(r)=0可得，x-1,当x∈(0,1)时，f'(x)>0:当x∈ (1,4]时，f(x)<0, 所以f(x)的权大值为f(1)=11. 又国为f(0)=6,f(4)=一46，所以f(x)的最大值为11，最 小值为一46，所以最大值与最小值之和为一35，数速B. 2.C解析：函数f(x)=x+alnx(x>0),则f(1)=1+ aln 1=1, 且f红)=2+兰，所以广)=2+a, 所以f'1=D0-1=2+a,解得a=-1. 1-0 所gf)=-nr>0f✉)=2a-子 单调递增。 所以f(x）m=/ )-)---h-+ h2极选C 1 3,D解析：由e一asin r=0得，asin x=e, 因为xE0,,所以sn>0,因光a= 一只有一解。 令x(x)=C 0<r<0,则g'(r)=c（simr-c0s主 sin sin'r 由g'(工)=0得，x=工 4 当0<r<平时，g'(x)<0:当号<x<元时，g(x)>0,所以 gx)m=g(）=Ee 当x→0或x→π时，都有g(x)→十o, 图此a=厚e.故选D. 答案全解全析