周测12 抛物线-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

周测12抛物线 〔时间，60分钟分信100分) 一，法择题《本整共5小题，每小题石分，共25分，在每小赠给出的四个选项中，只有一项是符合题 日要求的》 1,抛物城y=wr的焦点为F,点P2,?反)在武抛物线上，M为规段'F的中点，侧点M到谈抛 物线摩馒的臣距两为 A B C.2 2.设F为抛物线y=r的你点，A,4,C为该抛物线上三点，若下+F可+下一0，刚F+ F+F花等干 A.9 队6 C,4 D,3 .已知过物线y一2rP>0》韵点F韵直线交物于A,B两点，瘦AB的长线安地 物线的准线/于点C,若C=2,FH1=1,图AF1= A.2 .3 C.6 D.8 4,已知过抛物规y=2如(>0的斯点F且斜率为1的直线安抛物提于A.B两点，1AF BF1=15,图p的植为 A.2 队4 C D,8 ,已知P为抛物战r=12y上一个动点，Q为同(x一4)+y=1上一个动点，则点P到点Q的 拟 距离与点P到x轴臣离之和的量小值是 A.4 3 C,2 二，透择愿{本愿共8小器，每小延8分，共18分.在每小丽给出的四个选项中，有多项是杆合觅日 要求的，全部选对的得5分，菇对但不全的得2分，有选储的不得分 6.已知F是勉物线C:y一16r的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y抽于点N.若M为FN 的中点，周 A亡的准线方和为x=一4 且下发的免标为(0,4) C1FN1=12 D△UNF的自积为1后2()为坐标原点) 7,已知抛物规y=2x(P>》上三点A(1y,,B(1,2,C(于：y,),F为抛物规的您点，则下列 说法正确的是 A.抛物线的准战方程为=一1 若F+F百+下元-，周F=F式+F元 C若A,F,C三点共线，划yy:一1 D,若AC1=6,期4C的中点罚￥轴面离的最小值为 8设抛物线C:y=2:(P0)的焦点为F,准线为，A为C上一点，以F为测心，FA|为米径 的别交！下B,D两点，若△A台F的直积为5，厚，期 A.F-3 B△ABF是等边三角形 C.点下到准线的距真为3 D粒物线C的方程为y8r 选梯题答题栏 亚号 3 答案 三、填空题（本题共4小题，每小整5分，共20分） 9.若抛物线y一2r《>0)的体线候调十y一2y一1一0所得弦长为2，划抛物线的然点量标 为 10.若点M(2.1)到糖物线y一ax的滑线的距离为2，群a的催为 .如图，地物线啦太用灶是利用太阳途物对，通过黎光失取株量进行放事烹任食物的一种棱管. 由于太阳光基本上属于平行光线，所风当太阳灶《能转据物面)的丰光轴指向太阳的时候，平行 的大阳光线人财到能转抛物面表面，经过反光材料的反射，这线反射儿规都从它的想点处箱 过，在这里形成太用光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上，残有一一范物线型太用 灶，计口直经AB为2怎m,灶深CD为0.5面，则焦点到比成〔舱物线的顶点)的距离为 m. 2.已知抛物线C:y=山，斜的为◆的直线1过定点M(,0),直线1交抛物线C于A,目两点， 且A,B位于：轴博侧，若(，=30为坐标期点).则= 四，解答题（本题共小题，其？分.解答应写出文字说阴，证阴过程或演其步骤） 13.(本小题离分12分)已知抛物线C:y2:,直线y十2交C干A,B再点，是线段A君 的中点，过M作工轴的垂线交C于点N 1)证明：抛物线C在点N处的切线与A出平行 (2)是否存在实数意，德N贰·N店-岭若存在，承的值若不存在，说明理出。 周测12抛物线 14,本小题清分12分)加闭，已知点E理，0)为抛物线y3=4x内的个定点，过E作料岸分别为 15.「本小题横分13分》如图，抛物线C:y=x,过N(2,1)有两条直线1，，l:,与槛物线交于A, ★，：的两条直线分网交抛物线于点A,BC,D,且M,N分别是线型AB,CD的中点. B,与抛物线交干D,E. 1)若m和1，论，，=一1，求△E材N面积的最小值： 1)若，斜*为1，求A: 2)若，十★-1，求正：直线N何过定点， (2)抛物线C上是香存在定点N,桂得N·N丽-，若存在，求商N点象标并证明，若不存 在，请说明理出： (3)直线y一r与直线AD,E相安干P,Q两点，证明：M为Q中点 州倒测数学，及择性必餐第一青A餐又∠BAE,∠EAG都是钱角，所以子∠BAE=∠EAG、 所X∠BAC=2∠BAG=2(∠BAE+∠EAG)=3∠BAE, 所∠BAE=子∠BAC 周测12抛物线 1.D解析：点P(2,2√2)在抛物线上，.(2√2)=2m, m=4.又P到抛物线准线的距离为2一《一1)=3，F到准 线距离为2，，中点M到抛物线准线的距离为d= 2.B解析：设A,B,C三点的坐标分别为(1，y1),(x:,y:), (x,y).由题意知F(1,0),国为下F十F言+F元=0，所以 工十工：十工■3，报描抛物线的定义，有1下i1十|F店|十 |FC1=x1十1十x十1十x1+1=3+3=6.故选B. 3,B解析：过点A,B分别作直线AM,BN垂直于准线，垂 足分别为M,N,如图， 因为直线AB过抛物线的焦点F,于是有IBN|=|FB|=1, AM=AFI 显然有BN∥AM,△CBNn△CAM,手是得ACT AM 即|AC|=21AM|,别IAFI+|FC=2|AF|,AF|= FC1=FB十BC=3,所以AF|=3,故选B 4C解析：抛物线y-2pr的焦点为F(台，0）小准线方程为 设A(x1y1),B(xy:, 所以直线AB的方程为y=1一 2 代入=2px可得-3加+仑 所以+=3p,= 4 由愁物线的定又可知，AF=x十号，BF=:十之 所以AF·1BF=(+)+号) =+2+ =2p=16,解得p=22(负值舍去). 周周测数学选择性必修第一册A版 ·6 5.D解析：抛物线x2=12y的焦点为F(0,3).圈(x-4)+ y=1的圆心为M(4,0),半径为L.根据抛物线的定义可知， 点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，如图，故问题转 化为求P,Q,F三点共线时，点P到，点Q的距离与点P到 r抽距离之和 34-3-2-101 -24 4 -5 由于焦点到圆心的距离是/③十=5，所以，点P到点Q的 距离与点P到x轴的距离之和的最小值5-3一1=L, 6,ACD解析：不坊设点M桩于第一象限，抛物线的准线1与 x轴交于点F‘,作MB⊥I于点B,NA⊥I于点A. 由抛物线的方程可得准线方程为工■一4，F点的坐标为(4， 0),A正确，B错误：故|AN1=4.|FF1=8,在直角梯形 ANFF'中，中位线BM1=AN十FF=6, 2 由抛物线的定义有IMF1=|MB|=6,结合题龙，有|MN|= MF1=6. 故1FN1=FM|+|NM|=6+6=12,C正确：而|ON|= 2-T=8E,所以S2m-专×8EX4=16E,D 正境。 7,ABD解析：把点B(1,2)代入抛物线y2=2Px,得p=2,所 以抛盼线的准线方程为x=一1，故A正确： 周为A(x1),B(1,2),C(ry),F(1,0),所以F= (x,-1,y),Fi=(0,2),F元=(x4-1,y),又由F+ Fi+F元=0，得x1十r:=2, 所以F|十1F花1=x,十1十x:十1-4=2FB,故B正确： 因为A,F,C三点共线，所以直线AC是燕点获，所以 y1y:=一p=一4，故C不正确； 设AC的中点为M(xoy%), 因为AF|+|CF|≥ACI,|AF|十1CF|=x,十1十x:十 1=2x。十2，所以2x。十2≥6，得x0≥2， 中AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确。 8,BCD解析：图为以FA|为半径的圈交 L于B,D两点，所以|FA|=FB: 又BF|=|FD|=FA|,所以∠ABD 90°，IFA|=|AB|,可得△ABF为等边 三角形，B正确： 如图，过F作FC⊥AB于C,则C为AB 的中点，C的機坐标为号B的横坐标为一台，所以A的损 坐标为号，代入批物线可得片=3p,=尽p, 又△ABF的面软为9厅，学宁(：-。)n=号： (学+号)·厅P=厅，解得p=3〔含负)，所以箱物线的方 程为y2=6r,D正确： 因为编点堂标为（侵0）小，所以点到准线的距高为是×2= 3,C正确： 光时意A的横坐标为号，所以BF1=AF=AB1=是十 子-6A不正确 9,1,0)解析：抛物线y=2:的准线为士=一台，起圈化 成标准方程为x+(y一1)产=2，得圆心M(0,1),*径r= 厄，又国心到谁线的距离为台，所以（兮）+（号） (W2),解得p=2,所以焦点坐标为(1,0)， 10.十或一立解析：由题意，易知a少0，抛物线方程化为标凉 彩式为x=后y,则准线方程为y=一a因为点M(2,D 到超物线的准线的距离为2，所以当。>0时，一(）= 1 2解得a=了当a<0时，a-1=2,解得a=一立 11,1.5解析：由题意，建立如圈所示的平面 真角坐标系，O与C重合，设抛物线的方 程为y=2px(p>0),由题盆可得 A(分)，#A点坐标代入抛物线的方 1 程可得3=2p×2,解得p=3,所以类物 钱的方粒为y=6江，焦点的堂标为（受.0，所以焦点到姓 3 底（抛物线的项点）的距离为立-L5(m), 12.3解析：设直线1的方柱为y=k(x一x》,A(工1， y),B(x4), 与超物线方程猴主少=2， y=k(x-x。》. 消去y并整理得kx-(2张x。十2)x十x8=0, 由根与系数的关系得x1士：=x,则yy: -√/r1r4=-2r. OA·Oi=3,.x1x1十y1y:=3,即x-2x。=3,解得 r=3(负值舍去). 13,解：(1)证明：如图，设A(x1,2x),B(x:, 2),起y=r十2代入y=2x2得.2x kx一2=0，由根与系数的关系得1十x:= 2=-1心x=w=这= 2 4 O N点的坐标为（作，气》 设热物线在点N处的切线1的方程为y一8 m(-）:与y=2张立得2x-m肛+ 8=0, 直线【与抛物线C相切， d=m-8(停-含）-m-2+=(m一r=o, .m=k.即1∥AB. ·63 (2)假设存在实数k,使NA·Ni=0,则NA⊥NB, 又：M是AB的中点MN=2AB1, 0D加，w=号到+)-号(+2+红：+2) 1 ++0=(信+)-号+2 :MN上e轴，1MN1=yw-w-号+2 k1k2+16 88 又|AB|=1+F·|x-:1=√1+k· +)-西=+E·√()-4x(-D 名T,丽. 告 解得k=士2.即存在k■士2，使Ni·Ni=0. 14.解：1)当m=1时，E为抛物线y=4r的焦点. k,k,=一1，AB⊥CD. 由题意，知直线AB的方程为y=k1(x一1)， 设A(x1y1).B(xy:), y=k,(x-1), 由 得，k,y-4y-4k1=0, y=4r. 9+y=y为=-4 又线段AB的中点为M(佰要，产) M(层+1) 同理点N(2k十1，-2k,), ASa=号BM:EN =√)+()·@+-7 =2√++2≥2xm=4 当且仅当好一行即：=士1时等考成立， ∴.△EMN面积的最小值为4 (2)证明：由题意，得直线AB的方程为y=1(红一m), 设A(x1,y1).B(ry) 南=6，G-m 得k1y2-4y一4k1m=0, y2=4x, 4 y+y:=元y4=-4m 又线段AB的中点为M(作要，兰吉产) 同理点N后+》 器受 答案全解全析 直线的方粒为y是=[一（层+门 即y=,k:(x一m)十2..直线MN恒过定，点(m,2). 15.解：(1)由题意，得直线AB方程为y一1=x一2，即y= r-1, 联立方程=r-1, 消去上整理得y一y一1=0，可得 y2=x 4=5>0且y1十y:=1,y1y:=-1 所以|AB|=√1+下·√y,-y)=E· V√(y1+y:)-4y1y:=√/ (2)设直线AB的方程为x=m(y一I)+2, 联主方程m)一D+2消去工整理得y-my十m- y2=r, 2=0, 设N(,t),A(x1,y1),B(x·y:),别y十y=m, y:y:=m-2, 可得NA.Ni=(x-t)(x:-t)+(y1-t)·(y: t)=(y-r)(y-t)+(y:-0(y:-f)=0, 即(y1一t)(y1+4)(y:一1)(y2+4)+(y1-t)·(y: t)=0, 即(y1-)(y一t)汇(y1十1)(y:十1)十1]=0， ☒为y十y:≠1，所以(y十)(y:十t)十1=0，所以yy:十 t(y1+y2)+1+1=0, 所以m一2十1m十12十1■0，即(t十1)m十（一1）■0饭 成立， 解得t=一1，即N(1,一1). (3)运明：设A(a,a,B(62,b),E(c2,c),D(d,d), 划L:(a十b)y=x十ab这M(2,1),所以a十b=2十ab,所 以6=42， a-1 lm:(e十d)y=x+cd过M(2,1D,所以e+d=2+cd,所以 d-1 IAn:(a+d)y=x+ad. ((a+d)y=r+ad, 联立方程 1 可得工单 2ad y=2x a十d-2,同理 2bc x0=6+c-2' 2ad 2bc 2ad 所以+x0=十d-2十6+(2=a+d-2十 2xa-2.d-2 Xa-i'd-i 2ad 2ad-4a-4d+8 。2+4-2 a+d-2 2-a-d a-1d-1 4a+4d-8=4=2xw, a+d-2 所以PQ的中点为M 阶段检测三圆锥曲线的方程 1,D解析：由工=6，得y=16,共焦点在r轴的正半 抽上， 周周测数学选择性必修第一册A版 ·6 国为2=16=8，所以号=4 所以其焦点坐标为(4,0).故选D. 2.B解析：由题意知，在精国C中，后=品2a=30,a 15,c=7,曲线C:是双曲线，2a1=10,c1=e=7,∴.b=e 。=-=24,风南线C,的指凉方粒为号盖-1 3,C解析：设椭圆的长轴长为2仙，短轴长为2b,“初面”是一个 2边=cos60, 箱圆，由“切面”所在平面与底西成60角，可 a-63 即a=2h,所以e=2=√ 2 x 4.A解析：由10一m6一m =1表示椭圆， 10一n>0, 则6一m>0,→m<6, 10一n≠6一m 且焦距为2√/(10-m)一(6一m)=4. 一=1表示双曲线，则(5一H)(9一n)<0→5< n<9,即为焦点在y轴上的双曲线，故其焦距为 2/9一n一5干N■4，故达A. 5,D解析：烟为A(一2,3)在抛物线y■2px的准线上，所 以一号=一2，所以=4，所以抛物线的方程为)=8，由 于直线AB的斜率不为0，所以设直线AB的方程为x= (y一3)一2，联立直线AB与抛物线的方程 口=k（y一3)-2·清元得y-8ky+21+16=0①，所以 y=8x, △=（一8k)2一4(240十16）=0，即2k2-3k一2=0，解得k= 2成长=一号（会去），将=2代入①，解得y=8,所以 8,所以点B(8,8).又F(2,0,所以k证=8-2了 8-04 6.C解析：设椭圆长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a:,焦点 为(c,0), 设m=PF,n=PF.{, 所以m十n=2a1,m一n1=2a:, 平方相加可得m2+n=2(a十a). 由PFi·PF=0,得∠F1PF:=90, 所以m°十n=(2c)2=4c',所以2(a十a)=4c2, 脾ai十ai=2x,i+a=2, n上+=2.故选C 十 ei e 7,D解析：设直线AB的方程为y=kx十b(b≠0)，A(x1, y）,B(x+y:), 由一红十b:得工-一物=0. 1x2=4y, 由根与系数的关系可得x,十工：=4k,x1x:=一h. 由|OA|,|OB|恰好是R:△OAB的“勾”“股”(O为坐标 原点)， 可得1OA+1OB1F=AB,所以OA⊥OB,POA上Oi, 所以OA·OB=xx十y1y=0,