周测11 双曲线-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

周测11双曲线 〔时间，0分钟分信，100分) 一，选择圆本恩共5小题，每小题百分，共25分.在母小觅给出的四个选项中，只有一项是符合愿 日要求的) L,已知双静线的新近线方程考y=士2：，且过点P(1,5),则该双由线的标滑方程为 -y- 号 Bf-1 整郑2已知E分两为双由线G,之的左有您：P在C上且PE一Pg,图 o0s∠FPF:- c 言 袋3，若动圆与+y一1和2+y一6x十2-0布相外切，期动惯圆心的轨姿为 L双角线的一支 品保 已，群圆 D.粒情线 4若双我线C:三一一1>0,6>0)的一条新近线被属一'+y-4质戴得的袋长为么，则 C的离心率为 A.2 队3 c. h86 3 单 智者双线 一一1(n>1》的左，右您点分别为F,F,点P在曲瓷上，且调足P,+ F,=2√云十2，期△PF,F,的面积为 C.2 D.4 举二，选择慧（本题共3小整，每小题斤分，共18分，在每小盟给出的西个法项中，有多项是符合题日 要求的，全郎避对的得5分，建对日不全的得2分，有选储的不得分) 成已知左，右精点分满是F,下的双角线千一y-1上有一点P(m:)(m,H>0):且 15 ∠FPF)=·用 人F,m:- BPF,1·PF,-16 板 C△PF,F,的面积为1 D.△PF,F:的同长为12+25 1已知点P在双街线C:后一苦=1上，，E,是双角线C的左，石焦点看△PF,倍雀阴为 20.南下列说法正瑞的有 人点P销：给的距离为骨 且P啡，+P,-碧 C.△PFF:为纯角三角形 D∠，F,- 8,已知下，，F,分期是双到线C:一￥=1的左，右焦点，P是双由线上界于双由线顶点的一点， 且PF·下，一O,图下列结论正确的是 A双角线C的近线方程为y一女士 且.以FF。为直径的解的方程为：3+y1 C下：到双由线的一条渐近线的即离为1 山△PFP,的面积为1 选择题答蓝栏 覆号 2 5 答率 三，填空题本是共4小题，每小题5分，共20分 ,.已知双韩线的标常方程为方一专一1，北右斯点为F,若以0体，为直5的暖和直线1一相交 于A,科两点，期1B■ B.过双线片。-一>06>0的焦应且垂直于拍的直线与双南线的两条南江线 围成图飘为3，的正三角形，则双柱线C的实轴长为 ,已知F是双曲线：-景-1的右熊点，P是双曲线仁左文上份一在，且在A的米标为0， 后)，则△APF周长的量小值为 2,光线做曲线反财，等效干慎由线在反射点处的切线反射：已知凳完线从所圆的 个细点出发，被第调反射后要问到帆同的另个焦点：完线从烈角线的 个焦点出发被烈能线反对后的光线等效于从另一个焦点发留，如图树到C 子名=。>>0与双轴线台兰-1m>0>0有公共焦点， 现光提从它门的左惠点出发，在腕圆与双由规侧连候反射，划究线经过贴《色∈N)次夏射后 闲到左焦点所经过的路径长为 四、解答题（本题共3小题，共37分，解答应写出文字说用，正阴过程成演算香骤） 以.体小感黄分12分E知双曲线C,-兰-L 1)求与双由线C,有相同可的属点，且过点P(43)的双曲线C,的标常方程： (2)直线：y一r十m分别变双由线C,的阵条渐近线于A,B两点，当O1·OB一手时.求实数 解的值， 周测11程角线 14.木小越离分12分已知点P不以是双曲线C:写y-1上在夏一点 《1求任：点P到双角战C的两条新近线的距离的采积是一个含数： (2心知点A4.01.求4的最小值. 州风测数学，及择性必修第一所A餐 15,「本小题满分13分)三等分角是古希罐儿有尺现作用的三大可题之，如今数学上已经证明三 整分任意格是尺呢作图不可能问思，如果不局限于尺现，三等分任立角是可健的。下在是数学 家朝普撕给出的一种三等分角的方达：已知角®《0<。<需》的质点为A,在。的两边上叔取 AB=AC,崖接以，在线段C上取一点)，使得0=2CO,记0的中点为D,以0 为中心C,D为顶点作离心举为2的双周线M,以A为两心，4B为半径作割.与双自线M左 支交于点E射线AE在∠C内部，财∠AE=宁∠BAC,在上迷作钻，以0为原点，直 就C为y帕建立如图所示的平面直角生标系，者B(一2,0》，微A在x轴的上方 (1)求双角线M的方程： (2)若过点A且与：轴垂直的直线文x轴于点G,点E到直视AG的距离为d.正明， 0E为定值。 d @∠aAE-∠AC 外yg的表达式中分母是对称的，分子刚好是一个逆序的，即 =--十2-2y 对PE,1-PF,=16=20-名PF,1PP:,可符 3r+3x1-x1-8 PF,PF.=32,B错误： 从而yE十y,=0,故P为线段EF的中点. 5amPF,PE,∠R,PR,-日x2× 16 周测11双曲线 √3I.C错误： L,D解析：设双曲线方程为4红一y=k(k≠0)，因为双曲线 因为(PF,I+PF,I)=(PF,I-PF:|)2+4|PF,I· 过点P(1w5),所以4-3==1， PF=144, 所以|PF,|+1PF,1=12.所以△PF,F,的周长为12+ 双曲线方程为4r-y=1.即一y=1.故选D 2,5,D正确. 4 2,C解析：依题意，a=6=2,e=2. 7.比解析：间为双曲线C:6一与=1，所以c=6干 ,|PF,=2PF,,设PF,|=m, 1 1 ∴|PF1=2m,又|PF,-PF,1=2=m, 5.又图为Sam4=2·2xr=2×101r1=20,所以 .|PF,=4V2,|PF:=22, yr=4,故A错误：将yr1=4代入C:6-分=1得， 又|F,F:|=2c=4, ÷s∠R,PF,=PE+IPE:-EE_32+8-16 以，一四，由双曲钱的对称性，不梦取点P的坐格为 2PFPF. 2×42×2√2 =具故选C (份)可知PF:=√图-)+=是南双南我定 3.A解析：设动國的圆心为P,半径为r,圆x十y=1和 义可知PF,=PF,+2a-+8-,所以PF,+ x2十y2一8x十12=0的圈心分别为O1(0,0),02(4.0),且 IPF:I= 一智十13一，赶B正确：由双陶线的对愁性·对于 半径分别为1和2，则由已知得|P)1=r十1，IP),1 r+2, P(得4在△PF,F,中.PF,=>2=1o>PF, 因北P0,1-1PO1=1,且1<10,0,1=4. 由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双业线的一支， 号具om∠PFR,-PEE5PFL 2PF:·FF, 上人解斩：双询线号-米1的新近钱方粒为：主y0。 一13<0，则∠PF,F,为能商，所以△PF,F,为能角三角 5 园心(2,0)到渐近线的距离为d一√2一1下一 形，故C正确：由余孩定理得cos∠F:PF,= 26+化简得3a-公，结合公-2-a'得双向线的离 Va+b PEPe-得+宁背以∠F,PE, 2PF,·PF, 心率为2. 3,故D铅误.故选BC 5.A解析：设点P在双曲线的右支上 B.ACD解析：易得双曲线C的渐近线方程为y=土x,选项A 则|PF,|-1PF:=2wm,己知PF+1PF2=2√n+2, 正确： 解得PF,=√m+2+m,PF:=√m+2-√m, 由a=b■1得，C■w2,闲此以FF:为直径的圆的方程为 所以PF11·1PF:=2.又F,F:I=2m+I, r2十y2=2,选项B错误： 则|PF+|PF,=|F,F,F, 不妨设F,(一2,0)，则F,到效曲线的一条渐近线的距离 所以△PF,F:为克角三角形，且∠F,PF,=90°， f是Sa-号PF,·PF:=号×2= d=一万-0l=1,选项C正确： 2 由PF·PF=0得，PF,⊥PF,因此点P在圆x2+y=2 6,AD解析：由题知a=2,b=1.则c=√a十b=5,则 1x十y2=2, |F,F.=25. 上，由 x-y3=1 y=所以11=号 ·周此， 因为P在第一象限，所以PF,一|PF:|■4. 在△PE中，国为m∠P,PE:- S所，F,y-×2×号-1，选项D 正确. 所以sin∠F1PF,=√1-co8∠F,PF:= 15 县4解折：双由线的标准方复为后-苦-1，湖右焦点F,6 将A 0), 设以OF,为克径的图的圆心到直线x=1的距高为d,剩 由余弦定理得F,F,=PF,2十PF,一2PF,IPF,|· os∠F,PF· d=2又半径r=名：所以AB=2VP0=4 周周测数学选择性必修第一册A版 ·60· 10,3V解析：如图，：直线AB过双曲线C 14,解：(1)证明：由已知可得a=V5,b=1, 的右焦点，且△O1B是面积为3√3的等边 所以双南线的渐近线方程为y=士5 三角彩×10A=3. 国为点P(y,)到直线y=5 x,即直线x一5y=0的 .0A=|OB=AB=25, c-26Xcos30-.又名-m30-复，且c2-a 距墙山，=x5y 6 3V3 b,解得a=之，双曲线C的实轴长为2a=3v3。 点P国直我y一，中直线十后y=0的泥 11,32解析：设双曲线的左焦，点为F·山 离d,=十5y 双由线方程x一首-1可知0=1= 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积 3,故F(3,0),F,(-3,0》.如图，当点P dd:=- lx.-v5y.l lx.+v5y.l lri-5yil 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义 √6 6 知PFI一IPF,I■2，所以IPF 又点P(x0y》在双曲线上， |PF,+2,从而△APF的周长为 所以号-=1，即-=5，所以dd,-名是-个 AP+|PF+AF=|AP+PF,|+2+IAF.周为 常数 |AF1=√3+(66)=15为定值，所以当|AP1+|PF,I (2)因为点P在双曲线上，别x。≤一后或x。≥√5 最小时，△APF的周长最小，由图可知，此时点P为线段 AF,与双南线的交，点，则△APF的周长的最小值为AF,十 所以PA=-+=,-4+号-1 2+AF1=√1A0+1OF,下+2+15=32. -号-8，+15-，-9)+ 12.2k(a一m)解析：光线从司的左焦 点出发经过黼圆反射要回到另一个焦 当，号时，PA广的最小值为 点，光线从双曲线的左焦点出发被双 由线反射后，反射先线的反句延长线 所以PA的最小值为. 过另一个焦点，如图 BF|=2m十|BF,, 15.解：说双曲钱M的方程为号-=1(a>0,6>0) BF,+BA+AF=BF:1-2m+BA+AF,I= 由1B0=21CO川及B(-2.0),可得C(1.0),所以a=1. AF,|+AF,-2m=2a-2m, 因为双曲线M的高心率为2，所以+_1十 -=4,解得 a 1 所以光线经过2k(k∈N”)次反射后四到左焦点所经过的 62=3, 路径长为2k(a一m). 13.解：(1)双面线C1的焦点坐标为(5,0)，（一√5,0） 所以双曲线M的方程为r一 设双南线C的标浪方程为号一若-1a>0,b>0 (2)证明：①由题可得B(一2,0)，C(1,0), a+b=5, 、固为AB=AC,所以直线AG的方程为r=一7， 63一1.解得公 16=1, 设B,≤-.时-誉-1，即=3-3 所以双由线C的标准方程为行y= 1 (2)双曲线C,的渐近线方程为y=2.x·y=一2r, 又|BE|=√(x。+2)+y=√(x+2)+3x。-3= 设A(x1.2x1),B(r2·-2xz) V(2x+1)F=-2r-1. x-义 由 0, 消去y化简得3x2一2mr一m=0 所以BE=2,为定值 d y=十m 由△=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0. ②国为AB=AE,所以由①释m豆∠BAE= 因为=写耐.0成=+2（一2红） d AE,sim∠EAG=AE -3x 1 所以m=3,即m=土3. 周为E=2,所以s血号∠BAE=sn∠EAG, d ·61· 答案全解全析 又∠BAE,∠EAG都是钱商，所以号∠BAE=∠EAG, :5.D解析：抛物线x=12y的焦点为F(0,3).圈(x-4)2+ y2=1的圆心为M(4,0),半径为1.根据抛物线的定义可知， 所以∠BAC=2∠BAG=2(∠BAE+∠EAG)=3∠BAE, 点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，如图，故问题转 所以∠BAE=子∠BAC. 化为求P,Q,F三，点共线时，点P到点Q的距离与点P到 x轴距焉之和. 周测12抛物线 1.D解析：，点P(2,22)在批物战上，.(22)=2m, ∴m=4.义P到抛物线准线的距离为2一（一1）=3，F到准 线距离为2，∴.中点M到抛物线准线的距离为d= 54-3-20 3+2_5 22 2.B解析：设A,B,C三，点的坐标分别为(x1,y1),(x:y:), (红y,由题盘知F(1.0),因为Fi十F方+F心=0.所以 由于焦点到圆心的距离是√3干=5，所以，点P到点Q的 r十：十x=3.极搭抛物线的定义，有F月|+|F官1+ 距离与点P到x仙的距离之和的最小值5一3一1=1. 6,AD解析：不坊设点M位于第一象限，抛物线的准战1与 FC=x1+1+x4+1+x+1=3+3=6.故选B x轴交于点F,作MBL1于点B,NA⊥1于点A. 3.B解析：过点A,B分别作直线AM,BN垂直于准线I, 由抛物线的方程可得准线方程为=一4，F点的坐标为(4， 足分别为M,N,如图. 0),A正确，B错误：故AN1=4,|FF1=8,在直角梯形 ANFF'中，中位线BM=AN FF=6, 2 由批物线的定义有|MF=MB引=6，结合题意，有MN| |MF1=6, 故FN引=|FM+NM=6+6=12,C正确：而|ON|= V2=-8v2,所以S6wr-乞×82X4-16vE,D 正确 因为直线AB过抛物线的焦点F,于是有引BN=|FB1=1, 7.ABD解析：把，点B(1,2)代入抛物线y2=2px,得p=2,所 |AM1=|AF1, 以抛物线的准线方程为T=一1，故A正确： 显然有BN∥AM,△CBNn△CAM,于是得AC AM 因为A(x1·y),B(1,2).C(xgy),F(1,0),所以Fi (x,-1y).Fi-(0,2).F心=(x1-1y1).又由Fi+ BNI 1 IBCT2 F艿+FC=0.得x1十r:=2, 即|AC1=21AM|,别|AF|+|FC1=21AF|,|AF1= 所以F可|+F元=x,+1十x:+1=4=2F,故B正确： |FC=|FB|十BC引=3，所以|AF|=3.故选B 因为A,F,C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以 4.C解析折：批物线y=2pr的焦点为F(号，0）准钱方程为 yy=一p=一4，故C不正确： 设AC的中点为M(x。·ya): 因为|AF|+1CF|≥|AC|,1AFI十|CFI=x,+1+x:+ 1=2x。十2，所以2.r。十2≥6，得x≥2， 设A(r1y1).B(xy:) 即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确 所以直线AB的方程为y=一台 8,以CD解析：因为以FA|为半径的圆交 1于B,D两，点，所以1FA=FB: 代入=2pr可得r-3pr+2 又BF|=FD|=|FA1,所以∠ABD= 90°，FA|=|AB|,可得△ABF为等边 所以工1十工，=3功1= 三角形，B正确： 4 如图，过F作FC⊥AB于C,则C为AB 由抛物线的定义可知，AF=十号，BF=:十专 的中点，C的横坐标为号，B的横坐标为一号，所以A的横 所以AF1·BF1=(,+号）)(：+专) 全标为要，代入相物线可得-3p,-区p, +台++ 4 又△ABF的面积为95，中2（红-=立， -++号 (修+号）·50=9厅，解得p=3合真)，所以利治度的方 =2p=16,解得p=2√2（负值会去） 程为y=6r,D正确： 周周测数学选择性必修第一册A版 ·62·