周测7 直线的交点坐标与距离公式-【蓝海启航·启航金卷周周测】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

周测7直线的交点坐标与距离公式 (时间，0分钟分信，100分》 一，透择是本整共5小是，每小题百分，共5分.在母小驱给出的四个速项中，只有一项是符合愿 日要求的》 L.已知△A1以的度点生标为A7,8》,B10,4,C(2,一4，国'边上的中线AM的区为() A.8 L13 C.2万 D.丽 2.与直线2z十3￥一一0关于点(1，一1)对移的直线方程是 A.3x-2y十2-0 B2rtay千7=0 C.3x-2y-12-0 D.2x+3y+8=0 3.当点P(2,)到直线十(w一1方+3一0的距离d最大时，d与：的值依次为 A.3,-a 弘5,2 C.5,1 D.7.1 4.若直设：x+y一《一0与直我一y一2一0的交点位干第一象限，侧实数x的取值范用是( A4-1,2) B(一1.十s) C.{-oc.2) D.《-aa,-1U(2.+1 长5.如图，在等直角△AC中，AB一AC-4,点P是边AB上#于A,B的一点，光。 线从点P出发经BC,CA反财后又用到点P,若光线QR经过△AC的重心，则 △PQR的周长等于 部区 5 2 C.4 二、选择题《本题共3小题，每小题6分：共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题用 要求的，全郎这对的得占分，这对但不全的得2分，有选情的不得分》 路6，直线+￥一1=0上与点P(一2,3)的距离等于反的点的皇标是 .(-4.) (-3,41 C,〔-1,2) (b,10 7,两条半行直线1：/：分网过点P(一1,3)，Q《2,一1)，它门分岗透P,Q能转，组始终绿持半行 期1,4：之可的距离可雀章值为 A.1 且3 C.5 D. 8.已知直线：12x一y中+1一0./中ay十1一0，a∈R,以下结论正端的是 A.不论4为值，k与俗互相垂直 经板 我当a变化时，1，与厂：分明竖过定点A0,1)和君（一1,0） C.不论4为有筑，1，与：都关干直线十y-0对路 D.如要(，与：交于点M,圆)的量大氧是四 这择驱苦整松 题号 三、填空题{本题共4小题，每小题5分，共20分) ,经过2r+3y十8=0和x一y一1=0的交点，且与：十2y=0套直的直线方程为 10.已知m,程8，b€R,且请足8m十4w=6,a十46一1，期√m一4)十（一）的最小植为 tl.已知直线1：2+3一G=0和点A(1,一1，过点A作直线：与直线1，相交于点B,且 4B一5-则点B的坐标为，直线生的方程为 12.斯代诗人李衡的边塞诗（古从军行开头两句说，白日登山里烽火，置香饮马锈文河”.诗中隐 含看一个有理的数学问避一“将军欲马”，韩将军在离里蜂火之日从山牌下某处出发，先到 收让马战水后再四军营，寒样走才能使总路程量好？在平面直角角标系中，设将军的出发点是 A(2,4,军营所在位置为B(6,2),可岸线所在直线的方程为x十y一1一0，吞将军从出发点到 深边战马，再可列不背(“辞不比马”)的总路程最延，雨将军在列边饮马电点的量标为 四解管题《本题共3小题，共3分，解答应写出文字说阴，证明过程或演算步骤) 13.(本小题臂分12分)已知直线：(2+裤)于+门一两)y十4一3w一0， 1)求证：不论m为任辉实数，直线（恒过一定点·并求出定点坐标 (2过点（一1，一2）作一条直议1，桂，光在两黔标轴之可的线段被点平分，求直线1的 方程. 倒两？直线的炎点坐辉与肥离公式 14,(本小题清分12分已知直线方程为(2一w)r十(2四+1)y十3m十4=0， 15,f本小题演分13分)已知三条直提1：时一y+m=0,:x+my一m(m+1)=0,:(w十 《1)当m为打算时，点Q3,4满直线的距肉最大，最大值为多少y 1)x一y+(m+11=0.它们周成△AC, (2若直线分别与x第，y轴的身半轴交于A.出两点，求△AO出气料的最小值及此时直线的 1)求懂：不论m取何值，△1C中总有一个顶点为定点： 方程， (2)当m取村组时，△AC的面积取得最植？并求出最值. 每 州倒测数学，及择性必修第一青A餐 1610y=-度y=-十+ 解析：当直线过坐标原点时， 显然直线的钟单存在，设y=k,x,代入（一10,10）， 得一10k,=10,所以k,=一1，所以直线方程为y=一x: 当直线不过坐标原，点时，设y一10=k,(x十10》，所以横载 距为-10-10，城藏题为10k:十10， 所以-10-10=410k:+10),解得k2=一 成=- (舍去)，所以直线方程为y=一 115 15 棕上，直线方程为y=一x或y=一了工十2 1[号，习解折：设直线1与线段2x十 y=8(2≤x≤3)的公共点为P(r,y), 则点P(r·y)在线段AB上移动，且 A(2,4),B(3,2). 1234 设直线L的斜率为k,又■2， 如国所示，可知号<<2，中直我1的斜年的取值花国 [ 12.x十y一3=0解析：设∠BAO=9 (0<9<90,知图，则1PA1-1 sin IPBI-2 9,所以1PA1·PB1 1 2 4 sn日c0s0n20所以当20-90 脚日=45时，PA|·PB|最小，此时直线1的领钟角为 135,针率k=tan135°=一1，所以直线1的方程为y 1=一(x一2)，即x十y一3=0. 1解山)因为4，将以m0,出-号亭 由出-兴得m-m一2=0解得m一1或m=2含 去)，所以■一1. (2)周为点P(1,m)在直线1：上， 所以十m一4=0，得n=2,所以点P的坐标为(1,2)： 设直线1的方程为y一2■(x一1)(k0), 令x=0,别y=2-k,令y=0,别x=1一2， 因为直线（在两坐标轴上的藏距之和为0， 所以1-是+2-6=0，解得长=1或长=2 所以直线的方程为x一y十1=0浅y=2x, 16解：1)注明周为y=+号=a(-日）十子 所以直线1恤过定点（行，） 因为点（信，）位手第一象限，所以直线1必经这第一 象限 3 (2)设A(仔，），期直线OA的样率kam= 0 -=3 1 -0 周周测数学选择性必修第一册A版 若直线1不经过第二象限，则直线1的斜平k,≥3，即a≥3. 所以实数a的取值范围为[3，十∞). 15,解：(1)因为直线1过，点(m,0),(0,4一m),别钟率k= 4二m<2,解得m>0我m<-4且m≠4， 所以实数m的取值范圈是（一四，一4）U(0,4)U(4, 十oo). (2)由m>0.4一n>0得，0<m<4. 则△A0B的面积S=名m(4-m)=一m-2y+2 1 当m=2时，S有最大值为2，此时直线1的方程为x十y 2=0. 周测7直线的交点坐标与距离公式 1.D解折：南B10,0.C2,-0.得M(0生，号会）率点 M的坐标为(6,0).又A(7,8),故1AM■ √(7-6)+(8-0)F=√丽.故选D. 2,D解析：由平面儿何知识易知所求直线与已知直线2x十 3y一6=0平行， 则可设所求直战方程为2x十3y十C=0(C≠一6). 在直线2x十3y-6=0上任取一，点(3,0)，其关于点(1，一1) 的对称点为（一」，一2），别点（一1，一2）必在所求直线上， 所以2×（一1）十3×（一2）十C=0.解得C=8. 所以所求直线方程为2x十3y十8=0. 3.C解析：：直线ar+十(a-1)y十3=0，即a(x十y)+(3 y)=0, ÷由任十y0得-3，可得直线au十a-Dy+3=0 3-y=0, y=3, 过定点Q(-3,3), ,,事直线ax十(a-1)y十3=0与PQ每直时， 点P(2,3)到直线ax十(a一1)y十3=0的距离最大， d的藏大值为|PQ1=(2+3)+(3一3)=5，此时 PQ∥x轴， 可得直线ax十(a一1)y十3=0的钟年不存在，即a=1.故 选C, 4,A解析：因为直线4x十y一4■0与直线x一y一2=0相变，所 6 ar十y-4=0 以a中一1.由 解得 r-a+i' 即两直线的交点 Lx-y-2=0. 4-2a y=a+' 6 皇标为（年》由题高，可得 所以 4-2a u+1>0:解得-1<a<2 4-2a>0. 5,A解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在 直线为y抽，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直战 BC的方程为r十y一4=0， 设P(1,0)(0<t<4),点P关于直线BC 的对称点为P,·点P芙于y轴的对称点 为P:, 易得P1(44-t),P:(-t,0). 又直线PP就是无线QR所在的直线，所以直线QR的方 程为y-号+n. 设△AC的重心为G,到G(仔》，所以音 异告+小 即3r-1=0,所以1=0（会去）或1=专，所以P(,8) P:(-3.0) 结合对称关系可知QP=QP,RP=RP, 所以△PQR的周长即线段PP:的长度，为 √+）+(-o)85 1F8V5 6,BC解析：设所求，点的坐标为(xa·y),有工十y。一1=0 且√x+2)+(y。-3)=2, 、两式联立解得{二。3“支{二。”故选二■ v。=2. 7.ABC解析：当两直线，：与直线PQ垂直时，两平行直线 11,山，间的最大距离为|PQ|=√(-1-2)+[3-(-1)丁=5， 所以1，l:之间距离的取值范围是(0,5]. 8.ABD解析：对于A,,a×1十（一1）×a=0恒成主， “l⊥1：恒成立，A正确： 对于B,对于直线1，当x=0时，y=1换成立，则l1过定点 (0,1),对于直线l:,当y=0时，x=一1恒成立，别1恒过 定，点（一1,0），B正扇： 对于C,在l1上任取点(xax十1)，其关于直线x十y=0对 称的点的坐标为（一ar一1，一x), 代入(：方程知（一ar一1，一x)不在l:上，C错误： -a-1 对于D,联立 1ur-y十1=0：解得 r= 。 lx十ay十1=0， -a十1 y- a+1 MO1= MO的最大值是2，D正确，故选ABD 12x+3y+8=0, 9.2x一y=0解析：解法一：由 /1， x一y一1=0， 1v=-2. 1 文x十2y=0的斜单为一2，故所求直线的斜率为2， 由.点针式得y+2=2(x十1)，即2x一y=0. 解法二：设所求的直线方程为2x十3y十8十A(x一y一1) 0.p(2十A)x十(3-1)y十8一A=0, 由题意得2+1十2(3一1)=0，得A=8, 故所求的直线方程为10x一5y=0,即2x-y=0. 10.】解析：设点A(m,n),B(a,b),直线11：3x十4y=6,直线 ::3x十4y=1,由题意知，点A(m,n)在直线1：3r十4y= 6上，点B(a,b)在直线1：3x+4y=1上，|AB|= /(m一a)十(n一bF,由l1∥l:·得ABm= 16-1=1. /0+16 11.(1,4)或(5，-4)x=1或3x+4y+1=0 解析：图为点B在直线11上，所以设B(x,6一2x。). 周为|AB1=5,所以√(x。-1)+(7-2x)丁=5， 整理得x一6x。十5=0，解将x。=1或x。=5, 所以点B的坐标为(1,4)或(5，一4)， 所以直线山的方程为工=1煮出=二1 十行6-，整理得，x 1戏3x+4y十1=0. 12(侣，甘)解折：由题可知A,B在直线上十y-一3=0的 同侧， 设点B关于直线x十y一3=0的对称点为 tA(2.4) B'(a,b), B62) [a+66十2 22 一3=0， 解得 a=1. b=2x-10=-1. b=-3. r4-3m0 a-6 pB(1.-3. 要使“普军饮马”的总路程最短， 则將军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB',又 A(2,4), 所以直线AB的方程为7x一y一10=0， 设将军在河边饮马的地点为H, 则H为直线7工一y一10■0与直线x十y一3■0的交点， 13 联立 T江-y一10=0解 x8 r+y-3=0, 11 y=8 所以H(保，》 13,解：(1)直线1：(2十m)x十(1一2m)y十4一3m=0即为 (2x+y+4)+m(x-2y-3)=0, 由2十y十=0解得工一1故直线过定点且定点坐标 1x-2y-3=0, y=-2, 为(-1.2). (2)由题设可得直线(，的横戴距和纵戴距均存在且不 为零， 设直线1，后十名-1，则孩直线与x轴文点的丝棒为@… a0=一1 0),与y轴交点的坐标为(0，b),故 1b十0 2 =-2 即/a。-2, 6=-4, 故直线l1:2.x十y十4=0. 14,解：(1)由题知直线恒过定点P(一1，一2)· 则当PQ与直线垂直时，点.Q到直线的距离最大 义阳所在直线青程为程-结年虹一-1=0 .当PQ与直线垂直时，3(2一m)一2(2m十1)■0，解 得m7· 则最大值|PQI=/(一1一3)+（一2一4）=2/13. (2)由题意知，直线斜率存在且不为零， ◆=0，样=测青单B6》 答案全解全析 令=0，样=-中A(出） 2一m 又A,B位于1y轴的负半轴， [_3m+4 2m+7<0 1 _3m十4 解得一豆<m<2 <0, 2一m 1.3m十4.3t十41 (3m十4)护 S=2X2一m 2m+×-2+3m+2 5 t-4 今3m十4=，则7<1<10.m=3, 1 -2)+3x号+2 2 9 9 2251-07×0+ ,1<1<2 号4<1<<号 9 六.(SAw)n=4, 此时直线的方程为2x十y十4=0. 15,解：(1)证明：设直线L1与直线11的交，点为A, 由my+m=0, 解得一1， (m十1)x-y十(m+1)=0, y=0, 点A的坐标为（一1,0）， ∴.不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(一1,0》 定点 (2)由F+my-m(m+1)=0. 《m十1)x一y十（十1）=0， 解得上0， y=m十1， 即1：与1，的交点为B(0,m十1). 再由/mr-y十n=0, x十y一m(n十1)=0， 解得 rm中 m2+m2十n m2十1 中4与的文点有©（丹芹到 设边AB上的高为，又直线AB的方程为与十m于行 +v 即(m十1)x-y十m十1=0， Sx-专A超1A=之中m+可， m(m十1》_m十m十进十m十打 m十1 m十1 /(m+1)+I 1,m2+m+1 2· m十1 1,n十m十11 2· m十1 当n=0时，S= 当m0时，S= 周周测数学选择性必修第一册A版 :画数f(x)=r+1的值城为(-四，-2]U[2,十四 <0减0<1 1 3 当m=1时△ABC的面积取得装大值，为子， 当m=-1时，△AC的面软取得最小位，为子 周测8圆的方程 1,D解析：因为國(O的方程为x十y2一2r十4my十4m2十 6m十27=0： 所以圈O的标准方程为(x一m)产十(y十2m)=m2 6n一27， 所以0<m'一6m-27<8,解得一7<m<一3戈9< m<13. 2.D解析：由题意知y-1≥0，则y≥1或y≤-1，当y≥] 时，原方程可化为(x-1)十(y-1)=1(y≥1)，其表示以 (1,1)为圈心，】为半径，直线y=】上方的半圈：当y≤-1 时，原方程可化为(x-1)+(y十1)=1(y≤-1)，其表示 以(1，一1)为圆心，1为丰径，直线y=一1下方的丰圆，所以 方程|y|一1=√小一（一1）下表示的曲线是两个平圆，故 选D. 3,A解析：将喝的方程化为(x一1)+(y一1)=1，图心坐标 为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x一y=2的距离d 山一1一2=反，故国上的点到直线x一y=2距离的最大值 2 为d+1=反+1.故选A 4.D解析：由圆C:x-1)十y=25,得圈心C(1,0), 所以x-0号-1，由金经定理可物，心1AB, 所以直线AB的斜率k满足k·ke=一1，即k=1, 所以直线AB的方程为y-(一1)=1×(x一2)，即x一y一 3=0.故选D. 5.B解析：在图C:上任取一点(xy) 别北点关于直线工-y一1=0的对称点(y十1，江一1)在圆 C1:(r+1)+(y-1)2=1上， 所以(y十1十1)2+(x-1-1)=1,(x-2)2+(y十 2)2=1. 6.B解析：由(3十2x)x+(3x一2)y+5-A=0,得(2x十3y 1)A十(3x-2y+5)=0. 财南亿+3二1=D解祥二1中P(-1D。 3x-2y+5=0. y=1. :国C:(x-2)+(y十3)=16的圈心坐标是(2，-3)， ∴1PC1=(-1-2)+(1十3)=5，∴.所求圆的标准方程 为(x-2)+(y+3)2=25 7.ABC解析：该画的圆心坐标为(a,一b),半径为√a+b, 因此选项A正确，D不正确： 圆为(0一a)2十(0十b)■a2十b,所以孩图过原，点，图此速 项B正确： 50·